Libro: Luis Zegarra , álgebra I

1. Mett ®
Capítulo 4
Progresiones
4.1. Progresiones Aritméticas
Definición 1
Se dice que una sucesión +8 es una progresión aritmética aT ÞEÞb si y solo si se
puede expresar por
+8 œ +"  a8  "b.
donde +" y . son reales.
Como bien sabemos +" es el primer término de la sucesión, en este caso de la
progresión y . se acostumbra a llamar diferencia simétrica de ella.
Ejemplo 1
+8 œ %8  ( es una T ÞEÞ pues se puede expresar como +8 œ ""  a8  "b% note
que en este caso: +" œ "" y . œ %.
Propiedad 1
Una sucesión de números reales tal como
+" ß + # ß + $ ß † † † †
representa a una T ÞEÞ si y solo si . œ +5"  +5 ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8  "Ñ
Demostración.
+5"  +5 œ +"  5 .  a+"  a5  "b. b œ .
Ejemplo 2
La sucesión:
"
"
"
ß
ß
ß † † † † aB Á "b
"  ÈB "  B "  ÈB
es una T ÞEÞ pues

2. Mett ®
.œ
ÈB
"
"
"
"

œ

œ
"  B "  ÈB
"B
"  ÈB "  B
Observaciones 1
1) Nótese que para cualquier T ÞEÞ +5" œ +5  .ß a 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8  "Ñ
2) Dependiendo de los ejercicios en algunos casos es conveniente tomar la terna
en T ÞEÞ À +  .ß +ß +  . en otros el cuarteto +  $.ß +  .ß +  .ß +  $. y
así sucesivamente. (Ver ejercicios resueltos: 2 )
Propiedad 2
La suma de los 8 primeros términos de una T ÞEÞß cuyo primer término es +" y su
diferencia .ß es:
8
W8 œ Ò #+"  a8  "b . Ó
#
Demostración.
W8 œ ! a+"  a5  "b. b œ +" 8  .Ö ! 5  ! " × œ +" 8  .Ö " 8a8  "b  8×
#
8
8
8
5œ"
5œ"
5œ"
8
œ Ò #+"  a8  "b . Ó
#
Interpolación
Cuando se pide interpolar : medios aritméticos entre + y , reales dados, significa
que: +ß los : números en cuestión y , deben estar en T ÞEÞ.
4.2. Ejercicios Resueltos
1. El tercer término de una T ÞEÞ es + y el término de lugar 21 es +  $' ,ß con + y
, reales dadosß no nulos a la vez. Determine la T ÞEÞ.
Solución.
Por hipótesis
+$ œ +"  # . œ + • +#" œ +"  #! . œ +  $' , de donde
resolviendo el sistema para +" y . se obtiene +" œ +  %, y . œ #, por tanto
resulta +8 œ #, 8  +  ', que es la T ÞEÞ pedida.
2. La suma de tres números en T ÞEÞ es "# y su producto es %)Þ Determine tales
números.

3. Mett ®
Solución.
Conviene tomar +  .ß +ß +  . como los tres números en T ÞEÞ pues de su suma
igual a 12 se obtiene de inmediato que + œ 4 y por tanto de Ð%  .Ñ %
Ð%  .Ñ œ %)ß se obtiene . œ „ #ß así los números son #ß %ß ' ” 'ß %ß #Þ
3. Dada la T ÞEÞ  $&Bß Þ Þ Þ Þ ß $Bà B − ‘ß B Á ! . Calcular +8 sabiendo que existen
17 términos entre los extremos. El problema tambien se puede enunciar como:
Interpolar 17 medios aritméticos entre  $&B y $BÞ
Solución.
"*
De inmediato +" œ  $&B y +"* œ $B Í  $&B  "). œ $B Í . œ
B por
*
"*
tanto: +8 œ  $&B  a8  "b B
*
4. Encontrar el número de términos de la T ÞEÞ À "#ß "'ß #!ß Þ Þ Þ si W8 œ #!)Þ
Solución.
Como
+" œ "# y
. œ % entonces
negativa se descarta pues 8 "
8
Ò #%  a8  "b% Ó œ #!) Ê 8 œ ) la raíz
#
5. Determine la suma de los 100 primeros términos de una T ÞEÞ cuyo tercer término
es 4 veces el primero y su sexto término es 17.
Solución.
+$ œ % +" y +' œ "( conducen a resolver el sistema
+"  #. œ % +"
+"  &. œ "(
de donde
+" œ # y . œ $ß por tanto W"!! œ &! Ò%  ** † $ Ó œ "&!&!Þ
6. En una T ÞEÞ si los términos de lugares :ß ; y < son respectivamente: +ß , y -Þ
Demuestre que
a;  <b+  a<  :b,  a:  ; b- œ !
Solución.
Por hipótesis se tienen:
+"  a:  "b. œ +
+"  a;  "b. œ ,
a"b
a#b

