1. Ampliación de matemáticas
Primeira clase
30 de xaneiro de 2023
Departamento de Matemática Aplicada II
Universidade de Vigo
Facultade de Ciencias
Curso 2022/2023
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 1 / 21
2. Programa
Bloque I
1. Cálculo diferencial e aplicacións;
2. Cálculo integral e aplicacións;
Bloque II
3. Xeneralidades sobre ecuacións diferenciais ordinarias;
4. Resolución de ecuacións diferenciais ordinarias;
5. Sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias;
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 2 / 21
3. Programa
Bloque III
6. Resolución numérica de ecuacións;
7. Interpolación numérica;
8. Integración numérica;
Bloque IV
9. Estatı́stica descritiva;
10. Inferencia estatı́stica.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 3 / 21
4. Obxectivos
Preténdese que o alumado, ao rematar o curso bimestral, sexa quen de:
Coñecer os fundamentos do cálculo diferencial de funcións de varias
variables e as súas aplicacións para interpretar e modelizar aqueles
problemas nos que interveñen multitude de causas e efectos;
Coñecer os fundamentos do cálculo integral de funcións de varias
variables e as súas aplicacións;
Coñecer os conceptos da teorı́a de ecuacións diferenciais para ser
capaces de interpretar e resolver os problemas xerados nas ciencias e a
técnica;
Coñecer os métodos numéricos para a resolución de problemas para
os que non hai solución a través de métodos exactos;
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 4 / 21
5. Obxectivos
Utilizar os métodos numéricos para a resolución de ecuacións,
integrais definidas e problemas de valor inicial.
Representar a realidade mediante a descrición estatı́stica de datos
mostreados, efectuar estimacións e tomar decisións baseándose nelas;
Utilizar os métodos estadı́sticos para identificar e describir aspectos
da realidade que involucren o azar;
Capacidade de traballo en grupo e de comunicación oral e escrita.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 5 / 21
6. Bibliografı́a
Notas de aula: https://moovi.uvigo.gal
J. De Burgos, Cálculo Infinitesimal de varias variables, Segunda
edición, McGraw- Hill, 2008.
D. G. Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Novena edición,
Grupo Editorial Iberoamérica, 2006.
R. L. Burden e J. D. Faires, Análisis Numérico, Décima edición,
Grupo Editorial Iberoamérica, 2017.
J. Domènech i Massons, BioEstatı́stica, Herder.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 6 / 21
7. Avaliación
Resolución de problemas e exercicios: 30 %
Proba tema 1 de cálculo diferencial (7 %): virtualmente o mércores
15/02/2022 de 2023 a partir das 15.30 horas (empregando a
plataforma Moovi).
Proba bloque numérico (8 %): presencialmente nos seminarios dos
luns 27/02 (S3), martes 28/02 (S1) e xoves 23/02 (S2). De 19 a 20 h.
Proba tema 2 de integración (7 %): virtualmente o mércores 08/03 de
2023 a partir das 15.30 horas (empregando a plataforma Moovi).
Proba bloque 3 de ecuacións diferenciais (8 %): virtualmente o martes
21/03 de 2023 a partir das 15.30 horas (empregando a plataforma
Moovi).
Se a cualificación da única proba presencial é menor en tres ou máis
puntos en comparación con calquera das outras probas de avaliación
continua (telemáticas), considerarase como valor o da proba
presencial.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 7 / 21
8. Avaliación
Exame final: 70 %; o exame final será presencial a non ser que a
situación sanitaria nese momento leve á Reitorı́a a cambiar as
condicións de celebración das probas
Primeira convocatoria ordinaria: luns 27 de marzo de 2023 a partir
das 10 h. Aulas: Marie Curie.
Segunda edición da acta: xoves 5 de xullo de 2023 a partir 15.30 h.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 8 / 21
9. Avaliación non presencial
Primeira convocatoria ordinaria: Exame escrito global o luns 27 de
marzo a partir 10 h. (segundo calendario do centro) referido aos
contidos explicados na aula. Para aprobar a materia é necesario obter
5 puntos ou máis.
Segunda edicición da acta: Exame escrito global o xoves 5 de xullo de
2023 a partir das 15.30 h. (segundo calendario do centro) referido aos
contidos explicados na aula. Para aprobar a materia é necesario obter
5 puntos ou máis.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 9 / 21
11. Conceptos xerais
Definición
Función ou campo escalar f : A ⊂ Rn → R.
Definición
Función ou campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm, m > 1.
