Unidad 10.3

1. Números Complejos
10.3: Funciones cuadráticas
Prof. Rosa E. Padilla

2. Conjuntos numéricos
Números Complejos ℂ
Números Reales ℝ
Números
Imaginarios
Números Racionales ℚ
Números Enteros ℤ
Números
Naturales
ℕ

3. Número complejo
• El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos
los números de la forma:
donde a y b son números reales e 𝑖2
= −1.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Parte real
Parte imaginaria

4. Números imaginarios
• Los números imaginarios están basados en la solución de la
ecuación:
• Como ningún número real es la solución de esta ecuación, se
define a un número imaginario i para ser la solución de esta
ecuación.
𝑥2
= −1

5. Forma general (binómica)
• Forma general de un número complejo es: 𝑎 + 𝑏𝑖
• Variaciones de la forma general:
• Si 𝑎 = 0, entonces se omite la parte real y solo se escribe la parte
imaginaria.
• Si 𝑏 = 0, entonces solo se escribe la parte real y el número es real.
• Si b contiene un radical, entonces se escribe i antes de b, para evitar
confusión de considerar la i dentro del radical.

6. Identifica las partes del número
complejo
• Ejemplo: 3 + 8𝑖
𝑎 = 3
𝑏 = 8

7. Identifica la parte real e imaginaria
para cada caso
1) 3 + 0𝑖
2) 0 − 6𝑖
3) 3 + 2𝑖

8. Operaciones con números complejos
• Suma:
• 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
• Ejemplo:
3 + 2𝑖 + 6 − 4𝑖
= 3 + 6 + 2 − 4 𝑖
= 9 − 2𝑖

9. Operaciones con números complejos
• Resta:
• 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
• Ejemplo:
9 − 2𝑖 − 6 + 5𝑖
= 9 − 6 + −2 − 5 𝑖
= 3 − 7𝑖

10. Operaciones con números complejos
• Multiplicación:
• Recordar: 𝑖2
= −1
• Puedes utilizar la propiedad distributiva
• Ejemplos:
• 2 5 + 3𝑖 = 2 5 + 2 3𝑖 = 10 + 6𝑖
• 3𝑖 1 + 4𝑖 = 3𝑖 1 + 3𝑖 4𝑖 = 3𝑖 + 12𝑖2
= −12 + 3𝑖
• 5 + 2𝑖 ∙ 2 − 3𝑖
= 5 2 + 5 −3𝑖 + 2𝑖 2 − 2𝑖 3𝑖
= 10 − 15𝑖 + 4𝑖 − 6𝑖2
= 10 − 11𝑖 + 6
= 16 − 11𝑖

11. Operaciones con números complejos
• Para el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, ҧ𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 se le conoce
como su conjugado complejo.
• Teorema:
Si a y b son números reales, entonces el producto de 𝑎 + 𝑏𝑖 y su
conjugado 𝑎 − 𝑏𝑖, es el número real 𝑎2 + 𝑏².
• Este teorema sobre conjugados complejos es utilizado para dividir
números imaginarios.

12. Operaciones con números complejos
• División:
2
5 − 4𝑖
=
2
5 − 4𝑖
∙
5 + 4i
5 + 4𝑖
=
2(5 + 4i)
(5 − 4𝑖)(5 + 4𝑖)
=
10 + 8i
52 + 42 =
10 + 8i
25 + 16
=
10 + 8𝑖
41
=
10
41
+
8
41
𝑖

13. Simplificando números imaginarios
Conocemos que:
• 𝑖2 = −1 ↔ 𝑖 = −1
Notar que:
• 𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = −𝑖
• 𝑖4
= 1 𝑖5
= 𝑖 𝑖6
= −1 𝑖7
= −𝑖

14. Simplifica
1) −50 2) − −18 3 )𝑖25
4) 𝑖50 5) 𝑖13
+ 𝑖23
+ 𝑖40 6) (𝑖 5)2
7) 3 + 2𝑖 + 9 + 7𝑖 + (−2 − 𝑖)

15. Simplifica
8) 5 − 3𝑖 − (−1 + 4𝑖) 9) − 𝑖(5 + 2𝑖)
10) − 1𝑖 9 − 2𝑖 − (5 + 7𝑖) 11) 4𝑖 1 + 𝑖 + 3(6 − 2𝑖)
12) (3 + 𝑖)(2 + 𝑖) 13) (3 + 5𝑖)(8 − 𝑖)

16. Simplifica
14) 𝑖(4 − 𝑖)(3 + 2𝑖) 15) (2 − 3𝑖)4
16)
5 − 𝑖
𝑖
17)
2 + 𝑖
2 − i
18)
3 − 4𝑖
2 + 5𝑖

17. Expresa en la forma más simple
1) 𝑖9
2) 𝑖43
3) 𝑖5876
Escribe en la forma estándar
4) −36 5) −52 6) −108
7) 3 −12 8) − 4 −32

18. Efectúa la operación indicada
1) −3 + 5 −3 2) −4 + −8
3) −32 + −98 − −72 4) 2 −12 − 7 −48 + −3
5) 2 −6 − 7 −36 6) 4 −32 − −50

19. Valor absoluto de un número
complejo
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
|𝑧| = 𝑎2 + 𝑏²
= 32 + 4²|3 + 4𝑖| = 9 + 16
= 25 = 5

20. Práctica: Halla el valor absoluto de
los siguientes números complejos.

21. Práctica: Halla el valor absoluto de
los siguientes números complejos.

22. Graficando números complejos

23. Ejemplo:
• Grafica 𝑍1 = 3 + 5𝑖.

24. Practica lo aprendido
• Grafica los siguientes puntos.
1. −3 + 4𝑖
2. −1 − 4𝑖
3. −1 − 5𝑖
4. 4 + 4𝑖
5. −3 + 5𝑖
6. 2 + 4𝑖