Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos. Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

1. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
1. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de
intersecção.
(a) ( ) ( ) ( ) ( )
Sendo ⃗ ( ) o vetor diretor da reta e ⃗ ( ) o vetor diretor da reta ,
verificaremos se ⃗ e são L.D. ou L.I..
⃗ não pode ser escrito como múltiplo escalar de , portanto são L.I., ou seja, não
paralelos.
Para encontrar o ponto de intersecção deve-se igualar as coordenadas.
(I)
(II)
(III)
Isolando de (III) e substituindo em (II):
( )
Substituindo em (III):
Substituindo e em (I), para testar a validade dos parâmetros:
Logo, e é a solução do sistema.
Substituindo na equação da reta s, obtemos o ponto de intersecção ( ).
(b)
O vetor diretor de r é ( )e⃗ ( ) o vetor diretor de s.
Observa-se que ⃗ , então ⃗ e são paralelos e r e s são paralelas.
(c)
(I)
(II)
(III)
O vetor diretor de r é ( ) e da reta s é ⃗ ( ). Como não é possível
escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas.
Substituindo na reta s, temos:
Substituindo em (I) e (II):
1

2. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Foi encontrado um único valor para , então o ponto de intersecção é composto por
, e . Portanto, ( ).
(d)
O vetor diretor de r é ( ) e ⃗ ( ) o vetor diretor de s. Como não é
possível escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas.
Pela equação da reta r, temos que:
Pela equação da reta s, temos que:
Substituindo a coordenada z:
Inserindo os valores encontrados nas equações da reta, obtemos:
Não foi encontrado um valor único para z, portanto, não existe ponto de intersecção
entre as retas. Como elas são não-paralelas, elas são reversas.
2. A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas
respectivamente, em ( ) ( ) e ( ) ( ). Sendo
( ), determine A e B.
s
B
R M C
A
r
2

3. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
i) Parte 1: para encontrar o ponto B
Igualando as coordenadas de r e s:
Substituindo na primeira equação:
( )
Então:
Então ( )
ii) Parte 2: para encontrar o ponto A
( )
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
Então ⃗⃗⃗⃗⃗ . /
Logo:
̅̅̅̅
̅̅̅̅; igualando-se as coordenadas tem-se:
Resolvendo o sistema encontra-se
Substituindo na equação da reta s obtém-se o ponto M.
( )
Como M é ponto médio de ( ) e ( ) temos as seguintes
relações:
Das equações acima: , e , portanto ( ).
3

4. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
3. Estude a posição relativa das retas r e s:
(a) ( ) ( )
������
Inicialmente, escreveremos s na forma paramétrica:
Substituindo na segunda equação:
Admitindo que :
������
Temos as seguintes informações: ( ) ( ) ( )
( ).
Verificaremos se ( ) são L.D.:
, logo são L.D. e as retas s e r são paralelas.
– Substituindo ( ) em s:
Igualdades não verificadas, portanto e r e s são paralelas distintas.
(b)
������ ������
Escrevendo r na forma paramétrica:
Da segunda equação temos , substituindo na primeira:
Admitindo ,
������
Escrevendo s na forma paramétrica:
Da segunda equação temos , substituindo na primeira:
( )
Se então ( )
Admitindo ,
4

5. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
������
Agora conseguimos extrair as seguintes informações: ( ) ( )
( ) ( ).
não é múltiplo escalar de , portanto ( ) são L.I e r e s não são paralelas.
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗
[⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Então r e s são concorrentes.
(c)
( ) ( )
Informações:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são reversas.
(d)
������
Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica:
Da primeira equação obtemos:
Substituindo na segunda
Substituindo em
( )
Admitindo
������
Informações:
( ) ( ) ( ) ( )
5

6. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
( )
– Substituindo as coordenadas de S na equação de r
A igualdade se verifica, portanto e r e s são paralelas e coincidentes.
(e)
( ) ( ) ( ) ( )
Informações:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são concorrentes.
(f)
Informações:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são concorrentes.
(g)
������
Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica:
Da segunda equação obtemos:
6

7. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Substituindo na primeira
Substituindo em
( )
Admitindo
������
Informações:
( )
( )
( )
. / ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são reversas.
(h)
( ) ( )
Informações:
( ) ( )
( ) ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são reversas.
7

8. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
4. Sejam ( ) ( )e ( ) ( ). Estude, segundo
valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação
geral do plano determinado por elas.
Informações:
( ) ( )
( ) ( )
* +
Logo, r e s nunca serão paralelas.
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
Se [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]
Se [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]
Logo, se
e se
Com temos ( ) ( ).
Seja (
) um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do
mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] .
[⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
( ) ( ) ( ) ( )
5. Mostre que as retas r e s determinam um plano e obtenha a equação geral de .
(a)
Informações:
( ) . / ( ) ( ) ( )
8

9. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
( )
Então r e s formam um plano.
Seja () um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do
mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] .
[⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
( ) ( )
(b)
Informações:
( ) ( )
( ) ( )
( )
– Substituindo as coordenadas de S na equação de r
Igualdade não verificada, portanto e r e s são paralelas e distintas.
Como são L.D., não podem determinar um plano. Então o plano será
determinado por ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
Seja () um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do
mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] .
[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
( ) ( ) ( ) ( )
6. Estude a posição relativa da reta r e do plano π e, quando forem transversais, obtenha
o ponto de intersecção P.
(a)
9

10. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
( ) ( )
Informações:
( )
( )
⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π
⃗ ⃗
Substituindo as coordenadas de r em π:
( )
Substituindo na equação de r, obtemos o ponto de intersecção:
( ) ( ) ( )
(b)
( ) ( ) ( )
Informações:
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
– Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica:
(I)
(II)
(III)
Das equações (II) e (III), e .
Substituindo em (I): (sentença matemática falsa)
Logo, e r em π são paralelos e r não está contida em .
(c)
������ ( ) ( ) ( )
Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica:
Da primeira equação obtemos:
10

11. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Substituindo na segunda
Substituindo em
Admitindo
������
Informações:
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
– Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica:
(I)
(II)
(III)
Substituindo (I) e (III) em (II):
Como a igualdade é verificada, então e r e π são paralelos e r está contida em π.
(d)
������
Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica:
Da primeira equação obtemos:
Substituindo na primeira
( )
Substituindo em
Admitindo
11

12. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
������
Informações:
( )
( )
⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π
⃗ ⃗
Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π:
A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π.
(e)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Informações:
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | |
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Igualando as coordenadas de r às de π:
(I)
(II)
(III)
Isolando de (II) e substituindo em (III) obtém-se o sistema
Somando as duas equações obtém-se
Substituindo o parâmetro encontrado na equação da reta r, encontra-se o ponto de
intersecção P
( )
12

13. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
(f)
Informações:
( )
( )
⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π
⃗ ⃗
Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π:
( ) ( ) ( )
A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π.
7. Calcule m para que r seja paralela a π: ( ) ( ) ( )
( ) ( ).
Informações:
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
Para que r seja paralela ao plano π, os vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ devem ser coplanares, ou seja,
linearmente dependentes.
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | |
8. Sejam ( ) ( ) . Usando em cada caso a
informação dada, obtenha condições sobre m e n.
Informações:
( ) ⃗ ( )
( )
(a) r e π são paralelos;
Para que r e π sejam paralelos, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja
⃗
13

14. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
e R não deve pertencer ao plano π, ou seja,
√
Logo, r e π são paralelos se, e somente se, √
(b) r e π são transversais;
Para que r seja transversal a π, basta que e ⃗ não sejam ortogonais, portanto,
(c) r está contida em π;
Para que r esteja contida em π, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja
⃗
e R deve pertencer ao plano π, ou seja,
√
Logo, r está contida em π se, e somente se, √ .
9. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2.
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2.
Verificaremos se *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + é LD ou LI. A verificação também poderia ser feita no
conjunto *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ +.
,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
Então, π1 e π2 são paralelos.
( ) pertence também à ? – Substituindo as coordenadas na equação de .
(I)
(II)
(III)
Da equação (I) obtemos . Substituindo em (II) e (III) encontra-se .
Foram encontrados valores reais que satisfazem as três equações, portanto ( ) e os
planos π1 e π2 são iguais.
(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2.
,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | |
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
14

15. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Então, π1 e π2 são transversais.
(c)
⃗⃗⃗⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal a π2. Observamos
que um é múltiplo escalar do outro, logo, são paralelos. Então π1 e π2 são também
paralelos.
Fazendo na equação de π1 obtemos o ponto ( ), pertencente ao
plano. Substituindo P na equação de π2, encontramos , então P não pertence à π2 e
π1 e π2 são paralelos e distintos.
(d) ( ) ( ) ( )
⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ( )e⃗ ( ) são vetores diretores
de π2.
Se o vetor simultaneamente ortogonal a e⃗ ( ⃗ ) for paralelo à ⃗ , então os planos
são paralelos.
⃗
⃗ | | ( )
⃗ e ⃗ são LI, portanto não são paralelos. Então π1 e π2 são transversais.
10. Calcule m para que os planos ( ) ( ) ( )
sejam paralelos e distintos, nos casos:
e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD.
⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Obtemos o sistema
(I)
(II)
Isolando de (I) e substituindo em (II),.
A primeira solução não convém, pois tornaria o vetor ⃗ nulo, que não define plano
algum.
Portanto, e são paralelos se .
15

16. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
(a)
Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a .
Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto
e não existe tal que e sejam paralelos e distintos.
(b)
Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a .
Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto
e e são paralelos e distintos quando .
11. Estude a posição relativa dos planos e ( )
( ) ( ).
e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD.
⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Obtemos o sistema
(I)
(II)
(III)
Pela equação (III) encontramos . Substituindo em (I) e (II) encontramos,
respectivamente, e . Logo, inexiste que atenda simultaneamente às
três equações.
Então, os planos e são sempre transversais.
12. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é paralelo ao
plano de equação .
O plano que queremos a equação é paralelo à , então seu vetor
normal é ⃗ ( ). Logo, a equação é da forma . Mas, ( )
pertence ao plano. Substituindo os pontos na equação.
A equação do plano é .
13. Dados ( ) ( ) ( ) e ( )
( ) ( ), obtenha uma equação vetorial de .
Para o cálculo da intersecção entre dois planos, devemos igualar suas coordenadas.
[os parâmetros e da equação de foram substituídos, respectivamente, por e
para serem diferentes de ]
16

17. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
(I)
(II)
(III)
Da eq. (II):
Substituindo em (I):
Substituindo e em (III): ( ) ( )
Substituindo os parâmetros acima na equação de , temos a reta com a seguinte
equação paramétrica:
Na forma vetorial: ( ) ( )
14. Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano π e
perpendicular à reta AB. São dados: , ( ),
( ), ( ) ( ).
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ) ) ( )
Equação da reta ( ) ( )
Vetor normal do plano π: ⃗ ( )
Q é o ponto de intersecção entre r e s. É da forma ( ).
P é o ponto de intersecção entre r e AB. É da forma ( ).
⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à , vetor diretor de r, portanto
( ) ( )
( )
⃗ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
( )
Mas, , então:
17

18. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Substituindo e em ( ):
Cálculo do vetor diretor:
( )
( ) ( ) ( )
Cálculo do ponto :
( ) ( )
( )
Logo, . / ( ).
15. Verifique se os planos e são perpendiculares.
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de .
e são perpendiculares se *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + for LI, ou seja ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ +
Os planos e não são perpendiculares.
(b)
Sendo ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao plano e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao
plano
e são perpendiculares se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ou seja, se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
Logo, e são perpendiculares.
16. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é perpendicular
aos planos e .
Queremos a equação do plano , que é perpendicular à e . Logo, ⃗ , vetor normal
de é simultaneamente ortogonal à ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de , e ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de .
18

19. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ⃗ ⃗
⃗ ( ) ( )
Mas, ( ) , então:
Logo, .
17. Obtenha as equações da reta perpendicular comum às retas r e s:
(a)
Escrevendo ambas as equações na forma paramétrica:
������
Para a reta s serão necessárias algumas manipulações. Somando o termo ( ) em
todas as partes da igualdade, temos:
Encontramos então um sistema de equações planares:
(I)
(II)
Subtraindo (II) de (I)
Substituindo em (II)
( )
Admitindo , um parâmetro real
������
A reta que desejamos encontrar a equação é perpendicular comum à r e s, então
, onde é vetor diretor da reta.
⃗
| | ⃗ ⃗ ( )
Incompleta
19

20. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
(b)
( ) ( )
Rescrevendo a equação de s
Informações:
( )
( ) ( )
( )
( )
Cálculo do vetor diretor da reta
⃗
| | ⃗ ⃗ ( )
A intersecção entre r e s é um ponto pertencente à reta que desejamos equacionar.
Igualando as coordenadas:
Resolvendo o sistema encontra-se e .
Substituindo na equação de r, encontramos o ponto ( ).
Então
( ) ( )
18. Dadas as retas ( ) ( ) e ( ) ( ),
obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a ⃗
( )
A reta t é a intersecção de dois planos, e , sendo que:
⃗
⃗
| |
| |
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20

21. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
A equação da reta t na forma planar é
������
21