Resolução da P1 de Geometria Analítica, modelo C. Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

1. 1ª Avaliação de Geometria Analítica
(Resolução)
1. Seja o hexágono regular ABCDEF. Se ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , determine ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ em
função de e ⃗ .
Sendo o ponto O o centro do hexágono:
A F
O
B E
C D
Pela ilustração acima: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Observe que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , além de |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ , pois o
hexágono é regular. Então: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Logo, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
2. Mostre que os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ ) e ⃗⃗⃗⃗⃗ ( (
) são ), ⃗⃗⃗⃗⃗ (
ortogonais dois a dois. Mostre também que o produto misto [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] é igual a
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖. Explique este resultado.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ ( ) √
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √( ) ( ) √
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √ √
Então, [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖.

2. Como ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são ortogonais dois a dois, formam um paralelepípedo reto. O
volume de um paralelepípedo definido por três vetores LI é dado pelo produto misto
deles. O volume pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura, que é o
mesmo que o produto do módulo dos três vetores.
3. Determine as equações paramétricas e reduzida em y da reta que satisfaz às equações
. Também determine os pontos onde essa reta intercepta os
planos coordenados xy, xz e yz.
Partindo da dupla igualdade
,
somamos 6 unidades em todos os termos,
, dividindo ambas as equações por 3 encontramos
(eq. reduzida em y).
Admitindo , como parâmetro, obtemos as equações paramétricas:
A reta intercepta o plano xy quando .
Substituindo na última equação, obtemos . Então, o ponto de intersecção é
( ).
A reta intercepta o plano xz quanto
Então . Substituindo nas equações, obtém-se ( ).
A reta intercepta o plano yz quando .
Neste caso , então ( ).
4. Obtenha os pontos da reta r que equidistam dos pontos A e B, onde
( ) ( ) ( ) ( ).
Os pontos que equidistam dos pontos A e B são da forma ( ),
pois P pertence à reta.
Pela condição do problema, devemos ter ( ) ( ).
( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | ( ) √( ) ( ) ( )
( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | ( ) √ ( ) ( )
√( ) ( ) ( ) √ ( ) ( )
Então ( ).