1. PAT 1 (มี.ค. 56) 1
PAT 1 (มี.ค. 56)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
วันเสาร์ที 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที 1 ข้อ 1 - 25 ข้อละ 5 คะแนน
1. กําหนดให้ ܲ แทน ประพจน์ “ถ้า ‫ܣ‬ ∪ ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܤ‬ ∪ ‫ܥ‬ แล้ว ‫ܣ‬ ⊂ ‫ܤ‬ เมือ ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ และ ‫ܥ‬ เป็นเซตใดๆ”
และให้ ܳ แทน ประพจน์ “ถ้า ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ แล้ว ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܣ‬ และ ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܤ‬ เมือ ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ และ ‫ܥ‬ เป็นเซตใดๆ”
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ประพจน์ ሾ(ܲ ∨ ܳ) ∧ ~ܳሿ ⇔ ܲ มีค่าความจริงเป็น จริง
(ข) ประพจน์ (ܲ ⇒ ܳ) ⇒ (~ܲ ∧ ~ܳ) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
2. พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ‫ܣ‬ − ሾ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ ∩ (‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ሿ = ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬
(ข) ܲሾ‫ܣ‬ − (‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ሿ = ܲሾ(‫ܣ‬ − ‫)ܤ‬ − ‫ܥ‬ሿ
ข้อความใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

2. 2 PAT 1 (มี.ค. 56)
3. เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดต่อไปนีทีทําให้ ∀‫ݔ‬ሾ |2‫ݔ‬ + 1| > ‫ݔ‬ − 1 ሿ → ∃‫ݔ‬ ቂቚ
௫ିଶ
௫ାଶ
ቚ < 2ቃ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. (−∞, −4) 2.(−5, −1) 3. (−3, 2) 4. (−1, ∞)
4. กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ให้ ‫ܣ‬ = { ‫ݔ‬ ∈ R | |2‫ݔ‬ − 5| + |‫|ݔ‬ ≤ 7 }
‫ܤ‬ = { ‫ݔ‬ ∈ R | ‫ݔ‬ଶ
< 12 + |‫|ݔ‬ }
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ⊂ { ‫ݔ‬ ∈ R | 1 ≤ ‫ݔ‬ < 4 }
(ข) ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ เป็นเซตจํากัด (finite set)
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

3. PAT 1 (มี.ค. 56) 3
5. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดให้ ‫ݎ‬ = ቄ (‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ ∈ R × R ቚ ඥ12 − |‫|ݔ‬ + ඥ‫ݕ‬ + 1 = 3 ቅ
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) D௥ ∩ R௥ ⊂ (−1, 8)
(ข) D௥ − R௥ = { ‫ݔ‬ ∈ R | 8 < ‫ݔ‬ ≤ 12 }
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
6. ให้ ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเซต โดยทีจํานวนสมาชิกของเซต ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เท่ากับ 4 และ 5 ตามลําดับ
และจํานวนสมาชิกของเซต ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ เท่ากับ 7 พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ความสัมพันธ์ใน ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ มี 4 ความสัมพันธ์
(ข) ความสัมพันธ์จาก ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ ไป ‫ܤ‬ − ‫ܣ‬ มี 64 ความสัมพันธ์
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

4. 4 PAT 1 (มี.ค. 56)
7. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ความสัมพันธ์ { (‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ ∈ R × R | ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= 4 , ‫ݕݔ‬ > 0 } เป็นฟังก์ชัน
(ข) ถ้า ݂(‫)ݔ‬ = ൜
‫ݔ‬ − 2 , ‫ݔ‬ ≤ 0
‫ݔ‬ଶ
, ‫ݔ‬ > 0
และ ݃(3‫ݔ‬ − 1) = 2‫ݔ‬ଶ
+ 3‫ݔ‬ สําหรับ ‫ݔ‬ ∈ R
แล้วค่าของ (݃ ∘ ݂ିଵ)(25) = 14
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
8. ให้พาราโบลา ܲ มีสมการเป็น ‫ݕ‬ଶ
− 2‫ݕ‬ + 6‫ݔ‬ + 4 = 0 ถ้าวงกลมวงหนึงผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา ܲ และ
สัมผัสกับเส้นตรง 3‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ − 6 = 0 ณ จุด (4, 3) แล้วสมการของวงกลมตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ − 82‫ݕ‬ − 55 = 0 2. 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ + 82‫ݕ‬ + 55 = 0
3. 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ + 82‫ݕ‬ − 55 = 0 4. 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 82‫ݕ‬ + 55 = 0

5. PAT 1 (มี.ค. 56) 5
9. พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ୡ୭ୱ ଵ଴°ିୱ୧୬ଵ଴°
ୡ୭ୱ ଵ଴°ାୱ୧୬ଵ଴°
= sec 20° − tan 20°
(ข) √3 cot 20° = 1 + 4 cos 20°
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
10. ถ้า ‫ݔ‬ เป็นจํานวนจริงทีมากสุด โดยที 0 < ‫ݔ‬ < 1 และสอดคล้องกับ
arctan(1 − ‫)ݔ‬ + arccot ቀ
ଵ
ଶ௫
ቁ = 2 arcsec ඥ1 + 2‫1(ݔ‬ − ‫)ݔ‬ แล้ว ค่าของ cos ߨ‫ݔ‬ ตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. −1 2. 0 3. ଵ
ଶ
4. √ଷ
ଶ
11. กําหนดให้ ݂(‫)ݔ‬ = ቐ
ଵ
௫
, |‫|ݔ‬ <
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
+
ଵ
௫
, |‫|ݔ‬ ≥
ଵ
ଶ
ค่าของ ݂ ቆ݂ ൬݂ ቀ−
ଵ
ଷ
ቁ൰ቇ ตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. −6 2. 6 3. −3 4. 3

6. 6 PAT 1 (มี.ค. 56)
12. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ถ้า ‫ܣ‬ เป็นเซตคําตอบของอสมการ log௫ ቀ
ଶ
௫ିଵ
ቁ ≥ 1
แล้ว ‫ܣ‬ เป็นสับเซตในข้อใดต่อไปนี
1. { ‫ݔ‬ ∈ R | |‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݔ‬ − 3| = 3 − 2‫ݔ‬ − ‫ݔ‬ଶ
} 2. { ‫ݔ‬ ∈ R | |2‫ݔ‬ + 5| > 9 }
3. { ‫ݔ‬ ∈ R | 0 ≤ |‫ݔ‬ + 3| ≤ 5 } 4. { ‫ݔ‬ ∈ R | ‫ݔ‬ଷ
> 3‫ݔ‬ଶ
}
13. กําหนดให้ ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเมทริกซ์ มีมิติ 3×3 โดยที det(‫)ܣ‬ = 2 และ ‫ܤ‬ = ൥
1 3 2
0 −1 ‫ݔ‬
0 −2 ‫ݕ‬
൩ เมือ ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็น
จํานวนจริง ถ้า ‫ܤܣ‬ + 3‫ܣ‬ = 2I เมือ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ทีมีมิติ 3×3 แล้ว ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0 2. −1 3. −2 4. −2.5

7. PAT 1 (มี.ค. 56) 7
14. กําหนดให้ ܲ = ܽ(‫ݔ‬ + ‫)ݕ‬ + 6‫ݕ‬ เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจํากัดดังนี
3‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ ≤ 48 , ‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ ≤ 22 , 3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ ≤ 42 , ‫ݔ‬ ≥ 0 และ ‫ݕ‬ ≥ 0
ถ้า ܲ มีค่ามากสุดเท่ากับ 288 แล้ว ค่ามากทีสุดของ ܽ ทีเป็นจํานวนเต็มบวกเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 20 2. 18 3. 16 4. 14
15. พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ให้เวกเตอร์ ‫ݓ‬ഥ = ܽଓ̅ + ܾଔ̅ + ܿ݇ത เมือ ܽ, ܾ และ ܿ เป็นจํานวนจริงและให้เวกเตอร์ ‫ݑ‬ത = ଓ̅ + 2ଔ̅ + ݇ത
และ ‫̅ݒ‬ = ଓ̅ − ଔ̅ + ݇ത ถ้าเวกเตอร์ ‫ݓ‬ഥ ตังฉากกับเวกเตอร์ ‫ݑ‬ത และเวกเตอร์ ‫̅ݒ‬ แล้ว ܽ + ܾ + ܿ = 1
(ข) ให้เวกเตอร์ ‫ݑ‬ത = 2ଓ̅ + ଔ̅ และ ‫̅ݒ‬ = ܽଓ̅ + ܾଔ̅ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถ้า |‫̅ݒ‬| =
ଷ
√ହ
และ ‫ݑ‬ത ∙ ‫̅ݒ‬ = 3
แล้วเวกเตอร์ ‫ݑ‬ത ทํามุม 60° กับเวกเตอร์ ‫̅ݒ‬
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