4. Mett ®
+"  a<  "b. œ -
a$b
"
:  ; œ . a+  , b
a%b
De a"bß a#b y a$b se obtienen: +"  . œ +  :. œ ,  ;. œ -  <. y de aquí
"
;  < œ . a,  - b
"
<  : œ . a-  +b
a&b
a'b
Multiplicando a%b por -ß a&b por + y a'b por , se tiene:
a;  <b+  a<  :b,  a:  ; b- œ !
7. Encontrar la suma de todos los números entre 100 y 1000, que sean divisibles por
14.
Solución.
El primer número, después de 100, divisible por "% es ""#ß luego +" œ ""# y
. œ "%ß entonces +8 œ ""#  a8  "b"%  "!!! Ê 8  '%Þ%$ luego 8 œ '% con
lo que W'% œ $#Ò # † ""#  '$ † "% Ó œ $&$*#Þ
8. Si la suma de 7 términos de una T ÞEÞ es a la suma de 8 términos, como 7# es a
8# Þ Demostrar que
+7
#7  "
œ
+8
#8  "
Demostración.
W7
7#
7Ò #+"  a7  "b. Ó
7#
œ # Í
œ # Í . œ #+"
W8
8
8Ò #+"  a8  "b. Ó
8
entonces:
+7
+"  a7  "b.
+"  a7  "b#+"
#7  "
œ
œ
œ
+8
+"  a8  "b.
+"  a8  "b#+"
#8  "
9. En una T ÞEÞ cuyo primer término es +ß si la suma de los : primeros términos es
cero, demuestre que la suma de los siguientes ; términos es
+a:  ; b;
":
Solución.

5. Mett ®
:
Por hipótesis tenemos: W: œ Ò#+  a:  "b.Ó œ !ß : Á ! Ê #+  a:  "b. œ !
#
#+
de donde . œ
ß : Á "à por otra parte W œ W:;  W: ß W es la suma de los
":
; siguientes términos, ahora como W: œ ! Ê
W œ W:; œ
:;
#+
+a:  ; b;
Ò#+  a:  ;  "b
Ӝ
#
":
":
10. Si la suma de los : primeros términos de una T ÞEÞ es ; y la suma de los ;
primeros términos es :Þ Demuestre que la suma de los :  ; primeros términos es
 Ð :  ;ÑÞ
Demostración.
:
;
Ò#+"  a:  "b.Ó œ ; • W; œ Ò#+"  a;  "b.Ó œ :ß
#
#
resolviendo éste sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos:
Nos dicen que:
W: œ
.œ
 #a:  ; b
Ò; #  a:  "ba:  ; bÓ
y +" œ
:;
:;
:;
Ò#+"  a:  ;  "b.Óß y remplazando los valores de +" y
#
.ß obtenemos luego de simplificación algebraica, que: W:; œ  Ð :  ;ÑÞ
por tanto W:; œ
11. La suma de los &! primeros términos de una T ÞEÞ es #!! y la de los
siguientes #(!!Þ Determine el primer término y la diferenciaÞ
Solución.
W&! œ #& Ò#+"  %*.Ó œ #!!
a"b tambien
W"!!  W&! œ &! Ò#+"  **.Ó  #!! œ #(!! Í &! Ò#+"  **.Ó œ #*!!
a#bß
%"
resolviendo el sistema formado por a"b y a#bß resultan: +" œ 
y . œ "Þ
#
12. Dada la T ÞEÞ À %ß "#ß #!ß #)ß Þ Þ Þ Þ
a) Demuestre que la suma de 8 términos de la sucesión es un cuadrado perfecto.
b) Calcule È%'#% en base a lo anterior.
c) Determine <ß si +<  +<" œ W"'
Solución.
&!

