Este documento presenta un prefacio y una tabla de contenido para un texto sobre geodesia geométrica. El prefacio explica que el texto traduce y complementa una serie de lecciones sobre propiedades del elipsoide y curvas en su superficie. La tabla de contenido lista 10 capítulos que cubren temas como propiedades del elipsoide, curvas en la superficie del elipsoide, solución de triángulos elipsoidales y cálculo de coordenadas geodésicas.

1. GEODESIA GEOMÉTRICA
PARTE I
Escrito en Inglés por Richard H. Rapp
(Abril de 1991)
Revisado y Traducido al Español por Oscar A. Cifuentes
oscifuen@udec.cl
(Enero de 2001)
INSTITUTO GEOGRAFICO MILITAR
Observatorio Geodésico Integrado Transportable
TIGO
Concepción - Chile
Julio de 2001

2. PREFACIO
A partir del siglo XVIII, la forma precisa de la Tierra fue reconocida como un
elipsoide de revolución; desde entonces, el posicionamiento geodésico sobre la
superficie de la Tierra ha venido efectuándose mediante mediciones que son
idealmente reducidas a un elipsoide para análisis adicional a través de los ajustes
de datos. Por ello, es importante entender las propiedades básicas del elipsoide y
las curvas sobre su superficie, las cuales son pertinentes a los cálculos geodésicos.
La información aquí proporcionada es la base de un curso consistente en cuarenta
lecciones de geodesia geométrica, dictado en la Universidad Estatal de Ohio
(OSU), Estados Unidos de Norteamérica. En el desarrollo del curso no todo el
material puede ser cubierto, excepto citándolo como referencia.
El desarrollo de las herramientas matemáticas para el análisis de la geometría del
elipsoide con propósitos geodésicos ha sido utilizado durante varios siglos. Estos
apuntes toman ventaja de las derivaciones previas del material. Aunque uno podría
pensar que todo lo que se necesita ya ha sido derivado, es una idea falsa. Hoy día,
nuevas técnicas continúan publicándose para mejorar eficientemente los cálculos y
la precisión. Tales antecedentes han sido incluidos en el texto, cuando es
apropiado.
Estas notas son una traducción del texto Geometric Geodesy, Part I, desarrollado
por el profesor Dr. Richard H. Rapp en sus clases en la OSU, desde 1975. La
Escuela Cartográfica de Defensa del Servicio Geodésico Interamericano tiene una
traducción al Español del texto original fechada en junio de 1988. No obstante, la
obtención de una copia de ese material al finalizar la presente versión, se entrega
para dominio público esta nueva edición. El profesor Rapp ha consentido la
publicación de esta nueva versión en la página web del Instituto Geográfico
Militar.
En esta traducción se ha complementado el texto con definiciones, notas y
algoritmos que contribuyen a llenar un vacío que existía en esta materia. El
propósito para efectuar este trabajo no es otro que poner al alcance de los
estudiantes hispanos en geomensura, geociencias en general y especialidades
relacionadas, el material que el traductor recopiló durante sus estudios de
postgrado en ciencias de la geodesia desarrollados en la OSU.
El traductor agradece al profesor R. H. Rapp la gentileza de permitir esta
publicación y al profesor Kennet Brace del National Imagery and Maping Agency
por enviar una copia de la versión traducida en Junio de 1988. También se
agradece a la Señorita Lucía Álvarez G. del Instituto Geográfico Militar, quién
llevó al computador gran parte del texto y fórmulas.
ii

3. TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN
1.1 Definiciones 1
1.2 Geodesia y Otras Disciplinas 2
1.3 Bases Teóricas de la Geodesia 3
1.4 Historia de la Geodesia 3
2. PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS ÚTILES
2.1 Series de Taylor y Maclaurin 9
2.2 Las Series Binomiales 10
2.3 Inversión de Series 11
2.4 Resumen de Expansiones Trigonométricas 13
2.5 Fórmulas de Ángulo Múltiple 13
3. PROPIEDADES DEL ELIPSOIDE
3.1 Introducción 17
3.2 Coordenadas Geodésicas 22
3.3 La Elipse Meridiana 23
3.4 Relaciones entre las Diferentes Latitudes 32
3.5 Radios de Curvatura del Elipsoide 35
3.5.1 Radio de Curvatura en el Meridiano 36
3.5.2 Radio de Curvatura en el Primer Vertical 41
3.5.3 Radio de Curvatura de la Sección Normal en el Acimut α 45
3.6 Extensión de un Arco de Meridiano 45
3.7 Extensión de un Arco de Paralelo 51
3.8 Cálculo de Áreas en la Superficie del Elipsoide 52
3.9 Radio de Aproximación Esférica de la Tierra ó Radio Medio de la
Tierra como si ésta fuese una Esfera 55
3.9.1 Radio Medio Gausiano 55
3.9.2 Radio de una Esfera que tiene el Promedio de los Tres Semiejes del
Elipsoide 56
iii

4. 3.9.3 Radio Esférico de la Esfera con igual Área que el Elipsoide 56
3.9.4 Radio de una Esfera con igual Volumen que el Elipsoide 57
3.10 Coordenadas Rectangulares Espaciales 58
3.11 Una Forma Alterna para la Ecuación del Elipsoide 60
4. CURVAS EN LA SUPERFICIE DEL ELIPSOIDE
4.1 Secciones Normales 63
4.1.1 Introducción 63
4.1.2 Separación entre Secciones Normales Recíprocas 66
4.1.3 Separación Lineal de Secciones Normales Recíprocas 71
4.1.4 Separación Acimutal de una Sección Normal Recíproca 74
4.1.5 El Arco Elíptico de una Sección Normal 76
4.1.6 Corrección del Acimut debido a la Altura del Punto Observado 78
4.1.7 El Ángulo de Declinación de la Cuerda 81
4.1.8 La Sección Normal y la Magnitud de la Cuerda 82
4.1.9 La Sección Normal en un Sistema de Coordenadas Local 84
4.2 La Curva Geodésica 88
4.2.1 Coordenadas Locales x, y, z en Términos de la Geodésica 96
4.2.2 Longitud de un Arco Diferencial de una Geodésica Rotada 99
4.2.3 Relación entre la Geodésica y la Longitud de la Cuerda 100
4.2.4 Comparación de la Geodésica con la Sección Normal 100
4.2.5 Diferencia de Longitud entre la Sección Normal y la Geodésica 104
4.3 El Gran Arco Elíptico y la Curva de Alineación 105
4.4 Reducción Geométrica de Observaciones de Dirección o Acimut 107
5. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Y ELIPSOIDALES
5.1 Exceso Esférico 108
5.2 Solución del Triángulo Esférico por el Teorema de Legendre 109
5.3 Solución de Triángulos Esféricos por Aditamentos 115
iv

5. 6. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS GEODÉSICAS (SOLUCIONES
DEL TRIÁNGULO POLAR ELIPSOIDAL)
6.1 Introducción 118
6.2 Desarrollo de Series en Potencias de s (Legendre) 119
6.2.1 El Problema Directo 119
6.2.2 La Solución Inversa 125
6.3 Las Fórmulas de Puissant 127
6.3.1 El Problema Directo 127
6.3.2 El Problema Inverso 134
6.4 Las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss 135
6.5 Las Fórmulas de Bowring 140
6.6 El Método de la Cuerda 142
6.6.1 El Problema Inverso 142
6.6.2 El Problema Directo 142
6.7 Exactitud de los Métodos Directo e Inverso para Líneas de
Longitud Mediana 146
6.8 El Problema Inverso para las Coordenadas Rectangulares
Espaciales 148
7. INFORMACIÓN ASTROGEODÉSICA
7.1 Coordenadas Astronómicas 156
7.2 Comparación de Cantidades Angulares Astronómicas y
Geodésicas 159
7.2.1 Corrección de Dirección por Efecto de la Deflexión de la Vertical 168
7.2.2 Ecuación Extendida de Laplace 169
7.3 Ondulación Astrogeodésica del Geoide 170
7.4 Reducción de Distancias Medidas al Elipsoide 175
8. FÓRMULAS DIFERENCIALES DEL PRIMER Y SEGUNDO TIPO
8.1 Fórmulas Diferenciales del Primer Tipo 180
8.2 Fórmulas Diferenciales del Segundo Tipo 188
v

6. 9. ECUACIONES DE OBSERVACIÓN PARA TRIANGULACIÓN Y
TRILATERACIÓN CALCULADAS EN EL ELIPSOIDE
9.1 Relaciones Entre Distancias y Direcciones 192
9.2 Las Ecuaciones de Observación 195
9.3 La Ecuación de Observación de Acimut de Laplace 197
9.4 Formas de Ecuaciones de Observación Alternas 197
10. DATUM GEODÉSICO Y ELIPSOIDES DE REFERENCIA
10.1 Desarrollo de los Datums 199
10.2 Transformación de Datum 200
BIBLIOGRAFÍA 204
vi

7. LISTADO DE FIGURAS
1.1 Geometría de la Medición de Eratóstenes 4
1.2 La Forma de la Tierra según las Antiguas Mediciones Francesas 6
1.3 Elipse Achatada en los Polos 7
1.4 Relación entre Elipsoide, Terreno y Geoide 8
3.1 La Elipse Básica 17
3.2 Notación para la Elipse 18
3.3 Sistema de Coordenadas para el Elipsoide 22
3.4 Elipse Meridiana 23
3.5 Latitud Reducida 24
3.6 Latitud Geocéntrica 24
3.7 Interpretación Geométrica de W y V 29
3.8 Porción de un Arco de Meridiano 38
3.9 Radios de Curvatura de Meridianos Ecuatorial y Polar 40
3.10 Radio de Curvatura del Primer Vertical 41
3.11 Geometría para el uso del Teorema de Meusnier 42
3.12 Deducción Geométrica de N(A) 43
3.13 Deducción Geométrica de N(B) 44
3.14 Extensión del Arco de un Paralelo 51
3.15 Elemento de Área en el Elipsoide 52
3.16 Geometría de un Punto Localizado Fuera de una Elipse Meridiana 59
3.17 Sistema Local de Coordenadas en el Elipsoide 61
4.1 Determinación de la Distancia OnA 64
4.2 Un Triángulo de Sección Normal 65
4.3 Ángulo entre las Secciones Normales Recíprocas en la Cuerda que las
Conecta 66
4.4 Geometría de la Sección Normal 67
4.5 Una Aproximación Para el Arco Esférico σ 70
4.6 Geometría de la Separación Lineal de la Sección Normal 71
4.7 Separación Lineal 72
4.8 Separación Acimutal de la Sección Normal 74
vii

