Files

1
Н.Хђдэрчулуун
Эпидемиологи Биостатистикийн Тэнхим
Нийгмийн Эрђђл Мэндийн Сургууль
Эрђђл Мэндийн Шинжлэх Ухааны Их Сургууль
e-mail: nhuderchuluun@yahoo.com
Энгийн Шугаман Регресс
(Simple Linear Regression)
Эпидемиологи Биостатистикийн Тэнхим, НЭМС, ЭМШУИС

2
ёндсэн агуулга
 Хамаарлыг судлах
 Корреляцийн коэффициент буюу хамаарлын хђчийг
хэмжих тухай
 Энгийн шугаман регрессийн загвар
 Энгийн шугаман регрессийн загварийг тооцох
 Регрессийн шинжилгээний ђлдэгдэлийн шинжилгээ,
тђђний ђндсэн хэлбэрђђд
 Регрессийн шинжилгээ хийхээс өмнө тавигддаг
урьдач нөхцөлийн талаарх ойлголт
 Детерминацийн коэффициент болон ђл хамааралт
хувьсагчийн хамааралт байх нөхцөл

3
ёндсэн агуулга
 Регрессийн коэффициентын итгэх интервал тооцох ба
тайлбарлах
 Дурбин-Ватсоны статистик ашиглан автокорреляци
шалгах
 Корреляцийн коэффициентийг ђнэлэх
 Регрессийн итгэх интервал
 Дундажийн интгэх интерал
 Бодит (хувийн) таамгаласан итгэх интервал
(continued)

Статистик хамаарал
Хамаарлыг судлах
Хамаарлын хђч, нягтралыг судлах
(Корреляцийн шинжилгээ)
Хамаарлын хэлбэр чиглэлийг тодорхойлох
(Регрессийн шинжилгээ)
Судлагдаж буй ђзђђлэлтђђдийн хооронд хамаарал
буй эсхийг илрђђлэх
Эпидемиологи Биостатистикийн Тэнхим, НЭМС, ЭМШУИС 4

График арга (цэгэн дђрслэл)

6
Корреляцийн Коэффициент
(Coefficient of Correlation)
 Хоѐр тоон ђзђђлэлтийн шугаман хамааралын
зэргийг тодорхойлдог.
 Корреляцийн коэффициент:
YX
n
1i
2
i
n
1i
2
i
n
1i
ii
SS
)Y,X(cov
)YY()XX(
)YY)(XX(
r 








7
Корреляцийн Коэффициент, r
 Корреляцийн коэффициент –1 : 1 хооронд утга авна
 Корреляцийн коэффициентийн утга –1 рђђ ойртох
тусам хђчтэй урвуу шугаман хамааралтай
 Корреляцийн коэффициентийн утга 1 рђђ ойртох
тусам хђчтэй шууд шугаман хамааралтай
 Корреляцийн коэффициентийн утга 0 рђђ ойртох
тусам сул шугаман хамааралтай

8
Цэгэн дђрслэл (Scatter Plots)
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
r = -1 r = -.6 r = 0
r = +.3r = +1
Y
X
r = 0

9
Регрессийн Шинжилгээ
(Regression Analysis)
 Регрессийн шинжилгээ нь:
 õî¸ð ¿ç¿¿ëýëòèéí õîîðîíäûí ñòàòèñòèê õàìààðëûí
õýëáýðèéã òîãòîîх
 ñîíãîæ àâñàí íýã ¿ç¿¿ëýëòèéí óòãààñ íºãºº
¿ç¿¿ëýëòèéí íºõöºëò äóíäàæ óòãà õýðõýí õàìààð÷
áàéãààã èëýðõèéëýх
 Хамааран хувьсагч (Dependent variable): гол
тайлбарлуулагч ђзђђлэлт
 ёл хамааран хувьсагч (Independent variable): хамааран
хувьсагчийг тайлбарлагч ђзђђлэлт