8. 8 PAT 1 (มี.ค. 56)
16. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมใดๆ ถ้าด้านตรงข้ามมุม A ยาว 14 หน่วย ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลียม
เท่ากับ 30 หน่วยและ 3 sin‫ܤ‬ = 5 sin ‫ܥ‬ แล้ว sin 2‫ܣ‬ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. −
ଵ
ଶ
2. −
√ଷ
ଶ
3. ଵ
ଶ
4. √ଷ
ଶ
17. กําหนดให้ 9‫ݔ‬ଶ
− 16‫ݕ‬ଶ
− 18‫ݔ‬ + 64‫ݕ‬ − 199 = 0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ถ้าพาราโบลารูปหนึงมีแกน
สมมาตรขนานแกน ‫ݕ‬ ตัดแกน ‫ݔ‬ ทีจุด (1, 0) และผ่านจุดยอดทังสองของไฮเพอร์โบลาทีกําหนดให้ แล้ว จุดในข้อใด
ต่อไปนีไม่อยู่บนพาราโบลา
1. (2,
ଵ
଼
) 2. (−1,
ଵ
ଶ
) 3. (3,
ଵ
ଶ
) 4. (4,
ଵ
ସ
)
18. กําหนดให้ {ܽ௡} เป็นลําดับของจํานวนจริงโดยที ܽ௡ =
ଵ
ସା଼ାଵଶା⋯ାସ௡
สําหรับ ݊ = 1, 2, 3, …
ผลบวกของอนุกรม ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ + ⋯ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. ଵ
ଶ
2. ଷ
ସ
3. ଷ
ଶ
4. 2

9. PAT 1 (มี.ค. 56) 9
19. ค่าของ ∞→x
lim ቀඥ‫ݔ(ݔ‬ − 1) − ‫ݔ‬ + 2ቁ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0 2. ଵ
ଶ
3. 1 4. ଷ
ଶ
20. กําหนดให้ C เป็นเส้นโค้ง ‫ݕ‬ =
ଷ௫రିଶ
௫య เมือ ‫ݔ‬ > 0 และให้ L เป็นเส้นตรงทีสัมผัสกับเส้นโค้ง C ทีจุด (1, 1)
ถ้าเส้นตรง L ตัดกับพาราโบลา ‫ݔ(ݔ‬ − 1) = ‫ݕ‬ − 1 ทีจุด A และ จุด B
แล้วระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 4√82 2. 8√82 3. 4√41 4. 8√41
21. กําหนดให้ ܲ(‫)ܧ‬ แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ‫ܧ‬ ถ้า ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเหตุการณ์ใดๆในแซมเปิลสเปซ
โดยที ܲ(‫)ܣ‬ =
ଵ
ଶ
, ܲ(‫ܤ‬ᇱ) =
ହ
଼
และ ܲ(‫ܣ‬ᇱ
∩ ‫ܤ‬ᇱ) =
ଵ
ସ
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ܲ(‫ܣ‬ᇱ
∪ ‫)ܤ‬ =
ହ
଼
(ข) ܲ(‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ᇱ) =
ଷ
ସ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

10. 10 PAT 1 (มี.ค. 56)
22. ในการโยนลูกเต๋าสองลูกจํานวนหนึงครัง ความน่าจะเป็นทีจะได้ผลคูณของแต้มบนลูกเต๋าทังสอง หารด้วย 4 ลงตัว
เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. ଺
ଷ଺
2. ଵଵ
ଷ଺
3. ଵହ
ଷ଺
4. ଶ଻
ଷ଺
23. ครอบครัวหนึงมีสมาชิก 6 คน มีอายุเฉลีย 34 ปี ส่วนเบียงเบนมาตรฐานของอายุเท่ากับ 8 ปี อีก 6 ปีต่อมามีญาติ
สองคนมาขออยู่อาศัยด้วย โดยทีญาติทังสองคนนีมีอายุเท่ากัน เท่ากับอายุเฉลียของคนทัง 6 คนในครอบครัวนีพอดี
สัมประสิทธิการแปรผันของอายุของคนทัง 8 คนนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. √ଷ
ଵ଴
2. ଵ଴
√ଷ
3. √ଷ
ଶ଴
4. ଶ଴
√ଷ
24. กําหนดให้ข้อมูลชุดหนึงมีดังนี 2 , 4 , 3 , 5 , 12 , 5 , 18 , 6 , 4 , 2 , 9 , 4
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. มัธยฐานน้อยกว่าฐานนิยม 2. ค่าเฉลียเลขคณิตมากกว่ามัธยฐาน
3. ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน 4. ฐานนิยมมากกว่าค่าเฉลียเลขคณิต

11. PAT 1 (มี.ค. 56) 11
25. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = ඥ7√5
య
, ‫ܤ‬ = ඥ5√7
య
, ‫ܥ‬ = ඥ5√7
య
และ ‫ܦ‬ = ඥ7√5
య
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ‫ܦ‬ > ‫ܥ‬ > ‫ܣ‬ > ‫ܤ‬ 2. ‫ܣ‬ > ‫ܥ‬ > ‫ܤ‬ > ‫ܦ‬
3. ‫ܣ‬ > ‫ܤ‬ > ‫ܦ‬ > ‫ܥ‬ 4. ‫ܥ‬ > ‫ܣ‬ > ‫ܦ‬ > ‫ܤ‬
ตอนที 2 ข้อ 26 - 50 ข้อละ 7 คะแนน
26. กําหนดให้ ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเซตจํากัด โดยที ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ≠ ∅
สับเซตของ ‫ܣ‬ ทีมีสมาชิก 2 ตัว มีทังหมด 10 เซต และสับเซตของ ‫ܤ‬ ทีมีสมาชิก 2 ตัว มีทังหมด 6 เซต
ถ้า จํานวนสมาชิกชอง ܲ൫ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬൯ เท่ากับ 16 เมือ ܲ(ܵ) แทน เพาเวอร์เซตของ ܵ
แล้ว จํานวนสมาชิกของเซต ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ เท่ากับเท่าใด
27. ถ้า ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริงบวกทีสอดคล้องกับสมการ 5൫௫ିଶಲ൯2௬ಲ
= (16)଺ସ
เมือ ‫ܣ‬ =
୪୭୥ ௬
୪୭୥ ௫
แล้ว ค่าของ ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ เท่ากับเท่าใด

12. 12 PAT 1 (มี.ค. 56)
28. กําหนดให้ ‫ݔ‬ เป็นจํานวนจริง โดยที sin ‫ݔ‬ + cos ‫ݔ‬ =
ସ
ଷ
ถ้า (1 + tanଶ
‫)ݔ‬ cot ‫ݔ‬ =
௔
௕
เมือ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนเต็ม โดยที ห.ร.ม. ของ ܽ และ ܾ เท่ากับ 1
แล้ว ܽଶ
+ ܾଶ
เท่ากับเท่าใด
29. ให้ R แทนเซตชองจํานวนจริง ถ้า ‫ܣ‬ = ൛‫ݔ‬ ∈ R ห log√ଷ(‫ݔ‬ − 1) − log √ଷ
య (‫ݔ‬ − 1) = 1ൟ และ
‫ܤ‬ = ൛‫ݔ‬ ∈ R ห √‫ݔ‬ + 1 + √‫ݔ‬ − 1 = 2ൟ
แล้วสามเท่าของผลคูณของสมาชิกในเซต ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ทังหมดเท่ากับเท่าใด
30. กําหนดให้ ‫ܣ‬ แทนเซตคําตอบของสมการ 5൫ଵା√௫మିସ௫ିଵ൯
+ 5
൬
ఱశరೣషೣమ
మశඥೣమషరೣషభ
൰
= 126
ผลบวกของสมาชิกในเซต ‫ܣ‬ ทังหมดเท่ากับเท่าใด

13. PAT 1 (มี.ค. 56) 13
31. กําหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที (0, 0) และมีโฟกัส Fଵ และ Fଶ อยู่บนแกน ‫ݔ‬ จุด A(4, 1) เป็นจุดบนวงรีโดยที
ผลบวกระยะทางจากจุด A(4, 1) ไปยังจุดโฟกัสทังสองมีค่าเท่ากับ 6√2 ให้เส้นตรง L ตัดแกน ‫ݔ‬ ทีจุด (4.5, 0)
และสัมผัสกับวงรีทีจุด A(4, 1) ถ้า ݀ เป็นระยะห่างระหว่างจุด (0. 0) กับเส้นตรง L แล้ว ค่าของ ݀ଶ|AFଵ||AFଶ|
เท่ากับเท่าใด
32. กําหนดให้ 0 < ߠ <
గ
ଶ
โดยที ߠ = arctanቀ
√௫ାଵ
ଵି√௫
ቁ − arctan൫√‫ݔ‬൯ เมือ 0 < ‫ݔ‬ < 1
ค่าของ tan ߠ + cot ߠ เท่ากับเท่าใด
33. ให้ ܵ เป็นเซตของจํานวนจริง ‫ݔ‬ ทังหมดทีทําให้เมทริกซ์ ൥
4 −2 7
‫ݔ‬ −1 3
2 0 ‫ݔ‬
൩ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน
และ ‫ݕ‬ เท่ากับผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต ܵ
ถ้า ‫ܣ‬ = ൤
‫ݕ‬ 1
−1 ‫ݕ‬
൨ แล้ว ค่าของ det(((‫ܣ‬௧)ିଵ)௧)ିଵ
เท่ากับเท่าใด