8. 4.9 El Arco Elíptico de una Sección Normal 76
4.10 El Elemento Diferencial en el Arco Elíptico 77
4.11 Efecto Acimutal para un Punto Elevado sobre el Elipsoide 78
4.12 Triángulo Pequeño para la Determinación del Efecto de Altura 79
4.13 El Ángulo de Declinación de la Cuerda 81
4.14 Sistemas de Coordenadas Local y Rectangular Espacial 84
4.15 El Sistema de Coordenadas Local 85
4.16 Traslado del Origen de los Ejes X, Y, Z al Punto A 86
4.17 Secciones Normales Entre Puntos Cercanos 89
4.17a La Geodésica entre Dos Secciones Normales 89
4.18 Una Geodésica y una Sección Normal en un Elipsoide Exageradamente
Achatado (f = 1/3) 90
4.19 Una Figura Diferencial en el Elipsoide 91
4.20 La Geodésica en una Forma Continua 95
4.21 Vista de una Geodésica Continua desde el Polo Norte Mostrando Cruces
Consecutivos en el Ecuador 96
4.22 La Superficie Elipsoidal Conteniendo un Elemento Diferencial de
Elipsoide 97
4.23 La Geodésica Localizada entre Dos Secciones Normales 101
4.24 Determinación de la Diferencial Acimutal entre una Sección Normal y una
Geodésica 102
4.25 Relación Diferencial entre Longitudes de Secciones Normales y
Geodésicas 104
4.26 La Curva de Alineación 106
5.1 Triángulos Esférico y Plano 109
5.2 Triángulos para el Método de Aditamento 116
6.1 El Triángulo Polar Elipsoidal 118
6.2 Aproximación de Puissant para Determinar la Latitud 127
6.3 Aproximación de Puissant para Determinar la Longitud 131
6.4 Triángulos Polares Resueltos Mediante las Fórmulas de la Latitud Media
de Gauss 135
6.5 Determinación Aproximada del Ángulo de Declinación 145
6.6 Sección de Meridiano Mostrando un Punto sobre el Elipsoide 149
6.7 Elipse Meridiana para la Derivación de Bowring 151
viii

9. 6.8 Geometría para la Determinación de h 153
7.1 Cantidades Astronómicas Medidas 159
7.2 La Esfera Celeste Mostrando Cantidades Astronómicas y Geodésicas 161
7.3 Determinación de las Distancias Cenitales 167
7.4 Ubicación del Geoide con Respecto al Elipsoide de Referencia de un
Datum Específico 170
7.5 Perfil Geoidal Astrogeodésico con Acimut α 171
7.6 Grilla Astrogeodésica 172
7.9 Reducción de la Línea Base (después de Heiskanen y Moritz, 1967) 175
7.10 Reducción de Distancias de Cuerda al Elipsoide 178
8.1 Efecto Diferencial de una Extensión Longitudinal 181
8.2 Efecto Diferencial de un Cambio de Acimut 183
8.3 Cambio del Retro-Acimut Debido a dα12 184
8.4 Detalle de los Efectos del Cambio de Retro-Acimut 185
9.1 Movimientos Diferenciales de los Puntos Extremos de la Línea 193
10.1 Tabla: Parámetros Elipsoidales 200
10.2 Sistema Satelital (S) y Datum (D) con Ejes Paralelos 201
10.2 Tabla: Parámetros de Transformación de Sistema Geodésico Local a
WGS84 203
ix

10. 1 INTRODUCCIÓN
La producción de mapas envuelve la determinación espacial de elementos sobre la superficie de
la Tierra y la transformación de sus posiciones en un plano. Las posiciones geográficas son
especificadas mediante coordenadas geodésicas. Para establecer un sistema de coordenadas
geodésico debemos primero conocer la forma y tamaño de la Tierra.
La Tierra es una figura geométrica muy suave. Para nosotros la Tierra parece muy accidentada,
pero aún los más altos montes y fosas oceánicas son casi imperceptibles en comparación con la
suave curvatura superficial. Para comprobarlo imaginemos la Tierra como una esfera de 1 m en
diámetro. El Monte Everest podría sobresalir como un abultamiento de 1,25 mm de altura y la
Fosa Mariana se vería como un rasguño de 1,73 mm de profundidad.
Desde el advenimiento de la era espacial, con el lanzamiento del primer satélite Sputnik, se ha
generado un incremento en la demanda del conocimiento preciso de los sistemas de referencia
geodésicos, como base para la determinación de coordenadas tanto en la superficie de la Tierra
como en el espacio. Del mismo modo, las agencias nacionales deben proveer las redes
geodésicas nacionales con la más alta precisión para cubrir las aplicaciones de posicionamiento,
navegación y proyectos de diferente orden que requieren de relaciones espaciales. Los
geodestas son los encargados de satisfacer estas necesidades, y para ello utilizan metodologías
rigurosas de medición y de análisis de resultados. En el presente texto se vierten las bases
teóricas del pilar fundamental de la geodesia, la geodesia geométrica.
1.1 Definiciones y Clasificación de la Geodesia
Siguiendo la definición clásica de Helmert (1887), “Geodesia es la ciencia que estudia el
tamaño, figura y campo gravitacional de la Tierra”
La palabra geodesia viene del griego, literalmente significa “dividir de la tierra”, y como primer
objetivo la práctica de la geodesia debería proveer un marco preciso para el control de las
mediciones topográficas nacionales. Por ello geodesia es la ciencia que determina el tamaño
y la forma de la Tierra y las relaciones de puntos seleccionados sobre la superficie de ella
mediante el uso de técnicas directas o indirectas. Estas características hacen de esta ciencia
una rama de las matemáticas aplicadas, la que debe incluir observaciones que puedan ser
usadas para determinar el tamaño y forma de la Tierra y la definición de sistemas de
coordenadas para posicionamiento en 3D; la variación de fenómenos cercanos a o sobre la
superficie, tales como gravedad, mareas, rotación de la Tierra, movimientos de la corteza y
deflexión de la línea de plomada; en conjunto con unidades de medida y métodos de
representación de la superficie de una Tierra curvada sobre una hoja de papel plano. (Smith,
1997)
Una definición mas contemporanea para geodesia es “Ciencia interdisciplinaria que utiliza
medios espaciales y medios aéreos remotamente censados, y mediciones basadas en la
1

11. Tierra para estudiar la forma y el tamaño de la Tierra, los planetas y sus satélites, y sus
cambios; para determinar en forma precisa posiciones y velocidades de puntos u objetos
que se encuentran en la superficie u orbitando el planeta, dentro de un sistema de
referencia terrestre definido, y para utilizar ese conocimiento a una variada gama de
aplicaciones científicas y de ingeniería, usando las ciencias matemática, física,
astronómica y computacional”1.
De lo anterior, podemos inferir que existen varias ramas en geodesia, entre ellas:
Geodesia Geométrica, Geodesia Física, Geodesia Astronómica, Geodesia Satelital, Geodesia
Planetaria y Geodesia Marina.
Geodesia puede ser dividida en tres áreas: Geodesia Global, Mediciones Geodésicas
Nacionales y Mediciones Planas. Geodesia global es responsable por la figura de la Tierra y el
campo de gravedad externo. Las mediciones geodésicas establecen los fundamentos para la
determinación de la superficie y el campo de gravedad externo de un país. Esto es
materializado mediante coordenadas y valores de gravedad en un número suficientemente
grande de puntos de control, arreglados en redes de control gravimétricas y geodésicas. En este
trabajo fundamental, deben ser consideradas la curvatura y el campo de gravedad de la Tierra.
En mediciones planas (mediciones topográficas, catastrales o ingenieriles), es obtenido el detalle
del terreno. En las mediciones geodésicas se utiliza un elipsoide de referencia para las
posiciones horizontales. En mediciones planas, generalmente es suficiente el plano horizontal.
(Torge, 1991)
1.2 Geodesia y Otras Disciplinas
Es tarea de la geodesia la definición de los sistemas de referencia y su materialización mediante
una red de puntos de control para el conocimiento de las relaciones espaciales que existen en la
Tierra. El uso primario de una red geodésica es georreferenciar la cartografía, la cual
representa, mediante el uso de una proyección cartográfica las relaciones espaciales del terreno
sobre una hoja de papel. Así podemos encontrar la geodesia relacionada con otras áreas de
estudio, como por ejemplo:
Ciencia espacial: esta requiere el conocimiento del campo de gravedad externo, de la superficie
de referencia terrestre, del sistema de referencia inercial o espacio fijo, y del sistema de
referencia geocéntrico o de tierra fija.
Astronomía: la geodesia determina el sistema de referencia casi inercial empleando técnicas de
radioastronomia; para ello, utilizando interferometría de base muy larga, desarrolla
observaciones de señales extragalácticas provenientes de quasares distantes entre 3 a 15
1
Ohio State University, Geodesy.
2