Regression
Models
Linear
Non-
Linear
2+ Explanatory
Variables
Simple
Non-
Linear
Multiple
Linear
1 Explanatory
Variable
Регрессийн загварын төрөл
(Type of Regression Model)
Нэг хђчин
зђйл
Хоѐр буюу тђђнээс
дээш хђчин зђйл

11
Энгийн шугаман регрессийн
загвар (Simple Linear Regression Model)
Нэг эх олонлогоос сонгогдсон хоѐр ђзђђлэлтийн
хоорондын шугаман хамааралыг тодорхойлж,
прогноз, төлөвлөлт, бодлого боловсруулахад
хэрхэн ашиглах
Энгийн Шугам Регрессийн загвар:
Зөвхөн нэг ђл хамааран хувьсагч , X
X ба Y -ийн хоорондын шугаман функцийг
тодорхойлох
X –ийн өөрчлөлтөөр Y-ийн өөрчлөлтийг
тайлбарлах

12
Хамааралын Төрөл (Types of
Relationships)
Y
X
Y
X
Y
Y
X
X
Шугаман хамаарал Муруй шугаман хамаарал

13
Хамаарлыг хђчээр нь ангилах
Y
X
Y
X
Y
Y
X
X
Хђчтэй хамаарал Сул хамаарал
(continued)

14
Хамаарлыг хђчээр нь ангилах
(continued)
Y
X
Y
X
Хамааралгђй
Статистик хамаарал: Сонгож
авсан нэг ђзђђлэлтийн утгаас
нөгөө ђзђђлэлтийн нөхцөлт
дундаж утга хэрхэн хамаарч
байгааг илэрхийлнэ

15
ii10i εXββY 
Шугаман
Энгийн Шугаман Регрессийн
Эх олонлогийн регрессийн загвар:
Эх олонлогын
Y тогтмол утга
Эх
олонлогын
мэдрэмж
Санамсаргђй
алдаа
Хамааран
хувьсагч
ёл хамааран
хувьсагч
Санамсаргђй алдаа
Бђрэлдэхђђн:

16
(continued)
ёлдэгдэл буюу
алдаа
Y
X
Y ба Xi
харгалзах бодит
утга
Y ба Xi –ийн
шугаман дээрх
утга (Predicted
Value)
ii10i εXββY 
Xi
Slope = β1
Тогтмол
(Intercept) = β0
εi

17
i10i XbbYˆ 
Эх олонлогын шугаман регрессийн ђнэлсэн
энгийн шугаман регрессийн тэгшитгэл
Тэгшитгэл (Simple Linear Regression Equation)
Регрессийн
ђнэлэгдсэн
тогтмол утга
Регрессийн
ђнэлэгдсэн мэдрэмж
i ажиглалтын
ђнэлэгдсэн Y
утга
i ажиглалтын
X утга
ёлдэгдэл буюу алдааны ei дундаж утга нь “тэг”-тэй
тэнцђђ

18
Хамгийн Бага Квадратын
арга (Least Squares Method)
 ёлдэгдэл буюу алдааны квадратыг хамгийн
бага байлгах:
 Параметрђђдийн хувьд минимизацийн
бодлого бодож, тэдгээрийг олох системийг
тодорхойлбол:
2
i10i
2
ii ))Xb(b(Ymin)Yˆ(Ymin  

Хамгийн Бага Квадратын
арга (Least Squares Method)
 Параметрђђдийн хувьд минимизацийн
бодлого бодож, тэдгээрийг олох системийг
тодорхойлбол:
 Системээс параметрђђдийн ђнэлнэ.
19
 
  0
0
1
10
1
10






n
i
iii
n
i
ii
XbbYX
XbbY

20
Жишээ
 Байрны ђнэд талбайн хэмжээнээс хэрхэн
хамаардаг байдлыг судлах зорилгоор судалгаа
хийв
 Санамсаргђй тђђвэрлэлтээр 10 байр сонгосон
 Хамааран хувьсагч (Y) = байрны ђнэ $1000
 ёл хамааран хувьсагч (X) = талбайн хэмжээ

