Pertemuan 11 Integral Mempelajari tentang integral, kaidah - kaidah integral.

1. Matematika Ekonomi
Integral
Wiji Safitri, SMB., MM.
Program Studi Manajemen
Fakultas Ekonomi Bisnis dan Ilmu Sosial
Universitas Pelita Bangsa

2. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi f(x) berarti mencari integral atau turunan – antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x):
∫ f(x) dx = F(x) +k
Keterangan:
✓ ∫ tanda integral
✓ f(x) dx adalah differensial dari F(x) .
✓ f(x) : integran
✓ dx : differensial
✓ F (x) : integral particular
✓ k adalah konstanta pengintegralan
✓ F(x) +k merupakan fungsi asli atau fungsi asal.
✓ Proses pengintegralan juga disebut integrasi
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

3. Integral
f(x) f’(x)
F(x) f(x)
∫ f(x) dx = F(x) + k
2x2 + 4 4x
2x2 + 6 4x
2x2 -5 4x
2x2 + c 4x
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

4. Kaidah Integral Tak Tentu
Kaidah 1: Formula pangkat
∫ xn dx =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ k n≠ -1
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.
Contoh:
✓ ∫ x4 dx =
𝒙 𝟒+𝟏
𝟒+𝟏
+ k =
𝒙 𝟓
𝟓
+ k
✓ ∫ 4 dx =
𝟒𝒙 𝟎+𝟏
𝟎+𝟏
+ k =
𝟒𝒙
𝟏
+ k = 4x + k

5. Kaidah Integral Tak Tentu
Kaidah 2: Formula Logaritmis
∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 + k
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.
Contoh:
✓ ∫
𝟑
𝒙
𝒅𝒙 = 3 𝒍𝒏 𝒙 + k
✓ ∫
𝟑
𝒙+𝟏
𝒅𝒙 = ∫
𝟑 𝒅(𝒙+𝟏)
𝒙+𝟏
+ 𝒌 = 𝟑 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟏 + 𝒌

6. Kaidah Integral Tak Tentu
Kaidah 3 : Formula Eksponensial
∫ en dx = 𝒆 𝒙
+ k u = f(x)
∫ eu du = 𝒆 𝒖 + k
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.
Contoh:
✓ ∫ ex+2 dx = ∫ 𝒆 𝒙+𝟐
d(x+2) = 𝒆 𝒙+𝟐
+ k
✓ ∫ e2x dx =
𝟏
𝟐
∫ 𝒆 𝟐𝒙 d(2x) =
𝟏
𝟐
𝒆 𝟐𝒙 + k

7. Kaidah Integral Tak Tentu
Kaidah 4: Formula Penjumlahan
∫ { (x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫g(x)dx
= F(x) +G(x) +k
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.
Contoh:
∫ (x4 + 3x2) dx = ∫ x4 dx + ∫ 3x2 dx = 0,2x5 + x3 + k

8. Kaidah Integral Tak Tentu
Kaidah 5: Formula Perkalian
∫ nf(x) dx = n ∫ f(x) dx n≠ 0
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.
Contoh:
∫ 3x2 dx = 3 ∫ x2 dx = 3 (
𝒙 𝟐+𝟏
𝟐+𝟏
+ki) = x3 + k

9. Kaidah Integral Tak Tentu
Kaidah 6: Formula Substitusi
∫ f(u)
𝒅𝒖
𝒅𝒙
dx = ∫ f(u) du = F(u) +k
Dimana u = g(x), dan ∫ du merupakan
substitute bagi ∫ dx
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.
Contoh:
∫ 6x (3x2 - 10) dx = ∫ (18x3 – 60x) dx = 4,5x4 - 30x2 + k

10. Latihan
1. ∫ x3 dx
2. ∫ x-4 dx
3. ∫ 9x2 dx
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

11. Intergral Tertentu
Integral tertentu: integral suatu fungsi yang nilai – nilai variable
bebasnya (memiliki batas – batas) tertentu.
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak
di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal – x, dalam suatu
rentangan wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x = b.
∫ f(x) dx = F(x) +k
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

12. Jika ingin mengetahui hasil integrase tersebut untuk suatu rentangan
wilayahtertentu, katakanlah x = a, dan x = b dimana a<b, maka x dapat
disubstitusikan dengan nilai – nilai a dan b sehingga ruas kanan
persamaan menjadi:
{ F (b) +k} – {F(a) +k} = F (b) – F(a)
F (b) – F(a) adalah hasil integrase tertentu dari f(x) antara a dan b. secara lengkap persamaan
pertama dituliskan :
‫׬‬𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 dx = [ F(x)] 𝑎
𝑏
= F (b) – F(a)
✓ Notasi ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 dx dibaca integral f(x) untuk rentang wilayah x dari a ke b
✓ Mengingat a<b – a dinamakan batas – batas integrase, sedangkan b disebut batas – batas integrasi
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

13. Kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a<c<b, berlaku:
1. ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 dx = [ F(x)] 𝑎
𝑏
= F (b) – F(a)
Contoh:
‫׬‬𝟐
𝟑
𝒙 𝟒 dx = [
𝑥5
5
]5 =
1
5
[x5]2
5
=
1
5
(3125 – 32) = 618,6
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

14. Kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a<c<b, berlaku:
2. ‫׬‬
𝒂
𝒇 𝒙 dx = 0
Contoh:
‫׬‬𝟐
𝟐
𝒙 𝟒
dx = [
𝑥5
5
]2
2
=
1
5
[x5]2
=
1
5
(32 – 32) =0
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

15. Kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a<c<b, berlaku:
3. ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 dx = - ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 dx
Contoh:
‫׬‬𝟐
𝟓
𝒙 𝟒 dx = 618,6
-‫׬‬𝟐
𝟓
𝒙 𝟒 dx = - [
𝑥5
5
]5
2
= 618,6
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

16. Kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a<c<b, berlaku:
4. ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒌𝒇 𝒙 dx = k ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 dx
Contoh:
‫׬‬𝟐
𝟓
𝟓𝒙 𝟒 dx = [
𝑥5
5
]2
5
= 3125 – 32 = 3093
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

17. Kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a<c<b, berlaku:
5. ‫׬‬𝒂
𝒃
{𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙)} dx = ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 dx + ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒈 𝒙 𝒅𝒙
Contoh:
‫׬‬𝟐
𝟓
( 𝒙 𝟒 + 5𝒙 𝟒 ) dx = 3711,6
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

18. Kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a<c<b, berlaku:
6. ‫׬‬𝒂
𝒄
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + ‫׬‬𝒄
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙= ∫ 𝒃
𝒇(𝒙) dx
Contoh:
‫׬‬𝟐
𝟑
𝒙 𝟒 dx + ‫׬‬𝟑
𝟓
𝒙 𝟒 dx = 618,6
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

19. Latihan Integrasi Tertentu
1. ‫׬‬𝟒
𝟔
𝒙 dx
2. ‫׬‬𝟒
𝟔
𝒙 𝟑 dx
WIJI SAFITRI, S.M.B., M.M.

20. Terima Kasih