14. 14 PAT 1 (มี.ค. 56)
34. กําหนดให้ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽ௡ , … เป็นลําดับเรขาคณิตของจํานวนจริงบวก โดยมี ‫ݎ‬ เป็นอัตราส่วนร่วม และ
௔భା௔య
௔మା௔ర
+
௔యା௔ఱ
௔రା௔ల
+
௔ఱା௔ళ
௔లା௔ఴ
+ … +
௔మబభభା௔మబభయ
௔మబభమା௔మబభర
= 2012
ค่าของ 1 + 5‫ݎ‬ + 12‫ݎ‬ଶ
+ 22‫ݎ‬ଷ
+ … เท่ากับเท่าใด
35. ถ้า ‫ݖ‬ เป็นจํานวนเชิงซ้อนทีอยู่ในควอดรันต์ (quadrant) ทีหนึงบนระนาบเชิงซ้อน
โดยที ቚ
(௭ାଵ)(ଵା୧)
௭(ଵା୧)ାହା୧
ቚ = 1 และ |‫|ݖ‬ = √65 แล้วผลบวกของส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ ‫ݖ‬ เท่ากับเท่าใด
36. กําหนดให้ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, ܽସ, ܽହ และ ܾଵ, ܾଶ, ܾଷ, ܾସ, ܾହ, ܾ଺ เป็นลําดับเลขคณิตของจํานวนจริงบวก
โดยที ܽଵ = ܾଶ , ܽହ = ܾହ และ ܽଵ ≠ ܽହ ถ้า (௕లି௕ర)ା(௕లି௕భ)
௔రି௔మ
=
௫
௬
เมือ ห.ร.ม. ของ ‫ݔ‬ กับ ‫ݕ‬ เท่ากับ 1
แล้ว ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
เท่ากับเท่าใด

15. PAT 1 (มี.ค. 56) 15
37. สําหรับ ݊ = 2, 3, 4, … ให้ ܽ௡ = 1 + 2 + 3 + … + ݊
ค่าของ ∞→n
lim
௔మ௔య௔ర…௔೙
(௔మିଵ)(௔యିଵ)(௔రିଵ)…(௔೙ିଵ)
เท่ากับเท่าใด
38. กําหนดให้ ݂(‫)ݔ‬ = ቐ
ଶ௫ି଼
ଶ௫ି√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ
, ‫ݔ‬ < 4
௞௫
ଷ
, ‫ݔ‬ ≥ 4
โดยที ݇ เป็นจํานวนจริง ถ้า ݂ เป็นฟังก์ชันต่อเนืองทีจุด ‫ݔ‬ = 4
แล้ว ݂(݇ + 1) เท่ากับเท่าใด
39. ให้ ݂ เป็นฟังก์ชันซึงมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจํานวนจริง โดยทีอัตราการเปลียนแปลงของ ݂(‫)ݔ‬ เทียบกับ ‫ݔ‬
เท่ากับ ܽ‫ݔ‬ଷ
+ ܾ‫ݔ‬ เมือ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนจริง และให้ ݃(‫)ݔ‬ = (‫ݔ‬ଷ
+ 2‫)ݔ(݂)ݔ‬ ถ้า ݂ᇱ(1) = 18 ,
݂ᇱᇱ(0) = 6 และ ݂(2) = ݂(1) + ݂(0) แล้วค่าของ ݃ᇱ(−1) เท่ากับเท่าใด

16. 16 PAT 1 (มี.ค. 56)
40. กําหนดให้ ݂(‫)ݔ‬ เป็นพหุนามกําลังสาม ซึงมีสัมประสิทธิเป็นจํานวนจริง โดยมี ‫ݔ‬ + 1 เป็นตัวประกอบของ ݂(‫)ݔ‬
5 + 2i เป็นคําตอบชองสมการ ݂(‫)ݔ‬ = 0 และ ݂(0) = 58 ค่าของ
2
0
∫ ሾ݂(‫)ݔ‬ − ݂(−‫)ݔ‬ሿ݀‫ݔ‬ เท่ากับเท่าใด
41. ต้องการนําเลขโดด 1, 1, 2, 2, 3, 3 ทัง 6 ตัวมาจัดเรียงเป็นจํานวนทีมี 6 หลัก จะสร้างจํานวนทีมี 6 หลักได้ทังหมด
กีจํานวน เมือเลข 1 ทังสองตัวไม่ติดกัน และเลข 3 ทังสองตัวไม่ติดกัน
42. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ, ݀ เป็นจํานวนเต็มบวกซึง ܽ < 2ܾ , ܾ < 5ܿ , ܿ < 6݀ , ݀ < 100
ค่าของ ܽ มีค่ามากสุดเท่ากับเท่าใด

17. PAT 1 (มี.ค. 56) 17
43. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ ∈ {1, 2, … , 9} จงหาจํานวน 3 หลัก ܾܽܿ ทีมีค่ามากทีสุด
โดยสอดคล้องกับเงือนไข ܾܽܿ = ܾܽ + ܾܽ + ܽܿ + ܿܽ + ܾܿ + ܾܿ
*หมายเหตุ ܾܽܿ คือ เลข 3 หลัก และ ܾܽ, ܾܽ, … คือ เลข 2 หลัก
44. จังหวัดแห่งหนึงมีอําเภอ 6 อําเภอ แต่ละอําเภอส่งผู้แทนอําเภอละ 2 คน เป็นชาย 1 คน และเป็นหญิง 1 คน ถ้า
ต้องการคัดเลือกกรรมการ 4 คน เป็นชาย 2 คน และหญิง 2 คน จากตัวแทนทัง 12 คน โดยในบรรดากรรมการ 4 คน
นี จะต้องเป็นชายและหญิงอย่างน้อย 1 คู่ มาจากอําเภอเดียวกัน จะมีวิธีการคัดเลือกกีวิธี
45. กําหนดให้ ܽത, ܾത และ ܿ̅ เป็นเวกเตอร์บนระนาบซึงกําหนดโดย ܽത = ‫ݔ‬ଓ̅ +
ଵଶ
ହ
ଔ̅ , ܾത = 6ଓ̅ + ‫ݕ‬ଔ̅ และ ܿ̅ = 2ଓ̅ + ଔ̅
เมือ ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริง ถ้า หܾത − ܿ̅ห = 5 , เวกเตอร์ ܽത ตังฉากกับเวกเตอร์ ܾത และ ܽത ∙ ܿ̅ > 0
แล้วค่าของ ห5ܽത + ܾതห
ଶ
เท่ากับเท่าใด

18. 18 PAT 1 (มี.ค. 56)
46. ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึงมีการแจกแจงปกติ นาย ก. และ นาย ข. เป็นนักเรียนในห้องนี
ถ้ามีนักเรียนในห้องนีร้อยละ 9.48 สอบได้คะแนนมากกว่าคะแนนสอบของนาย ก. มีนักเรียนร้อยละ 10.64 สอบ
ได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนสอบของ นาย ข. และ นาย ข. สอบได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนสอบของ นาย ก. อยู่ 51
คะแนน แล้วส่วนเบียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครังนีเท่ากับเท่าใด
เมือกําหนดพืนทีใต้เส้นโค้งปกติ ระกว่าง 0 ถึง ‫ݖ‬ ดังตารางต่อไปนี
47. จากการสํารวจคะแนนสอบของนักเรียน 6 คน ทีมีคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ (‫ݔ‬௜) และ คะแนนสอบวิชา
คณิตศาสตร์ (‫ݕ‬௜) ปรากฏว่าค่าเฉลียเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์เท่ากับ 9 คะแนน ค่าเฉลียเลขคณิตของ
คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 6 คะแนน และ
6
1=
∑
i
‫ݔ‬௜‫ݕ‬௜ = 428 ,
6
1=
∑
i
‫ݔ‬௜
ଶ
= 694 และ
6
1=
∑
i
‫ݕ‬௜
ଶ
= 268
ถ้าคะแนนสอบวิชาทังสองมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบเส้นตรง และนักเรียนคนหนึงทีมีคะแนนวิชาคณิตศาสตร์
เท่ากับ 7.5 คะแนน แล้วคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ โดยประมาณ ควรจะมีค่าเท่ากับเท่าใด
‫ݖ‬ 0.24 0.27 1.24 1.31
พืนที 0.0948 0.1064 0.3936 0.4052

