Cónicas e Quádricas Regiões de IR^2 e de IR^3 Análise Matemática 2. Para obter os ficheiros em LaTeX envie email para sandra.gaspar.martins@gmail.com ... eu envio com todo o gosto!

1. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
An´lise Matem´tica 2
a a
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
Apresenta¸˜o;
ca
R3 Revis˜es: C´nicas, Qu´dricas, etc.
o o a
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
2o Semestre 2011/12
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
1/45

2. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Bem vindo!
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Professora: Sandra Gaspar Martins
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas email: sandra.martins@adm.isel.pt
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e P´gina de apoio:
a
Outras
R3
http://moodle.isel.pt/dec/course/view.php?id=7
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hor´rio de d´vidas:
a u
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
2a s - das 9h30 `s 11h; depois das 12h30.
a
Descentradas
El´
ıpticas 3a s - depois das 11h00.
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
5a s - depois das 12h30.
Rectas
Planos 6a s - depois das 11h00.
sala C.2.4
2/45

3. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Programa
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
1 Introdu¸˜o aos campos escalares e vectoriais.
ca
Elipses
Hip´rboles
e 2 C´lculo diferencial em Rn .
a
Outras
R3
3 C´lculo integral em Rn .
a
Paraboloide
Cone 1 Integrais m´ltiplos.
u
Cilindro
Hiperb.1 folha 2 Integrais de linha.
Hiperb.2 folhas
Esfera
3 Integrais de superf´ıcie.
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
3/45

4. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Bibliografia
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2 1 J. Marsden, A. Tromba, Vector Calculus, 4th Edition,
Rectas
Parabolas
W.H. Freeman and Company, 1996.
Circunferˆncias
e
Elipses 2 McCallum, Hughes-Hallett, et al., Multivariable Calculus,
Hip´rboles
e
Outras 5th Ed., Wiley, 2009
R3
Paraboloide
3 A. Azenha, M. Am´lia Ger´nimo, C´lculo Diferencial e
e o a
Cone
Cilindro Integral em IR e IRn, McGraw- Hill, 1995.
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
4 J. Stewart, C´lculo, Vol.1 e 2, Thomson Learning, 2002.
a
Resumo 1
Descentradas
5 O. Baptista, Integrais duplos, triplos, de linha e de
El´
ıpticas
Outro eixo superf´
ıcie, S´
ılabo, 2001.
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
4/45

5. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Sitegrafia
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc. 1 http://www.wolframalpha.com/
Apresenta¸˜o
ca 2 Integrais duplos (applet)
R2 http://www.flashandmath.com/mathlets/
Rectas
Parabolas multicalc/doubint/double_integrals.html
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
3 Integrais duplos e triplos (applet- MIT)
Outras http://www.flashandmath.com/mathlets/
R3
Paraboloide
multicalc/doubint/double_integrals.html
Cone
Cilindro 4 V´rios applets http://www.flashandmath.com/
a
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas mathlets/multicalc/index.html
Esfera
Resumo 1
Descentradas
5 Aulas (tudo) MIT
El´
ıpticas
Outro eixo
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/
Resumo 2
Outras sup.
18-02-multivariable-calculus-fall-2007/
Rectas
Planos 6 Tutorial
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CalcIII.aspx
5/45

6. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Avalia¸˜o
ca
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2 Regime de Avalia¸˜o Cont´
ca ınua: Um teste global realizado
Rectas
Parabolas em duas partes ao longo do semestre.
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Regime de Exame: Um exame final.
Outras
R3
Paraboloide
Cone Ser´ disponibilizada tabela com derivadas e primitivas nas
a
Cilindro
Hiperb.1 folha avalia¸˜es.
co
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas Inscrever no Moodle para todos os momentos de avalia¸˜o.
ca
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
6/45

7. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
Para fazer revis˜es da mat´ria do secund´rio...
o e a
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e http://modulos.math.ist.utl.pt/
Outras
ou
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro http://cmup.fc.up.pt/cmup/apoiomat/index.html
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
7/45

8. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
C´nicas e outras regi˜es...
o o
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
em R2
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
8/45

9. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
9/45

10. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Rectas
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
10/45

11. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Rectas
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = mx + b m, b ∈ R
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
10/45

12. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Rectas
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = mx + b m, b ∈ R
Apresenta¸˜o
ca m declive
R2
Rectas
b ordenada na origem
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
10/45

13. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Par´bolas
a
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
11/45

14. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Par´bolas
a
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
11/45

15. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Par´bolas
a
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R
√
Apresenta¸˜o
ca −b ± b 2 − 4ac
R2 zeros: x =
Rectas
2a
Parabolas a>0 ∪
Circunferˆncias
e
Elipses a<0 ∩
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
11/45

16. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Circunferˆncias
e
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
12/45

17. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Circunferˆncias
e
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ R
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
12/45

18. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Circunferˆncias
e
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ R
Apresenta¸˜o
ca
R2 (a, b) centro
Rectas
Parabolas
r raio
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
12/45

19. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Elipses
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
13/45

20. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Elipses
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc. 2 2
x −a y −b
Apresenta¸˜o
ca + = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0
c d
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
13/45

21. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Elipses
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc. 2 2
x −a y −b
Apresenta¸˜o
ca + = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0
c d
R2
Rectas
Parabolas
(a, b) centro
Circunferˆncias
e
Elipses c, d semi-eixos
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
13/45

22. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Hip´rboles
e
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
14/45

23. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Hip´rboles
e
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc. 2 2
x −a y −b
Apresenta¸˜o
ca
− = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0
c d
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
14/45

24. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Hip´rboles
e
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc. 2 2
x −a y −b
Apresenta¸˜o
ca
− = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0
c d
R2
Rectas (a, b) centro
Parabolas
Circunferˆncias
e c distˆncia ao centro
a
Elipses
d
Hip´rboles
e
c abertura dos arcos
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
14/45

25. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
x3
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d ∈ R
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
15/45

26. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
x3
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d ∈ R
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
15/45

27. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
M´dulo
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = |x|
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
16/45

28. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
M´dulo
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = |x|
Apresenta¸˜o
ca
R2 x se x ≥0
Rectas |x| =
Parabolas −x se x <0
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
16/45

29. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Raiz
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a √
etc.
y= x
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
17/45

30. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Raiz
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a √
etc.
y= x
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
17/45

31. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
1
Revis˜es:
o x
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc. 1
y=
Apresenta¸˜o
ca
x
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
18/45

32. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
1
Revis˜es:
o x
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc. 1
y=
Apresenta¸˜o
ca
x
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
18/45

33. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Exponenciais
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca y = ax , a ∈ R+
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
19/45

34. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Exponenciais
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca y = ax , a ∈ R+
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras a>1 a<1
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
19/45

35. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Logaritmos
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = loga (x), a ∈ R+
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
20/45

36. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Logaritmos
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
y = loga (x), a ∈ R+
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses a>1 a<1
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
20/45

37. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Seno
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas y = sin(x)
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
21/45

38. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Seno
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas y = sin(x)
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
21/45

39. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Co-seno
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas y = cos(x)
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
22/45

40. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Co-seno
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas y = cos(x)
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
22/45

41. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Tangente
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas y = tan(x)
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
23/45

42. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Tangente
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas y = tan(x)
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
23/45

43. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Qu´dricas e outras regi˜es...1
a o
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
em R3.
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
1
Os gr´ficos desta sec¸˜o foram retirados de Wolfram|Alpha
a ca
http://www.wolframalpha.com/
24/45

44. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Paraboloide
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca x2 + y2 = z
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
25/45

45. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Paraboloide
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca x2 + y2 = z
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
25/45

46. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Superf´ C´nica - Cone
ıcie o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
x2 + y2 = z2
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
26/45

47. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Superf´ C´nica - Cone
ıcie o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
x2 + y2 = z2
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
26/45

48. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Superf´ cil´
ıcie ındrica - Cilindro
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
x 2 + y 2 = R 2, R∈R
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
27/45

49. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Superf´ cil´
ıcie ındrica - Cilindro
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
x 2 + y 2 = R 2, R∈R
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
27/45

50. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Hiperboloide de 1 folha
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
x 2 + y 2 = z 2 + A, A ∈ R+
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
28/45

51. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Hiperboloide de 1 folha
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
x 2 + y 2 = z 2 + A, A ∈ R+
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
28/45

52. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Hiperboloide de 2 folhas
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
x 2 + y 2 = z 2 − A, A ∈ R+
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
29/45

53. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Hiperboloide de 2 folhas
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
x 2 + y 2 = z 2 − A, A ∈ R+
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
29/45

54. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Esfera
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca x2 + y 2 + z2 = R2
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
30/45

55. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Esfera
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca x2 + y 2 + z2 = R2
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
30/45

56. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Resumo
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
x2 + y 2 = z paraboloide
Elipses
Hip´rboles
e
x2 + y 2 = z 2 cone
Outras
x2 + y 2 = R 2 cilindro
R3
Paraboloide x2 + y 2 = z 2 + A hiperboloide de 1 folha
Cone
Cilindro x2 + y 2 = z 2 − A hiperboloide de 2 folhas
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas x2 + y 2 + z 2 = R 2 esfera
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
31/45

57. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Descentradas
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca Todas estas superf´
ıcies podem ser descentradas, ou seja, n˜o
a
R2 terem o centro na origem:
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
Elipses
e
(x − a)2 + (y − b)2 = z
Hip´rboles
e
Outras
(x − a)2 + (y − b)2 = z 2
R3
(x − a)2 + (y − b)2 = R 2
Paraboloide
Cone
Cilindro
(x − a)2 + (y − b)2 = z 2 + A
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
(x − a)2 + (y − b)2 = z 2 − A
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
32/45

58. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
El´
ıpticas
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc. Todas estas superf´
ıcies podem ser el´
ıpticas em vez de circulares:
Apresenta¸˜o
ca
x 2 y 2
R2 + =z
Rectas c d
Parabolas
Circunferˆncias
e x 2 y 2
Elipses + = z2
Hip´rboles
e
Outras
c d
R3 x 2 y 2
Paraboloide
+ = R2
Cone c d
Cilindro
Hiperb.1 folha x 2 y 2
Hiperb.2 folhas + = z2 + A
Esfera
Resumo 1
c d
Descentradas
x 2 y 2
El´
ıpticas
Outro eixo
+ = z2 − A
Resumo 2 c d
Outras sup.
Rectas x 2 y 2 z 2
Planos + + =1
c d e
33/45

59. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Outro eixo
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas Todas estas superf´ıcies podem ser ao longo de outro eixo, por
Circunferˆncias
e
Elipses exemplo o eixo dos xx’s:
Hip´rboles
e
Outras z 2 + y 2 = x paraboloide
R3 z2 + y 2 = x 2 cone
Paraboloide
Cone z2 + y 2 = R 2 cilindro
Cilindro
Hiperb.1 folha z2 + y 2 = x 2 + A hiperboloide de 1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera z2 + y 2 = x 2 − A hiperboloide de 2 folhas
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
34/45

60. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Resumo generalizadas
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
2 2
etc. y −a z −b
+ =x
Apresenta¸˜o
ca c d
R2 2 2
Rectas y −a z −b
Parabolas + = x2
Circunferˆncias
e c d
Elipses
Hip´rboles
e
2 2
Outras y −a z −b
R3 + = R2
Paraboloide c d
Cone
Cilindro 2 2
y −a z −b
= x2 + A
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas +
Esfera c d
Resumo 1
Descentradas 2 2
El´
ıpticas y −a z −b
Outro eixo + = x2 − A
Resumo 2
Outras sup.
c d
Rectas
2 2 2
Planos
y −a z −b x −e
+ + =1
c d f
35/45

61. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Cilindro parab´lico
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2 z = x2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
36/45

62. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Cilindro parab´lico
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2 z = x2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
36/45

63. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Cilindro hiperb´lico
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
x2 − y 2 = R2
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
37/45

64. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Cilindro hiperb´lico
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
x2 − y 2 = R2
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
37/45

65. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Paraboloide hiperb´lico
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
x2 − y2 = z
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
38/45

66. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Paraboloide hiperb´lico
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
x2 − y2 = z
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
38/45

67. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
outras...
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas z = sin(x)
Parabolas
Circunferˆncias
e √
Elipses y= x
Hip´rboles
e
Outras
R3
y =x
Paraboloide
Cone
Cilindro
z = −x
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
...
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
39/45

68. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Rectas em R3
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
Sejam A e B dois pontos da recta:
etc.
A = (x1 , x2 , x3 )
Apresenta¸˜o
ca B = (y1 , y2 , y3 )
R2 P = (x, y , z) pertence ` recta sse
a
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
AP = λAB
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
P − A = λAB
R3 P = A + λAB, λ∈R
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas Equa¸˜o vectorial da recta:
ca
Esfera
Resumo 1
Descentradas (x,y,z)=(x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ), λ∈R
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2 Equa¸˜o param´trica da recta:
ca e
Outras sup.
Rectas 
Planos  x=x1 + λ(x2 − x1 )
y=y1 + λ(y2 − y1 )
z=z1 + λ(z2 − z1 )

40/45

69. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a donde
etc.

 λ= x − x1
x2 − x1



Apresenta¸˜o
ca  y − y1
R2 λ=
Rectas  y2 − y1
Parabolas


 λ=
 z − z1
Circunferˆncias
e
Elipses z2 − z1
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide Equa¸˜o cartesiana ou normal da recta:
ca
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
x − x1 y − y1 z − z1
Esfera = =
Resumo 1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
41/45

70. AM2 Notas:
Apresenta¸˜o;
ca (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) ´ o vector director da recta.
e
Revis˜es:
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a Se uma das coordenadas do vector director ´ nula, por
e
etc.
exemplo, x2 − x1 = 0, a equa¸˜o normal da recta ´
ca e
Apresenta¸˜o
ca
y − y1 z − z1
R2 x = x1 =
Rectas y2 − y1 z2 − z1
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Se duas coordenadas do vector director forem nulas, por
Outras
exemplo, x2 − x1 = z2 − z1 = 0 ent˜o a equa¸˜o normal
a ca
R3
Paraboloide
da recta ´
e
Cone
Cilindro
x = x1 ∧ z = z1
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
42/45

71. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
Planos
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
Sejam A, B e C trˆs pontos do plano:
e
etc.
A = (x1 , x2 , x3 )
Apresenta¸˜o
ca B = (y1 , y2 , y3 )
R2 C = (z1 , z2 , z3 )
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses P = (x, y , z) pertence ao plano sse
Hip´rboles
e
Outras
AP = λAB + µAC
R3
Paraboloide
Cone P − A = λAB + µAC
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
P = A + λAB + µAC , λ, µ ∈ R
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas Equa¸˜o vectorial do plano:
ca
Outro eixo
Resumo 2 (x, y , z) = (x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )+
Outras sup.
Rectas +µ(x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 )
Planos
onde A ´ um ponto do plano, λ, µ ∈ R, AB e AC s˜o dois
e a
vectores n˜o colineares (linearmente independentes) do plano.
a 43/45

72. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
C´nicas,
o Equa¸˜o param´trica do plano:
 ca e
Qu´dricas,
a
etc.  x=x1 + λ(x2 − x1 ) + µ(x3 − x1 )
y=y1 + λ(y2 − y1 ) + µ(y3 − y1 )
Apresenta¸˜o
ca
z=z1 + λ(z2 − z1 ) + µ(z3 − z1 ) λ, µ ∈ R

R2
Rectas
Parabolas Equa¸˜o geral ou cartesiana do plano:
ca
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
Ax+By+Cz+D=0
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
ax+by+cz=1
Esfera
Resumo 1
Descentradas onde (A, B, C ) e (a, b, c) s˜o vectores normais
a
El´
ıpticas
Outro eixo (perpendiculares) ao plano;
Resumo 2
Outras sup. Se D = 0 o plano cont´m a origem.
e
Rectas
Planos
44/45

73. AM2
Apresenta¸˜o;
ca
Revis˜es:
o
C´nicas,
o
Qu´dricas,
a
etc.
Apresenta¸˜o
ca
R2
Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
e
Elipses
Hip´rboles
e
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
El´
ıpticas Autores:
Outro eixo
Resumo 2 Sandra Gaspar Martins
Outras sup.
Rectas e
Planos
Nuno David Lopes
45/45