6. Mett ®
a) W8 œ 8 Ò# † %  a8  "b)Ó œ a#8b#
#
b) %'#% œ a#8b# Í 8 œ $% Ê %'#% œ W$% Í È%'#% œ ÈW$% œ # † $% œ ')
c) W"' œ "!#% œ Ò%  a<  "b)Ó  Ò%  <)Ó Í "!#% œ "' < Í < œ '%Þ
13. Hallar la relación entre B e C, de manera que el medio aritmético de lugar <ß entre
B y #Cß sea el mismo que el medio aritmético de lugar < entre #B e CÞ Habiendo 8
medios aritméticos interpolados en cada caso.
Solución.
#C  B
Ê +< œ B  < ."
8"
C  #B
w
para el segundo caso C œ #B  a8  "b.# Í .# œ
Ê +< œ #B  <.#
8"
w
Ahora por hipótesis +< œ +< de donde
#C  B
C  #B
B<
œ #B  <
Í Ba8  <  "b œ C<
8"
8"
Para el primer caso: #C œ B  Ð8  "Ñ ." Í ." œ
14. En una T ÞEÞ se conoce la suma W7 de los 7 primeros términos y la suma W8 de
los 8 primeros términos. Calcular la diferencia de la T ÞEÞÞ
Solución.
7
8
Ò#+"  a7  "b. Ó y W8 œ Ò#+"  a8  "b. Ó de donde
#
#
 #8W7 œ  #87+"  8a7  "b. y #7W8 œ #87+"  7a8  "b.
De inmediato W7 œ
sumando miembro a miembro resulta
#a7W8  8W7 b œ .78a7  8b Í . œ
#a7W8  8W7 b
ß 7Á8
78a7  8b
15. Si 6915 Bß 6917 Bß 6918 B están en T ÞEÞß demostrar que 8# œ a58b6915 7
Demostración.
6915 Bß 6917 Bß 6918 B en T ÞEÞ Í 6917 B  6915 B œ 6918 B  6917 B Í
llevando a base "! se tiene:
#691 B
691 B 691 B
œ

691 7
691 5
691 8
Í #691 5 691 8 œ 691 7 691 8  691 7 691 5

7. Mett ®
Í 691 8# œ 6915 7a691 8  691 5 b Í 8# œ a58b6915 7
16. Una persona debe pagar una deuda de $'!Þ!!! en %! cuotas que forman una
T ÞEÞ cuando $! de los pagos están cubiertos la persona fallece, dejando la tercera
parte de la deuda sin pagar. Calcule el valor del primer pago.
Solución.
Sean +" y . el primer término y la diferencia de la T ÞEÞ en cuestión, entonces:
W%! œ #! Ò #+"  $*. Ó œ $'!!!!
W$! œ "& Ò #+"  #*. Ó œ
#
$
† $'!!!! a#b
a"b
de donde resolviendo el sistema formado por a"b y a#b se obtiene:
. œ #!! y +" œ &"!!Þ
%Þ$Þ Progresiones Geométricas
Definición 1
Se dice que una sucesión +8 es una progresión geométrica aT ÞKÞb si y solo si se
puede expresar por
+8 œ +" <8"
donde +" y < son reales.
Como bien sabemos +" es el primer término de la sucesión, en este caso de la
progresión y < se acostumbra a llamar razón constante
Ejemplo 1
"
" "
+8 œ Œ  es una T ÞKÞ pues se puede expresar como +8 œ Œ 
#
# #
"
"
en este caso: +" œ
y <œ
#
#
8
Propiedad 1
Una sucesión de números reales tal como
+" ß + # ß + $ ß † † † †
8"
note que

8. Mett ®
representa a una T ÞKÞ si y solo si < œ
+5"
ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8  "Ñ
+5
Demostración.
+5"
+" < 5
œ
œ<
+5
+" <5"
Ejemplo 2
La sucesión:
" "
#
# ß $ Bß *
<œ
"
$B
"
#
B# ß † † † † aB Á !b
œ
# #
* B
"
$B
œ
es una T ÞKÞ pues
#
B
$
Observaciones 1
1) Nótese que para cualquier T ÞKÞ +5" œ < +5 ß a 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8  "Ñ
2) Dependiendo de los ejercicios en algunos casos es conveniente tomar la terna
+
en T ÞKÞ À
ß +ß +< (Ver ejercicios resueltos: 3 )
<
Propiedad 2
La suma de los 8 primeros términos de una T ÞKÞß cuyo primer término es +" y
razón <ß es:
<8  "
W8 œ + "
ß a< Á "b
<"
Demostración.
W8 œ ! +" <5" a"bß multiplicando a"b por < se tiene < W8 œ ! +" <5
8
8
5œ"
5œ"
a#b
Restando miembro a miembro a"b de a#b À a<  "bW8 œ ! +" <5  ! +" <5"
8
8
5œ"
5œ"
a<  "bW8 œ +" "Ð<5  <5" Ñ œ +" ˆ<8  <! ‰ Í W8 œ +"
8
5œ"
<8  "
ß a< Á "b
<"
Interpolación
Cuando se pide interpolar : medios geométricos entre + y , reales dados,
significa que: +ß los : números en cuestión y , deben estar en T ÞKÞ.
Serie geométrica.
Una serie geométrica no es más que la suma de infinitos términos de una T ÞKÞß es
decir:
+  +<  +<#  +<$  † † † † œ ! +<8"
_
8œ"