19. PAT 1 (มี.ค. 56) 19
48. สําหรับ ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ∈ {0, 1, 2, 3. …} กําหนดให้ ‫,ݔ(ܨ‬ ‫)ݕ‬ เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที
‫,ݔ(ܨ‬ ‫)ݕ‬ = ቐ
‫,1(ܨ‬ ‫ݕ‬ − 1) , ‫ݔ‬ = 0, ‫ݕ‬ ≠ 0
‫ݔ‬ + 1 , ‫ݕ‬ = 0
‫ݔ(ܨ(ܨ‬ − 1, ‫,)ݕ‬ ‫ݕ‬ − 1) , ‫ݔ‬ ≠ 0, ‫ݕ‬ ≠ 0
ค่าของ ‫,1(ܨ‬ 2) + F(3, 1) เท่ากับเท่าใด
49. สําหรับ ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริงบวกใดๆ กําหนดให้ ‫ݔ‬ ∗ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริงบวก ทีมีสมบัติต่อไปนี
(1) ‫ݔ‬ ∗ (‫)ݕݔ‬ = (‫ݔ‬ ∗ ‫ݕ)ݔ‬
(2) ‫ݔ‬ ∗ (1 ∗ ‫)ݔ‬ = 1 ∗ ‫ݔ‬
(3) 1 ∗ 1 = 1
ค่าของ 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) เท่ากับเท่าใด
50. กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ถ้า ݂ : R → R เป็นฟังก์ชัน ซึงสอดคล้องกับ
(݂ ∘ ݂)(‫)ݔ‬ = 4 + ‫ݔ‬൫4 − ݂(‫)ݔ‬൯ สําหรับทุกจํานวนจริง ‫ݔ‬ แล้วค่าของ ݂(4) เท่ากับเท่าใด

20. 20 PAT 1 (มี.ค. 56)
เฉลย
1. 2 11. 2 21. 1 31. 162 41. 48
2. 1 12. 3 22. 3 32. 2 42. 5927
3. 2 13. 4 23. 1 33. 2 43. 396
4. 3 14. 2 24. 2 34. 16 44. 135
5. 4 15. 4 25. 3 35. 11 45. 200
6. 3 16. 2 26. 7 36. 205 46. 20
7. 1 17. 4 27. 20 37. 3 47. 12
8. 4 18. 1 28. 373 38. 24 48. 10
9. 1 19. 4 29. 5 39. 354 49. 6
10. 3 20. 2 30. 4 40. 168 50. 4
แนวคิด
1. 2
ܲ เป็นเท็จ เช่น ‫ܥ‬ = {1} , ‫ܣ‬ = {1} , ‫ܤ‬ = {} และ ܳ ก็เป็นเท็จ เช่น ‫ܥ‬ = {1, 2} , ‫ܣ‬ = {1} , ‫ܤ‬ = {2}
จะได้ (ก) คือ ሾ(F) ∧ Tሿ ⇔ F ≡ T ถูกต้อง และ (ข) คือ (T) ⇒ (T) ≡ T ผิด
2. 1
ก. เนืองจาก ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ⊂ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∪ ‫ܥ‬ ดังนัน (‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ ∩ (‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ = ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬
ดังนัน ‫ܣ‬ − ሾ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ ∩ (‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ሿ = ‫ܣ‬ − (‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ = ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ → ก. ถูก
ข. ‫ܣ‬ − (‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ = ‫ܣ‬ ∩ (‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ᇱ
= ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ᇱ
∩ ‫ܥ‬ᇱ
= (‫ܣ‬ − ‫)ܤ‬ − ‫ܥ‬ → ข. ถูก
3. 2
เป็นเท็จ เมือ T → F ข้างหน้า จะได้ 2‫ݔ‬ + 1 > ‫ݔ‬ − 1 หรือ 2‫ݔ‬ + 1 < −(‫ݔ‬ − 1) หรือ ‫ݔ‬ − 1 ≤ 0
ได้ (−2, ∞) ∪ (−∞, 0) ∪ (−∞, 1ሿ = R
ข้างหลังต้องเป็นเท็จ ได้ ቚ
௫ିଶ
௫ାଶ
ቚ ≥ 2 ยกกําลังสองได้เพราะเป็นบวกทังสองข้าง ได้ ቀ
௫ିଶ
௫ାଶ
ቁ
ଶ
− 2ଶ
≥ 0
ตัวหารห้ามเป็น 0 → ‫ݔ‬ ≠ 2 และคูณ (‫ݔ‬ + 2)ଶ
ตลอดได้ (‫ݔ‬ − 2)ଶ
− (2‫ݔ‬ + 4)ଶ
≥ 0
→ (3‫ݔ‬ + 2)(−‫ݔ‬ − 6) ≥0 ได้คําตอบคือ ሾ −6, −
ଶ
ଷ
ሿ – {−2} → ตอบข้อ 2
4. 3
‫ܣ‬ แบ่งกรณี กรณี (−∞, 0) ได้ −3‫ݔ‬ ≤ 2 → ‫ݔ‬ ≥ −
ଶ
ଷ
→ ሾ−
ଶ
ଷ
, 0)
กรณี ሾ0,
ହ
ଶ
) ได้ −‫ݔ‬ ≤ 2 → ‫ݔ‬ ≥ −2 → ሾ0,
ହ
ଶ
)
กรณี ሾ
ହ
ଶ
, ∞) ได้ 3‫ݔ‬ ≤ 12 → ‫ݔ‬ ≤ 4 → ሾ
ହ
ଶ
, 4ሿ รวมทุกกรณีได้ ‫ܣ‬ = ሾ−
ଶ
ଷ
, 4ሿ
‫ܤ‬ แบ่งกรณี กรณี (−∞, 0) ได้ ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 12 < 0 → (‫ݔ‬ + 4)(‫ݔ‬ − 3) < 0 → ‫ݔ‬ ∈ (−4, 3) → (−4, 0)
กรณี ሾ0, ∞) ได้ ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ − 12 < 0 → (‫ݔ‬ − 4)(‫ݔ‬ + 3) < 0 → ‫ݔ‬ ∈ (−3, 4) → ሾ0, 4)
รวมทุกกรณี ได้ ‫ܤ‬ = (−4, 4)
‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ = ሾ−
ଶ
ଷ
, 4) → ก ผิด , ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ = {4} → ข ถูก
5. 4
หา D௥ : ඥ‫ݕ‬ + 1 = 3 − ඥ12 − |‫|ݔ‬ → 3 − ඥ12 − |‫|ݔ‬ ≥ 0 → 0 ≤ 12 − |‫|ݔ‬ ≤ 9 → 3 ≤ |‫|ݔ‬ ≤ 12

