1. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
1
Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants
Exercice 1.
Soit ๐ข: โ3
โ โ2
dรฉfini pour tout ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) โ โ3
par
๐ข( ๐ฅ) = ( ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3, 2๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ ๐ฅ3)
1. Montrer que ๐ข est linรฉaire.
2. Dรฉterminer ker( ๐ข).
Allez ร : Correction exercice 1
Exercice 2.
Soit ๐: โ3
โ โ2
dรฉfinie par
๐( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = ( ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง, โ๐ฅ + 2๐ฆ + 2๐ง)
On appelle ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
et ๐ฝโฒ
= ( ๐1, ๐2) la base canonique de โ2
.
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire.
2. Donner une base et la dimension de ker( ๐) et une base et la dimension de ๐ผ๐( ๐).
Allez ร : Correction exercice 2
Exercice 3.
Soit ๐: โ3
โ โ2
dรฉfinie pour tout vecteur ๐ข = ( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) โ โ3
par :
๐( ๐ข) = (โ2๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง, ๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง)
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire.
2. Donner une base de ker(๐), en dรฉduire dim(๐ผ๐( ๐)).
3. Donner une base de ๐ผ๐(๐).
Allez ร : Correction exercice 3
Exercice 4.
Soit ๐: โ3
โ โ2
dรฉfinie pour tout vecteur ๐ข = ( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) โ โ3
par :
๐( ๐ข) = (โ2๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง, ๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง)
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire.
2. Donner une base de ker( ๐), en dรฉduire dim(๐ผ๐( ๐)).
3. Donner une base de ๐ผ๐(๐).
Allez ร : Correction exercice 4
Exercice 5.
On considรจre lโapplication โ: โ2
โ โ2
dรฉfinie par :
โ( ๐ฅ, ๐ฆ) = (๐ฅ โ ๐ฆ, โ3๐ฅ + 3๐ฆ)
1. Montrer que โ est une application linรฉaire.
2. Montrer que โ est ni injective ni surjective.
3. Donner une base de son noyau et une base de son image.
Allez ร : Correction exercice 5
Exercice 6.
Soit ๐ lโapplication linรฉaire ๐: โ3
โ โ3
dรฉfinie par :
๐( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) = (๐ฅ1 โ ๐ฅ3, 2๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ 3๐ฅ3, โ๐ฅ2 + 2๐ฅ3)
Et soit (๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
.
1. Calculer ๐(๐1), ๐(๐2) et ๐(๐3).
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2
2. Dรฉterminer les coordonnรฉes de ๐(๐1), ๐(๐2) et ๐(๐3) dans la base canonique.
3. Calculer une base de ker( ๐) et une base de ๐ผ๐(๐).
Allez ร : Correction exercice 6
Exercice 7.
Soit ๐: โ3
โ โ3
dรฉfinie pour tout vecteur ๐ข = ( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) โ โ3
par :
๐( ๐ข) = (โ2๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง, ๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง, ๐ฅ + ๐ฆ โ 2๐ง)
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire.
2. Donner une base de ker( ๐), en dรฉduire dim(๐ผ๐( ๐)).
3. Donner une base de ๐ผ๐(๐).
Allez ร : Correction exercice 7
Exercice 8.
Soit โฌ = ( ๐1, ๐2, ๐3)
Soit ๐: โ3
โ โ3
lโapplication linรฉaire dรฉfinie pour tout ๐ข = ( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) โ โ3
par :
๐( ๐ข) = (6๐ฅ โ 4๐ฆ โ 4๐ง, 5๐ฅ โ 3๐ฆ โ 4๐ง, ๐ฅ โ ๐ฆ)
1. Montrer quโil existe un vecteur ๐ โ โ3
, non nul, tel que ker( ๐) = ๐๐๐๐ก( ๐), dรฉterminer un vecteur qui
convient.
2. Soit ๐ = ๐1 + ๐2 et ๐ = ๐2 โ ๐3
a. Calculer ๐( ๐) et ๐( ๐)
b. En dรฉduire que { ๐, ๐} est une base de ๐ผ๐( ๐).
On pourra utiliser une autre mรฉthode.
3. Dรฉterminer une ou plusieurs รฉquations caractรฉrisant ๐ผ๐( ๐).
4. A-t-on ker( ๐) โจ๐ผ๐( ๐) = โ3
?
Allez ร : Correction exercice 8
Exercice 9.
Soit โฌ = ( ๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
et โฌโฒ
= ( ๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
.
Soit ๐ข: โ4
โ โ3
une application linรฉaire dรฉfinie par
๐ข( ๐1) = ๐1 โ ๐2 + 2๐3; ๐ข( ๐2) = 2๐1 + ๐2 โ 3๐3; ๐ข( ๐3) = 3๐1 โ ๐3 ๐๐ก ๐ข( ๐4) = โ๐1 โ 2๐2 + 5๐3
1. Dรฉterminer lโimage par ๐ข dans vecteurs ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, ๐ฅ4)
2. Dรฉterminer une base de ker( ๐ข) et sa dimension de ker( ๐ข).
3. Dรฉterminer une base de ๐ผ๐( ๐ข) et sa dimension.
Allez ร : Correction exercice 9
Exercice 10.
Soit ๐ข: โ4
โ โ4
lโapplication dรฉfinie pour tout ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, ๐ฅ4) โ โ4
par :
๐ข( ๐ฅ) = ( ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 + ๐ฅ3, 0, ๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ ๐ฅ3 + ๐ฅ4, ๐ฅ4)
Soit ๐ธ = {( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, ๐ฅ4) โ โ4
, ๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ ๐ฅ3 + ๐ฅ4 = 0}
1. Donner une base de ker( ๐ข) et sa dimension.
2. Donner une base (La plus simple possible) de ๐ผ๐( ๐ข) et sa dimension.
3. A-t-on ker(๐ข) โจ๐ผ๐( ๐ข) = โ4
?
4. Montrer que ๐ธ est un sous-espace vectoriel de โ4
, en donner une base et sa dimension.
5. A-t-on ker( ๐ข) โจ๐ธ = โ4
?
Allez ร : Correction exercice 10
Exercice 11.
On appelle ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
.
3. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
3
Soit ๐ข: โ4
โ โ4
qui, ร un vecteur ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, ๐ฅ4) โ โ4
associe le vecteur ๐ข( ๐ฅ) โ โ4
dรฉfinit par :
๐ข( ๐ฅ) = ( ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 + 2๐ฅ3 + 2๐ฅ4, ๐ฅ1 + 2๐ฅ2 โ ๐ฅ3 + 2๐ฅ4, โ๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ 2๐ฅ3 โ 2๐ฅ4, โ๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ ๐ฅ3 โ ๐ฅ4)
On admettra que ๐ข est une application linรฉaire.
1. Dรฉterminer une base du noyau de ๐ข.
2. Dรฉterminer une base de lโimage de ๐ข.
3. Dรฉterminer une ou plusieurs รฉquations caractรฉrisant ๐ผ๐( ๐ข).
Allez ร : Correction exercice 11
Exercice 12.
Soit ๐ un endomorphisme de โ3
dont l'image de la base canonique ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3) est :
๐( ๐1) = โ7๐1 โ 6๐2
๐( ๐2) = 8๐1 + 7๐2
๐( ๐3) = 6๐1 + 6๐2 โ ๐3
1. Pour tout vecteur ๐ฅ = ๐ฅ1 ๐1 + ๐ฅ2 ๐2 + ๐ฅ3 ๐3 dรฉterminer ๐ โ ๐(๐ฅ).
2. En dรฉduire que ๐ est inversible (c'est-ร -dire bijective) et dรฉterminer ๐โ1
.
Allez ร : Correction exercice 12
Exercice 13.
Soit ๐: โ4
โ โ4
dรฉfinie pour tout ( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก) โ โ4
par
๐( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก) = ( ๐ฅ โ 2๐ฆ, ๐ฅ โ 2๐ฆ, 0, ๐ฅ โ ๐ฆ โ ๐ง โ ๐ก)
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire.
2. Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐.
3. A-t-on ker( ๐) โ ๐ผ๐( ๐) = โ4
?
Allez ร : Correction exercice 13
Exercice 14.