21
Байрны ђнэ талбайн хэмжээ
Байрны үнэ $1000
(Y)
Талбайн хэмжээ
(X)
245 1400
312 1600
279 1700
308 1875
199 1100
219 1550
405 2350
324 2450
319 1425
255 1700

22
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Square Feet
HousePrice($1000s)
График дђрслэл
 Байрны ђнэ талбайн хэмжээнээс
хамаарсан загвар: цэгэн дђрслэл
(scatter plot)

Excel программ ашиглан Регрессийн
шинжилгээ хийх (Regression Using Excel)
 Data / Data Analysis / Regression

24
ёр дђн (Excel Output)
Regression Statistics
Multiple R 0.76211
R Square 0.58082
Adjusted R Square 0.52842
Standard Error 41.33032
Observations 10
ANOVA
df SS MS F Significance F
Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039
Residual 8 13665.5652 1708.1957
Total 9 32600.5000
Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
Регрессийн тэгшитгэл:
feet)(square0.1097798.24833pricehouse 

25
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Square Feet
HousePrice($1000s)
График дђрслэл (Graphical Presentation)
 Байрны ђнэ, талбайн хэмжээнээс хамаарсан
загвар: цэгэн дђрслэл ба регрессийн шугам
Slope
= 0.10977
Intercept
= 98.248

26
b0 буюу тогтмол коэффициентийг
тайлбарлах (Interpretation of the Intercept)
 b0 нь X буюу ђл хамааран хувьсагчаас бусад
хђчин зђйлийн нөлөөг харуулна.

27
b1 коэффициентийг тайлбарлах
(Interpretation of the Slope Coefficient)
 b1 нь Х буюу ђл хамааран хувьсагч нэг
нэгжээр өөрчлөгдөхөд Y буюу хамааран
хувьсагч хэрхэн өөрчлөгдөхийг харуулна.
 Жишээ: b1 = .10977 ба талбайн хэмжээ нэг
квадрат метрээр нэмэгдэхэд байрны ђнэ дундажаар
0.10977($1000) = $109.77 нэмэгдэнэ.

28
317.85
0)0.1098(20098.25
(sq.ft.)0.109898.25pricehouse



2000 квадрат метр
талбайтай байрны ђнэ:
2000 квадрат метр талбайтай байрны ђнэ
317.85($1,000s) = $317,850
Регрессийн шинжилгээны
ђр дђн

29
ёзђђлэлтийн Вариаци
(Measures of Variation)
 Дисперсийг нэмэх дђрэм:
SSESSRSST 
Total Sum of
Squares
Regression Sum
of Squares
Error Sum of
Squares
  2
i )YY(SST   2
ii )YˆY(SSE  2
i )YYˆ(SSR
ђђнд:
= хамааран хувьсагчийн дундаж утга
Yi = хамааран хувьсагчийн бодит утга
i = регрессийн шугаман дээрх утгаYˆ
Y

30
(continued)
Xi
Y
X
Yi
SST = (Yi - Y)2
SSE = (Yi - Yi )2

SSR = (Yi - Y)2

_
_
_
Y

Y
Y
_
Y

ёзђђлэлтийн Вариаци
(Measures of Variation)

31
 Детерминацийн коэффициент нь рергессийн
тегшитгэлийг тайлбалагч гол ђзђђлэлт
 Тайлбарлагч хувьсагчийн хэдэн хувийг
тайлбарлаж буйг илэрхийлнэ
 Кореляцийн коэффициентийг квадрат зэрэгт
дэвшђђлсэнтэй тэнцђђ
Детерминацийн Коэффициент
(Coefficient of Determination), r2
1r0 2

squaresofsumtotal
squaresofsumregression
SST
SSR
r2


32
r2 = 1
Детерминацийн коэффициентийн
ерөнхий хэлбэрђђд
Y
X
Y
X
r2 = 1
r2 = 1
X ба Y хооронд төгс буюу
функцинал хамааралтай:
X хђчин зђйлийн өөрчлөлт нь
Y-ийн өөрчлөлтийг 100%
тайлбарлана