12. billones de años luz; el enlace al geocentro es efectuado utilizando mediciones de pulso láser
enviados a satélites.
Oceanografía: la reducción de observaciones satelitales al geoide es una actividad que se
desarrolla estableciendo una superficie equipotencial que basada en el nivel medio del mar
costero se proyecte mediante la nivelación y la gravedad hacia el interior de los continentes.
Ciencias Atmosféricas: la geodesia se encuentra experimentando la determinación del contenido
de agua en la atmósfera mediante el retraso de señales electromagnéticas desde o hacia satélites
en el espacio, ya sea por ocultamiento o por tomografía satelital.
Geología: la geodésia utiliza la gravedad para el establecimiento de superficies equipotenciales y
determinación de las alturas, estos datos también son válidos para inferir estructuras geológicas
subyacentes. Por su parte la geología utiliza las posiciones geodésicas para el control de
deformación de la corteza.
1.3 Bases Teóricas de la Geodesia
Matemáticas: este es el bloque de construcción más fuerte de la geodesia.
Estadística: la redundancia de datos en las observaciones geodésicas precisan utilizar modelos
estadísticos para análisis y determinación de parámetros geodésicos.
Computación: ésta es necesaria para el análisis y la automatización de los cálculos geodésicos.
Física: ésta entrega las bases teóricas para el estudio de las leyes de la gravitación, la
propagación de las ondas electromagnéticas y la mecánica del movimiento de los cuerpos, tanto
en el espacio como en la Tierra.
1.4 Historia de la Geodesia
La búsqueda del tamaño y forma de la Tierra tiene una larga e interesante historia. Aunque hoy
día no tenemos problemas en ver la Tierra como un cuerpo aproximadamente esférico, esta
situación no siempre existió.
Los registros de las primeras creencias indicaban que la Tierra era un disco plano que
soportaba un cielo hemisférico. Desde esa perspectiva debería existir solo un horizonte, con el
tiempo y la longitud del día independiente de la ubicación. (Homer siglo IX a.C.)
En el siglo VI a.C. Pitágoras enseñaba: los hombre deben vivir en un cuerpo de forma perfecta,
por ello la Tierra era esférica en forma. Esto sobre la base de que la esfera era considerada una
forma perfecta y no por deducción de observaciones.
3

13. Finalmente, en el siglo IV a.C. Aristóteles dio argumentos de porqué la Tierra debería tener
forma esférica. Algunas razones específicas que fueron mencionadas son:
- El cambio de horizonte cuando uno viaja en varias direcciones.
- La sombra redondeada de la Tierra sobre la Luna que fue observada en un eclipse lunar.
- Las observaciones de un barco en el mar donde el barco es visto más (o menos) según el
barco se aproxima (o se aleja).
Los sucesos siguientes ahora están relacionados con la determinación del tamaño de la tierra
esférica. Aunque otras determinaciones se hubieran hecho antes, el primer intento para lograr
una determinación precisa (en esa época), se le atribuye a Eratóstenes de Egipto. Los
acontecimientos en Egipto fueron una continuación natural a los adelantos hechos en
agrimensura con propósitos catastrales.
En el año 230 a.C., Eratóstenes, director de la gran biblioteca egipcia en Alejandría, realizó su
famoso experimento a fin de determinar el tamaño de la tierra esférica. Para ello efectuó
observaciones en dos ciudades egipcias, Alejandría y Siene (ahora Aswam), ubicadas ambas
casi en el mismo meridiano. En la ciudad más al sur, Siene, los rayos del sol iluminaban
directamente el fondo de un profundo pozo en el solsticio de verano, indicándo que el sol
estaba directamente arriba. Al año siguiente, en Alejandría se midió, al mediodía, la longitud de
una sombra proyectada por el gnomon de un reloj solar. Dicha longitud fue de 1/50 de 360°
(7°12’) y fue el ángulo subtendido en el centro de la tierra entre Siene y Alejandría, según se
muestra en la Figura 1.1.
θ
Rayos
Solares
ALEJANDRÍA
R s
SIENE
θ
Pozo
Figura 1.1 Geometría de la Medición de Eratóstenes
4

14. Si la distancia s, entre las dos ciudades pudiera deteminarse, y el ángulo θ, representara la
fracción de un círculo, la circunferencia de la Tierra sería s / θ. Alternadamente, el radio de la
tierra sería s / θ si θ estuviese ahora en radianes.
La determinación de la distancia entre ambas ciudades fue una materia dificil. La distancia
mayormente citada (la usada por Eratóstenes), es el valor redondeado de 5000 estadios. Esta
distancia fue probablemente determinada por contadores de pasos egipcios “quienes
determinaban distancias para los mapas egipcios”. Con este valor la circunferencia de la tierra
fue de 250.000 estadios. Otros cálculos indicaron que la circunferencia según la determinó
Eratóstenes era de 252.000 estadios, lo que quizás hubiera estado basado en una distancia más
específica.
La longitud de 1 estadio es, aproximadamente, 157,5 metros, lo que nos da un radio de 6.267
Krn, un 1,6 por ciento más pequeño que el actual radio medio.
El método usado por Eratóstenes estaba sujeto a una serie de errores. Por ejemplo, Alejandría
y Siene no están en el mismo meridiano, ni el Sol estaba directamente sobre el cenit al momento
de la medición. No obstante, el método funcionó bastante bien.
Esta experiencia fue repetida por Posidonio en el siglo primero A.C. En ese cálculo se midió un
arco a lo largo de un meridiano, desde Rodas hasta Alejandría. La separación angular se
determinó usando la estrella Canopus. Cuando ésta rasaba el horizonte en Rodas se hallaba en
un ángulo de 1/48 de un círculo completo en Alejandría. En consecuencia, la separación
angular entre las dos ciudades fue 7,5°. Por mediciones basadas en trayectos de buques de
vela se determinó que la distancia entre ambas poblaciones era de 5000 estadios. Esto significó
un radio inferior en 5,6 % de los cálculos presentes. Sucedió que la medición angular y de
distancia se mejoraron, aunque de una manera proporcional para que el resultado fuere
aproximadamente correcto. Por otro lado se rumorea que Posidonio no efectuó las mediciones
antes descritas, sino que más bien sólo discutió someramente el método.
En los siglos subsiguientes poco se hizo sobre estudios relacionados con la figura de la Tierra.
En el siglo IX, el califa Almamún mandó realizar nuevas mediciones cerca de Bagdad, Iraq, en
la planicie del río Eufrates. En esta aplicación se usaron varas de madera para medir la
extensión de un grado de latitud. Después de considerar el habitual problema de conversión de
unidades, las mediciones dieron un radio 10% más grande.
En el siglo XVII, Snellius llevó a cabo mediciones a lo largo de un meridiano en los Países
Bajos. Por primera vez usó un procedimiento de triangulación midiendo ángulos con un minuto
de precisión. Combinando esa medición con las latitudes astronómicas hechas en los puntos
finales del arco meridiano, Snellius determinó el tamaño de la Tierra esférica usando el método
básico de Eratóstenes. Una segunda determinación del radio (o realmente el cuadrante del
meridiano), dio un resultado de 3,4% más pequeño. Van Musschenbroek (sucesor de Snellius)
realizó trabajos adicionales obteniendo un radio terrestre mejorado.
Fue en esa época cuando comenzó la era de la geodesia esférica. En realidad se inició en 1666
cuando se estableció la Académe Royale des Sciencies con el fin de efectuar mediciones para
la preparación de un mapa preciso de Francia y la determinación del tamaño de la Tierra.
5

15. En 1670, Isaac Newton propuso que a consecuencia de su teoría de gravitación la Tierra
podría ser un poco abultada en el Ecuador debido a la mayor fuerza centrífuga generada por la
rotación terrestre. Este abultamiento podría producir un suave achatamiento en los polos de
aproximadamente 1/300 del radio ecuatorial.
En 1669, Picard nició la medición de un arco meridiano cerca de París. Entre 1683-1716, el
arco se extendió hacia el sur, a Collioure, y a Dunquerque hacia el norte, por un grupo dirigido
por Lahire y los Cassini, Dominique y Jacque. Los cálculos hechos sobre esas mediciones
indicaron que la extensión del arco meridiano era más pequeña hacia los polos. Esta conclusión
tentativa estaba en conflicto con la idea de que la Tierra tenía una forma esférica. De hecho,
denotaba que la Tierra estaba apuntando hacia los polos, según se muestra en la Figura 1.2:
Figura 1.2 La Forma de la Tierra según las Antiguas Mediciones Francesas
Estas mediciones también eran conflictivas con las teorías propuestas por Isaac Newton que
sugerían que la Tierra debería estar achatada en los polos. Esto implicaría que al viajar hacia
el Ecuador nos alejaríamos más del centro de la Tierra. El efecto de esto fue observado por
Richter (en 1672) en los relojes de péndulo que aunque mantenían la hora debida en París,
perdían 2½minutos por día al llevarlos a Cayena, Guyana Francesa, cerca del Ecuador en
Sudamérica. Esa pérdida de tiempo era consecuente con la teoría de Newton por la
disminución de la gravedad al ir de París a Cayena.
Para resolver esta situación, la Real Academia de Ciencias preparó dos misiones de
levantamientos geodésicos. Una expedición (1734-1741) se mandó al Perú (hoy Ecuador) en
una latitud de –1,5’ bajo la dirección de Godin, La Condamine y Bouguer. La segunda
expedición (1736-1737) se envió a Laponia (latitud de unos 66.3°) bajo la dirección de
Maupertuis y Clairaut. Los resultados de dichas mensuras indicaron que la extensión de un
6