Soit lโapplication ๐: โ4
โ โ3
dรฉfinie pour tout ๐ข = ( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก) โ โ4
par :
๐( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก) = (๐ฅ + ๐ฆ, ๐ง + ๐ก, ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง + ๐ก)
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire.
2. Dรฉterminer une base de ker( ๐).
3. Dรฉterminer une base de ๐ผ๐(๐).
Allez ร : Correction exercice 14
Exercice 15.
Soit ๐ข: โ3
โ โ3
lโapplication dรฉfinie par :
๐ข( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) = (โ2๐ฅ1 + 4๐ฅ2 + 4๐ฅ3, โ๐ฅ1 + ๐ฅ3, โ2๐ฅ1 + 4๐ฅ2 + 4๐ฅ3)
1. Montrer que ๐ข est linรฉaire.
2. Dรฉterminer une base de ker( ๐ข) et une base de ๐ผ๐(๐ข).
3. A-t-on ker( ๐ข) โ ๐ผ๐( ๐ข) = โ3
?
Allez ร : Correction exercice 15
Exercice 16.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
Soit ๐ข un endomorphisme de โ3
dรฉfini par :
๐ข( ๐1) = 2๐1 + ๐2 + 3๐3; ๐ข( ๐2) = ๐2 โ 3๐3; ๐ข( ๐3) = โ2๐2 + 2๐3
1. Soit ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) โ โ3
un vecteur.
Dรฉterminer lโimage par ๐ข du vecteur ๐ฅ. (Calculer ๐ข( ๐ฅ)).
2. Soient ๐ธ = { ๐ฅ โ โ3
, ๐ข( ๐ฅ) = 2๐ฅ} et ๐น = { ๐ฅ โ โ3
, ๐ข( ๐ฅ) = โ๐ฅ}
4. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
4
Montrer que ๐ธ et ๐น sont des sous-espaces vectoriels de โ3
.
3. Dรฉterminer une base de ๐ธ et une base de ๐น.
4. Y a-t-il ๐ธโจ๐น = โ3
?
Allez ร : Correction exercice 16
Exercice 17.
Soit (๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
Soit ๐: โ3
โ โ3
lโapplication linรฉaire telle que :
๐( ๐1) = โ
1
3
๐1 +
2
3
๐2 +
2
3
๐3 =
1
3
(โ๐1 + 2๐2 + 2๐3), ๐( ๐2) =
2
3
๐1 โ
1
3
๐2 +
2
3
๐3 =
1
3
(2๐1 โ ๐2 + 2๐3) et
๐( ๐3) =
2
3
๐1 +
2
3
๐2 โ
1
3
๐3 =
1
3
(2๐1 + 2๐2 โ ๐3)
Soient ๐ธโ1 = {๐ข โ โ3
โ๐( ๐ข) = โ๐ข} et ๐ธ1 = {๐ข โ โ3
โ๐( ๐ข) = ๐ข}
1. Montrer que ๐ธโ1 et ๐ธ1 sont des sous-espaces vectoriels de โ3
.
2. Montrer que ๐1 โ ๐2 et ๐1 โ ๐3 appartiennent ร ๐ธโ1 et que ๐1 + ๐2 + ๐3 appartient ร ๐ธ1.
3. Que peut-on en dรฉduire sur les dimensions de ๐ธโ1 et de ๐ธ1 ?
4. Dรฉterminer ๐ธโ1 โฉ ๐ธ1.
5. A-t-on ๐ธโ1 โ ๐ธ1 = โ3
?
6. Calculer ๐2
= ๐ โ ๐ et en dรฉduire que ๐ est bijective et dรฉterminer ๐โ1
.
Allez ร : Correction exercice 17
Exercice 18.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
Soient
๐ =
1
3
(2, โ2,1); ๐ =
1
3
(2,1, โ2); ๐ =
1
3
(1,2,2)
Soit ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐)
Soit ๐ข lโendomorphisme de โ3
dรฉfinie par :
๐ข( ๐1) = 3๐1 + ๐2 โ ๐3
๐ข( ๐2) = ๐1 + 7๐2
๐ข( ๐3) = โ๐1 โ ๐3
1. Montrer que ๐ฝโฒ
est une base de โ3
.
2. Soit ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) โ โ3
, calculer ๐ข( ๐ฅ).
3. Montrer que :
๐ข( ๐) = 3๐ โ 3๐
๐ข( ๐) = 3๐ + 3๐
๐ข( ๐) = โ3๐ + 3๐ + 3๐
Allez ร : Correction exercice 18
Exercice 19.
Soit ๐ lโapplication de โ3
dans โ3
qui a tout vecteur ๐ข = ( ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) associe le vecteur
๐( ๐ข) = (โ2๐ฅ โ 6๐ง, ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง, ๐ฅ + 3๐ง)
Soit ( ๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
. On note ๐2
= ๐ โ ๐.
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire.
2. Calculer (๐1), ๐( ๐2) et ๐( ๐3), puis ๐2( ๐1), ๐2
(๐2) et ๐2( ๐3), que peut-on en dรฉduire sur ๐2( ๐ข) pour
tout ๐ข โ โ3
?
3. Donner une base de ๐ผ๐( ๐) et une base de ker( ๐ โ ๐ผ๐), montrer que ces deux espaces vectoriels sont
รฉgaux.
4. Montrer que ker( ๐) โ ๐ผ๐( ๐) = โ3
Allez ร : Correction exercice 19
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5
Exercice 20.
Soit ๐ธ un espace vectoriel. Soit ๐ un endomorphisme de ๐ธ tel que ๐2
= ๐ โ ๐ = ๐ผ๐ ๐ธ.
On pose ๐ธ1 = ker(๐ โ ๐ผ๐ ๐ธ) et ๐ธ2 = ker(๐ + ๐ผ๐ ๐ธ)
1. Soit ๐ฅ1 โ ๐ธ1 et ๐ฅ2 โ ๐ธ2. Calculer ๐(๐ฅ1) et ๐(๐ฅ2).
2. Pour tout ๐ฅ โ ๐ธ รฉcrire ๐ฅ =
๐(๐ฅ)+๐ฅ
2
โ
๐(๐ฅ)โ๐ฅ
2
et montrer que ๐ธ1 โ ๐ธ2 = ๐ธ
3. On suppose que ๐ธ est de dimension finie et que ๐ โ ยฑ๐ผ๐ ๐ธ. Soit (๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ ๐) une base de ๐ธ telle que :
๐ธ1 = ๐๐๐๐ก(๐ฃ1, โฆ , ๐ฃ๐) et ๐ธ2 = ๐๐๐๐ก(๐ฃ ๐+1, โฆ , ๐ฃ ๐) calculer ๐(๐ฃ๐) dans la base (๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ ๐).
Allez ร : Correction exercice 20
Exercice 21.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2) la base canonique de โ2
. Soit ๐ข un endomorphisme de โ2
tel que ๐ข( ๐1) = ๐1 + ๐2 et tel
que dim(ker( ๐ข)) = 1
1. Dรฉterminer ๐ข( ๐2) en fonction dโun paramรจtre ๐ โ โ.
2. Dรฉterminer lโimage dโun vecteur ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2) โ โ en fonction de ๐.
3. Dรฉterminer une base du noyau de ker( ๐ข).
Allez ร : Correction exercice 21
Exercice 22.
Soit ๐: โ4
โ โ lโapplication dรฉfinie pour tout ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, ๐ฅ4) โ โ4
par
๐( ๐ฅ) = ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 + ๐ฅ4
On appelle ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
.
1. Calculer les images des vecteurs de la base canonique par ๐. En dรฉduire la dimension de im( ๐).
2. Dรฉterminer la dimension de ker( ๐) et en donner une base.
Allez ร : Correction exercice 22
Exercice 23.
Soit ๐ข lโapplication de โ ๐
dans โ dรฉfinie pour tout ๐ฅ = (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ ๐) par :
๐ข( ๐ฅ) = ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ ๐
1. Montrer que ๐ข est une application linรฉaire.
2. Dรฉterminer les dimensions de โ๐( ๐ข) et de ker( ๐ข).
Allez ร : Correction exercice 23
Exercice 24.