Exemplo
1 f1 : (x, y, z) ∈ R3 −→ f1(x, y, z) = x + y + z − 1 ∈ R
2 f2 : (x, y, z) ∈ R3 −→ f2(x, y, z) = x2 + z3 ∈ R
3 f : (x, y, z) ∈ R3 −→ f (x, y, z) = (
f1
z }| {
x + y + z − 1,
f2
z }| {
x2
+ z3
) =
(f1, f2) ∈ R2
f1 = x + y + z − 1 e f2 = x2 + z3 son funcións compoñentes de f .
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 11 / 21
12. Exemplo
1 T : (x, y, z, t) ∈ R4 −→ T(x, y, z, t) ∈ R é un campo escalar que
asigna a cada punto (x, y, z) de R3 en cada instante de tempo t a
temperatura dese punto.
2 ⃗
v : (x, y, z, t) ∈ R3 −→ ⃗
v(x, y, z, t) ∈ R3 é un campo vectorial que
asigna a cada punto (x, y, z) de R3 en cada instante de tempo t o
vector velocidade no dito punto e no dito instante.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 12 / 21
13. Figura: A gráfica dunha función f : A ⊂ R 7→ R é unha curva en R2
.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 13 / 21
14. Figura: A gráfica dun campo escalar f : A ⊂ R2
7→ R é unha superficie en R3
.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 14 / 21
15. Lı́mites
Consideramos a mesma definición que para as funcións dunha variable.
Exemplo 2
1 Calcula lı́m
(x,y)→(0,1)
x2
+ y2
+ 2.
2 Calcula lı́m
(x,y)→(1,2)
5 x2 y
x2 + y2
.
3 Calcula lı́m
(x,y,z)→(0,0,1)
(x2
− y + 1, x + y + z3
).
4 Calcula lı́m
(x,y)→(0,0)
e
− 1
x2+y2
.
5 Calcula lı́m
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 15 / 21
16. Figura: No caso de lı́mites de varias variables non existe a regra de L’Hôpital.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 16 / 21
17. Lı́mite por subconxuntos
Definición
Sexa f : A ⊂ Rn → Rm, sexa S ⊂ A. Diremos que b ∈ Rm é o lı́mite de f
en x0 ∈ S segundo o subconxunto S se
∀ ε > 0, ∃ δ > 0/x ∈ S, x ̸= x0, dRn (x, x0) < δ ⇒ dRm (f (x), b) < ε.
Notación: lı́m
x→x0
x∈S
f (x) = b.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 17 / 21
18. Figura: En R temos os lı́mites laterais (esquerda e dereita) para tender a un punto
x0. En R hai infinitos xeitos completamente distintos de tender a un punto
(x0, y0).
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 18 / 21
19. Observación
1 O concepto similar nunha variable é lı́m
x→x−
0
f (x), lı́m
x→x+
0
f (x).
2 Se lı́m
x→x0
f (x) = b ∈ Rm
⇒ ∃ lı́m
x→x0
x∈S
f (x) = b, ∀S ⊂ A.
3 Se lı́m
x→x0
x∈S
f (x) ̸= lı́m
x→x0
x∈S′
f (x) ⇒ ∄ lı́m
x→x0
f (x).
Exemplo 3
1 Calcula lı́m
(x,y)→(0,0)
x2 − xy2
x2 + y2
en A = R2 {(0, 0)}.
2 Calcula lı́m
(x,y)→(0,0)
x
y
.
3 Calcula lı́m
(x,y)→(0,0)
xy3
x2 + y6
.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 19 / 21
20. Proposición
Sexan f , g : A ⊂ Rn → R, x0 ∈ A ou x0 ∈ Fr(A). Se g está limitada nunha
veciñanza de x0 e lı́m
x→x0
f (x) = 0, entón ∃ lı́m
x→x0
(f · g)(x) = 0.
Proposición
Sexa f : A ⊂ Rn → R, x0 ∈ Rn. Supoñamos que para todo punto x nunha
veciñanza de x0 (x ̸= x0) temos que |f (x) − L| ≤ φ(x) e lı́m
x→x0
φ(x) = 0.
Entón
lı́m
x→x0
f (x) = L.
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 20 / 21
21. -0.4 -0.2 0.2 0.4
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura: sen(1/x) non ten lı́mite no punto 0
-0.4 -0.2 0.2 0.4
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura: x sen(1/x) si ten lı́mite no punto 0
Primeira clase 30 de xaneiro de 2023 (U.Vigo) Ampliación de Matemáticas (AM) Curso 2022/2023 21 / 21
