LOS MEJORES PROBLEMAS DE ESTABILIDAD 2

1. Trabajo Práctico 6 - 1
Trabajo Práctico Nº 6: Tensiones de corte.
Ejercicio 1: Una viga de madera simplemente apoyada, soporta la carga de un entrepiso del
mismo material. Sabiendo que la sección transversal es b = 6cm y h = 12 cm; determinar las
tensiones máximas por corte y en la misma sección las tensiones en una fibra ubicada a 2
cm por debajo de la superficie neutra. Graficar el diagrama de tensiones. Nota: La luz está
en metros y las dimensiones de la sección en centímetros.
Datos: q = 3 kN/m
adm = 1,7 MPa
Para la fibra baricéntrica donde el corte es máximo
El corte máximo es en los apoyos y vale T = 3,75 kN
adm
e
EN
máxxy MPa
m
kN
mm
mkN
bI
mT
78,025,781
1064,806,0
1010875,3
246
36
0
Al mismo resultado se arriba con la siguiente expresión que es válida únicamente
para la sección rectangular llena:
kN
mmknlq
RR BA 75,3
2
5,2/3
2
46
3
1064,8
12
12,006,0
mIz
363
101081083660
mcmme
EN

2. Trabajo Práctico 6 - 2
admmáxxy MPa
m
kN
mm
kN
A
T
78,025,781
12,006,0
75,35,1
5,1 2
Para calcular las tensiones de corte en una fibra que no coincida con el Eje Neutro, se
debe aplicar la fórmula de Jourasky Collignon.
363
1096964642
mcmme
EN
MPa
m
kN
mm
mkN
xy 69,044,694
1064,806,0
109675,3
246
36
2
Ejercicio 2: Calcular las tensiones de corte máximas, en ambos apoyos. Calcular las
tensiones principales en la sección de máximo esfuerzo de corte, para una fibra ubicada a 2
cm por debajo de la superficie neutra. Nota: Las luces están en metros y las dimensiones de
la sección en centímetros.
Datos: q = 1,5 kN/m
kN
m
mkN
m
m
kN
RA 15,3
5
.3
2
55,1
kNm
m
kN
RB 35,715,375,1
Para el cálculo de las tensiones máximas se emplea la expresión simplificada para la
sección rectangular llena. Observar que en B hay dos valores de corte Ti=4.35 y Td=3,00

3. Trabajo Práctico 6 - 3
Apoyo A: MPa
m
kN
mm
kN
máxxy 32,0315
15,01,0
15,35,1
2
Apoyo B izq : MPa
m
kN
mm
kN
máxxy 44,0435
15,01,0
35,45,1
2
Apoyo B der : MPa
m
kN
mm
kN
máxxy 3,0300
15,01,0
35,1
2
Para calcular las tensiones de corte en una fibra que no coincida con el Eje Neutro,
se debe aplicar la fórmula de Jourasky Collignon.
46
3
101,28
12
15,01,0
mIz
363
1025,26125,26175,4105,52
mcmme
EN
MPa
m
kN
mm
mkN
xy 40,043,404
101,281,0
1025,26135,4
246
36
2
Apoyo B der : MPa
m
kN
mm
kN
máxxy 33,0300
15,01,0
35,1
2
Para calcular las tensiones principales necesitamos las tensiones debidas a flexión. En el
Ejercicio 3 del Trabajo práctico Nº 4, se había determinado: M B = 3 kN.m
MPa
m
kN
m
mmkN
x 14,223,135.2
101,28
)02,0(.3
2462
MPa
MPa
xy
x
40,0
14,2

4. Trabajo Práctico 6 - 4
MPaMPa 21,207,0
14,107,1)40,0(
2
14,2
2
14,2
21
2
2
21
MPaMPaMPa máxmínmáx 07,114,114,1
´14º10´29º202374,0
14,2
40,022
2 000
yx
xy
tg
Ejercicio 3: Una viga soporta una carga concentrada en el centro del tramo. Considerando
que la viga está constituida por dos escuadrías cuadradas superpuestas, calcular el ancho y
la altura que debe darse a cada llave de madera dura; las llaves se ubican a cada metro de
longitud de la viga. Nota: La luz está en metros y las dimensiones de la sección en
centímetros.
Datos: P = 9 kN

5. Trabajo Práctico 6 - 5
//adm = 3 MPa
adm = 10 MPa
kN
kN
RR BA 5,4
2
9
MPa
m
kN
mm
kN
máxxy 17,019,172
28,014,0
5,45,1
2
kNmm
m
kN
H 11,24114,019,172 21
m
m
kN
m
kN
b
H
eebH
adm
adm 057,0
300014,0
11,24
2
1
1
//
//
e 6 cm
c 3,5 cmm
m
kN
m
kN
b
H
c
c
b
H
adm
adm 034,0
000.1014,0
11,2422
2 2
11