Soit ๐ข une application linรฉaire de ๐ธ dans ๐ธ, ๐ธ รฉtant un espace vectoriel de dimension ๐ avec ๐ pair.
Montrer que les deux assertions suivantes sont รฉquivalentes
(a) ๐ข2
= ๐ ๐ธ (oรน ๐ ๐ธ est lโapplication linรฉaire nulle) et ๐ = 2 dim(๐ผ๐( ๐ข))
(b) ๐ผ๐( ๐ข) = ker( ๐ข)
Allez ร : Correction exercice 24
Exercice 25.
Question de cours
Soit ๐ข une application linรฉaire de ๐ธ vers ๐ธ.
Montrer que : ๐ข est injective si et seulement si ker( ๐ข) = {0 ๐ธ}.
Allez ร : Correction exercice 25
Exercice 26.
Soit ๐ข: ๐ธ โ ๐ธ une application linรฉaire et ๐ un rรฉel.
6. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
6
1. Soit ๐ธ๐ = ker( ๐ข โ ๐๐๐ ๐ธ). Calculer ๐ข(๐ฅ) pour ๐ฅ โ ๐ธ๐
Montrer que est un sous-espace vectoriel de ๐ธ.
2. Soit ๐น โ ๐ธ un sous-espace vectoriel de ๐ธ, montrer que ๐ข( ๐น) est un sous-espace vectoriel de ๐ธ.
3. Si ๐ โ 0, montrer que ๐ข( ๐ธ๐) = ๐ธ๐
Allez ร : Correction exercice 26
Exercice 27.
Soient ๐ธ et ๐น deux espaces vectoriels de dimension respectives ๐ et ๐
Soit ๐ข: ๐ธ โ ๐น une application linรฉaire
1. Montrer que si ๐ < ๐ alors ๐ข nโest pas surjective.
2. Montrer que si ๐ > ๐ alors ๐ข nโest pas injective.
Allez ร : Correction exercice 27
Exercice 28.
Soit ๐: ๐ธ โ ๐น une application linรฉaire
Montrer que :
ker( ๐) โฉ im( ๐) = ๐(ker( ๐2))
Allez ร : Correction exercice 28
Exercice 29.
Soient ๐ et ๐ deux endomorphisme de โ ๐
. Montrer que
๐(ker( ๐ โ ๐)) = ker( ๐) โฉ ๐ผ๐( ๐)
Allez ร : Correction exercice 29
Exercice 30.
Soit ๐ข un endomorphisme de ๐ธ un espace vectoriel.
1. Montrer que ker( ๐ข) โ ker( ๐ข2).
2. Montrer que ๐ผ๐( ๐ข2) โ ๐ผ๐( ๐ข).
Allez ร : Correction exercice 30
Exercice 31.
Soit ๐ข un endomorphisme de ๐ธ, un espace vectoriel.
Montrer que les assertions suivantes sont รฉquivalentes
(i) ker( ๐ข) โฉ ๐๐( ๐ข) = {0 ๐ธ}
(ii) ker( ๐ข) = ker( ๐ข โ ๐ข)
Allez ร : Correction exercice 31
Exercice 32.
Soit ๐ข: โ ๐
โ โ ๐
, une application linรฉaire, ๐ = (๐1, โฆ , ๐ ๐) la base canonique de โ ๐
et ๐ = (๐1, โฆ , ๐๐) la
base canonique de โ ๐
.
1. ๐ = 3, ๐ = 2
๐ข( ๐1) = ๐1 + 2๐2, ๐ข( ๐2) = 2๐1 โ ๐2 et ๐ข( ๐3) = โ๐1 + ๐2
a) Dรฉterminer lโimage dโun vecteur ๐ฅ = (๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) par ๐ข.
b) Dรฉterminer la matrice de ๐ข de la base ๐ dans la base ๐.
c) Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐ข.
2. ๐ = 3 et ๐ = 3, dans cette question ๐ = ๐
๐ข( ๐1) = 3๐1 + 2๐2 + 2๐3, ๐ข( ๐2) = 2๐1 + 3๐2 + 2๐3 et ๐ข( ๐3) = 2๐1 + 2๐2 + 3๐3
a) Dรฉterminer lโimage dโun vecteur ๐ฅ = (๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) par ๐ข.
7. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
7
b) Dรฉterminer la matrice de ๐ข de la base ๐ dans la base ๐.
c) Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐ข.
Allez ร : Correction exercice 32
Exercice 33.
Soit ๐ข: โ ๐
โ โ ๐
, une application linรฉaire, ๐ = (๐1, โฆ , ๐ ๐) la base canonique de โ ๐
et ๐ = (๐1, โฆ , ๐๐) la
base canonique de โ ๐
.
1. ๐ = 2, ๐ = 3
๐ด = ๐๐๐ก ๐,๐( ๐ข) = (
1 0
โ1 2
1 1
)
a) Dรฉterminer lโimage dโun vecteur ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2) par ๐ข.
b) Dรฉterminer lโimage de la base ๐ (cโest-ร -dire ๐ข(๐1) et ๐ข(๐2)).
c) Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐ข.
2. ๐ = 4, ๐ = 4, dans cette question ๐ = ๐
๐ด = ๐๐๐ก ๐,๐( ๐ข) = (
1 0 2 โ1
โ1 2 0 โ1
1 โ1 1 0
2 3 7 โ5
)
a) Dรฉterminer lโimage dโun vecteur ๐ฅ = (๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, ๐ฅ4) par ๐ข.
b) Dรฉterminer lโimage de la base ๐ (cโest-ร -dire ๐ข(๐1), ๐ข(๐2), ๐ข(๐3) et ๐ข(๐4) ).
c) Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐ข.
Allez ร : Correction exercice 33
Exercice 34.
Soit ๐ข: โ ๐
โ โ ๐
, une application linรฉaire, ๐ = (๐1, โฆ , ๐ ๐) la base canonique de โ ๐
et ๐ = (๐1, โฆ , ๐๐) la
base canonique de โ ๐
.
1. ๐ = 3 et ๐ = 3 dans cette question ๐ = ๐. Soit ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) โ โ3
๐ข( ๐ฅ) = (๐ฅ1 + ๐ฅ2, 2๐ฅ1 โ ๐ฅ3, 3๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ ๐ฅ3)
(On admet que ๐ข est une application linรฉaire).
a) Dรฉterminer lโimage de la base ๐ (cโest-ร -dire ๐ข(๐1), ๐ข(๐2), et ๐ข(๐3) ).
b) Dรฉterminer la matrice de ๐ข de la base ๐ dans la base ๐.
c) Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐ข.
2. ๐ = 3 et ๐ = 3 dans cette question ๐ = ๐. Soit ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) โ โ3
๐ข( ๐ฅ) = (๐ฅ1 + ๐ฅ2, ๐ฅ1 + ๐ฅ2, ๐ฅ1 + ๐ฅ2)
(On admet que ๐ข est une application linรฉaire).
a) Dรฉterminer lโimage de la base ๐ (cโest-ร -dire ๐ข(๐1), ๐ข(๐2), et ๐ข(๐3) ).
b) Dรฉterminer la matrice de ๐ข de la base ๐ dans la base ๐.
c) Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐ข.
Allez ร : Correction exercice 34
Exercice 35.
Soit ๐: โ4
โ โ3
lโapplication linรฉaire dont la matrice dans les base canonique de โ4
et โ3
est
๐ด = (
1 2 1 3
1 1 2 1
1 โ2 5 โ11
)
1. Dรฉterminer une base du noyau de ๐.
2. Dรฉterminer une base de lโimage de ๐. Quel est le rang de ๐ด ?
8. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
8
Allez ร : Correction exercice 35
Exercice 36.
Dรฉterminer le rang de la matrice
๐ด = (
1 1 2 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 2 1
2 1 1 1 1
)
Allez ร : Correction exercice 36
Exercice 37.
Soit la matrice ๐ด de dรฉfinie par : ๐ด = (
13 โ8 โ12
12 โ7 โ12
6 โ4 โ5
)
1. Montrer que ๐ด est inversible et calculer son inverse ๐ดโ1
.