16. meridiano de 1° era superior en las regiones polares que en las ecuatoriales. Este resultado
concordó con las teorías de Newton e implicó que la figura de la Tierra podría representarse
por un elipsoide ligeramente achatado en los polos, según se observa en la Figura 1.3:
b
a
Figura 1.3 Elipse Achatada en los Polos
Un cálculo actual del radio ecuatorial (a) de la Tierra es de 6378137 metros. El achatamiento
a−b
(f = ) es aproximadamente 1/298.257, lo que significa una diferencia de 21.7 km. entre
a
el radio ecuatorial y el radio polar.
Se efectuaron otras mediciones -Svanberg (1805) en Suecia, Lacaille (1751) en Sudáfrica,
Gauss (1821-23), Bessel (1831-38)- para verificar y perfeccionar el conocimiento del tamaño
y forma de la Tierra. Hoy día continúan estudios para refinar tales conocimientos. Al disponer
de mejoradas técnicas de medición se hizo evidente el definir más exactamente lo que llamamos
la figura de la Tierra.
Para hacerlo, consideremos la superficie topográfico real de la Tierra, y una superficie
estrechamente asociada con la superficie del océano. Reconocemos que los océanos
comprenden aproximadamente el 70% de la superficie terrestre. Por tanto es correcto visualizar
la figura del Tierra como aquella de la superficie oceánica. En l872-73, Listing introdujo el
concepto del geoide como la superficie del mar imperturbable y su continuación en los
continentes. El elipsoide de los estudios previos ahora se convirtió en una aproximación al
geoide.
En 1884, Helmert definió con mayor precisión el geoide identificándolo como un océano sin
peregrinaciones tales como las causadas por mareas, vientos, olas, temperaturas, presión
diferencias en salinidad, etc. Este geoide se consideró como una superficie equipotencial del
7

17. campo de gravedad de la Tierra. El geoide en áreas continentales se visualizaría por el nivel del
agua en infinitamente pequeños canales “secos” en tierra.
Por desgracia, la definición del geoide antes mencionada no es totalmente realizable. Esto es así
porque la superficie del océano es una superficie dinámica, en constante cambio debido a tantas
corrientes, etc. Sin embargo, estos efectos generalmente ocurren a un metro de nivel por lo que
para muchos propósitos podemos identificar el nivel medio del mar como el geoide.
De nuevo indicamos que ahora se usa el elipsoide para aproximarnos al geoide. Aunque hay
varios tipos de elipsoide, el usado mayormente en geodesia es un elipsoide de revolución
(alrededor del eje menor) que es simétrico con respecto al Ecuador. Otro es el elipsoide
triaxial, en el cual el Ecuador es una elipsoide. No obstante, los cálculos en un elipsoide triaxial
son bastantes complicados con respecto a los del elipsoide biaxial rotacional simétrico.
Consecuentemente, en este tema de geodesia geométrica nos concentraremos en la geometría e
importancia geodésica del elipsoide.
Usando una sección meridiana de la Tierra, en la Figura 1.4, se representan las distintas
superficies que hemos estado revisando.
Superficie
Topográfica
H
h
b
N
Geoide
a
Elipsoide
Figura 1.4 Relación entre Elipsoide, Terreno y Geoide
Podríamos poner en perspectiva las magnitudes de varias cantidades de interés. Recuérdese
que el radio ecuatorial de la Tierra es aproximadamente 6378137 metros. Con respecto a un
elipsoide cuyo centro está en el centro de la tierra, la desviación estandar de la ondulación del
geoide (N) es 30.56 m con valores extremos aproximados de –107 m y 85 m. Finalmente, el
terreno tiene una elevación máxima con respecto al nivel medio del mar de unos 9 km.
La información histórica descrita aquí ha sido basada en dos documentos de Irene Fisher
(1975a, 1975b).
8

18. 2 PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS ÚTILES
En el desarrollo de algunas ecuaciones que siguen en los apuntes será de utilidad emplear
ciertos procedimientos matemáticos estándares que envuelven expansiones en series e
identidades trigonométricas. Las usadas más ampliamente serán tratadas a continuación.
2.1 Series de Taylor y Maclaurin
Una función f(x) puede ser expandida sobre un punto x 0 usando una serie de Taylor:
( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) 3
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ' ( x0 ) + f ' ' ( x0 ) + f ' ' ' ( x0 ) + ... (2.1)
2! 3!
Donde f’(x 0) es la 1a derivada de f(x) evaluada en x 0 y sucesivamente para los otros términos
primos. En principio uno debe controlar la convergencia de esta serie, pero para la mayor
cantidad de las aplicaciones de la geodesia geométrica, esta será rápida.
En algunos casos es conveniente utilizar x-x 0 = h y x = x 0, así, (2.1) queda;
f ( x + h) = f ( x) + hf ' ( x) + h2
2!
f ' ' (x ) + h3
3!
f ' ' ' ( x ) + ... (2.2)
Como un ejemplo considere f(x) = sen(x). Aplicando (2.2), tenemos:
sin( x + h) = sin x + h cos x − h2 sin x − cos x + sin x + − − −
2
h3 h4
6 24 (2.3)
Un caso especial de las series de Taylor es la de Maclaurin, la cual se encuentra usando (2.1)
haciendo x 0 = 0, de ese modo queda:
f ( x ) = f (0) + xf ' (0) + x2
2!
f ' ' ( 0) + x3
3!
f ' ' ' ( 0) + − − − (2.4)
Un nuevo ejemplo, tomemos f(x) = sin(x). Entonces (2.4) se transforma en:
9

19. x3 x5 x 7
sin x = x − + − +−−− (2.5)
3! 5! 7!
2.2 Las Series Binomiales
Otra serie útil es la serie binomial, la cual puede ser escrita como:
n ( n −1 ) n ( n −1)( n − 2 )
(1 ± x) n = 1 ± nx + 2!
x2 ± 3!
x3 + − − − (2.6)
Los coeficientes de x, x 2, x 3, etc. son llamados coeficientes binomiales.
Las series binomiales existen por integración o exponentes fraccionales positivos o negativos y
siempre convergen si x < 1. Las expresiones siguientes son series binomiales útiles:
1
1− x
= 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ...
1
1+ x
= 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − ...
1
(1+ x ) 2
= 1 − 2 x + 3x 2 − 4 x3 + 5 x 4 − ...
1
(1− x ) 2
= 1 + 2 x + 3x 2 + 4 x 3 + 5 x 4 + ...
(2.7)
1 + x = 1 + 1 x − 1 x 2 + 16 x 3 − 128 x 4 +
2 8
1 5 7
256
x 5 − 1024 x 6 +
21 33
2048
x7 − ...
1 − x = 1 − 1 x − 1 x 2 − 16 x 3 − 128 x 4 − ...
2 8
1 5
1
1+ x
= 1 − 1 x + 3 x 2 − 16 x 3 + 128 x 4 − 256 x 5 + 1024 x6 − 2048 x7 + ...
2 8
5 35 63 231 429
1
1− x
= 1 + 1 x + 3 x 2 + 16 x 3 + 128 x 4 + ...
2 8
5 35
10

20. 1 − x 2 = 1 − 1 x 2 − 1 x 4 − 16 x 6 − 128 x8 −
2 8
1 5 7
256
x10 − ...
1
= 1 + 1 x 2 + 3 x 4 + 16 x 6 + 128 x8 +
2 8
5 35 63
256 x10 + ...
1− x 2
2.3 Inversión de Series
Otras importantes series relacionadas son las series de inversión. Un tipo relaciona la inversión
de series de convergencia algebraica, mientras que otro relaciona la inversión de series
trigonométricas. Considere primero las siguientes series de potencias:
y = a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + ... (2.8)
La inversión de (2.8) se transforma en la forma general:
x = A1 y + A2 y 2 + A3 y 3 + A4 y 4 + ... (2.9)
donde:
1
A1 =
a1
a2
A2 = −
(a1 )3
( 2(a2 ) − a1 a3 );
1
A3 =
2
(2.10)
(a1 )5
(5a1 a2 a3 − (a1 ) a4 − 5(a2 ) );
1
A4 =
2 3
(a1 ) 7
11

21. ( 6(a1 )2 a2 a4 + 3(a1 a3 )2 + 14(a2 )4 − (a1 )3 a5 − 21a1 (a2 )2 a3 ).
1
A5 =
(a1 )9
Considere ahora una expansión escrita en la siguiente forma (Ganshin, 1967, pág.9)
tan y = p tan x (2.11)
Entonces:
y − x = q sin 2 x + 1 q 2 sin 4 x + 1 q 3 sin 6 x + ...
2 3 (2.12)
donde:
q= p −1
p +1
Otra fórmula importante es la siguiente:
y = x + P2 sin 2 x + P4 sin 4 x + P6 sin 6 x + − −
La inversión de esta ecuación es:
x = y + P2 sin 2 y + P4 sin 4 y + P6 sin 6 y + − −
donde (Ganshin, 1967, pág.32):
P2 = − P2 − P2 P4 + 1 P23 − P6 P4 + P2 P42 − 1 P22 P6 + 1 P23 P4 − 12 P25 ± − − −
2 2 3
1
P4 = − P4 + P22 − 2 P2 P6 + 4 P22 P4 − 4 P24 ± − − −
3
12

22. P6 = −P6 + 3P2 P4 − 3 P23 − 3 P2 P8 + 9 P2 P42 + 9 P22 P6 −
2 2
27
2
P23 P4 + 27 P25 ± − − −
8
P8 = − P8 + 2 P42 ± 4 P2 P6 − 8P22 P4 + 8 P24 ± − − −
3
P = − P10 + 5 P4 P6 + 5P2 P − 25 P22 P6 − 25 P2 P42 + 125 P22 P4 − 125 P25 ± − − −
10 8 2 2 6 4
2.4 Resumen de Expansiones Trigonométricas
Usando la serie de Maclaurin revisada previamente las siguientes expansiones pueden ser
derivadas donde x es un ángulo en radianes:
sin x = x − x3
3! + x5
5! − x7
7! ± −−− (2.13)
cos x = 1 − x2
2!
+ x4
4!
− x6
6!
+−−− (2.14)
tanx = x + x3
+ 215 + 17 x + − − −
5 7
x
3 315
(2.15)
y3 3 y5 7
x = sin −1 y = y + 6 + 40 + 5y + − − −
112 (2.16)
y3 y5 y7
x = tan −1 y = y − 3
+ 5
− 7
+ −−− (2.17)
2.5 Fórmulas de Ángulo Múltiple
Para cierto número de aplicaciones es conveniente tener fórmulas relativas a potencias de sin(x)
o cos(x) para fórmulas de ángulos múltiple. Tales como:
sin 2 x = 1 − 1 cos 2 x
2 2
13