33
Y
X
Y
X
0 < r2 < 1
X ба Y хооронд шугаман
хамааралтай:
X хђчин зђйлийн өөрчлөлт
нь Y-ийн өөрчлөлтөнд
нөлөө ђзђђлнэ.
(continued)

34
r2 = 0
X ба Y хооронд шугаман
хамааралгђй:
X хђчин зђйлийн өөрчлөлт
нь Y-ийн өөрчлөлттөнд
нөлөөлдөггђй.
Y
X
r2 = 0
(continued)

35
ёр дђн (Excel Output)
Multiple R 0.76211
R Square 0.58082
Observations 10
ANOVA
Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039
Residual 8 13665.5652 1708.1957
Total 9 32600.5000
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
Байрны ђнийг тодорхойлсон
загвар 58.08% -ийг
тайлбарлах боломжтой
0.58082
32600.5000
18934.9348
SST
SSR
r2


36
Регрессийн шинжилгээний урьдач
нөхцөл (Assumptions of Regression)
 Алдааны нормал байх шинж (Normality of Error)
 ёлдэгдэл буюу алдаа (ε)-ны тархалт нь нормал
тархалттай байх
 Хомоскедастик байх шинж (Homoscedasticity)
 Алдааны магадлалт тархалт нь тогтмол вариацтай
байх
 Алдааны ђл хамааралт байх шинж (Independence of
Errors)
 Алдаа буюу ђлдэгдэл хувьсагчид нь бие биеэсээ ђл
хамаарах байх

37
ёлдэгдэлийн Шинжилгээ
(Residual Analysis)
 Бодит ажиглалтын утга, регрессийн шугаман дээрх
утгуудын зөрђђг ђлдэгдэл буюу алдаа
 Шугаман регрессийн ђлдэгдэлийн шинжилгээнд
тавигдах урьдач нөхцөлийг шалгах
 Шугаман нөхцөлийн шалгах
 Тогтмол вариацтай байх буюу гомоскедастик
нөхцөл(homoscedasticity)
 Нормал тархалтай байх нөцөлийг ђнэлэх
 ёл хамааралт байх нөхцөлийг ђнэлэх
 ёлдэгдэлийн График шинжилгээ
 ёлдэгдэлийн график дђрслэл
iii YˆYe 

38
ёлдэгдэлийн шугаман байх
нөхцөл (Residual Analysis for Linearity)
Шугаман биш Шугаман

x
residuals
x
Y
x
Y
x
residuals

39
ёлдэгдэлийн Шинжилгээний
Гомоскедастик нөхцөл
(Residual Analysis for Homoscedasticity )
Тогтмол биш дисперс  Тогтмол дисперс
x x
Y
x x
Y
residuals
residuals

40
ёлдэгдэлийн Шинжилгээний ђл
хамааралт байх нөхцөл
( Residual Analysis for Independence)
Хамааралт
ёл хамааралт
X
X
residuals
residuals
X
residuals


41
House Price Model Residual Plot
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 1000 2000 3000
Square Feet
Residuals
ёлдэгдэлийн ђр дђн
RESIDUAL OUTPUT
Predicted
House Price Residuals
1 251.92316 -6.923162
2 273.87671 38.12329
3 284.85348 -5.853484
4 304.06284 3.937162
5 218.99284 -19.99284
6 268.38832 -49.38832
7 356.20251 48.79749
8 367.17929 -43.17929
9 254.6674 64.33264
10 284.85348 -29.85348
Регрессийн урьдач нөхцөл хангагдаж байна