2. En dรฉduire ๐ด ๐
, pour tout ๐ entier.
Allez ร : Correction exercice 37
Exercice 38.
Soit ๐ด la matrice de dรฉfinie par : ๐ด = (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
)
1. Calculer ๐ด2
.
2. Trouver un polynรดme ๐ de degrรฉ 2 tel que ๐( ๐ด) = ๐.
3. En dรฉduire ๐ดโ1
.
4. Retrouver ๐ดโ1
par une autre mรฉthode.
Allez ร : Correction exercice 38
Exercice 39.
Soit ๐ด = (
1 0 0
0 0 1
0 โ1 0
)
1. Calculer ๐ด2
et ๐ด3
. Calculer ๐ด3
โ ๐ด2
+ ๐ด โ ๐ผ.
2. Exprimer ๐ดโ1
en fonction de ๐ด2
, ๐ด et ๐ผ.
3. Exprimer ๐ด4
en fonction de ๐ด2
, ๐ด et ๐ผ.
Allez ร : Correction exercice 39
Exercice 40.
Soit ๐ด la matrice
๐ด = (
3 0 1
โ1 3 โ2
โ1 1 0
)
Calculer ( ๐ด โ 2๐ผ)3
, puis en dรฉduire que ๐ด est inversible et dรฉterminer ๐ดโ1
en fonction de ๐ผ, ๐ด et de ๐ด2
.
Allez ร : Correction exercice 40
Exercice 41.
A tout nombre rรฉel ๐ก on associe la matrice : ๐( ๐ก) = (
ch(๐ก) sh(๐ก)
sh(๐ก) ch(๐ก)
)
1. Calculer le produit des matrices ๐(๐ก1) et (๐ก2), oรน ๐ก1 et ๐ก2 sont deux rรฉels quelconques.
2. Montrer que ๐(๐ก) est inversible, et dรฉterminer ๐โ1
(๐ก).
Allez ร : Correction exercice 41
9. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
9
Exercice 42.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
Soit ๐ข: โ3
โ โ3
lโendomorphisme de โ3
dont la matrice dans la base canonique est
๐ด = (
1 2 โ2
2 1 โ2
2 2 โ3
)
1. Montrer que ๐ธ1 = { ๐ฅ โ โ3
, ๐ข( ๐ฅ) = ๐ฅ} est un sous-espace vectoriel de โ3
dont on donnera une base ๐.
2. Soient ๐ = (0,1,1) et ๐ = (1,1,2) deux vecteurs de โ3
. Calculer ๐ข( ๐) et ๐ข( ๐).
3. Montrer que ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐) est une base de โ3
.
4. Dรฉterminer la matrice de passage ๐ de ๐ฝ ร ๐ฝโฒ
.
5. Calculer ๐โ1
.
6. Dรฉterminer la matrice ๐ท de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
.
7. Donner la relation entre ๐ด, ๐ et ๐ท.
Allez ร : Correction exercice 42
Exercice 43.
Soit ๐ une application de โ2
dans โ2
dรฉfinie par : ๐( ๐ฅ1, ๐ฅ2) = (๐ฅ1 โ ๐ฅ2, ๐ฅ1 + ๐ฅ2) et ๐ฝ = (๐1, ๐2) la
base canonique de โ2
.
1. Montrer que ๐ est un endomorphisme de โ2
.
2. Dรฉterminer la matrice ๐ด de ๐ dans la base ๐ฝ.
3.
a) Dรฉterminer le noyau et l'image de ๐.
b) En dรฉduire que ๐ est inversible.
c) Dรฉterminer ๐โ1
dans la base ๐ฝ, en dรฉduire ๐ดโ1
.
4. Montrer que ๐ด = ๐ ๐ป.
Oรน ๐ป est la matrice d'une homothรฉtie dont on donnera le rapport et ๐ est la matrice d'une rotation dont
on donnera l'angle.
Soient ๐ = ๐1 + ๐2 et ๐ = ๐1 โ ๐2 deux vecteurs de โ2
. On pose ๐ฝโฒ
= (๐, ๐).
5. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐) est une base de โ2
.
6. Calculer ๐(๐) et ๐(๐).
7. Dรฉterminer la matrice de ๐ dans la base ๐ฝโฒ.
Allez ร : Correction exercice 43
Exercice 44.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
.
Soit ๐ข lโendomorphisme de โ3
dont la matrice dans la base canonique est :
๐ด = (
1 4 4
โ1 โ3 โ3
0 2 3
)
Soient ๐ = ๐1 โ ๐2 + ๐3, ๐ = 2๐1 โ ๐2 + ๐3 et ๐ = 2๐1 โ 2๐2 + ๐3 trois vecteurs de โ3
1. Montrer que ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐) est une base de โ3
.
2. Dรฉterminer la matrice de passage ๐ de ๐ฝ ร ๐ฝโฒ
. Calculer ๐โ1
.
3. Dรฉterminer la matrice ๐ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
.
4.
a) Calculer ๐โ1
๐ด๐ en fonction de ๐
b) Calculer ๐ 4
c) En dรฉduire les valeurs de ๐ด4๐
.
Allez ร : Correction exercice 44
10. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
10
Exercice 45.
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
.
Soit ๐ข une application linรฉaire de โ3
dans โ3
dรฉfinie par :
๐ข( ๐1) = โ3๐1 + 2๐2 โ 4๐3
๐ข( ๐2) = ๐1 โ ๐2 + 2๐3
๐ข( ๐3) = 4๐1 โ 2๐2 + 5๐3
1. Dรฉterminer la matrice de ๐ข dans la base canonique.
2. Montrer que ๐ธ = {๐ฅ โ โ3
, ๐ข( ๐ฅ) = ๐ฅ} est un sous-espace vectoriel de โ3
. Montrer que la dimension de
๐ธ est 1 et donner un vecteur non nul ๐ de ๐ธ.
3. Montrer que ๐น = {(๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) โ โ3
, โ2๐ฅ1 + 2๐ฅ2 + 3๐ฅ3 = 0} est un sous-espace vectoriel de โ3
.
Donner une base (๐, ๐) de ๐น.
4. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐ข( ๐)) est une base de โ3
.
5. Montrer que ๐ธ โ ๐น = โ3
.
6. Dรฉterminer la matrice ๐ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ.
Allez ร : Correction exercice 45
Exercice 46.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
.
Soit ๐ข lโapplication linรฉaire qui a un vecteur ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) โ โ3
associe le vecteur
๐ข( ๐ฅ) = ( ๐ฅ2 โ 2๐ฅ3, 2๐ฅ1 โ ๐ฅ2 + 4๐ฅ3, ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 + 3๐ฅ3)
1. Dรฉterminer la matrice ๐ด de ๐ข dans la base canonique.
2. Dรฉterminer une base ( ๐, ๐) de ker( ๐ข โ ๐ผ๐).
3. Donner un vecteur ๐ tel que ker( ๐ข) = ๐ฃ๐๐๐ก( ๐).
4. Montrer que ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐) est une base de โ3
.
5. Dรฉterminer la matrice ๐ท de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
.
6. Montrer que ๐ผ๐( ๐ข) = ker( ๐ข โ ๐ผ๐)
7. Montrer que ker( ๐ข) โ ๐ผ๐( ๐ข) = โ3
.
Allez ร : Correction exercice 46
Exercice 47.
Soit ๐ข lโendomorphisme de โ3
dรฉfini pour tout ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) par
๐ข( ๐ฅ) = (โ10๐ฅ1 + 3๐ฅ2 + 15๐ฅ3, โ2๐ฅ1 + 3๐ฅ3, โ6๐ฅ1 + 2๐ฅ2 + 9๐ฅ3)
1. Dรฉterminer la matrice ๐ด de ๐ข dans la base canonique de โ3
.
2. Dรฉterminer la dimension du noyau et de lโimage de ๐ข. On donnera un vecteur directeur ๐ de ker( ๐ข).
3. A-t-on ker( ๐ข) โ ๐ผ๐( ๐ข) = โ3
?
4. Dรฉterminer un vecteur ๐ tel que ๐ = ๐ข( ๐).
5. Montrer que ๐ธโ1 = { ๐ฅ โ โ3
, ๐ข( ๐ฅ) = โ๐ฅ} est un sous-espace vectoriel de โ3
, dรฉterminer un vecteur
directeur de ๐ธโ1 que lโon notera ๐.