23. sin 3 x = 3 sin x − 1 sin 3x
4 4
sin 4 x = 3 − 1 cos 2 x + 1 cos 4 x
8 2 8
sin 5 x = 5 sin x − 16 sin 3 x + 16 sin 5 x
8
5 1
sin 6 x = 16 − 15 cos 2 x + 16 cos 4 x −
5
32
3 1
32 cos 6 x
sin 7 x = 35
64 sin x − 21
64 sin 3 x + 7
64 sin 5 x − 64 sin 7 x
1
(2.18)
sin 8 x = 35
128 − 16 cos 2 x +
7 7
32 cos 4 x − 16 cos 6 x + 128 cos 8 x
1 1
sin 9 x = 128 snx − 21 sin 3x + 64 sin 5x − 256 sin 7 x +
63
64
9 9 1
256 sin 9 x
sin 10 x = 63
256 − 105 cos 2 x +
256
15
64 cos 4 x − 512 cos 6 x + 256 cos 8x − 512 cos 10 x
45 5 1
cos 2 x = 1 + 1 cos 2 x
2 2
cos 3 x = 3 cos x + 1 cos 3 x
4 4
cos 4 x = 3 + 1 cos 2 x + 1 cos 4 x
8 2 8
cos 5 x = 5 cos x + 16 cos 3 x + 16 cos 5 x
8
5 1
cos 6 x = 16 + 15 cos 2 x + 16 cos 4 x +
5
32
3 1
32
cos 6 x (2.19)
cos 4
x = 3
8
+ 1
2
cos 2 x + 1
8
cos 4 x
14

24. cos 8 x = 128 + 16 cos 2 x + 32 cos 4 x + 16 cos 6 x + 128 cos 8 x
35 7 7 1 1
cos 9 x = 128 cos x +
63 21
64
cos 3x + 64 cos 5 x +
9 9
256
cos 7 x + 256 cos 9 x
1
cos10 x = 63
256
+ 105
256
cos 2 x + 15 cos 4 x + 512 cos 6 x +
64
45 5
256
cos 8x + 512 cos 10 x
1
sin 2 x = 2 sin x cos x
sin 3x = 3 sin x cos 2 x − sin 3 x
sin 4 x = 4 sin x cos 3 x − 4 sin 3 x cos x
sin 5 x = 5 sin x cos 4 x − 10 sin 3 x cos 2 x + sin 5 x (2.20)
sin 6 x = 6 sin x cos 5 x − 20 sin 3 x cos 3 x + 6 sin 5 x cos x
sin 7 x = 7 sin x cos 6 x − 35 sin 3 x cos 4 x + 21 sin 5 x cos 2 x − sin 7 x
sin 8x = 8 sin x cos 7 x − 56 sin 3 x cos 5 x + 56 sin 5 x cos 3 x − 8 sin 7 x cos x
sin 9 x = 9 sin x cos 8 x − 84 sin 3 x cos 6 x + 126 sin 5 x cos 4 x − 36 sin 7 x cos 2 x + sin 9 x
sin 10 x = 10 sin x cos 9 x − 120 sin 3 x cos 7 x + 252 sin 5 x cos 5 x − 120 sin 7 x cos 3 x + 10 sin 9 x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x
cos 3 x = cos 3 x − 3 cos x sin 2 x
cos 4 x = cos 4 x − 6 cos 2 x sin 2 x + sin 4 x
15

25. cos 5 x = cos 5 x − 10 cos 8 x sin 2 x + 5 cos x sin 4 x
cos 6 x = cos 6 x − 15 cos 4 x sin 2 x + 15 cos 2 x sin 4 x − sin 6 x (2.21)
cos 7 x = cos 7 x − 21 cos 5 x sin 2 x + 35 cos 3 x sin 4 x − 7 cos 6 x sin 6 x
cos 8 x = cos 8 x − 28 cos 6 x sin 2 x + 70 cos 4 x sin 4 x − 28 cos 2 x sin 6 x + sin 8 x
cos 9 x = cos 9 x − 36 cos 7 x sin 2 x + 126 cos 5 x sin 4 x − 84 cos 3 x sin 6 x + 9 cos x sin 8 x
cos 10 x = cos 10 x − 45 cos 8 x sin 2 x + 210 cos 6 x sin 4 x − 210 cos 4 x sin 6 x + 45 cos 2 x sin 8 x − sin 10 x
Otras identidades útiles para dos ángulos X e Y son las siguientes:
sin nX − sin nY = 2 cos n ( X + Y ) sin n ( X − Y )
2 2 (2.22)
cos nX − cos nY = 2 sin n ( X + Y ) sin n ( X − Y )
2 2 (2.23)
16

26. 3 PROPIEDADES DEL ELIPSOIDE
3.1 Introducción
Según se trató en la Sección 1, en geodesia geométrica, para muchos cálculos se debe
lidiar con la geometría de un elipsoide de revolución. Este elipsoide es formado mediante
la rotación de su semieje menor.
Consideremos el elipsoide que se muestra en la Figura 3.1.
z
P1
P
b
A a B
O x
F2 F1
P2
Figura 3.1 La Elipse Básica
En la figura tenemos:
F1 , F2 , focos de la elipse AP 2 BP1 .
O, centro de la elipse.
OA = OB = a = semieje mayor de la elipse.
OP1 = OP2 = b = semieje menor de la elipse.
P1 P2 , es el eje menor de la elipse, mientras que P es un punto arbitrario en la elipse.
17

27. De la definición de una elipse, el movimiento de P sobre la elipse produce una suma
constante de las distancias tomadas desde dos puntos fijos, denominados focos.
F1 P + F2 P = constante (3.1)
Si dejamos mover a P en dirección hacia B, y luego en dirección hacia A, encontramos
que:
F1 P + F2 P = 2a (3.2)
Si ahora dejamos P ir hacia P1 , se verifica que F1 P = F2 P, de la ecuación (3.2) se tiene que
F1 P = F2 P = a, el semieje mayor. Esta información es mostrada en la figura siguiente:
z
P1
α
b a
(a 2 -b 2 )1/2 x
F2 O F1
P2
Figura 3.2 Notación para la Elipse
Ahora estamos en posición de definir algunos parámetros fundamentales de la elipse.
Tenemos lo siguiente:
a−b
1) El achatamiento polar, f: f = (3.3)
a
OF1 a2 − b2 2 a2 − b2
2) La primera excentricidad, e: e ≡ = ;e = (3.4)
a a a2
18

28. OF1 a2 − b2 2 a2 − b2
3) La segunda excentricidad, e': e' ≡ = ;e ' = (3.5)
b b b2
4) Excentricidad angular, α (ver figura 3.2); α es el ángulo en P1 entre el semieje menor y
la línea dibujada desde P hasta ya sea F1 o F2 . Tenemos:
b
cosα = =1− f (3.6)
a
OF1
sin α = =e (3.7)
a
OF1
tan α = = e' (3.8)
b
5) Excentricidad lineal, E: E = ae (3.9)
Otras dos cantidades usadas a menudo, son:
a2 − b2
m= (3.10)
a2 + b2
a−b
n= (3.11)
a+b
en algunos libros la cantidad m es designada como e’’2
Los parámetros básicos a, b, f, e, e’, α, m, n, son interrelacionados a través de ecuaciones
que pueden ser fácilmente derivadas. Por ejemplo, considere las relaciones entre f y e’.
Desde (3.4) tenemos:
b
e2 =1− (3.12)
a2
de (3.3):
b
=1− f (3.13)
a
la cual es sustituida dentro de (3.12) para encontrar:
19

29. e2 = 2 f − f 2 (3.14)
Otras relaciones de interés son como sigue: (Gan’shin, 1967):
e '2 4n 2m
e = 2 = 2 =
2
(3.15)
1 + e' (1 + n ) 1 + m
e2
e' =
2
(3.16)
1− e2
(1 − e )(1 + e' ) = 1
2 2
(3.17)
1−n 1− m
= (1 − f ) = 1 − e 2 = =
b e 1
= = (3.18)
a e' 1 + e' 2 1+ n 1+ m
f 1 − 1 − e2
n= = (3.19)
2 − f 1 + 1 − e2
2f − f 2 2n
m= = (3.20)
1 + (1 − f ) 1 + n2
2
Adicionalmente, en ocasiones es conveniente tener algunas expresiones en serie
relacionando ciertas cantidades. Por ejemplo, tenemos las siguientes (Gan’shin, 1967):
n = (1 / 2) f + (1 / 4) f 2 + (1 / 8) f 3 + (1 / 16) f 4 + (1 / 32) f 5 +
n = (1 / 4)e 2 + (1 / 8)e 4 + ( 5 / 64)e 6 + ( 7 / 128)e 8 + (21 / 512) e10 +
n = (1 / 2)m + (1 / 8) m 3 + (1 / 16)m 5 +
m = f + (1 / 2) f 2 − (1 / 4) f 4 − (1 / 4) f 5 +
20

30. m = (1 / 2) e 2 + (1 / 4) e 4 + (1 / 8)e 6 + (1 / 16)e 8 + (1 / 32)e 10 +
m = 2n − 2n 3 + 2n 5 +
e' 2 = 2 f + 3 f 2 + 4 f 3 + 5 f 4 + 6 f 5 +
e' 2 = 4n + 8n 2 + 12n 3 + 16 n 4 + 20n 5 +
e' 2 = 2m + 2 m 2 + 2m 3 + 2m 4 + 2m 5 +
Los valores numéricos de estas cantidades dependen de la definición fundamental de
parámetros tales como: tamaño (a) y forma (usualmente f). Muchos elipsoides diferentes
han sido usados en el pasado. Actualmente el sistema de constantes recomendado por la
Asociación Internacional de Geodesia (IAG) es el Sistema de Referencia Geodésico de
1980 (Moritz, 1980). Para este sistema, las cantidades de interés geométrico son las
siguientes:
a = 6378137 m (exacta)
b = 6356752.3141 m
E = 521854.0097 m
c = 6399593.6259 m
e2 = 0.00669438002290
e’2 = 0.00673949677548
f = 0.00335281068118
f – 1 = 298.257222101
n = 0.001679220395
m = 0.003358431319
Q = 10001965.7293 m
R1 = 6371008.7714 m
R2 = 6371007.1810 m
R3 = 6371000.7900 m
21