42
 Цаг хугацааны мэдээлэлд өмнөх цаг
хугацааны тђвшингђђдннс хђчтэй
хамаарч байвал автокорреляци байна гэж
ђздэг
 ёлдэгдэл хувьсагчид өмнөх цаг
хугацааны тђвшингөөс хамаарах байдлыг
автокорреляци
Автокорреляци: Дурбин-Ватсоны
статистик(Autocorrelation: The Durbin-Watson Statistic)

43
Автокорреляци (Autocorrelation)
 Автокорреляци гэдэг нь ђлдэгдэл (алдаа)-ийн
хоорондоо хамааралтай бадал
 Регрессийн урьдач нөхцөлийн нэг нь ђлдэгдэлђђд
нь санамсаргђй ба ђл хамааралт байх
Time (t) Residual Plot
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 2 4 6 8
Time (t)
Residuals ёђнд, ђлдэгдэлђђд нь
санамсаргђй биш,
тодорхой мөчлөгт
өөрчлөгдөж байна.

44
Дурбин-Ватсоны шинжђђр
(The Durbin-Watson Statistic)





 n
1i
2
i
n
2i
2
1ii
e
)ee(
D
 0 ≤ D ≤ 4 хооронд утга авна
 D нь 2 орчимд байвал H0 ђнэн
 D нь 2-оос бага бол эерэг
автокореляци байж болох дохио, D
нь 2-оос их бол сөрөг автокореляци
байж болох дохио
 Дурбин-Ватсоны шинжђђрийг ашиглан
автокорреляци байгаа эсхийг шалгаж болно
H0: ђлдэгдэлђђд хамааралгђй
H1: автокореляци

45
Эерэг Автокорреляцийг
шалгах (Testing for Positive Autocorrelation)
 Дурбин- Ватсоны тестийг тооцох = D
Шийдвэр гаргах: хэрэв D < dL бол H0 няцаагдана
H0: эерэг автокорреляци байгаа
H1: эерэг автокорреляци байхгђй
0 dU 2dL
Няцаана H0 Зөвшөөрнө H0
Дурбин-Ватсоны хђснэтгээс dL ба dU утгыг олох
(тђђврийн хэмжээ n ба ђл хамааран хувьсагчийн тоо k)
Inconclusive

46
 Тђђврийн хэмжээ n = 25
Durbin-Watson Calculations
Sum of Squared
Difference of Residuals 3296.18
Sum of Squared
Residuals 3279.98
Durbin-Watson
Statistic 1.00494
y = 30.65 + 4.7038x
R
2
= 0.8976
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 5 10 15 20 25 30
Time
Sales
(continued)
1.00494
3279.98
3296.18
e
)e(e
D n
1i
2
i
n
2i
2
1ii









47
 n = 25 ба k = 1 буюу нэг ђл хамааран хувьсагч
 Дурбин-Ватсоны хђснэгт, dL = 1.29 ба dU = 1.45
 D = 1.00494 < dL = 1.29, учир эерэг автокореляцтай
гэсэн таамаглалыг статистик ач холбогдолын тђвшинд
H0 –ийг няцаана
(continued)
Шийдвэр: няцаана H0
D = 1.00494 < dL
0 dU=1.45 2dL=1.29
Reject H0 Do not reject H0Inconclusive

48
Мэдрэмж буюу Slope
 Регрессийн коэффициент (b1)-ийн стандарт
алдааг дараах байдлаар ђнэлдэг
 

2
i
YXYX
b
)X(X
S
SSX
S
S 1
ђђнд:
= Мэдрэмжийн ђнэлэгдсэн стандарт алдаа
= ёнэлгээний стандарт алдаа
1bS
2n
SSE
SYX



49
ёр дђн
Multiple R 0.76211
R Square 0.58082
Observations 10
ANOVA
Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039
Residual 8 13665.5652 1708.1957
Total 9 32600.5000
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
0.03297S 1b 

50
Мэдрэмжийн Стандарт алдаа
(Standard Errors of the Slope)
Y
X
Y
X
1bSsmall 1bSlarge
нь мэдрэмжийн хазайлт ба регрессийн шугамыг
өөрчлөх боломжтой байдаг
1bS