6. Trabajo Práctico 6 - 6
Ejercicio 4: Un poste circular de acero de 3 m de longitud está sometido en su tope a una
fuerza horizontal. Determinar las tensiones de corte máximas y las tensiones principales, así
como sus correspondientes orientaciones, en una fibra ubicada a 5 cm de la superficie
neutra. Nota: La altura del poste está en metros.
Datos: H = 30 kN
D = 20 cm
MPa
m
kN
m
kN
R
T
máxxy 27,188,273.1
10,014,3
30
3
4
3
4
2222
244
222
4
22
14,955
1,014,3
)05,01,0(30
3
4)(
3
4
m
kN
m
mkN
R
yRT
Axy
º305,0
1,0
05,0
m
m
sen
MPa
m
kNkNxy
tg 1,12,103.1
º30cos
14,955
cos 2
En el Trabajo Práctico Nº 4, se había determinado la tensión normal
actuante en la fibra:
MPay 575

7. Trabajo Práctico 6 - 7
MPa
MPa
tg
y
1,1
57
MPaMPaMPa máxmínmáx 5,2852,2852,28
´06º1´12º22037,0
57
1,122
2 000
yx
xy
tg
Ejercicio 5: Calcular las tensiones máximas de corte en la siguiente estructura y dibujar los
diagramas de tensiones. Nota: La luz está en metros y las dimensiones de la sección en
centímetros.
Datos: P = 4,41 kN
MPaMPa 02,5702,0
52,285,28)1,1(
2
57
2
57
21
2
2
21

8. Trabajo Práctico 6 - 8
kNsenkNsenTTz 559,1º45205,2
kNkNTTy 559,1º45cos205,2cos
46
3
1064,8
12
12,006,0
mIz
363
10108108366
0
mcmm e
EN
MPa
m
kN
mm
mkN
máxxy 32,079,324
1064,806,0
10108559,1
246
36
Se puede aplicar la expresión simplificada para sección rectangular llena.
MPa
m
kN
mm
kN
máxxy 32,079,324
12,006,0
559,15,1
2
46
3
1016,2
12
60,012,0
mIy
363
1054545,1123
0
mcmme
EN
MPa
m
kN
mm
mkN
máxxz 32,079,324
1016,212,0
1054559,1
246
36
MPa
m
kN
mm
kN
máxxz 32,079,324
12,006,0
559,15,1
2
En este caso particular, al ser iguales las proyecciones del esfuerzo de corte sobre
ambos ejes, las tensiones máximas son idénticas independientemente de los valores de
momentos estáticos y de inercia.
kN
kNP
RR BA 205,2
2
14,4
2

9. Trabajo Práctico 6 - 9
Ejercicio 6: Determinar las tensiones de corte en la correa del techo de fibrocemento,
dimensionada en el Ejercicio 3 del Trabajo Práctico 5. Nota: La luz está en metros y las
dimensiones de la sección en centímetros.
Datos: q correa = 0,78 kN/m
kN
m
m
kN
RR BA 56,1
2
478,0
kNsenkNsenTTz 66,0º2556,1
kNkNTTy 41,1º25cos56,1cos
MPa
m
kN
mm
kN
máxxy 17,015,165
16,008,0
41,15,1
2
36346
3
1012812821641083,6
12
08,016,0
mcmSmIy
MPa
m
kN
mm
mkN
máxxz 08,03,77
1083,616,0
1012866,0
246
36

10. Trabajo Práctico 6 - 10
Ejercicio 7: Determinar las tensiones de corte máximas y para la misma sección las
tensiones en una fibra ubicada a 3 cm por encima del Eje Neutro. Dibujar el diagrama de
tensiones. Nota: La luz está en metros y las dimensiones de la sección en centímetros.
Datos: P = 20 kN
Para la tensión máxima se puede aplicar la expresión para sección rectangular llena,
para el cálculo de las tensiones en la fibra únicamente la expresión de Jourasky Collignon,
el resultado para la tensión de corte en la fibra es de 1,92 MPa.
Ejercicio 8: En la viga de la figura, que ha dimensionado en el Ejercicio 5 del Trabajo
Práctico 5, determinar las tensiones máximas por corte en ambas direcciones. Nota: La luz
está en metros.
Datos: q = 1 kN/m
Con el valor de b = 8 cm, se obtiene MPamáxxz 15,0