31. En las constantes de arriba Q es la longitud de un cuadrante de meridiano, R1 es el radio
medio (2a + b) / 3, R2 es el radio de una esfera que tiene igual superficie que el área del
elipsoide, y R3 es el radio de una esfera que tiene igual volumen que el elipsoide. La
derivación de las ecuaciones para estas cantidades será tratada en secciones posteriores.
3.2 Coordenadas Geodésicas
Consideramos primero un elipsoide de revolución cuyo centro está en O. Definimos el eje
OZ como el eje de rotación del elipsoide. El eje OX se subtiende en el plano ecuatorial e
intercepta el meridiano PEP1 , el cual es tomado como el primer meridiano o meridiano
inicial desde donde las longitudes serán medidas. El eje OY está en el plano ecuatorial,
perpendicular al eje OX tal que OX, OY, OZ forman un sistema coordenado de mano
derecha como se muestra en la Figura 3.3.
Z
P Q’
λ
Q
ϕ
O Y
λ
E
X
P1
Figura 3.3 Sistema de Coordenadas para el Elipsoide
Un punto arbitrario Q o Q’ (dentro o fuera de la superficie del elipsoide) puede ser
definido entonces por sus coordenadas X, Y, Z.
Deberíamos observar que sobre un meridiano cualquiera, tal como PQP1 o PEP 1 , la
longitud es una constante para cualquier punto localizado en este plano meridiano. La
longitud geodésica λ de un punto es definida como el ángulo diedro entre los planos del
primer meridiano (PEP1 ) y un meridiano (ejemplo PQP1 ) que está pasando a través del
punto dado. Las longitudes, en este apunte y para muchos casos son medidas positivas
22

32. hacia el Este, aunque hay casos (ejemplo EE.UU. y Chile) donde algunas referencias
consideran que las longitudes medidas hacia el Oeste de Greenwich también son
positivas.
La latitud geodésica ϕ de un punto ubicado sobre la superficie del elipsoide, es definida
como el ángulo entre la normal al elipsoide en el punto y el plano ecuatorial. Para un
punto ubicado sobre la superficie del elipsoide hay varias definiciones posibles. La más
simple es que éste es el ángulo entre la normal al elipsoide, que está pasando a través de
este punto, y el plano ecuatorial. Este sistema de coordenadas (por ejemplo ϕ, λ) es
llamado coordenadas geodésicas (en algunos libros podrían ser encontradas algunas
referencias a coordenadas geográficas, las cuales son idénticas a las coordenadas
geodésicas). ϕ y λ forman un juego de coordenadas curvilíneas sobre la superficie del
elipsoide. Ellas permiten la descripción de muchas propiedades involucradas con la
superficie y curvas sobre la superficie.
3.3 La Elipse Meridiana
La elipse meridiana que pasa a través del punto Q es mostrada en la Figura 3.4 con los
ejes coordenados z y x.
z
Q
ϕ 90°+ ϕ
x
Figura 3.4 Elipse Meridiana
Además de la latitud geodésica podemos definir la latitud reducida β y la latitud
geocéntrica ψ. La latitud reducida (algunas veces llamada latitud paramétrica) es el
ángulo cuyo vértice se ubica en el centro de una esfera que es tangente al elipsoide a lo
largo del Ecuador, entre el plano ecuatorial y el radio del punto P originado en la esfera
1
por una línea recta perpendicular al plano del Ecuador, que pasa a través del punto P
23

33. sobre el elipsoide, para el cual la latitud reducida está siendo definida. La latitud reducida
es mostrada en la Figura 3.5.
z
P1
P
a
z
β
x
O x P2
Figura 3.5 Latitud Reducida
La latitud geocéntrica es el ángulo en el centro de la elipse entre el plano del Ecuador y
una línea hacia el punto cuya latitud geocéntrica está siendo definida. Observe que esta
definición permite un significado simple para definir esta latitud aunque el punto podría
no estar localizado sobre la superficie del elipsoide. La latitud geocéntrica es mostrada en
la Figura 3.6.
z
P
r
z
ψ
x
O x P2
Figura 3.6 Latitud Geocéntrica
24

34. Las coordenadas z y x pueden ser calculadas conociendo ya sea ϕ, β, o ψ más los
parámetros del elipsoide. Estas relaciones son útiles en la derivación de expresiones que
relacionan las latitudes.
Consideramos primero la determinación de x y z usando la latitud reducida β. Desde la
Figura 3.5 tenemos:
(OP2 ) 2 + ( P2 P1 ) 2 = a 2 (3.22)
La ecuación de esta elipse puede ser escrita:
x2 z 2
+ =1 (3.23)
a2 b2
o con x = OP 2 y con z = P2 P, tenemos:
(OP2 )2 + (P2 P) 2 =1 (3.24)
a2 b2
Combinando (3.22) y (3.24), queda:
a2
(OP2 ) + ( P2 P ) 2 = a 2 = (OP2 ) 2 + ( P2 P1 ) 2
2 2
(3.25)
b
Resolviendo para P2 P, encontramos:
b
P2 P = P2 P1 (3.26)
a
De la Figura 3.5 tenemos que:
P2 P1 = a sin β (3.27)
25

35. luego las coordenadas x y z son:
x = OP2 = a cos β (3.28)
z = P2 P = b sin β (3.29)
Para determinar x y z usando la latitud geodésica observamos, considerando la Figura 3.4,
que la pendiente de la línea tangente es la tangente del ángulo con los ejes positivos.
dz − cos ϕ
= tan( 90 + ϕ) = − cot ϕ = (3.30)
dx sin ϕ
dz
donde es la inclinación de la línea tangente. Para determinar la derivada reescribimos
dx
la ecuación (3.23) como sigue:
b 2 x 2 + a 2 z 2 = a 2b 2 (3.31)
y diferenciamos para conseguir,
b 2 xdx + a 2 zdz = 0 (3.32)
o arreglando:
dz − b 2 x − cos ϕ
= 2 = (3.33)
dx a z sin ϕ
Usando la ecuación (3.26) y (3.33) queda:
b 2 x sin ϕ = a 2 z cos ϕ (3.34)
Elevando al cuadrado ambos lados queda:
26

36. b 4 x 2 sin 2 ϕ − a 4 z 2 cos 2 ϕ = 0 (3.35)
Entonces multiplicando la ecuación (3.31) por –b2 sin2 ϕ, agregando el resultado a la
ecuación (3.35) y multiplicando por –1, y entonces resolviendo para z encontramos:
b 2 sin ϕ
z= (3.36)
a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
Utilizando un procedimiento similar, encontramos para x:
a 2 cos ϕ
x= (3.37)
a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
Usando e2 de la ecuación (3.4) los denominadores de la ecuación (3.36) y (3.37) se
convierten en (1-e2 sin2 ϕ)½ de modo que x y z pueden expresarse como:
a cos ϕ
x= (3.38)
1 − e 2 sin 2 ϕ
z=
( )
a 1 − e 2 sin ϕ
(3.39)
1 − e 2 sin 2 ϕ
En este punto es conveniente introducir y definir cuatro nuevas cantidades:
W 2 ≡ 1 − e 2 sin 2 ϕ
V 2 ≡ 1 + e' 2 cos 2 ϕ
(3.40)
w ≡ 1 − e cos β
2 2 2
v 2 ≡ 1 − e '2 sin 2 β
27

37. Comenzando desde estas designaciones, varias otras relaciones pueden ser derivadas.
1
W2 =
1 + e' sin 2 β
2
(3.41)
1
V2 =
1 − e cos 2 β
2
Usando W y V en las ecuaciones (3.38) y (3.39) podemos escribir:
a cos ϕ
x= (3.42)
W
a(1 − e ) sin ϕ
z= (3.43)
W
c
x= cos ϕ (3.44)
V
c sin ϕ
z= (3.45)
V (1 + e' 2 )
a2
donde c = . Una interpretación geométrica para c será entregada posteriormente.
b
Puede agregarse un significado geométrico a W y V considerando los elementos de la
Figura 3.7.
28

38. Z
P
q
z
ϕ
ϕ
X
x
Figura 3.7 Interpretación Geométrica de W y V
q es una distancia medida desde el origen hasta el plano tangente que pasa por P (cuya
latitud geodésica es ϕ ) de tal forma que la línea trazada desde el origen es perpendicular
al plano tangente. Tenemos:
q = x cos ϕ + z sin ϕ (3.46)
Sustituyendo x y z de las ecuaciones (3.42) y (3.43) queda:
q = aW (3.47)
De (3.44) y (3.45) tenemos:
q = bV (3.48)
29

39. Podemos igualar (3.47) y (3.48) para finalmente escribir:
b
W = V (3.49)
a
A continuación pasamos a la determinación de x y z usando la latitud geocéntrica. De la
Figura 3.6 escribimos:
x = r cos ψ (3.50)
z = r sin ψ (3.51)
donde r es el radio geocéntrico.
Claramente tenemos:
r = x2 + z2 (3.52)
Substituyendo (3.50) y (3.51) en la ecuación (3.23), y resolviendo para r queda:
a 1−e2 b
r= = (3.53)
1 − e cos ψ
2 2
1 − e cos 2 ψ
2
Substituyendo este valor de r de regreso dentro de (3.50) y (3.51), obtenemos:
a 1 − e 2 cosψ
x= (3.54)
1 − e 2 cos 2 ψ
a 1 − e 2 sin ψ
z= (3.55)
1 − e 2 cos 2 ψ
30