9. Mett ®
Como bien sabemos la suma de los 8 primeros términos es
<8  "
W8 œ + "
, a< Á "b
<"
Si  "  <  " Í l<l  " y considerando que <8 Ä ! cuando 8 Ä _ entonces
+"
la suma de infinitos términos, con esta razón < es À
"<
Si l<l " dicha suma tiende a „ _ o bien no existe.
4.%. Ejercicios Resueltos
1. Interpolar tres medios geométricos entre
*
%
y
%
*
Solución.
+& œ
* %
%
*
#
$
#
< Í œ <% Í < œ ß Así los tres medios son: ß "ß
%
*
%
$
#
$
2. La suma de los 6 primeros términos de una T ÞKÞ es 9 veces la suma de los tres
primeros términos, determine su razón.a+" Á !ß < Á "b
Solución.
W' œ * W $ Í + "
<'  "
<$  "
œ *+"
Í ˆ<$  "‰ˆ<$  "‰ œ *ˆ<$  "‰
<"
<"
como < Á " Ê <$  " œ * Í <$ œ ) Í < œ #
3. El producto de tres números en T ÞKÞ es #( y la suma de sus recíprocos es $Þ
Encuentre tales números.
Solución.
+
ß +ß +< como los tres números en T ÞKÞ por tanto:
<
+
< "
"
† + † +< œ #( Ê + œ $ß luego
 
œ $ Ê <#  )<  " œ ! de
<
$ $ $<
$
È"& y los números son:
donde < œ % „
ß $ß $Š% „ È"&‹Þ
È"&
%„
En este caso conviene tomar

10. Mett ®
4. En una T ÞKÞ si los términos de lugares :ß ; y < son respectivamente: +ß , y -Þ
Demuestre que
+a;<b ,a<:b - a:; b œ "
Demostración.
Sea B el primer término e C la razón de la T ÞKÞß luego:
B C:" œ +ß
de donde obtenemos:
B C;" œ ,ß
B C <" œ -
+a;<b œ Ba;<b Ca:"ba;<b
,a<:b œ Ba<:b Ca;"ba<:b
- a:; b œ Ba:; b Ca<"ba:; b
multiplicando miembro a miembro, finalmente
+a;<b ,a<:b - a:; b œ "
5. Demostrar que el término de lugar Ð8  "Ñ de una T ÞKÞ cuyo primer término es +
y el tercer término es ,ß es igual al término de lugar a#8  "b de otra T ÞKÞ cuyo
primer término es + y cuyo quinto término es ,Þ
Demostración.
, #
, #
De la primera T ÞKÞ se tiene: + < œ , Í < œ Œ  Ê +8" œ +Œ 
+
+
"
8
#
, %
, %
, #
De la segunda T ÞKÞ À + < œ , Í < œ Œ  Ê +#8" œ +Œ  œ +Œ 
+
+
+
"
#8
%
6. Calcular la suma
W œ#
+  , +#  , #
+8  , 8
 # #  † † † † 
+,
+ ,
+8 , 8
Solución.
"
"
"
"
"
"
 #  † † †  8  "  #  † † †  8
+ +
+
,
,
,
" ‰8"
" ‰8"
ˆ
ˆ
"
"
+8"  "
,8"  "
œ +"
 ,"
œ 8
 8
+ a+  "b
, a,  "b
+ "
, "
W œ"
7. Si +ß ,ß -ß . están en T ÞKÞß demostrar que
8

