O documento discute cálculos de área de figuras irregulares usando a Fórmula de Pick com base no Teorema de Euler. Explica como decompor figuras irregulares em formas com áreas conhecidas e somá-las para obter a área total, como dividir um trapézio em triângulos. Apresenta também aplicações práticas de cálculos de área irregular.

1. PÓS GRADUAÇÃO
NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DE
MATEMÁTICA
NTEM – 2014
Rony de Macedo Ventura

2. ÁREAS NÃO REGULARES...
COMO CALCULAR?

3. APRESENTAÇÃO
• O conteúdo descrito, procura demonstrar o
cálculo de área de figuras planas irregulares.
• Utilizando a Fórmula de Pick, com base no
Teorema de Euler.
• Definição prática, afim de contextualizar e
fazer buscar o conteúdo explanado e outros.

4. FICHAMENTO
“Poliedro é uma reunião de um número finito de
polígonos planos, onde cada lado de um
desses polígonos é também lado de um, e
apenas um, outro polígono”.
(Teorema de Euler)

5. RESUMO
O trabalho procura demonstrar a
contextualidade e a utilização da matemática
no cotidiano. Dessa forma, foi elaborado para
definir o cálculo de área de figura irregulares.
Afim de, demonstrar a matemática em texto
simples para melhor compreenção.

6. ÁREAS NÃO REGULARES... COMO CALCULAR?
• Conceitos de área o e ocupação de espaço são definidos na Educação
Base desde o ensino Infantil, Médio e posteriores. A formulação
pedagógica propõe, varias abordagens a partir de análises espaciais, tendo
vinculo ou não com geometria ou espaçamentos métricos.
• Nas séries finais do Ensino Fundamental e no Médio os conceitos de
Área são expostos rapidamente e logo, introduzem as fórmulas e cálculos
de área. Esse conteúdo é desenvolvido com apoio de livros didáticos
relacionando números com superfícies.
• Em geral o trabalho isenta de atividades que envolvam composição e
decomposição de figuras propostas nos estudos de geometria e que
auxiliam a compreensão das fórmulas. A importância histórica no
desenvolvimento das sociedades antigas é baseada, em conceitos de área.
Alem disso, figuras como círculos, figuras irregulares ou com contorno
arredondados, não são colocadas nos livros, pois, os cálculos restringiram
– se aos polígonos.

7. • A ilustração com aspectos históricos que o relaciona à
necessidade de sobrevivência do homem, no
desenvolvimento da agricultura e da engenharia das
primeiras civilizações, e às formas de construção do
pensamento matemático.
• Também são demonstradas as fórmulas usuais para as
áreas dos polígonos mais simples, a partir da definição de
área do quadrado e da utilização da unidade quadrada
como padrão de medida. A área do círculo é demonstrada a
partir do método da exaustão ou Princípio de
• Eudoxo-Arquimedes.
(consultarsite[http://www.dm.ufscar.br/hp/hp527/hp527001/hp5270011/hp5270011.html])

8. • Dessa forma para calcular área de figuras irregulares, recorre – se a
Fórmula de Pick e sua relação com o Teorema de Euler para superfícies
poligonais.
• O conceito de área de figuras assumido pelo contexto matemático
principia, comparar e medir uma superfície. Sendo superfície, uma porção
do plano limitado por uma figura. Medir uma superfície significa obter um
número que represente a porção do plano ocupada por essa região. Essa
medida é chamada de Área.
• Assim, para medir a superfície de uma região é necessário utilizar uma
outra superfície
• como unidade de medida e verificar quantas vezes essa unidade cabe
dentro da região a ser
• medida. Em geral, toma-se um quadrado como unidade de medida e o
número de vezes obtido é a Área da região medida. Outro recurso
utilizado é a decomposição de uma figura em outras cujas áreas sejam
conhecidas.