6. Montrer que ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐) est une base de โ3
.
7. Dรฉterminer la matrice ๐ดโฒ
de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
et donner la relation reliant ๐ด et ๐ดโฒ
.
Allez ร : Correction exercice 47
Exercice 48.
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
.
Soit ๐ l'endomorphisme de โ4
dont la matrice par rapport ร la base ๐ฝ est : ๐ด = (
โ6 โ3 0 6
6 3 0 โ6
0 0 โ3 3
0 0 0 0
)
11. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
11
Soit ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐, ๐) une famille de โ4
dรฉfinie par :
๐ = ๐1 โ ๐2, ๐ = ๐1 โ ๐2 โ ๐3, ๐ = 2๐1 โ 2๐2 + ๐3 + ๐4 et ๐ = โ๐1 + 2๐2
1. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
.
2. Calculer ๐(๐), ๐(๐), ๐(๐) et ๐(๐) et les exprimer dans la base ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐, ๐).
3. Dรฉterminer la matrice de ๐ dans la base ๐ฝโฒ.
Allez ร : Correction exercice 48
Exercice 49.
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
.
Soit ๐ข un endomorphisme de โ4
dont la matrice dans la base canonique est
๐ด = (
โ3 โ2 3 0
3 1 โ3 โ1
1 0 โ1 โ1
โ1 โ1 2 โ1
)
On pose :
๐ = (โ1,1,0, โ1), ๐ = (1, โ2, โ1,1), ๐ = (โ2,3,1, โ1) et ๐ = (2, โ1,0,1)
1. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
.
2. Donner la matrice de passage ๐ de ๐ฝ ร ๐ฝโฒ. Calculer ๐โ1
.
3. Calculer ๐ข(๐), ๐ข(๐), ๐ข(๐) et ๐ข(๐) dans la base ๐ฝโฒ.
4. Dรฉterminer la matrice ๐ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ.
5. Calculer ๐ = ๐ + ๐ผ, puis ๐4
et en dรฉduire ( ๐ด + ๐ผ)4
.
Allez ร : Correction exercice 49
Exercice 50.
Soit ๐ข un endomorphisme de โ4
dont la matrice dans la base canonique, ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3, ๐4), est
๐ด = (
โ7 6 6 6
0 2 0 0
โ3 3 2 3
โ6 3 6 5
)
Soient ๐, ๐, ๐ et ๐ quatre vecteurs
๐ = โ2๐1 โ ๐2 โ ๐3 โ ๐4; ๐ = ๐2 โ ๐4; ๐ = 2๐1 + ๐3 + ๐4; ๐ = 3๐1 + ๐3 + 2๐4
1. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
.
2. Calculer ๐ข( ๐), ๐ข( ๐), ๐ข(๐) et ๐ข(๐) dans la base ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐, ๐)
3. En dรฉduire la matrice ๐ท de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
.
4. Dรฉterminer la matrice ๐ de passage de ๐ฝ ร ๐ฝโฒ
.
5. Calculer ๐โ1
.
6. Calculer ๐โ1
๐ด๐.
Allez ร : Correction exercice 50
Exercice 51.
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
.
Soit ๐ข un endomorphisme de โ4
dont la matrice dans la base canonique est :
๐ด = (
1 0 โ1 1
1 0 โ1 1
0 1 โ1 1
0 1 โ1 0
)
On pose ๐ = ๐1 + ๐2 + ๐3, ๐ = ๐1, ๐ = ๐ข(๐) et ๐ = ๐ข2
(๐).
1. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
.
2. Donner la matrice de passage ๐ de ๐ฝ ร ๐ฝโฒ . Calculer ๐โ1
.
12. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
12
3. Calculer ๐ข(๐), ๐ข(๐), ๐ข(๐) et ๐ข(๐) dans la base ๐ฝโฒ.
4. Dรฉterminer la matrice ๐ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ.
5. Calculer ๐4
et en dรฉduire ๐ด4
.
6. Donner une base de ker( ๐ข)
7. Donner une base de ๐ผ๐(๐ข).
Allez ร : Correction exercice 51
Exercice 52.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
Soit ๐ข lโendomorphisme de โ4
dont la matrice dans la base canonique est :
๐ด = (
โ1 โ1 0 0
0 0 0 0
โ2 0 โ1 1
โ1 0 0 0
)
1. Dรฉterminer un vecteur ๐ non nul tel que ker( ๐ข) = ๐ฃ๐๐๐ก( ๐)
2. Dรฉterminer un vecteur ๐ tel que ๐ = ๐ข( ๐)
3. Dรฉterminer un vecteur ๐ tel que ๐ข( ๐) = โ๐
4. Soit ๐ = (0, โ1,0,1), montrer que ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
5. Calculer ๐ข( ๐) dans la base ๐ฝโฒ
.
6. Dรฉterminer la matrice ๐ de ๐ข dans ๐ฝโฒ
.
7. Quel est le rang de ๐ด.
8. Soit ๐ = 2๐1 โ ๐2 โ ๐3 + ๐4 = (2, โ1, โ1,1)
Calculer ๐ข( ๐), ๐ข2( ๐), ๐ข3( ๐) et on admettra que ๐ฝโฒโฒ
= (๐, ๐ข( ๐), ๐ข2( ๐), ๐ข3( ๐)) est une base de โ4
9. Calculer ๐ข4( ๐) et montrer que ๐ข4( ๐) = โ2๐ข3( ๐) โ ๐ข2( ๐)
En dรฉduire la matrice ๐ถ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒโฒ
.
10. Montrer que ๐ถ et ๐ sont deux matrices semblables (cโest-ร -dire quโil existe une matrice ๐ , inversible,
telle que ๐ = ๐ โ1
๐ถ๐ )
Allez ร : Correction exercice 52
Exercice 53.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
Soit ๐ข lโapplication linรฉaire dont la matrice dans la base canonique est :
๐ด = (
3 โ1 1 โ3
1 1 โ1 โ1
0 1 โ1 0
1 0 0 โ1
)
1. Donner une base ( ๐, ๐) de ker( ๐ข).
2. Donner un vecteur ๐ qui engendre ๐ธ1 = { ๐ฅ โ โ4
, ๐ข( ๐ฅ) = ๐ฅ}
3. Dรฉterminer un vecteur ๐ โ ker(( ๐ข โ ๐๐)2) et ๐ โ ker( ๐ข โ ๐๐), on pourra calculer ( ๐ด โ ๐ผ)2
, en dรฉduire
que ๐ vรฉrifie ๐ข( ๐) = ๐๐ + ๐, oรน ๐ est un rรฉel qui dรฉpendra du vecteur ๐ que vous avez choisit.
4. Montrer que ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
.
5. Dรฉterminer la matrice ๐ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
. (en fonction de ๐)
Allez ร : Correction exercice 53
Exercice 54.
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
Soit ๐ข un endomorphisme de โ4
dont la matrice dans la base ๐ฝ est :
13. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
13
๐ด = (
2 โ1 0 1
1 0 0 1
0 0 1 0
โ3 1 0 โ2
)
1. Dรฉterminer un vecteur ๐ qui engendre le noyau de ๐ข.
2. Soit ๐ โ โ. Montrer que ๐ธ๐ = { ๐ฅ โ โ4
, ๐ข( ๐ฅ) = ๐๐ฅ} est un sous-espace vectoriel de โ4
.
3. Trouver un vecteur directeur ๐ de ๐ธโ1. Dรฉterminer une base ( ๐, ๐) de ๐ธ1.
4. Montrer que ๐ฝโฒ
= ( ๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
.
5. Dรฉterminer la matrice de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
.
Allez ร : Correction exercice 54
Exercice 55.
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
.
Soit ๐ข un endomorphisme de โ4
dont la matrices dans la base canonique est :
๐ด = ๐๐๐ก ๐ฝ( ๐ข) = (
โ1 2 โ2 โ2
โ2 3 โ2 โ2
โ2 2 โ1 โ2
0 0 0 1
)
On pose ๐1 = ๐1 + 2๐2 + 3๐3 โ 2๐4, ๐2 = ๐2 + ๐3, ๐3 = ๐1 + 3๐2 + 5๐3 โ 3๐4 et ๐ = โ๐1 โ ๐2 โ ๐3
On pose ๐น = ๐๐๐๐ก(๐1, ๐2, ๐3).
1. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐1, ๐2, ๐3, ๐) est une base de โ4
et donner la matrice ๐ de passage de ๐ฝ ร ๐ฝโฒ.
2. Dรฉterminer la matrice ๐ท de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ.
3. Montrer que pour tout ๐ฅ โ ๐น, ๐ข( ๐ฅ) โ ๐น en dรฉduire que ๐ฃ: ๐น โ ๐น dรฉfinie par ๐ฃ( ๐ฅ) = ๐ข(๐ฅ) est un
endomorphisme de ๐น, dรฉterminer la matrice de ๐ฃ dans la base ๐ฝ ๐ = (๐1, ๐2, ๐3).
4. Montrer que โ4
= ๐น โ ๐๐๐๐ก(๐).
5. Montrer que pour tout ๐ฅ โ โ4
il existe un unique couple de vecteurs ( ๐, ๐) โ ๐น ร ๐๐๐๐ก(๐) tels que :
๐ฅ = ๐ + ๐, calculer ๐ข(๐ฅ).
Allez ร : Correction exercice 55
Exercice 56.
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
.
Soit ๐ข un endomorphisme de โ3
dont la matrice dans la base canonique est :
๐ด = (
โ10 โ3 โ12
5 0 7
6 2 7
)
1. Dรฉterminer ๐ โ โ tel que ๐ด โ ๐๐ผ ne soit pas inversible. Dรฉterminer alors ker( ๐ด โ ๐๐ผ).
2. Soit ๐ = (โ3,1,2), calculer ๐ข(๐).
3. Dรฉterminer ๐ โ โ3
tel que ๐ข( ๐) = ๐ โ ๐, puis ๐ โ โ3
tel que ๐ข( ๐) = ๐ โ ๐.
4. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐) est une base de โ3
.
5. Dรฉterminer ๐ = ๐๐๐ก ๐ฝโฒ(๐ข).
6. Montrer que ( ๐ + ๐ผ)3
= ๐ (la matrice nulle). En dรฉduire ( ๐ด + ๐ผ)3
.
7. Dรฉterminer ๐ดโ1
en fonction de ๐ด2
, ๐ด et ๐ผ.
Allez ร : Correction exercice 56
Exercice 57.
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
. On considรจre lโapplication linรฉaire ๐ dรฉfinie par
๐( ๐1) = 2๐2 + 3๐3; ๐( ๐2) = 2๐1 โ 5๐2 โ 8๐3; ๐( ๐3) = โ๐1 + 4๐2 + 6๐3
On note ๐2
= ๐ โ ๐.
1. Dรฉterminer la matrice de ๐ dans ๐ฝ.
2. Montrer que ๐ธ1 = ker(๐ โ ๐๐โ3) et que ๐โ1 = ker( ๐2
+ ๐๐โ3) sont des sous-espaces vectoriels de โ3
.
14. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
14
3. Dรฉterminer ๐, ๐ deux vecteurs tels que ๐ธ1 = ๐๐๐๐ก( ๐) et ๐โ1 = ๐๐๐๐ก(๐, ๐( ๐)). A-t-on ๐ธ1 โ ๐โ1 =
โ3
?
4. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐( ๐)) est une base de โ3
.
5. On appelle ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐( ๐)), quelle est la matrice de ๐ dans ๐ฝโฒ
.
6. Quelle est la matrice de ๐2
dans ๐ฝโฒ
Allez ร : Correction exercice 57
Exercice 58.
Soit ๐ข lโendomorphisme de โ4
dont la matrice dans la base canonique est
๐ด = (
2 โ2 1 โ2
0 1 0 0
โ3 0 โ2 2
1 โ1 1 โ1
)
Soit ๐ฝ = ( ๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
.
Partie I
Soit ๐2 = (0,1,0,0) โ โ4
1. Calculer ๐ข( ๐2), ๐ข2( ๐2) et ๐ข3( ๐2) et montrer que ๐ฝโฒ
= (๐2, ๐ข( ๐2), ๐ข2( ๐2), ๐ข3( ๐2)) est une base de โ4
.
2. Calculer ๐ข4( ๐2) dans la base en fonction de ๐ข2( ๐2) et ๐2. Dรฉterminer la matrice ๐ถ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
Partie II
3. Dรฉterminer un vecteur ๐ โ โ4
tel que ๐ข( ๐) = ๐ dont la premiรจre composante est 1.
4. Soit ๐ = (1, โ1,0,1) et ๐ = ๐1 โ ๐3 + ๐4, montrer que ๐ข( ๐) = ๐ + ๐ et que ๐ข( ๐) = โ๐.
5. Dรฉterminer un vecteur ๐ โ โ4
tel que ๐ข( ๐) = ๐ โ ๐.
6. Montrer que ๐ฝโฒโฒ
= ( ๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
.
7. Dรฉterminer la matrice ๐ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒโฒ
.
Partie III
8. Montrer que les matrices ๐ et ๐ถ sont semblables.
Allez ร : Correction exercice 58
Exercice 59.
Soit โ2[ ๐] = {๐0 + ๐1 ๐ + ๐2 ๐2
, ๐๐ โ โ} lโespace des polynรดmes rรฉels de degrรฉ au plus 2 et soit
โฌ = (1, ๐, ๐2
) la base canonique de โ2[ ๐] ? On considรจre lโapplication
๐: โ2[ ๐] โ โ2[ ๐]
๐ โผ ( ๐ + 1) ๐โฒ
1. Montrer que ๐ est linรฉaire.
2. Montrer que la matrice ๐ด de ๐ par rapport aux bases โฌ et โฌ est :
(
0 1 0
0 1 2
0 0 2
)
3. Montrer que โฌโฒ
= (1, ๐ + 1, ( ๐ + 1)2) est une base de โ2[๐].
4. Trouver la matrice ๐ต de ๐ par rapport aux bases โฌโฒ
et โฌโฒ
.
5. Calculer ๐ด2
, ๐ด3
et ๐ต ๐
pour tout ๐ โ โ.
6. Dรฉterminer le rang de ๐.
7. Trouver une base de lโimage de ๐.
8. Trouver une base de noyau de ๐.
Allez ร : Correction exercice 59
Exercice 60.
Soit ๐ข โถ โ2[ ๐] โ โ[ ๐] dรฉfini par ๐ข( ๐) = ๐ + (1 โ ๐) ๐โฒ
Soit ๐ฝ = (1, ๐, ๐2) la base canonique de โ2[ ๐]
15. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
15
1. Montrer que ๐ข est un endomorphisme de โ2[ ๐].
2. Dรฉterminer la matrice de ๐ข dans ๐ฝ.
3. Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐ข.
Allez ร : Correction exercice 60
Exercice 61.
Soit ๐ข: โ2[ ๐] โ โ[ ๐], lโapplication dรฉfinie pour tout polynรดme de โ2[ ๐] par :
๐ข( ๐) = 2๐ โ ( ๐ โ 1) ๐โฒ
Soit ๐ฝ = (1, ๐, ๐2) la base canonique de โ2[ ๐].
1. Montrer que ๐ข est un endomorphisme de โ2[ ๐].
2. Dรฉterminer la matrice ๐ด de ๐ข dans ๐ฝ.
3. Dรฉterminer le noyau de ๐ข. On notera ๐2 un vecteur directeur du noyau.
4. Donner une base de lโimage de ๐ข.
5. Dรฉterminer un polynรดme ๐1 tel que ๐ข( ๐1) = ๐1
6. Montrer que ๐ฝโฒ
= (1, ๐1, ๐2) est une base de โ2[ ๐].
7. Dรฉterminer la matrice ๐ท de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
.
Allez ร : Correction exercice 61
Exercice 62.