Мэдрэмжийн тухай тайлбар: t
тест (Inference about the Slope: t Test)
 Эх олонлогын мэдрэмж (slope) ђнэлэх t тест
 X ба Y хооронд шугаман хамаарал байдаг уу?
 Тэг ба альтарнатив таамаглал
H0: β1 = 0 (шугаман хамааралгђй)
H1: β1 ≠ 0 (шугаман хамааралтай)
 Тестийн статистик
1b
11
S
βb
t


2nd.f. 
ёђнд:
b1 = регрессийн тэгшитгэлийн
коэффициент
β1 = таамаглалын мэдрэмж
Sb1 = мэдрэмж (slope)-ийн
стандарт алдаа
51Эпидемиологи Биостатистикийн Тэнхим, НЭМС, ЭМШУИС

House Price
in $1000s
(y)
Square Feet
(x)
245 1400
312 1600
279 1700
308 1875
199 1100
219 1550
405 2350
324 2450
319 1425
255 1700
(sq.ft.)0.109898.25pricehouse 
ёнэлэгдсэн регрессийн тэгшитгэл:
Загварт ђнэлэгдсэн утга 0.1098
Талбайн хэмжээ нь байрны ђнэд
нөлөөлөх хђчин зђйл мөн ђђ?
тест (Inference about the Slope: t Test)
(continued)

тестийн жишээ (Inference about the Slope: t Test
Example)
H0: β1 = 0
H1: β1 ≠ 0
ёр дђн:
Coefficients Standard Error t Stat P-value
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039
1bS
t
b1
32938.3
03297.0
010977.0
S
βb
t
1b
11






H0: β1 = 0
H1: β1 ≠ 0
Тестийн статистик: t = 3.329
Талбай хэмжээ нь байрны
ђнэд нөлөөлөх хђчин зђйл
мөн
ёр дђн:
Няцаана H0
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039
1bS tb1
Шийдвэр:
Дђгнэлт:
Няцаана H0Няцаана H0
a/2=.025
-tα/2
Зөвшөөрнө H0
0
tα/2
a/2=.025
-2.3060 2.3060 3.329
d.f. = 10-2 = 8
(continued)
Example)

H0: β1 = 0
H1: β1 ≠ 0
P-утга = 0.01039
Талбай хэмжээ нь байрны ђнэд
нөлөөлөх хђчин зђйл мөн
ёр дђн:
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039
P-value
Шийдвэр: P-value < α учир
Дђгнэлт:
(continued)
Хоѐр-талт тестийн ђед p-
утга тооцох
P(t > 3.329)+P(t < -3.329)
= 0.01039
( 8 d.f.)
Няцаана H0
Example)

Регрессийн шинжилгээн дэхь
F-тест
 F тест:
ђђнд
MSE
MSR
F 
1kn
SSE
MSE
k
SSR
MSR



k ба (n – k - 1) чөлөөний зэргийн тоотой F тархалт ын утга,
тооцооны F утгатай харьцуулж тооцно
(k = регрессийн загвар дахь ђл хамааран хувьсагчийн тоо)

ёр дђн
Multiple R 0.76211
R Square 0.58082
Observations 10
ANOVA
Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039
Residual 8 13665.5652 1708.1957
Total 9 32600.5000
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
11.0848
1708.1957
18934.9348
MSE
MSR
F 
1 ба 8 чөлөөний
зэрэгийн тоо
F-тестийн
P-утга

H0: β0 = β1 = 0
H1: β0 ≠ β1 ≠ 0
a = 0.05
df1= 1 df2 = 8
Тестийн статистик:
Шийдвэр:
Дђгнэлт:
α = 0.05 тђвшинд H0
няцаана
Регрессийн коэффициентууд
нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцђђ биш0
a = .05
F.05 = 5.32
Няцаана H0Зөвшөрнө
H0
11.08
MSE
MSR
F 
Критик
утга:
Fa = 5.32
F-Тест
(continued)
F