21. PAT 1 (มี.ค. 56) 21
จะได้ D௥ = ሾ−12, −3ሿ ∪ ሾ3, 12ሿ
หา R௥ : ඥ12 − |‫|ݔ‬ = 3 − ඥ‫ݕ‬ + 1 → 0 ≤ 3 − ඥ‫ݕ‬ + 1 ≤ √12 → 3 − √12 ≤ ඥ‫ݕ‬ + 1 ≤ 3
แต่ 3 − √12 เป็นลบ ยังไงก็จริง → −1 ≤ ‫ݕ‬ ≤ 8 จะได้ R௥ = ሾ−1, 8ሿ
D௥ ∩ R௥ = ሾ3, 8ሿ มี 8 ดังนัน ก ผิด , D௥ − R௥ = ሾ−12, −3ሿ ∪ (8, 12ሿ มีเลขลบด้วย ดังนัน ข ผิด
6. 3
ก. ݊(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ = 4 + 5 – 7 = 2 → มี 2ଶ×ଶ
= 16 → ก ผิด
ข. ݊(‫ܣ‬ − ‫)ܤ‬ = 4 – 2 = 2 , ݊(‫ܤ‬ − ‫)ܣ‬ = 5 – 2 = 3 → มี 2ଶ×ଷ
= 64 → ข ถูก
7. 1
ก. เป็นวงกลมทีเอาเฉพาะเส้นภายใน Qଵ กับ Qଷ ลากแนวดิงตัดไม่เกิน 1 จุด → ก. ถูก
ข. หา ݂ିଵ(25) ให้ ‫ݔ‬ − 2 = 25 ได้ ‫ݔ‬ = 27 ขัดกับเงือนไข ‫ݔ‬ ≤ 0
ให้ ‫ݔ‬ଶ
= 25 ได้ ‫ݔ‬ = ±5 ถ้าจะให้ตรงกับเงือนไข ‫ݔ‬ > 0 จะได้ ‫ݔ‬ = 5 ดังนัน ݂ିଵ(25) = 5
หา ݃(5) ให้ 3‫ݔ‬ − 1 = 5 ได้ ‫ݔ‬ = 2 แทนใน 2‫ݔ‬ଶ
+ 3‫ݔ‬ จะได้ 14 → ข. ถูก
8. 4
พาราโบลาคือ (‫ݕ‬ − 1)ଶ
= −6 ቀ‫ݔ‬ +
ଵ
ଶ
ቁ → F = (−
ଵ
ଶ
−
଺
ସ
, 1) = (−2, 1)
ลองเอา (−2, 1) แทน จะได้ 28 + 7 ± (−8) ± 82 ± 55 = 0 ต้องเป็น 28 + 7 + (−8) − 82 + 55 → ข้อ 4
ถ้าไม่เช็คตัวเลือก ให้วงกลมมี ศก ที (ܽ, ܾ) ดังนัน (ܽ + 2)ଶ
+ (ܾ − 1)ଶ
= (ܽ − 4)ଶ
+ (ܾ − 3)ଶ
→ ܽଶ
+ 4ܽ + 4 + ܾଶ
− 2ܾ + 1 = ܽଶ
− 8ܽ + 16 + ܾଶ
− 6ܾ + 9
→ 12ܽ + 4ܾ = 20 → 3ܽ + ܾ = 5 …(1)
และจากความชัน จะได้ ௕ିଷ
௔ିସ
= −
ଶ
ଷ
→ 3ܾ − 9 = −2ܽ + 8 → 2ܽ + 3ܾ = 17 …(2)
3(1) – (2) : 7ܽ = −2 → ܽ = −
ଶ
଻
→ ܾ =
ସଵ
଻
ได้ ‫ݎ‬ଶ
= ቀ
ଵଶ
଻
ቁ
ଶ
+ ቀ
ଷସ
଻
ቁ
ଶ
ได้สมการวงกลมคือ ቀ‫ݔ‬ +
ଶ
଻
ቁ
ଶ
+ ቀ‫ݕ‬ −
ସଵ
଻
ቁ
ଶ
= ቀ
ଵଶ
଻
ቁ
ଶ
+ ቀ
ଷସ
଻
ቁ
ଶ
จัดรูปได้ ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+
ସ௫
଻
−
଼ଶ௬
଻
+ ቀ
ଶ
଻
ቁ
ଶ
+ ቀ
ସଵ
଻
ቁ
ଶ
− ቀ
ଵଶ
଻
ቁ
ଶ
− ቀ
ଷସ
଻
ቁ
ଶ
= 0
→ 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 82‫ݕ‬ − ቀ
ଵସ∙ଵ଴
଻
ቁ + ቀ
଻ହ∙଻
଻
ቁ = 0
→ 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 82‫ݕ‬ + 55 = 0
9. 1
ก) ୡ୭ୱ ଵ଴°ିୱ୧୬ଵ଴°
ୡ୭ୱ ଵ଴°ାୱ୧୬ଵ଴°
∙
ୡ୭ୱ ଵ଴°ିୱ୧୬ଵ଴°
ୡ୭ୱ ଵ଴°ିୱ୧୬ଵ଴°
=
ୡ୭ୱమ ଵ଴°ାୱ୧୬మ ଵ଴°ିଶୱ୧୬ଵ଴° ୡ୭ୱ ଵ଴°
ୡ୭ୱమ ଵ଴°ିୱ୧୬మ ଵ଴°
=
ଵିୱ୧୬ଶ଴°
ୡ୭ୱ ଶ଴°
= sec 20° − tan 20° → ถูก
ข) √3 cot 20° =
√ଷ ୡ୭ୱ ଶ଴°
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ଶ൬
√య
మ
ୡ୭ୱ ଶ଴°൰
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ଶ൬
√య
మ
ୡ୭ୱ ଶ଴° ି
భ
మ
ୱ୧୬ଶ଴° ା
భ
మ
ୱ୧୬ଶ଴°൰
ୱ୧୬ ଶ଴°
=
ଶቀୱ୧୬଺଴°ୡ୭ୱ ଶ଴° ିୡ୭ୱ ଺଴°ୱ୧୬ଶ଴° ା
భ
మ
ୱ୧୬ଶ଴°ቁ
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ଶቀୱ୧୬ସ଴° ା
భ
మ
ୱ୧୬ ଶ଴°ቁ
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ଶቀଶ ୱ୧୬ଶ଴° ୡ୭ୱ ଶ଴° ା
భ
మ
ୱ୧୬ଶ଴°ቁ
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ସ ୱ୧୬ ଶ଴°ୡ୭ୱ ଶ଴° ା ୱ୧୬ଶ଴°
ୱ୧୬ଶ଴°
= 4 cos 20° + 1 → ถูก

22. 22 PAT 1 (มี.ค. 56)
10. 3
ใส่ tan ตลอด ได้ ଵି௫ ା ଶ௫
ଵି(ଵି௫)(ଶ௫)
=
ଶඥଶ௫(ଵି௫)
ଵିଶ௫(ଵି௫)
→ 1 + ‫ݔ‬ = 2ඥ2‫1(ݔ‬ − ‫)ݔ‬ → 1 + 2‫ݔ‬ + ‫ݔ‬ଶ
= 8‫ݔ‬ − 8‫ݔ‬ଶ
→ 9‫ݔ‬ଶ
− 6‫ݔ‬ + 1 = 0 → (3‫ݔ‬ − 1)ଶ
= 0 → ‫ݔ‬ =
ଵ
ଷ
→ cos
గ
ଷ
=
ଵ
ଶ
11. 2
ቚ−
ଵ
ଷ
ቚ <
ଵ
ଶ
ดังนัน ݂ ቆ݂ ൬݂ ቀ−
ଵ
ଷ
ቁ൰ቇ = ݂൫݂(−3)൯
|−3| ≥
ଵ
ଶ
ดังนัน ݂൫݂(−3)൯ = ݂ ቀ
ଵ
ଶ
+
ଵ
ିଷ
ቁ = ݂ ቀ
ଵ
଺
ቁ
ቚ
ଵ
଺
ቚ <
ଵ
ଶ
ดังนัน ݂ ቀ
ଵ
଺
ቁ = 6
12. 3
หลัง log เป็นลบไม่ได้ ดังนัน ‫ݔ‬ > 1 จะได้ ଶ
௫ିଵ
≥ ‫ݔ‬
คูณ ‫ݔ‬ − 1 ทังสองข้างได้ ไม่ต้องกลับเครืองหมาย เพราะ ‫ݔ‬ > 1 ทําให้ ‫ݔ‬ − 1 เป็นบวก → 2 ≥ ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬
→ 0 ≥ (‫ݔ‬ − 2)(‫ݔ‬ + 1) → ‫ݔ‬ ∈ ሾ−1, 2ሿ → แต่ ‫ݔ‬ > 1 ดังนัน คําตอบคือ (1, 2ሿ
ลองเอา ‫ݔ‬ = 2 แทนดู ข้อ 1. ได้ฝังขวาติดลบ ไม่จริงแน่นอน ข้อ 2. ได้ 9 > 9 ไม่จริง ข้อ 3. ได้ 0 < 5 < 5 จริง
ข้อ 4. ได้ 8 > 12 ไม่จริง → ตอบข้อ 3
หมายเหตุ ถ้าจะแก้ ข้อ 1. อยู่ในรูป |‫|ܣ‬ = −‫ܣ‬ จะได้ ‫ܣ‬ ≤ 0 ดังนัน ‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݔ‬ − 3 < 0
แยกได้ (‫ݔ‬ + 3)(‫ݔ‬ − 1) → ሾ−3, 1ሿ
13. 4
ได้ ‫ܤ(ܣ‬ + 3I) = 2I → 2อ
4 3 2
0 2 ‫ݔ‬
0 −2 ‫ݕ‬ + 3
อ = 2ଷ
→ (2)(8‫ݕ‬ + 24 + 8‫)ݔ‬ = 8 → ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ = −2.5
14. 2
จุดตัดอยู่ใกล้กัน ต้องหาทุกจุดตัด ไม่งันรูปจะไม่ถูก
3‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ = 48 กับ ‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 22 ตัดกันที (4, 9)
‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 22 กับ 3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 42 ตัดกันที (10, 6)
3‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ = 48 กับ 3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 42 ตัดกันที (12, 3)
จุดมุม คือ (0, 0), (0, 11), (4, 9), (12, 3), (14, 0)
ได้ ܲ = 0 , 11ܽ + 66 , 13ܽ + 54 , 15ܽ + 18 , 14ܽ
จับแต่ละตัว = 288 แล้วแก้หา ܽ ได้ ܽ = 18 จาก 13ܽ + 54 กับ ܽ = 18 จาก 15ܽ + 18
ลองแทน ܽ = 18 จะได้ 288 มากสุดในบรรดา 11ܽ + 66 , 13ܽ + 54 , 15ܽ + 18 , 14ܽ
15. 4
ก. ตังฉาก = ดอทกันได้ 0 → ܽ + 2ܾ + ܿ = 0 และ ܽ − ܾ + ܿ = 0 จับลบกัน ได้ ܾ = 0
แทนกลับไป ได้ ܽ + ܿ = 0 ดังนัน ܽ + ܾ + ܿ = 0 → ก ผิด
ข. 3 = |‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| cos ߠ → cos ߠ =
ଷ
√ହቀ
య
√ఱ
ቁ
= 1 → ߠ = 0 → ข ผิด
14 16 22
11
12
21
‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 22
3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 42
3‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ = 48