40. También podríamos obtener una expresión para el vector del radio en términos de la
latitud geodésica si sustituimos las ecuaciones (3.38) y (3.39) en (3.52):
r=
a
W
( )
1 + e 2 e 2 − 2 sin 2 ϕ (3.56)
Puesto que el segundo término a la derecha de (3.56) está en el orden de e2 , es
conveniente obtener una expresión en serie para el vector del radio. Primero
desarrollamos el término de raíz cuadrada usando la serie binomial (ecuación 2.7) para
que:
r=
a  1 2 2
( 1 4
) 
1 + e e − 2 sin ϕ − e sin ϕ + ...
2 4
(3.57)
W 2 2 
1
Ahora calculamos usando un desarrollo en serie de McLaurin (ecuación 2.4):
W
1 e2 3
= 1 + sin 2 ϕ + e 4 sin 4 ϕ + ... (3.58)
W 2 8
Multiplicando (3.57) y (3.58) hallamos una expresión en serie para r en términos de la
latitud geodésica:
 e2 e4 5 3 13 
r = a1 − sin ϕ + sin 2 ϕ − e 4 sin 4 ϕ + e 6 sin 4 ϕ − e 6 sin 6 ϕ + ...
2
(3.59)
 2 2 8 4 16 
El número de términos a retenerse en tal expresión depende de la exactitud deseada.
Recordemos que para el Sistema de Referencia Geodésico 1980, a = 6378137 m, e2 =
0,00669..., los últimos dos términos en la ecuación (3.59) tienen un valor máximo de
0,0008 metros.
31

41. 3.4 Relaciones entre las Diferentes Latitudes
Podemos usar algunas de las ecuaciones previamente deducidas para obtener relaciones
entre las latitudes descritas. De la Figura 3.6 escribimos:
z
tan ψ = (3.60)
x
Sustituyendo z y x de las ecuaciones (3.28), (3.29) y (3.38), (3.39) tenemos:
tan β = (1 − e 2 ) tan ϕ
b
tan ψ = (3.61)
a
Entonces:
( )
tan ψ = 1 − e 2 tan β = 1 − e 2 tan ϕ (3.62)
tan β = 1 − e 2 tan ϕ (3.63)
tan ϕ = 1 − e'2 tan β (3.64)
Aunque estas relaciones son suficientes para determinar un tipo de latitudes desde
cualquier otro, algunos procedimientos se simplifican si también se encuentran otras
relaciones. Por ejemplo, igualamos la coordenada z en (3.29) y (3.43) para obtener:
1 − e 2 sin ϕ sin ϕ
sin β = = (3.65)
W V
Igualando las ecuaciones (3.28) y (3.42) que tratan con la coordenada x, tenemos:
cos ϕ
cos β = (3.66)
W
32

42. Otras relaciones de interés incluyen:
cos β 2 cos β
cos ϕ = v = 1− e w (3.67)
sin β 2 sin β
sin ϕ = w = 1+ e' v (3.68)
Seguidamente pasamos a la determinación de expresiones para establecer la diferencia
entre dos tipos de latitudes. Primero consideramos las expresiones cerradas y luego las
expresiones en serie. Ahora consideraremos la diferencia entre la latitud geodésica y la
reducida, escribiendo:
sin (ϕ − β) = sin ϕ cos β − cos ϕ sin β (3.69)
Luego sustituimos los valores de sin β y cos β de (3.65) y (3.66) para obtener después
de algunas reducciones:
f sin 2ϕ
sin (ϕ − β) = (3.71)
2W
Otra expresión cerrada puede escribirse comenzando de la siguiente identidad:
tan ϕ−tan β
tan (ϕ − β) = (3.72)
1+ tan ϕ tan β
Sustituyendo por tan β como una función de tan ϕ hallamos:
n sin 2 ϕ
tan (ϕ − β) = (3.73)
1+ n cos 2 ϕ
Las expresiones cerradas que dan una función de (ϕ − ψ ) como una función ya sea de ϕ
o ψ , pueden deducirse en forma cerrada o en serie. Para deducir una expresión cerrada
escribimos:
33

43. tan ϕ − tan ψ
tan (ϕ − ψ) = (3.74)
1 + tan ϕ tan ψ
Sustituyendo (3.61) por tanψ podemos expresar:
e 2 sin 2 ϕ
tan (ϕ − ψ) = (3.75)
2 (1 − e2 sin 2 ϕ)
La derivación de expresiones en serie para las diferencias de dos latitudes puede ser
realizada usando (2.11) y (2.12). Por ejemplo, podemos aplicar esta técnica a la ecuación
(3.63) donde y = β, p = (1 − e 2 ) 1 / 2 y x=ϕ, encontramos:
n3
ϕ − β = n sin 2ϕ − n sin 4 ϕ + sin 6ϕ + ....
2
(3.76)
2 3
Esta diferencia, como una función de β podría escribirse:
ϕ − β = n sin 2β + n sin 4β + n sin 6β + ...
2 3
(3.77)
2 3
Usando un enfoque similar, la diferencia entre la latitud geodésica y geocéntrica como
una función de ϕ se escribe:
ϕ − ψ = m sin 2ϕ − m sin 4ϕ + m sin 6 ϕ + ...
2 3
(3.78)
2 3
Esta diferencia como una función de ψ es:
ϕ − ψ = m sin 2ψ + m sin 4ψ + m sin 6ψ + ...
2 3
(3.79)
2 3
Para el elipsoide de Clarke 1866 (f = 1/294,978698) tenemos (Adams, 1949):
ϕ − β = 350, 2202" sin 2ϕ − 0, 2973" sin 4ϕ + 0, 0003" sin 6ϕ + ...
34

44. (3.80)
ϕ − ψ = 700, 4385" sin 2ϕ − 1,1893" sin 4ϕ + 0, 0027" sin 6ϕ + ...
Para el elipsoide del Sistema de Referencia Geodésico 1980 tenemos:
ϕ − β = 350, 3640" sin 2ϕ − 0, 2908" sin 4ϕ + 0, 0003" sin 6ϕ
(3.81)
ϕ − ψ = 692, 7262" sin 2ϕ − 1,1632" sin 4ϕ + 0, 0026" sin 6ϕ
Podemos observar que la diferencia máxima de ϕ − β es aproximadamente 6’, mientras
que para ϕ − ψ la diferencia máxima es de 12’. Esta diferencia ocurre cerca de los 45º
de latitud.
3.5 Radios de Curvatura del Elips oide
Primero considere una normal a la superficie del elipsoide en algún punto. Ahora tome un
plano que contenga esta normal y sea así perpendicular al plano tangencial. Este plano
particular cortará la superficie del elipsoide formando una curva que se conoce como una
sección normal. Los radios de curvatura de una sección normal dependerán del acimut de
la línea. En cada punto existen dos secciones normales mutuamente perpendiculares
cuyas curvaturas son máximas y mínimas. Tales secciones se llaman secciones normales
principales.
En el elipsoide esas dos secciones normales son:
La sección meridiana está formada por un plano que pasa a través de un punto dado y los
dos polos;
La sección del primer vertical está formada por una sección que pasa a través del punto
dado y es perpendicular a la sección meridiana en el punto.
El radio de curvatura en el meridiano es designado M, y el radio de curvatura en el
primer vertical es designado N.
Con el objeto de encontrar el radio de curvatura en una dirección arbitraria podemos
utilizar la fórmula de Euler (ver Manual de Tablas y Fórmulas de Schaum, Relación de
Curvas Normales Geodésicas):
35

45. 1 cos 2 θ sin 2 θ
= + (3.82)
ρ ρ ρ
1 2
donde:
ρ es el radio de curvatura arbitrario;
θ es el ángulo medido desde la sección principal con el radio de curvatura más
grande ρ1 en una dirección normal principal; y
ρ2 es el radio de curvatura en la dirección de la otra dirección normal principal.
Después de examinar los valores de N y M aplicaremos la ecuación (3.82) al caso del
elipsoide.
3.5.1 Radio de Curvatura en el Meridiano
Primero consideramos la determinación de M. Recordemos que si se tiene una curva
plana especificada como z = F (x), el radio de curvatura en un punto sobre la curva es:
3/ 2
  dz  2 
1 +   
  dx  
ρ=  2
 (3.83)
d z
dx 2
De la ecuación (3.30) se tiene:
dz = − cot ϕ
dx
Luego diferenciando queda:
36

46. d 2z 1 dϕ 1 1
= = (3.84)
sin ϕ dx sin ϕ dx
2 2 2
dx
dϕ
De la ecuación (3.38) tenemos:
a cos ϕ
x=
1 − e 2 sin 2 ϕ
la que se diferencia con respecto a ϕ para obtener:
dx
=
(
− a 1 − e 2 sin ϕ )
( )
(3.85)
dϕ 1 − e 2 sin 2 ϕ 3 / 2
Reemplazando (3.85) en (3.84) tenemos:
(
d 2 z − 1 − e 2 sin 2 ϕ
=
) 3/ 2
dx 2 a sin 3 ϕ 1 − e 2 ( ) (3.86)
Sustituyendo los valores de (3.86) y de dz/dx dentro de (3.82) cuando ρ es ahora M,
encontramos:
M =
a 1 − e2( )
(1 − e )
(3.87)
sin ϕ
2 2 3/ 2
donde el signo menos ha sido eliminado por convención. Recordando las definiciones de
W, V, y c, las expresiones alternas para M son:
M =
(
a 1− e2 c
= 3
) (3.88)
3
W V
Ahora consideramos una deducción alterna para M tomando en cuenta la Figura 3.8:
37

47. z
ds
M
dϕ
x
Figura 3.8 Porción de un Arco de Meridiano
Tenemos ds, una distancia diferencial a lo largo de un arco de meridiano; dϕ es la
separación angular. Entonces consideramos M como el radio de curvatura del arco
meridiano, así:
ds = Md ϕ = dx 2 + dz 2 = dz 1 + ( dx ) 2 = dz 1 + tan 2 ϕ = dz (3.89)
dz cos ϕ
puesto que de la ecuación (3.30) tenemos:
dz = − cot ϕ
dx
Entonces:
38