Мэдрэмжийн Итгэх Интервал
(Confidence Interval for the Slope)
Мэдрэмжийн интервал ђнэлгээ:
ёр дђн:
95% итгэх тђвшинд мэдрэмжийн итгэх интервал нь
(0.0337, 0.1858)
1b2n1 Stb 
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
d.f. = n - 2

Талбайн хэмжээг нэг нэгжээр нэмэгдэхэд
байрны ђнэ дундажаар 95% итгэх тђвшинд
$33.70 -оос $185.80 нэмэгдэнэ
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
Мэдрэмжийн Итгэх Интервал
(Confidence Interval for the Slope)
(continued)

Корреляцийн Коэффициентийг
ђнэлэх t тест
 Таамаглал
H0: ρ = 0 ( X ба Y хооронд хамааралгђй)
HA: ρ ≠ 0 (хамааралтай)
 Статистик тест
 ( n – 2 чөлөөний зэргийн тоо)
2n
r1
ρ-r
t
2



0bifrr
0bifrr
where
1
2
1
2



Жишээ:
Байрны талбай хэмжээ ба байрны ђнэ
хооронд шугаман хамааралтай эсэхийг
ђнэлэх
H0: ρ = 0 (хамааралгђй)
H1: ρ ≠ 0 (хамааралтай)
a =.05 , df = 10 - 2 = 8
3.33
210
.7621
0.762
2n
r1
ρr
t
22










Жишээ: Тестийн ђр дђн
Дђгнэлт:
5% ач
холбогдолын
тђвшинд
шугаман
хамааралтай
Шийдвэр гаргах:
H0 Няцаана
Няцаана H0Няцаана H0
a/2=.025
-tα/2
Зөвшөөрнө H0
0
tα/2
a/2=.025
-2.3060 2.3060
3.33
d.f. = 10-2 = 8
3.33
210
.7621
0.762
2n
r1
ρr
t
22










Дундаж ба Таамагласан
бодит утгын ђнэлгээ
Y
XXi
Y = b0+b1Xi

Дундажийн
итгэх
интервал
Бодит (хувийн)
таамагласан итгэх
интервал
Y


Y-ийн дундаж утгын итгэх
интервал
Xi тухайлсан утгаар өгөгдсөн Y-ийн дундаж
утгын ђнэлэгдсэн итгэх интервал
Дундажаас хазайх хазайлтын
квадрат утга, X
ihtY YX2n
XX|Y
Sˆ
:μ i



 



 2
i
2
i
2
i
i
)X(X
)X(X
n
1
SSX
)X(X
n
1
h
Итгэх интервал

Бодит Y-ийн таамагласан итгэх
интервал
Xi тухайлсан утгаар өгөгдсөн Y-ийн хувийн
утгын ђнэлэгдсэн итгэх интервал
iYX2n
XX
h1StYˆ
:YforintervalConfidence i
 


Дундаж утгын ђнэлгээ: Жишээ
2,000 квадрат метр байрны дундаж ђнийн 95%
интгэх интервал
ёнэлэгдсэн утга Yi = 317.85 ($1,000)

μY|X=X ђнэлгээний итгэх интервал
37.12317.85
)X(X
)X(X
n
1
StYˆ
2
i
2
i
YX2-n 




Итгэх интервал нь $280,660 аас $354,900

Бодит утгын ђнэлгээ: Жишээ
2,000 квадрат метр байрны бодит (хувийн) 95%
таамагласан интервал
ёнэлэгдсэн утга Yi = 317.85 ($1,000s)

YX=X Таамагласан интервалын ђнэлгээ
102.28317.85
)X(X
)X(X
n
1
1StYˆ
2
i
2
i
YX1-n 




Таамагласан интервал $215,500 аас $420,070

Амжилт хђсье!

Files

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (16)

Files