23. PAT 1 (มี.ค. 56) 23
16. 2
จากกฎของ sin ได้ ଵସ
ୱ୧୬஺
=
௕
ୱ୧୬ ஻
=
ଵ଺ି௕
ୱ୧୬ ஼
และจากทีโจทย์ให้ จะได้ ୱ୧୬஻
ୱ୧୬஼
=
ହ
ଷ
ได้ ୠ
ଵ଺ିୠ
=
ହ
ଷ
→ 3ܾ = 80 – 5ܾ
→ ܾ = 10 , ܿ = 6 → กฏของ cos ได้ 14ଶ
= 10ଶ
+ 6ଶ
− 2(10)(6) cos ‫ܣ‬ → cos ‫ܣ‬ = −
ଵ
ଶ
มุมในสามเหลียม มี 0° < ‫ܣ‬ < 180° ได้ ‫ܣ‬ = 120° → sin 2‫ܣ‬ = −
√ଷ
ଶ
17. 4
จัดรูปได้ 9(‫ݔ‬ − 1)ଶ
− 16(‫ݕ‬ − 2)ଶ
= 199 + 9 − 64 →
(௫ିଵ)మ
ସమ −
(௬ିଶ)మ
ଷమ = 1 → V = (−3, 2), (5, 2)
ผ่าน (−3, 2), (5, 2) แสดงว่าจุดยอด คือ (1, ?) โจทย์บอกผ่าน (1, 0) แสดงว่าจุดยอดคือ (1, 0)
ได้สมการคือ (‫ݔ‬ − 1)ଶ
= 4ܿ‫ݕ‬ → แทน (5, 2) ได้ ܿ = 2 → (‫ݔ‬ − 1)ଶ
= 8‫ݕ‬ → ข้อ 4 แทนแล้วไม่จริง
18. 1
ܽ௡ =
ଵ
ସ∙
೙(೙శభ)
మ
=
ଵ
ଶ௡(௡ାଵ)
→ เทเลสโคป ได้ ܽ௡ =
ଵ
ଶ
ቀ
ଵ
௡
−
ଵ
௡ାଵ
ቁ → ได้ผลบวก =
ଵ
ଶ
ቀ
ଵ
ଵ
ቁ =
ଵ
ଶ
19. 4
=
∞→x
lim
ቀඥ௫(௫ିଵ)ି௫ቁቀඥ௫(௫ିଵ)ା௫ቁ
ඥ௫(௫ିଵ)ା௫
+ 2 =
∞→x
lim
ି௫
ඥ௫(௫ିଵ)ା௫
+ 2 =
∞→x
lim
ିଵ
ටଵቀଵି
భ
ೣ
ቁାଵ
+ 2 = −
ଵ
ଶ
+ 2 =
ଷ
ଶ
20. 2
‫ݕ‬ = 3‫ݔ‬ − 2‫ݔ‬ିଷ
→ ‫ݕ‬ᇱ
= 3 + 6‫ݔ‬ିସ
→ ที (1, 1) ชัน 9 → ผ่าน (1, 1) ได้ L : ‫ݕ‬ = 9‫ݔ‬ − 8
แก้หาจุดตัด ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ = 9‫ݔ‬ − 8 − 1 → ‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 9 = 0 → ‫ݔ‬ = 9, 1 → (9, 73), (1, 1)
ได้ระยะห่าง = √8ଶ + 72ଶ = 8√1 + 9ଶ = 8√82
21. 1
จากแผนภาพ จะได้ ܲ(‫)ܣ‬ + ܲ(‫ܤ‬ − ‫)ܣ‬ + ܲ(‫ܣ‬ᇱ
∩ ‫ܤ‬ᇱ) = 1 → ܲ(‫ܤ‬ − ‫)ܣ‬ = 1 −
ଵ
ସ
−
ଵ
ଶ
=
ଵ
ସ
จาก ܲ(‫ܤ‬ᇱ
) =
ହ
଼
ได้ ܲ(‫)ܤ‬ =
ଷ
଼
ได้ ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ = ܲ(‫)ܤ‬ − ܲ(‫ܤ‬ − ‫)ܣ‬ =
ଷ
଼
−
ଵ
ସ
=
ଵ
଼
และได้ ܲ(‫ܣ‬ − ‫)ܤ‬ = ܲ(‫)ܣ‬ − ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ =
ଵ
ଶ
−
ଵ
଼
=
ଷ
଼
ดังนัน ܲ(‫ܣ‬ᇱ
∪ ‫)ܤ‬ =
ଵ
଼
+
ଵ
ସ
+
ଵ
ସ
=
ହ
଼
→ ก ถูก และ ܲ(‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ᇱ) =
ଷ
଼
+
ଵ
଼
+
ଵ
ସ
=
ଷ
ସ
→ ข ถูก
22. 3
กรณีลูกแรกออก 1, 3, 5 → ลูกหลังต้องออก 4 → 3 แบบ
กรณีลูกแรกออก 2, 6 → ลูกหลังต้องออก 2, 4, 6 → 6 แบบ
กรณีลูกแรกออก 4 → ลูกหลังออกอะไรก็ได้ → 6 แบบ → รวม 15 แบบ
23. 1
6 ปีต่อมา ทัง 6 คน อายุเฉลียเพิมเป็น 40 ปี แต่ ‫ݏ‬ เท่าเดิม = 8
จะได้ ∑ ௫మ
଺
− 40ଶ
= 8ଶ
→ ∑ ‫ݔ‬ଶ
= 9984 ดังนัน ∑ ‫ݔ‬ଶ
ทีเพิมอีก 2 คน = 9984 + 2(40ଶ) = 13184
สองคนทีเพิม อายุเท่า ‫̅ݔ‬ ดังนัน ‫̅ݔ‬ ไม่เปลียน → ‫ݏ‬ = ට
ଵଷଵ଼ସ
଼
− 40ଶ = √48 = 4√3 → ตอบ ସ√ଷ
ସ଴
=
√ଷ
ଵ଴

24. 24 PAT 1 (มี.ค. 56)
24. 2
เรียงได้ 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 9, 12, 18 → Mode = 4 , Med = 4.5 , ‫̅ݔ‬ =
଻ସ
ଵଶ
= 6.17
25. 3
ยกกําลัง 6 ตลอด ได้ 7ଷ
∙ 5 , 5ଷ
∙ 7 , 5ଶ
∙ 7 , 7ଶ
∙ 5 เอา 5 ∙ 7 หารตลอด เหลือ 7ଶ
, 5ଶ
, 5, 7
26. 7
แก้สมการ ൫௔
ଶ
൯ = 10 ได้ ݊(‫)ܣ‬ = 5 กับ ൫௕
ଶ
൯ = 6 ได้ ݊(‫)ܤ‬ = 4
ย้อนสูตร 2௡
สองเทียว จะได้ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ มี 2 ตัว ดังนัน ݊(‫ܣ‬ ∪ ‫)ܤ‬ = 5 + 4 – 2 = 7
27. 20
ข้อนี ถ้าจะคิดจริงๆ มีได้หลายคําตอบตอบ คนออกข้อสอบ น่าจะอยากจะให้เราทํา โดยการเทียบเลขชีกําลัง
เนืองจากทางขวา 16଺ସ
= 2ଶହ଺
= 5଴
2ଶହ଺
ดังนัน ‫ݔ‬ − 2஺
= 0 และ ‫ݕ‬஺
= 256 (ปกติทําแบบนีไม่ได้นะ - -")
จาก ‫ݔ‬ − 2஺
= 0 จะได้ ‫ݔ‬ = 2஺
ยกกําลัง ‫ܣ‬ ทังสองข้าง ได้ ‫ݔ‬஺
= 2஺మ
…(1)
จาก ‫ܣ‬ =
୪୭୥ ௬
୪୭୥ ௫
= log௫ ‫ݕ‬ ดังนัน ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬஺
แทนใน (1) ได้ ‫ݕ‬ = 2஺మ
ยกกําลัง ‫ܣ‬ อีก ได้ ‫ݕ‬஺
= 2஺య
แต่ ‫ݕ‬஺
= 256 ดังนัน 256 = 2஺య
ได้ ‫ܣ‬ଷ
= 8 ได้ ‫ܣ‬ = 2
แทน ‫ܣ‬ = 2 ใน ‫ݔ‬ − 2஺
= 0 และ ‫ݕ‬஺
= 256 ได้ ‫ݔ‬ = 4 , ‫ݕ‬ = 16 ดังนัน คําตอบ ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ คือ 20
(แต่จริงๆ ข้อนีมีคําตอบอืนอีก เช่น ‫ݔ‬ = 78.46162 , ‫ݕ‬ = 78.46162)
28. 373
(1 + tanଶ
‫)ݔ‬ cot ‫ݔ‬ =
ୡ୭ୱ ௫
ୱ୧୬௫
+
ୱ୧୬௫
ୡ୭ୱ ௫
=
ଵ
ୱ୧୬ ௫ ୡ୭ୱ ௫
เอาสมการ sin ‫ݔ‬ + cos‫ݔ‬ =
ସ
ଷ
มายกกําลังสองสองข้าง จะได้ 1 + 2 sin ‫ݔ‬ cos ‫ݔ‬ =
ଵ଺
ଽ
จะได้ ଵ
ୱ୧୬௫ ୡ୭ୱ ௫
=
ଵ଼
଻
จะได้ ܽଶ
+ ܾଶ
= 18ଶ
+ 7ଶ
= 373
29. 5
‫ܣ‬ :
(௫ିଵ)మ
(௫ିଵ)య = 3 → ‫ݔ‬ =
ସ
ଷ
, ‫ܤ‬ : ‫ݔ‬ + 1 = 4 + ‫ݔ‬ − 1 − 4√‫ݔ‬ − 1 → ‫ݔ‬ =
ହ
ସ
→ ตอบ 5
30. 4
ให้ √‫ݔ‬ଶ − 4‫ݔ‬ − 1 = ݇ → 5ଵା௞
+ 5
రషೖమ
మశೖ = 126 → 5ଵା௞
+ 5ଶି௞
= 126 → คูณ 5௞
ตลอด
ได้ 5൫5ଶ௞
൯ − 126൫5௞
൯ + 25 = 0 → ൫5൫5௞
൯ − 1൯൫5௞
− 25൯ = 0 → ݇ = −1, 2 แต่ ݇ เป็นรูท ≥ 0
ได้ √‫ݔ‬ଶ − 4‫ݔ‬ − 1 = 2 → ‫ݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ − 5 = 0 → ‫ݔ‬ = −1 , 5 → ตอบ 4
31. 162
ได้แกนเอก = 6√2 → ܽ = 3√2 → ผ่าน (4, 1) แสดงว่า ସమ
൫ଷ√ଶ൯
మ +
ଵ
௕మ = 1 → ܾ = 3
L ชัน ଵି଴
ସିସ.ହ
= −2 ผ่านจุด (4, 1) ได้ ‫ݕ‬ = −2‫ݔ‬ + 9 → 2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 9 = 0 → ݀ =
|ଶ(଴)ା଴ିଽ|
√ଶమାଵమ
=
ଽ
√ହ
วงรี มี ܿ = ට൫3√2൯
ଶ
− 3ଶ = 3 → โฟกัส (3, 0), (−3, 0) → |AFଵ||AFଶ| = ൫√2൯൫√50൯ = 10