9. • Através das seguintes propriedades:
•
• Seja P um polígono do plano. A cada polígono P se pode associar um
número real não negativo, chamado área de P, com as seguintes
propriedades:
•
• 1) Polígonos congruentes têm áreas iguais.
•
• 2) Se P é um quadrado com lado unitário, então a área de P = 1.
•
• 3) Se P pode ser decomposto em n polígonos P1, ..., Pn, tais que dois
quaisquer deles têm em comum no máximo alguns lados, então a área de
P é a soma das áreas dos Pi.
•
• A partir dessas idéias apresentaremos modos de representar as áreas
de algumas figuras planas. Para tanto assumiremos como unidade de
medida um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento (u.c),
que será chamado quadrado unitário. Em decorrência, a área do quadrado
unitário será igual a uma unidade de área (u.a.). ( LIMA (1991, p. 21)).

10. • Com isso, a Área de um polígono qualquer, subdividindo-o em figuras cuja
área já sabemos como obter. A área do polígono que se quer encontrar
será a soma das áreas das figuras em que este foi subdividido.
•
• Tomemos como exemplos o trapézio:
• C D
•
•
•
A E B
Consideremos as bases AB = b1 e CD = b2 e a altura do trapézio DE = a.
O segmento de reta AD divide o trapézio nos triângulos ABD e ACD, com
bases b1 e b2 respectivamente, e mesma altura a. A área do trapézio é a
soma das áreas dos dois triângulos:
Área de ABCD = a b1 + a b2
2 2
Área de ABCD = a (b1 + b2 )
2

11. • Tendo em vista que, o objetivo teorema de Pick, é destinado a
definir área de polígonos não convencionais. Esse calculo é usado a
definir espaço com: danos por queimadas, enchentes, outros
desastres, plantações, proporção de quantidade de colheita, etc.
• Na sala de aula, as construções com base em pares ordenados
nem sempre são regulares tornando o calculo mais complicado.
Assim, utilizamos um das fórmulas do teorema de Pick, sendo “n” o
número de lados do polígono original, “l” é o número de lados dos
triângulos que foram usados para dividir o polígono original e “a” o
apótema da altura dos triângulos (O apótema de um polígono
regular é o seguimento de reta que une o centro desse polígono ao
médio de qualquer um dos lados).
• Por tanto, a matemática mostra – se muito mais atrativa e fácil
quando contextualizada, levando professores e alunos a
pesquisarem mais sobre este e outros assuntos.

12. • Referência Bibliográfica:
•
• Azevedo, Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan - O PRINCÍPIO DE EUDOXO, ou O MÉTODO DA EXAUSTÃO -
http://www.dm.ufscar.br/hp/hp527/hp527001/hp5270011/hp5270011.html
•
• ROCHA, Tania Marli – Professora da Rede Estadual de Ensino do Paraná, participante do PDE 2007.
(taniamarli@seed.pr.gov.br)
•
• ANDRADE, Doherty - Professor do Departamento de Matemática da UEM – Universidade Estadual de Maringá
(doherty@uem.br)
•
• ANDRADE, DOHERTY. Teorema de Pick. Disponível em <http://www.dma.uem.br/kit/pick.html>. Acesso em 22
mar. 2008.
•
• BOYER, CARL B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. Edgard Blucher. São Paulo, 1974.
•
• EVES, HOWARD. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H.
• Domingues. Editora da UNICAMP. Campinas – SP, 1995.
•
• HOGBEN, LANCELOT. Maravilhas da Matemática. 2ª. Edição. Globo. Porto Alegre, 1958.
•
• LIMA, ELON LAGES. Medida e Forma em Geometria: comprimento, área, volume e semelhança. Coleção do
Professor de Matemática. SBM. Rio de Janeiro, 1991.

13. Pós Graduação em Novas Tecnologias
no Ensino de Matemática
Informática Educativa I - 2014 :: Projeto em
Informática Educativa
Título: ÁREAS NÃO REGULARES... COMO
CALCULAR?
Nome do aluno: Rony de Macedo Ventura
Tutora: Maria Inês Souza Reynaud