Soit ๐: โ2[ ๐] โ โ[ ๐] dรฉfinie par ๐( ๐) = ๐ โ ( ๐ โ 2) ๐โฒ
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire
2. Montrer que ๐ est un endomorphisme de โ2[ ๐].
3. Dรฉterminer le noyau et lโimage de ๐.
4. Dรฉterminer la matrice de ๐ dans la base (1, ๐, ๐2).
5. Montrer que ๐ฝโฒ
= (1, ๐ โ 2, ( ๐ โ 2)2) est une base de โ2[ ๐].
6. Dรฉterminer la matrice de passage ๐ de ๐ฝ ร ๐ฝโฒ
. Calculer ๐โ1
.
7. Quelle est la matrice de ๐ dans la base ๐ฝโฒ
.
Allez ร : Correction exercice 62
Exercice 63.
Soit ๐ฝ = (1, ๐, ๐2) la base canonique de โ2[ ๐]
Soit ๐ข lโapplication qui a un polynรดme de โ2[ ๐] associe le polynรดme de โ[ ๐] dรฉfinie par :
๐ข( ๐) = 2๐๐ โ ๐2
๐โฒ
1. Montrer que ๐ข est un endomorphisme de โ2[ ๐].
2. Dรฉterminer la matrice ๐ด de ๐ข dans la base canonique.
3. Dรฉterminer la dimension de ker( ๐ข).
4. Dรฉterminer une base et la dimension de ๐ผ๐( ๐ข)
Allez ร : Correction exercice 63
Exercice 64.
Soit ๐ข : โ2[ ๐] โ โ[ ๐] une application dรฉfinie pour tout ๐ โ โ2[ ๐] par
๐ข( ๐) = ๐ + (1 โ ๐) ๐โฒ
+ 2๐โฒโฒ
On appelle ๐1 = 1 โ ๐, ๐2 = 1 et ๐3 = 1 + 2๐ โ ๐2
On appelle ๐ฝ = (1, ๐, ๐2) la base canonique de โ2[ ๐] et ๐ฝโฒ
= ( ๐1, ๐2, ๐3)
1. Montrer que ๐ข est une application linรฉaire.
2. Montrer que ๐ข est un endomorphisme de โ2[ ๐].
3. Dรฉterminer la matrice ๐ด de ๐ข dans la base canonique.
4. Montrer que ๐ฝโฒ
est une base de โ2[ ๐].
16. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
16
5. Dรฉterminer la matrice ๐ท de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ
.
Allez ร : Correction exercice 64
Exercice 65.
Soit ๐ข: โ2[ ๐] โ โ[ ๐] dรฉfinie par
๐ข( ๐) =
1
2
(1 โ ๐2) ๐โฒโฒ
+ ๐๐โฒ
โ ๐
1. Montrer que ๐ข est un endomorphisme de โ2[ ๐]
2. Dรฉterminer une base ( ๐1, ๐2) de ker( ๐ข).
3. Dรฉterminer ๐3 tel que ๐ผ๐( ๐ข) = ๐๐๐๐ก( ๐3).
4. Montrer que ( ๐1, ๐2, ๐3) est une base de โ2[ ๐].
5. Dรฉterminer la matrice de ๐ข dans la base ( ๐1, ๐2, ๐3).
Allez ร : Correction exercice 65
Exercice 66.
Soit โ2[ ๐] = {๐0 + ๐1 ๐ + ๐2 ๐2
, ๐๐ โ โ} lโespace des polynรดmes rรฉels de degrรฉ au plus 2 et soit
โฌ = (1, ๐, ๐2
) la base canonique de โ2[ ๐] ? On considรจre lโapplication
๐: โ2[ ๐] โ โ2[ ๐]
๐ โผ ๐(๐)
Oรน ๐( ๐)( ๐) = ๐( ๐ + 1) โ ๐( ๐) = ๐0 + ๐1(๐ + 1) + ๐2(๐ + 1)2
โ (๐0 + ๐1 ๐ + ๐2 ๐2
)
1. Montrer que ๐ est linรฉaire.
2. Montrer que la matrice ๐ด de ๐ par rapport aux bases โฌ et โฌ est :
๐ด = (
0 1 1
0 0 2
0 0 0
)
3. Montrer que โฌโฒ
= (1, ๐ โ 1, ( ๐ โ 1)( ๐ โ 2)) est une base de โ2[๐].
4. Trouver la matrice ๐ต de ๐ par rapport aux bases โฌโฒ
et โฌโฒ
.
Allez ร : Correction exercice 66
Exercice 67.
Partie I
Soit ๐ une application de โ3[๐] dans โ2
dรฉfinie par :
๐(๐) = (๐(โ1), ๐(1))
1. Montrer que ๐ est une application linรฉaire.
2. Dรฉterminer une base du noyau et dรฉterminer lโimage de ๐.
Partie II
Soit โ une application linรฉaire de โ1[๐] dans โ2
dรฉfinie par :
โ(๐) = (๐(โ1), ๐(1))
3. Montrer que โ est bijective.
Allez ร : Correction exercice 67
Exercice 68.
Soit ๐(โ) lโespace vectoriel des fonctions continues de โ vers โ.
Soient ๐ et ๐ les fonctions dรฉfinies par :
๐( ๐ฅ) =
๐ ๐ฅ
+ ๐โ๐ฅ
2
et ๐( ๐ฅ) =
๐ ๐ฅ
โ ๐โ๐ฅ
2
On pose ๐ป = ๐๐๐๐ก( ๐, ๐) et ๐น = { ๐ โ ๐ป, ๐(ln(2)) = 0}
1. Dรฉterminer la dimension de ๐ป
2. Montrer que ๐น est un sous-espace vectoriel de ๐ป.
3. Quelle est la dimension de ๐น ?
17. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
17
4. Soit ๐: ๐ป โ โ2
dรฉfinie pour ๐ โ ๐ป par
๐( ๐) = (๐(โ ln(2) , ๐(ln(2))
a) Montrer que ๐ est une application linรฉaire
b) Montrer que ๐ est un isomorphisme.
Allez ร : Correction exercice 68
Exercice 69.
Soit โณ๐(โ) lโespace vectoriel des matrices ร coefficient dans โ ร ๐ lignes et ๐ colonnes.
Soit ๐ ๐(โ) lโensemble des matrices antisymรฉtriques de โณ๐(โ). Cโest-ร -dire les matrices qui vรฉrifient
๐ด = โ๐ด๐ก
.
Soit ๐ฎ ๐(โ) lโensemble des matrices symรฉtriques de โณ๐(โ). Cโest-ร -dire les matrices qui vรฉrifient
๐ด = ๐ด๐ก
.
1. Montrer que ๐ ๐(โ) et ๐ฎ ๐(โ) sont des sous-espaces vectoriels de โณ๐(โ).
2. Pour toutes matrices ๐ด โ โณ๐(โ), montrer que
๐ด+ ๐ด๐ก
2
โ ๐ฎ ๐(โ) et que
๐ดโ ๐ด๐ก
2
โ ๐ ๐(โ).
3. En dรฉduire que ๐ ๐(โ) + ๐ฎ ๐(โ) = โณ๐(โ).
4. A-t-on ๐ ๐(โ) โ ๐ฎ ๐(โ) = โณ๐(โ) ?
5. Soit ๐ด = (
1 3
2 4
), dรฉcomposer ๐ด en une somme dโune matrice symรฉtrique et dโune matrice
antisymรฉtrique.
Allez ร : Correction exercice 69
Exercice 70.
Soit โณ2(โ) lโespace vectoriel des matrices ร deux lignes et deux colonnes.
Soit ๐ lโendomorphisme de โณ2(โ) dรฉfinie pour toute matrice ๐ด de โณ2(โ) par
๐( ๐ด) = ๐ด โ ๐ด๐ก
1. Rappeler la dimension de โณ2(โ).
2. Dรฉterminer le noyau de ๐, quel est sa dimension ?
3. Dรฉterminer lโimage de ๐. En dรฉduire que pour toute matrice ๐ด โ โณ2(โ) il existe ๐ โ โ et une matrice
๐ฝ, ร dรฉterminer tel que ๐( ๐ด) = ๐๐ฝ.
Allez ร : Correction exercice 70
Exercice 71.