25. PAT 1 (มี.ค. 56) 25
ได้ ݀ଶ|AFଵ||AFଶ| = ቀ
ଽ
√ହ
ቁ
ଶ
10 = 162
32. 2
ใส่ tan ตลอด ได้ tan ߠ =
√ೣశభ
భష√ೣ
ି √௫
ଵା൬
√ೣశభ
భష√ೣ
൰൫√௫൯
=
√ೣశభష√ೣశೣ
భష√ೣ
భష√ೣశೣశ√ೣ
భష√ೣ
=
ଵା௫
ଵା௫
= 1 และ cot ߠ =
ଵ
୲ୟ୬ ఏ
= 1
ดังนัน tan ߠ + cot ߠ = 1 + 1 = 2
33. 2
จะได้ −4‫ݔ‬ − 12 + 14 + 2‫ݔ‬ଶ
= 0 → ‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݔ‬ + 1 = 0 → ‫ݔ‬ = 1 → ‫ݕ‬ = 1
ดังนัน det(((‫ܣ‬௧)ିଵ)௧)ିଵ
= det ‫ܣ‬ = 1 + 1 = 2
34. 16
ดึง ‫ݎ‬ ออกจากตัวส่วน ได้ ௔భା௔య
௥(௔భା௔య)
+
௔యା௔ఱ
௥(௔యା௔ఱ)
+
௔ఱା௔ళ
௥(௔ఱା௔ల)
+ … +
௔మబభభା௔మబభయ
௥(௔మబభభା௔మబభయ)
= 2012
ฝังซ้ายได้ ଵ
௥
บวกกัน =
ଶ଴ଵଵିଵ
ଶ
+ 1 = 1006 ตัว → ‫ݎ‬ =
ଵ଴଴଺
ଶ଴ଵଶ
=
ଵ
ଶ
ให้ ‫ݔ‬ = 1 +
ହ
ଶ
+
ଵଶ
ଶమ +
ଶଶ
ଶయ + … (1) → หาร 2 จะได้ ௫
ଶ
=
ଵ
ଶ
+
ହ
ଶమ +
ଵଶ
ଶయ +
ଶଶ
ଶర + … (2)
(1) – (2) :
௫
ଶ
= 1 +
ସ
ଶ
+
଻
ଶమ +
ଵ଴
ଶయ + … (3) → หาร 2 จะได้ ௫
ସ
=
ଵ
ଶ
+
ସ
ଶమ +
଻
ଶయ +
ଵ଴
ଶర + … (4)
(3) – (4) :
௫
ସ
= 1 +
ଷ
ଶ
+
ଷ
ଶమ +
ଷ
ଶయ + … = 1 +
య
మ
ଵି
భ
మ
= 4 → ‫ݔ‬ = 16
35. 11
ቚ
(௭ାଵ)(ଵା୧)
௭(ଵା୧)ାହା୧
ቚ = ቤ
௭ାଵ
௭ା
ఱశ౟
భశ౟
ቤ = ቤ
௭ାଵ
௭ା
(ఱశ౟)(భష౟)
(భశ౟)(భష౟)
ቤ = ቤ
௭ାଵ
௭ା
లషర౟
మ
ቤ = ቚ
௭ାଵ
௭ାଷିଶ୧
ቚ =
ඥ(௔ାଵ)మା௕మ
ඥ(௔ାଷ)మା(௕ିଶ)మ
= 1
→ (ܽ + 1)ଶ
+ ܾଶ
= (ܽ + 3)ଶ
+ (ܾ − 2)ଶ
→ 2ܽ + 1 = 6ܽ + 9 − 4ܾ + 4 → ܾ = ܽ + 3
จาก |‫|ݖ‬ = √65 จะได้ ܽଶ
+ (ܽ + 3)ଶ
= 65 → ܽଶ
+ 3ܽ − 28 = 0 → (ܽ + 7)(ܽ − 4) = 0
‫ݖ‬ อยู่ Qଵ ได้ ܽ = 4, ܾ = 7 → ตอบ 4 + 7 = 11
36. 205
จะได้ ܽହ − ܽଵ = ܾହ − ܾଶ → 4݀௔ = 3݀௕ →
ௗ್
ௗೌ
=
ସ
ଷ
(௕లି௕ర)ା(௕లି௕భ)
௔రି௔మ
=
ଶௗ್ାହௗ್
ଶௗೌ
=
଻ௗ್
ଶௗೌ
=
଻
ଶ
∙
ସ
ଷ
=
ଵସ
ଷ
→ 14ଶ
+ 3ଶ
= 205
37. 3
จะได้ ܽ௡ =
௡(௡ାଵ)
ଶ
ดังนัน ௔೙
௔೙ିଵ
=
೙(೙శభ)
మ
೙(೙శభ)
మ
ି ଵ
=
೙(೙శభ)
మ
೙మశ೙షమ
మ
=
௡(௡ାଵ)
(௡ାଶ)(௡ିଵ)
ดังนัน ௔మ௔య௔ర…௔೙
(௔మିଵ)(௔యିଵ)(௔రିଵ)…(௔೙ିଵ)
=
௔మ
௔మିଵ
∙
௔య
௔యିଵ
∙
௔ర
௔రିଵ
∙ … ∙
௔೙
௔೙ିଵ
=
(ଶ)(ଷ)
(ସ)(ଵ)
∙
(ଷ)(ସ)
(ହ)(ଶ)
∙
(ସ)(ହ)
(଺)(ଷ)
∙
(ହ)(଺)
(଻)(ସ)
∙ … ∙
௡(௡ାଵ)
(௡ାଶ)(௡ିଵ)
จะตัดกันได้ เหลือ ଷ
ଵ
∙
௡
௡ାଶ
ดังนัน ลิมิตของลําดับ = 3