11. Ejercicio
Determinar la distribución de tensiones de corte en el perl angular de la gura sometida a
esfuerzos de corte en ambas direcciones principales de inercia.
a
a
e
s
y
z
b
z’
Figura 1: Perl ángulo de alas iguales
Determinación del centro de gravedad
Dado que el perl tiene alas iguales, claramente el eje y es eje de simetría y por lo tanto una
dirección principal de la sección. Falta determinar la distancia b desde la unión de las dos alas hasta
la posición del centro de gravedad.
Supondremos que el perl es delgado y usaremos expresiones aproximadas de los momentos de
inercia y de los momentos de área despreciando momentos respecto al eje del ala. Esto es equivalente
a suponer que el área está concentrada a lo largo del eje del ala. De esta forma el área de la sección
es sencillamente
A = 2ea
Tomando momentos respecto al eje z′
2(ae)
a
2
√
2
− Ab = 0
de donde
b =
a
2
√
2
que corresponde a la proyección sobre el eje y del punto central de cada ala
1

12. Fuerza de corte en la dirección y
Evaluemos primero el momento de inercia respecto al eje z. Esto puede calcularase como si fueran
dos rectángulos de base e
√
2 y de altura a/
√
2 (distancia entre los puntos extremos en la dirección y)
Iz = 2
e
√
2 a√
2
3
12
=
ea3
12
Cuando el esfuerzo de corte actúa en la dirección y se tiene que para cada punto (asociado con la
coordenada s medida desde un extremo del ala (la misma expresión se aplica para cada ala)
τ(s) =
1
e
Ty
Iz
es
a
2
−
s
2
1
√
2
deniendo q(s) = τ(s)e como la integral del corte en el espesor o ujo de corte, se tiene reemplazando
el valor de Iz
q(s) =
6
√
2
Ty
a3
s (a − s)
el cual tiene claramente una variación cuadrática con la coordenada s. Vale 0 en el extremo del ala y
en la unión de las ala (s = a) y es máximo en el centro (s = a
2
)
q(s =
a
2
) =
3
2
√
2
Ty
a
τ(s =
a
2
) =
3
2
√
2
Ty
ae
=
3
√
2
Ty
A
=
3
√
2
τm
La dirección de la tensión de corte es tangente al ala en todo punto.
Debido a la simetría la componente global de corte en la dirección z se cancela, en tanto
que puede verse que la integral de la componente en la dirección y iguala al corte actuante.
La componente en la dirección y se obtiene multiplicando por el coseno de π/4 (1/
√
2)
√
2
a
0
τ(s)e ds =
√
2
a
0
q(s) ds
= 6
Ty
a3
a
0
s (a − s) ds
= 6
Ty
a3
as2
2
−
s3
3
a
0
= Ty
Fuerza de corte en la dirección z
El momento de inercia respecto al eje y puede asemejarse al de un rectángulo de base
√
2e y altura√
2a (distancia entre los puntos extremos en la dirección z)
Iy =
√
2e
√
2a
3
12
=
ea3
3
2

13. En este caso aplicando nuevamente la expresión de Collignon a partir del extremo libre superior
del perl se tiene
τ(s) =
1
e
Tz
Iy
es a −
s
2
1
√
2
=
1
e
3Tz
a3
s a −
s
2
1
√
2
en tanto que el ujo de corte en el perl vale
q(s) =
3Tz
a3
s a −
s
2
1
√
2
En este caso puede verse que la tensión de corte se anula para s = 0 y s = 2a que son los dos
extremos libres de las alas, en tanto que se hace máximo en la unión de las dos alas (s = a)
τ(s = a) =
3
√
2
Tz
2ea
=
3
√
2
Tz
A
=
3
√
2
τm
la variación es entonces cuadrática entre 0 en el extremo del ala y 3√
2
τm en la unión de las alas. Puede
vericarse que la integral del ujo de corte proyectado en la dirección z iguala al corte
1
√
2
2a
0
3Tz
a3
s a −
s
2
1
√
2
ds =
3Tz
2a3
s2
a
2
−
s3
6
2a
0
=
3Tz
2a3
4a3
2
−
8a3
6
=
3Tz
2
2 −
4
3
= Tz
Ty
Tz
T
Figura 2: Tensiones de corte en un perl ángulo
La gura indica también la suma de ambos efectos, que corresponde al corte actuando según la
dirección de una de las dos alas (el plano de carga forma un ángulo de 45 grados con el eje principal
de inercia). Puede notarse que en el ala normal a la dirección de corte aparecen tensiones de corte
positivas y negativas que naturalmente su suma se anula.
3