primera guía de cálculo

1. UNIVERSIDAD AUTONOMA
FACULTAD CS. EMPRESARIALES
CALCULO I
Profesor: Gustavo Benavente K. Ayudante: Darío Guerrero
Guía 1. Inecuaciones y Valor Absoluto
1) Inecuaciones de primer grado
a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8 R. ] - ∞ , 0 [
x2 – 4x + 4 > x2 – 4 + 8
x2 – 4x + 4 > x2 + 4
-4x > 0 /*(-1)
x<0
b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8
x2 – 2x + 1 < x2 – 4x + 8
x2 – 2x + 4x - x2 < 8-1
2x < 7  x <7/2 R. ] - ∞ , 7/2 [
c) 3x - 5 - x - 6 < 1 /*(12)
4 12
3(3x-5)-(x-6)<12
9x-15-x+6<12
8x<12+9 R. ] - ∞ , 21/8 [
x<21/8
d) 3 - ( x - 6) ≤ 4x – 5 R. [ 14/5 , + ∞ [
e) 1 - x - 5 < 9 + x R. ] -67/10 , + ∞ [
9
f) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada expresión represente
un número real.
i) x + 5  x + 5 > 0 2 x2 − 1
ii) iii)
x+6 x −1
R. [ -5 , +∞ [ R. ] - 6 , +∞ [ R. [ - 1 , 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [
2) Inecuaciones de segundo grado
a) x2 ≥ 16 R. IR - ] -4 , 4[
b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [
c) 36 > ( x - 1) 2 R. ]-5,7[
d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 R. IR - ] 0 , 8 [
e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ]-2,6[
f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - 3
h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) R. 5
2x2 + 25 ≤ x2 + 10x
2x2 + 25 - x2 - 10x ≤ 0
x2 – 10x +25 ≤ 0
(x – 5)2 ≤ 0

2. i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1) R. IR
j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [
k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [
l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - 2
m) ( x - 2)2 < 0 R. ∅
3) Inecuaciones fraccionarias
x R. IR - [ 0 , 1 ]
a) >0
x −1
x+6 R. IR - [ -6 , 3 ]
b) <0
3− x
x R. [ 5 , 10 ]
c) −2≥ 0
x−5
2x − 1 R. ] - ∞ , -5 [
d) >2
x+5
x −1 R. ] -11 , -5 [
e) >2
x+5
1 R. ] - ∞ , 3 [
f) ≤0
x−3
x −1 R. IR - [ -1 , 1 [
g) ≥0
x +1
−1 R. ] - 1/2 , 0 [
h) >2
x
x x R. ] - ∞ , -1 [ ∪ [ 0, 3 [
i) ≤
x − 3 x +1
x2 + 2 R. ] - 3 , 2/3 [
j) >x
x+3
x2 R. IR - ]-3/2 , 3 ]
k) ≥ x +1
x−3
x2 − 4 R. ] - 6, -2 ] ∪ [ 2 , +∞ [
l) ≥0
x+6
( x + 1)( x − 7) R. ] -3, -1 [ ∪ ] 1 , 6 [ ∪ ] 7 , + ∞ [
m) >0
( x − 1)( x − 6)( x + 3)
El Valor Absoluto
 x, si a ≥ 0

x=
− x si a < 0

Propiedades útiles:
1) x < a ↔ −a < x < a
1) x > a ↔ x > a ∨ x < − a

3. Ejercicios resueltos
1) 2 x + 3 < 9
− 9 < 2x + 3 < 9
− 12 < 2 x < 6
−6< x <3
R : ] − 6, 3[
2x
2) + 3 > 11
3
2x
− 11 > + 3 > 11
3
2x
− 11 − 3 > > 11 − 3
3
2x
− 14 > >8
3
− 42 > 2 x > 24
− 21 > x > 12
R : ] − 21, 12[
Ejercicios Propuestos
1. 5x - 7 ≤ 3
2. 3 - x < 4
3. 5x - 2x ≤ 7
4. 2x - 3 ≤ −5
5. 5x + 2 > 7
6. 2 3 - x − 10 ≥ 0
7. x + 3 ≥ 2
8. 2x - 1 > 3 R. IR - [ -1 , 2 ]
x R. [ 2 , 10 ]
9. 3 − ≤ 2
2
x 1 R. IR - ] -45/2 , 55/2 [
10. − ≥ 5
5 2
x R. ] 0 , 6 [
11. 1 − < 1
3
12. x - 3 > -1 R. ] - ∞ , +∞ [
2x − 1 R. [ - 2/3 , 4 ]
14. ≤1
x+3
15. 3 - 2x < x + 4 R. ] - 1/3 , 7 [