48. dz
Mdϕ = cos ϕ
ó (3.90)
1 dz
M =
cos ϕ dϕ
Usando (3.39) hallamos para z:
dz = a(1−e2 ) cos ϕ (3.91)
dϕ W3
Lo que traduce (3.90) en
a(1−e2 )
M =
W3
que es lo mismo que (3.88)
En el ecuador ϕ = 0 así que:
( )
M ϕ =0 = a 1 − e 2 = a(1 − f )
2
(3.92)
En los polos ϕ = ± 90º por tanto:
M ϕ =90 o =
(
a 1−e2 ) =
a
=
a
=
a2
=c
(1 − e ) 2 3/ 2
1 − e2 1− f b
(3.93)
En esta expresión, c, el cual fue introducido previamente, es visto como el radio de
curvatura en el polo.
Podemos tomar la razón:
39

49. M 90 a
M 0 = 1− f ⋅ a (1− f )2 = (1− f )3
1 1
M0
M 90 = (3.94)
(1− f )3
Si los valores de M fuesen tabulados, ellos podrían trazarse con respecto a un origen en la
superficie del elipsoide de referencia. El punto extremo de los distintos valores M caería
en una curva según se muestra en el diagrama siguiente:
M90
∆2 M0
∆1
Figura 3.9 Radios de Curvatura de Meridianos Ecuatorial y Polar
Vamos a definir ∆ 1 y ∆ 2 según el diagrama:
Luego:
∆ 1 = a − a (1 − f ) 2 = a ( 2 f − f 2 ) = ae 2 (3.95)
Además
a( 2 f − f 2 ) ∆1
∆2 = a − b = = ae =
2
(3.96)
1− f (1− f ) (1− f ) (1− f )
40

50. Para el Sistema de Referencia Geodésico de 1980 tenemos los siguientes valores para
∆1 y ∆2 :
∆ 1 = 42,697.67 m
∆ 2 = 42,841.31 m
3.5.2 Radio de Curvatura en el Primer Vertical
Hay varios procedimientos para deducir N. Una idea es usar el teorema de Meusnier
donde el radio de curvatura ( de una sección inclinada es igual al radio de curvatura (N)
p)
de una sección normal, multiplicado por el coseno del ángulo (ϕ) entre esas secciones.
En nuestro caso deseamos hallar el radio de curvatura de la sección normal conociendo el
radio de curvatura de la sección inclinada. Tenemos:
Sección normal en el primer vertical
Radio de curvatura del primer vertical
Figura 3.10 Radio de Curvatura del Primer Vertical
41

51. Radio de curvatura del paralelo
p Sección normal en el primer vertical
Paralelo de latitud
N
ϕ
Figura 3.11 Geometría para el uso del Teorema de Meusnier
En la figura anterior, N es el largo de la línea normal desde la superficie del elipsoide
hasta la intersección de esta línea con el eje menor.
El radio de curvatura del paralelo es p. De la Figura 3.11:
p = N sin (90 − ϕ) = N cos ϕ (3.97)
El ángulo entre la sección del primer vertical y la sección inclinada es ϕ. Luego:
p = (radio de curvatura del primer vertical) × cosϕ
(3.98)
En las ecuaciones (3.97) y (3.98) vemos que el radio de curvatura en la dirección del
primer vertical es N.
Es posible un enfoque alterno a partir de un argumento geométrico. Para hacer esto
consideramos la figura siguiente, en la cual se ha dibujado una sección del primer
vertical:
42

52. P
Paralelo de Latitud
Sección del Primer Vertical
A B
Normal en A C
intersectando el eje
de rotación en H N
K
H
P1
Figura 3.12 Deducción Geométrica de N(A)
En esta figura, PAP1 representa el meridiano a través de A. AH es la normal en A,
intersectando al eje de rotación. B es un punto arbitrario en el mismo paralelo de A,
mientras que BH es la normal en B intersectando al eje de rotación en H. C es un punto
en la sección del primer vertical a través de A y que también yace en el meridiano que
pasa por B.
Construimos una normal en C que interseptará (en K) a la normal de A ya que AC es una
curva plana. Podemos decir que K es el centro aproximado de curvatura del arco AC.
Permítase ahora que el punto B se acerque al punto A, para que C se aproxime a A. La
intersección de las normales se acercará al verdadero centro de curvatura y CK se
aproximará al verdadero radio de curvatura del arco. Ahora, al acercarse C a A, C
también se aproxima a B para que K se acerque a H. Así que el radio de curvatura de la
sección del primer vertical en A tiene que ser la distancia desde H hasta A o AH. Para
calcular este radio consideramos la elipse meridiana en la figura siguiente.
43

53. N
ϕ
x
Figura 3.13 Deducción Geométrica de N (B)
De la figura tenemos:
x = N cos ϕ
Usando la expresión para x deducida previamente, podemos resolver para N y hallar:
a a c
N= = = (3.99)
1 − e sin ϕ
2 2 W V
En el ecuador el radio de curvatura del primer vertical es:
N ϕ =0 ° = a (3.100)
En el polo:
2
N ϕ =90° = a = a (3.101)
1− f b
44

54. Vemos que M (ver (3.92) y (3.39)) y N son mínimos en puntos sobre el ecuador. En el
polo M = N = a2 /b = c de ahí que ambas curvaturas sean las mismas.
Podemos hallar la razón de N/M usando las ecuaciones (3.88) y (3.99). Por tanto:
N c V3
M =V ⋅ c =V
2
ó
N
M = V = 1 + e' cos ϕ
2 2 2
(3.102)
Por tanto N ≥ M , donde la igualdad se manifiesta en los polos.
3.5.3 Radio de Curvatura de la Sección Normal en el Acimut α
Puesto que N generalmente es mayor que M, asociamos N con ρ1 que se presentó en la
ecuación (3.82). Si dejamos que α sea el acimut de una línea de la cual nos interesa
conocer su curvatura, tenemos θ = 90º−α . Si ρ = Rα podemos expresar la ecuación
(3.82) para el elipsoide de revolución de la manera siguiente.
1 = sin 2 α + cos2 α (3.103)
Rα N M
Rα = MN = N (3.104)
N cos2 α + M sin 2 α 1 + e'2 cos 2 α cos2 ϕ
3.6 Extensión de un Arco de Meridiano
Ahora pasamos a los cálculos de las extensiones de arcos de meridiano. En la ecuación
(3.89) se escribió una longitud de arco diferencial como:
45

55. ds = Mdϕ
Para descubrir la extensión de arco entre dos puntos con latitudes ϕ1 y ϕ2 se integra la
ecuación anterior para formular:
ϕ2 ϕ2 dϕ
s = ∫ Mdϕ = a (1 − e 2 ) ∫ (3.105)
ϕ1 ϕ1 W3
La integral
∫W
dϕ
3
( )
= ∫ 1 − e 2 sin 2 ϕ
−3 / 2
dϕ
representa una integral elíptica que no puede integrarse en funciones elementales. En su
lugar, el valor de 1 W 3 se desarrolla en series y la integración se efectúa término por
término. Primero veremos el desarrollo en serie de 1 W 3 de MacLaurin:
1
3
= 1 + 3 e 2 sin 2 ϕ + 15 e 4 sin 4 ϕ + 35 e 6 sin 6 ϕ + 315 e 8 sin 8 ϕ +693 e 10 sin 10 ϕ...
W 2 8 16 128 256
(3.106)
Para mayor facilidad en la integración reemplazamos las potencias de senϕ por
equivalentes de ángulo múltiple, según la ecuación (2.18), para encontrar:
1
= A − B cos 2ϕ + C cos 4ϕ − D cos 6 ϕ + E cos 8ϕ − F cos 8ϕ− F cos 10ϕ + ...
W3
(3.107)
donde los coeficientes A, B,...,F, tienen el significado siguiente:
A = 1 + 3 e 2 + 45 e 4 + 175 e 6 + 11025 e8 + 43659 e10 + ...
4 64 256 16384 65536
B= 3 e 2 + 15 e 4 + 525 e 6 + 2205 e8 + 72765 e10 + ...
4 16 512 2048 65536
46

56. C= 15 e 4 + 105 e 6 + 2205 e 8 + 10395 e 10 + ... (3.108)
64 256 4096 16384
D= 35 e 6 + 315 e 8 + 31185 e 10 + ...
512 2048 131072
E= 315 e 8 + 3465 e 10 + ...
16384 65536
F= 693 e10 + ...
131072
Ahora podemos sustituir (3.107) dentro de (3.105) y escribir:
s = a (1 − e 2 )∫ ( A − B cos 2ϕ − C cos 4ϕ)dϕ + − − −
ϕ2
ϕ1
s = a (1 − e 2 )∫ Adϕ − B ∫ cos 2ϕdϕ + C ∫ cos 4ϕdϕ + − − −
ϕ2 ϕ2 ϕ2
ϕ1 ϕ1 ϕ1
 ϕ2 ϕ2

( 2
)
ϕ2 B C
s = a 1 − e  Aϕ ϕ − sin 2ϕ + sin 4ϕ  + − − − (3.109)


1
2 ϕ1 4 ϕ1 

s = a (1 − e 2 )  A(ϕ2 − ϕ1 ) − B (sin 2ϕ2 − sin 2ϕ1 ) + C (sin 4ϕ2 − sin 4ϕ1 ) 

 2 4 

− D (sin 6ϕ2 − sin 6ϕ1 ) + E ( sin 8ϕ2 − sin 8ϕ1 ) − F (sin 10ϕ2 − sin 10ϕ1 ) + ... (3.110)
6 8 10
Esta ecuación puede ser escrita en una forma alterna usando la ecuación (2.22).
En este caso X = ϕ2 , Y = ϕ1, , de tal modo que:
 ϕ + ϕ2 
 sin (ϕ2 − ϕ1 )
n
sin nϕ2 − sin nϕ1 = 2 cos n  1 (3.111)
 2  2
haciendo:
47