1. Calculer |
1 1 1
๐ ๐ ๐
๐ + ๐ ๐ + ๐ ๐ + ๐
|
2.
a) Calculer |
1 1 1
๐ ๐ ๐
๐2
๐2
๐2
|
b) Montrer que |
1 1 1 1
๐ ๐ ๐ ๐
๐2
๐2
๐2
๐2
๐3
๐3
๐3
๐3
| = ( ๐ โ ๐)( ๐ โ ๐)( ๐ โ ๐) |
1 1 1
๐ ๐ ๐
๐2
๐2
๐2
|, puis calculer
|
1 1 1 1
๐ ๐ ๐ ๐
๐2
๐2
๐2
๐2
๐3
๐3
๐3
๐3
|
Allez ร : Correction exercice 71
Exercice 72.
18. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
18
Soit ๐ด = (
๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐
)
1. Calculer ฮ = det(๐ด)
2. Dรฉterminer les valeurs de ๐, ๐, ๐ et ๐ qui annule ฮ.
Allez ร : Correction exercice 72
Exercice 73.
๐ด = (
1 โ1 โ2
โ1 1 2
1 0 โ1
)
Premiรจre partie
Soit ๐ข: โ3
โ โ3
une application linรฉaire.
๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
La matrice de ๐ข dans la canonique de โ3
est ๐ด.
1. Montrer quโil existe ๐ โ โ3
, un vecteur non nul, tel que ker( ๐ข) = ๐๐๐๐ก(๐).
2. Dรฉterminer un vecteur ๐ โ โ3
tel que ๐ = ๐ข(๐).
3. Montrer que ๐ธ1 = {๐ฅ โ โ3
, ๐ข( ๐ฅ) = ๐ฅ} est un sous-espace vectoriel de โ3
, donner un vecteur non nul
๐ โ ๐ธ.
4. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐) est une base de โ3
.
5. Dรฉterminer la matrice ๐ de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ.
6. Donner la relation entre ๐ด, ๐ et la matrice de passage, notรฉe ๐, de ๐ฝ ร ๐ฝโฒ.
Deuxiรจme partie
Soit โฌ = (1, ๐, ๐2
) la base canonique de โ2[ ๐].
Soit ๐: โ2[ ๐] โ โ[๐] lโapplication linรฉaire dรฉfinie par :
๐( ๐) = (2 + ๐ + ๐2) ๐ โ (1 + 2๐ + ๐2
+ ๐3) ๐โฒ
+
1
2
(โ1 + ๐ + ๐2
+ ๐3
+ ๐4) ๐โฒโฒ
1. Calculer ๐(1), ๐(๐) et ๐(๐2
) et en dรฉduire que ๐ est un endomorphisme de โ2[ ๐].
2. Donner la matrice ๐ต de ๐ dans la base canonique de โ2[ ๐].
3. On pose ๐0 = 1 + ๐ + ๐2
, ๐1 = 1 + ๐ et ๐2 = 2 + ๐ + ๐2
Montrer que โฌโฒ
= (๐0, ๐1, ๐2) est une base de โ2[ ๐].
4. Dรฉterminer la matrice ๐โฒ de ๐ dans la base โฌโฒ.
5. Donner la relation entre ๐ต, ๐โฒ et la matrice, notรฉe ๐โฒ, de passage de โฌ ร โฌโฒ.
Troisiรจme partie
Montrer que ๐ด et ๐ต sont deux matrices semblables.
Allez ร : Correction exercice 73
Exercice 74.
Soit ๐ด = (
โ1 1 0 1
โ1 โ1 1 3
0 1 โ1 โ1
0 0 0 1
)
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3, ๐4) la base canonique de โ4
.
Soit ๐ข: โ4
โ โ4
un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est ๐ด.
1. Montrer que si ๐ฃ est un endomorphisme de ๐ธ, un espace vectoriel de dimension ๐ alors
ker( ๐ฃ) โ ker( ๐ฃ2) โ โฏ โ ker(๐ฃ ๐
)
2. Dรฉterminer une base de ker( ๐ข + ๐๐โ4), de ker(( ๐ข + ๐๐โ4)2), de ker(( ๐ข + ๐๐โ4)3) et de ker(( ๐ข +
๐๐โ4)4).
Donner lโentier ๐ tel que ker(( ๐ข + ๐๐โ4) ๐) = ker(( ๐ข + ๐๐โ4) ๐+1)
19. Applications linรฉaires, matrices, dรฉterminants Pascal Lainรฉ
19
3.
a) Donner un vecteur non nul ๐ qui engendre ker( ๐ข + ๐๐โ4).
b) Donner un vecteur ๐ vรฉrifiant ๐ = ( ๐ข + ๐๐โ4)(๐).
Puis montrer que (๐, ๐) est une base de ker(( ๐ข + ๐๐โ4)2)
c) Donner un vecteur ๐ vรฉrifiant ๐ = ( ๐ข + ๐๐โ4)(๐).
Puis montrer que (๐, ๐, ๐) est une base de ker(( ๐ข + ๐๐โ4)3)
d) exprimer ๐ข(๐) et ๐ข(๐) en fonction de ๐, ๐ et ๐.
4. soit ๐ = (1,1,0,1), calculer ๐ข(๐).
5. Montrer que ๐ฝโฒ
= (๐, ๐, ๐, ๐) est une base de โ4
.
6. Donner la matrice, ๐, de ๐ข dans la base ๐ฝโฒ et donner la relation entre ๐ด, ๐ et la matrice de passage ๐ de
๐ฝ ร ๐ฝโฒ.
7. Calculer ( ๐ + ๐ผ)3
(๐ โ ๐ผ) et en dรฉduire ( ๐ด + ๐ผ)3
(๐ด โ ๐ผ)
Allez ร : Correction exercice 74
Exercice 75.
Premiรจre partie :
Soit ๐ un endomorphisme de โ3
1. Montrer que ker(๐) โ ker( ๐2) โ ker( ๐3)
2. On suppose que ๐3
= ๐โ(โ3) et que {0โ3} โ ker( ๐) โ ker( ๐2) โ ker( ๐3)
a) Dรฉterminer dim(ker( ๐)) et dim(ker( ๐2))
b) Montrer que ๐ผ๐( ๐) โ ker( ๐2), puis que ๐ผ๐( ๐) = ker( ๐2).
Deuxiรจme partie :
Soit ๐ un endomorphisme de โ3
tel que ๐3
= ๐โ(โ3) et que {0โ3} โ ker( ๐) โ ker( ๐2) โ ker( ๐3)
3. Soit ๐ โ ker( ๐), un vecteur non nul, montrer quโil existe ๐ โ โ3
tel que ๐( ๐) = ๐. Montrer que
๐ โ ker( ๐2) et en dรฉduire que (๐, ๐) est une famille libre.
4. Montrer quโil existe ๐ โ โ3
tel que ๐( ๐) = ๐, montrer que alors (๐, ๐, ๐) est une base de โ3
.
5. Dรฉterminer la matrice de ๐ dans la base (๐, ๐, ๐).
Troisiรจme partie :
Soit ๐ฝ = (๐1, ๐2, ๐3) la base canonique de โ3
.
Soit ๐ lโendomorphisme de โ3
dont la matrice dans la base canonique est :
๐ด = (
โ10 โ3 โ12
5 0 7
6 2 7
)
6. Montrer que ๐ + ๐ผ๐ vรฉrifie les hypothรจses de la seconde partie.
7. Dรฉterminer ๐, ๐ et ๐ tels que : ๐ โ ker( ๐ + ๐ผ๐), ( ๐ + ๐ผ๐)( ๐) = ๐ et ( ๐ + ๐ผ๐)( ๐) = ๐ .
8. Dรฉterminer la matrice de ๐ dans la base (๐, ๐, ๐).
Allez ร : Correction exercice 75
CORRECTIONS
Correction exercice 1.
1. Soient ๐ฅ = ( ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) โ โ3
et ๐ฆ = ( ๐ฆ1, ๐ฆ2, ๐ฆ3) โ โ3
, et soient ๐ et ๐ deux rรฉels.
๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ( ๐๐ฅ1 + ๐๐ฆ1, ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2, ๐๐ฅ3 + ๐๐ฆ3) = (๐1, ๐2, ๐3)
Donc