26. 26 PAT 1 (มี.ค. 56)
38. 24
ଶ௫ି଼
ଶ௫ି√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ
∙
ଶ௫ା√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ
ଶ௫ା√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ
=
(ଶ௫ି଼)൫ଶ௫ା√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ൯
ସ௫మିସ௫మାଷ௫ିଵଶ
=
ଶ൫ଶ௫ା√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ൯
ଷ
ดังนัน
ଶቀଶ(ସ)ାඥସ(ସ)మିଷ(ସ)ାଵଶቁ
ଷ
= ݇ ∙
ସ
ଷ
→ ݇ = 8 → ݂(8 + 1) =
଼(ଽ)
ଷ
= 24
39. 354
݂ᇱ(‫)ݔ‬ = ܽ‫ݔ‬ଷ
+ ܾ‫ݔ‬ , ݂ᇱᇱ(‫)ݔ‬ = 3ܽ‫ݔ‬ଶ
+ ܾ จาก ݂ᇱᇱ(0) = 6 จะได้ ܾ = 6
จาก ݂ᇱ(1) = 18 จะได้ ܽ + 6 = 18 → ܽ = 12 → ݂(‫)ݔ‬ = 3‫ݔ‬ସ
+ 3‫ݔ‬ଶ
+ ܿ
จาก ݂(2) = ݂(1) + ݂(0) จะได้ 48 + 12 + ܿ = 3 + 3 + ܿ + ܿ → ܿ = 54
݃ᇱ(‫)ݔ‬ = (‫ݔ‬ଷ
+ 2‫ݔ21()ݔ‬ଷ
+ 6‫)ݔ‬ + (3‫ݔ‬ଶ
+ 2)(3‫ݔ‬ସ
+ 3‫ݔ‬ଶ
+ 54)
จะได้ ݃ᇱ(−1) = (−1 − 2)(−12 − 6) + (3 + 2)(3 + 3 + 54) = 354
40. 168
จะได้ 5 – 2i เป็นคําตอบด้วย → ݂(‫)ݔ‬ = ݇(‫ݔ‬ + 1)൫‫ݔ‬ − (5 + 2i)൯൫‫ݔ‬ − (5 − 2i)൯
= ݇(‫ݔ‬ + 1)(‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 29) จาก ݂(0) = 58 จะได้ ݇(0 + 1)(0 − 0 + 29) = 58 → ݇ = 2
ดังนัน ݂(‫)ݔ‬ = 2(‫ݔ‬ + 1)(‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 29) = 2‫ݔ‬ଷ
− 18‫ݔ‬ଶ
+ 38‫ݔ‬ + 58
จะได้ ݂(−‫)ݔ‬ = −2‫ݔ‬ଷ
− 18‫ݔ‬ଶ
− 38‫ݔ‬ + 58 ดังนัน ݂(‫)ݔ‬ − ݂(−‫)ݔ‬ = 4‫ݔ‬ଷ
+ 76‫ݔ‬
อินทิเกรตได้ ‫ݔ‬ସ
+ 38‫ݔ‬ଶ
→ ตอบ ൫2ସ
+ 38(2ଶ)൯ − (0 + 0) = 168
41. 48
= แบบทังหมด – แบบที 1 ติดกัน – แบบที 3 ติดกัน + แบบที 1 ติดกันและ 3 ติดกัน
=
଺!
ଶ!ଶ!ଶ!
−
ହ!
ଶ!ଶ!
−
ହ!
ଶ!ଶ!
+
ସ!
ଶ!
= 90 – 30 – 30 + 12 = 48 แบบ
42. 5927
݀ มากสุด 99 → ܿ < 594 → ܿ มากสุด 593 → ܾ < 2965 → ܾ มากสุด 2964 → ܽ < 5928
43. 396
100ܽ + 10ܾ + ܿ = 10ܽ + ܾ + 10ܾ + ܽ + 10ܽ + ܿ + 10ܿ + ܽ + 10ܾ + ܿ + 10ܿ + ܾ
78ܽ = 12ܾ + 21ܿ → 26ܽ = 4ܾ + 7ܿ ≤ 36 + 63 = 99 → ܽ ≤ 3
ܽ = 3 ได้ 4ܾ + 7ܿ = 78 ไล่แทน ܾ = 9 ลงมา จนกว่าจะเจอทีหารด้วย 7 ลงตัว ได้ ܾ = 9 , ܿ = 6
44. 135
= แบบทังหมด – แบบทีไม่มีคู่ไหนมาจากอําเภอเดียวกัน
= ൫଺
ଶ
൯൫଺
ଶ
൯ − ൫଺
ଶ
൯൫ସ
ଶ
൯ = 225 – 90 = 135
45. 200
หܾത − ܿ̅ห = ඥ4ଶ + (‫ݕ‬ − 1)ଶ = 5 → ‫ݕ‬ = 4, −2 และจาก ܽത ⊥ ܾത จะได้ 6‫ݔ‬ +
ଵଶ௬
ହ
= 0 → ‫ݔ‬ = −
଼
ହ
,
ସ
ହ
แต่ ܽത ∙ ܿ̅ > 0 จะได้ 2‫ݔ‬ +
ଵଶ
ହ
> 0 → ‫ݔ‬ > −
଺
ହ
→ เหลือ ‫ݔ‬ =
ସ
ହ
และ ‫ݕ‬ = −2

27. PAT 1 (มี.ค. 56) 27
5ܽത + ܾത = (4ଓ̅ + 12ଔ̅) + (6ଓ̅ − 2ଔ̅) = 10ଓ̅ + 10ଔ̅ → |5ܽത + ܾതห
ଶ
= 10ଶ
+ 10ଶ
= 200
46. 20
จะได้พืนทีของนาย ก. คือ 0.5 – 0.0948 = 0.4052 → ‫ݖ‬ก = 1.31
จะได้พืนทีของนาย ข. คือ −(0.5 – 0.1064) = −0.3937 → ‫ݖ‬ข = −1.24
‫ݖ‬ก − ‫ݖ‬ข = 1.31 – (−1.24) = 2.55 =
௫กି௫ข
௦
=
ହଵ
௦
→ ‫ݏ‬ =
ହଵ
ଶ.ହହ
= 20
47. 12
ทํานาย ฟิสิกส์ (‫ݔ‬௜) จาก คณิตศาสตร์ (‫ݕ‬௜) ต้องใช้ ܺ෠ = ܽ + ܾܻ
จะได้ ∑‫ݔ‬௜ = 54 และ ∑‫ݕ‬௜ = 36 จะได้ระบบสมการคือ 54 = 6ܽ + 36ܾ และ 428 = 36ܽ + 268ܾ
ตัดเป็นอย่างตํา ได้ 9 = ܽ + 6ܾ และ 107 = 9ܽ + 67ܾ แทน ܽ จากสมการแรก ได้ 107 = 9(9 – 6ܾ) + 67ܾ
→ 26 = 13ܾ → ܾ = 2 , ܽ = −3 → ตอบ −3 + 2(7.5) = 12
48. 10
ค่อยๆหาไล่จาก ‫ݕ‬ น้อยๆ เริมจากกลุ่ม ‫ݕ‬ = 0 ใช้เงือนไขทีสอง
‫)0,0(ܨ‬ = 1 , ‫)0,1(ܨ‬ = 2 , ‫)0,2(ܨ‬ = 3 , ‫)0,3(ܨ‬ = 4 , ‫)0,4(ܨ‬ = 5
พวก ‫ݕ‬ = 1 : ‫)1,0(ܨ‬ = ‫)0,1(ܨ‬ = 2
‫)1,1(ܨ‬ = ‫,)1,0(ܨ(ܨ‬ 0) = ‫,2(ܨ‬ 0) = 3
‫)1,2(ܨ‬ = ‫,)1,1(ܨ(ܨ‬ 0) = ‫,3(ܨ‬ 0) = 4
‫)1,3(ܨ‬ = ‫,)1,2(ܨ(ܨ‬ 0) = ‫,4(ܨ‬ 0) = 5
พวก ‫ݕ‬ = 2 : ‫)2,0(ܨ‬ = ‫)1,1(ܨ‬ = 3
‫)2,1(ܨ‬ = ‫,)2,0(ܨ(ܨ‬ 1) = ‫)1,3(ܨ‬ = 5
ดังนัน ‫,1(ܨ‬ 2) + F(3, 1) = 5 + 5 = 10
49. 6
จาก (1) แทน ‫ݔ‬ = 1 จะได้ 1 ∗ ‫ݕ‬ = (1 ∗ 1)‫ݕ‬ = ‫ݕ‬ เปลียนชือ ‫ݕ‬ เป็น ‫ݔ‬ ได้ 1 ∗ ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬
แทน 1 ∗ ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬ ในข้อ (2) ได้เป็น ‫ݔ‬ ∗ ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬
แทน ‫ݔ‬ ∗ ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬ ในข้อ (1) ได้เป็น ‫ݔ‬ ∗ (‫)ݕݔ‬ = ‫ݕݔ‬ ดังนัน ܽ ∗ ܾ = ܽ ∗ ቀܽ ∙
௕
௔
ቁ = ܽ ∙
௕
௔
= ܾ
สรุป เครืองหมาย ∗ คือให้ตอบตัวหลังนันเอง ดังนัน 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) = 6
50. 4
จะได้ ݂൫݂(‫)ݔ‬൯ = 4 + ‫ݔ‬൫4 − ݂(‫)ݔ‬൯ …(1)
แทน ‫ݔ‬ ด้วย 0 จะได้ ݂൫݂(0)൯ = 4 + 0൫4 − ݂(0)൯ = 4 …(2)
จาก (2) ใส่ ݂ ทังสองข้าง ได้ ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = ݂(4) …(3)
แทน ‫ݔ‬ ใน (1) ด้วย ݂(0) จะได้ ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = 4 + ݂(0) ቀ4 − ݂൫݂(0)൯ቁ …(4)
แต่จาก (2) จะได้ ݂൫݂(0)൯ = 4 ดังนัน ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = 4 + ݂(0)(4 − 4) = 4 …(5)
จาก (3) และ (5) จะได้ ݂(4) = 4

28. 28 PAT 1 (มี.ค. 56)
เครดิต
ขอบคุณ คุณ สนธยา เสนามนตรี , คุณ ณัฐสรณ์ เส็งเฮ้า , คุณ Quest Internal , คุณ Ntt Dks และ อีกคนหนึงทีมา
โพสท์ข้อสอบบนวอลผม (เค้าบอกผมว่าถ้าผมโหลดเสร็จให้ลบทิง ผมจําชือเค้าไม่ได้ เพราะผมลบโพสเค้าไปแล้ว = ="
ขอโทษนะครับ _/_ )
ขอบคุณ ท่านอาจารย์ Sila Sookrasamee ทีช่วยตรวจคําตอบ ด้วยนะครับ