11. Mett ®
a,  - b#  a-  +b#  a.  , b# œ a+  . b#
Demostración.
+ß ,ß -ß . en T ÞKÞ Í
,
.
œ œ Í , # œ +- • - # œ ,. • ,- œ +.
+
,
-
Ahora,
a,  - b#  a-  +b#  a.  , b# œ #, #  #- #  +#  . #  #+-  #,-  #,.
œ #+-  #,.  +#  . #  #+-  #+.  #,.
œ +#  . #  #+. œ a+  . b#
8. Calcular la suma indicada, hasta 8 términos.
W8 œ " 
$ & (
   † † † †
# % )
Solución.
8
8
#8  "
#5  "
"
#5  "
Observemos que +8 œ 8" Ê W8 œ " 5" Í W8 œ "
ß
#
#
#
#5
5œ"
5œ"
de aquí
8
"
#5  " 8" #5  " #8  "
W8  W8 œ "  " 5"  "

#
#
#5
#8
5œ#
5œ"
8"
"
#Ð5  "Ñ  " 8" #5  " #8  "
W8 œ "  "
"

#
#5""
#5
#8
5œ"
5œ"
8"
Ð " Ñ8"  "
"
#
#8  "
#8  "
" 5 
W8 œ " 
œ"  #"

8
#
#
#
#8
# "
5œ"
"
W8 œ '  % Œ 
#
8"

#8  "
#8"
9. Si B À C como # À "ß resolver:
"
"
$
% #B  "' C #  % %B  "' C #  % 'B  "' C # œ "$'&
Solución.
Agrupando covenientemente y observando que se forman dos T ÞKÞß se tiene:
"
"
$
% #B  % %B  % 'B  "' C #  "' C #  "' C # œ "$'&
% #B
$
" "'  "
"
"'$  "
 "' C #
œ "$'& Í % #B  "' C # œ &
"&
"&

12. Mett ®
"
a#! „ "#b de donde se obtienen:
#
"
B" œ # • C" œ "à B# œ " • C# œ
#
Í % #B  #! % B  '% œ ! Ê % B œ
10. Demostrar que el número E œ """Þ Þ Þ ""#)))Þ Þ Þ )*'ß que tiene 8 cifras " y 8  "
cifras )ß es un cuadrado perfecto; Calcular tambien ÈEß para 8 œ %Þ
Demostración.
Notemos que E tiene #a8  "b cifras, expresando E en potencias de "! se tiene
E œ "!#8"  "!#8  † † †  "!8#  # † "!8"  ) † "!8  ) † "!8"  † †
† †  ) † "!#  * † "!  '
E œ "!8# a"!8"  "!8#  † † †  "b  # † "!8" 
) † "!# Ð"!8#  † † †  "Ñ  *'
E œ "!8# † " a"!8  "b  # † "!8"  ) † "!# † " a"!8"  "b
*
*
Eœ
"
*
Ð"!#8#  "!8#  ) † "!8"  ) † "!#  ") † "!8"  )'%Ñ
E œ " Ð"!#8#  "'! † "!8  '%Ñ œ Ò " a"!8"  )bÓ# Ê ÈE œ
*
$
para 8 œ %à ÈE œ È""""#)))*' œ
"
$
a"!&  )b œ $$$$'Þ
"
8"
$ a"!
 )b
""Þ Encuentre la suma de 8 términos de la sucesión cuyo k-ésimo término es
+5 œ a#5  "b#5
Solución.
W8 œ ! a#5  "b#5 Í #W8 œ ! a#5  "b#5" de donde restando miembro a
8
8
5œ"
5œ"
miembro estas sumas, se tiene
#W8  W8 œ ! a#5  "b#5"  ! a#5  "b#5
8
8
5œ"
5œ"
W8 œ a#8  "b#8"  ! a#5  "b#5"  ! a#5  "b#5  $ † #
8"
8
5œ"
5œ#
W8 œ a#8  "b#8"  ! a#5  "b#5"  ! a#5  $b#5"  $ † #
8"
8"
5œ"
5œ"
W8 œ a#8  "b#8"  ! a  #b#5"  '
8"
5œ"

13. Mett ®
W8 œ a#8  "b#8"  ! #5#  '
8"
5œ"
W8 œ a#8  "b#8"  )
#8"  "
 ' œ 8#8#  #8"  #
#"
12. Calcular los ángulos de un cuadrilátero sabiendo que estos ángulos están en T ÞKÞ y
que el ángulo mayor es 9 veces el segundo.
Solución.
Supongamos <  " Ê los ángulos son +ß +<ß +<# y +<$ tales que
+  +<  +<#  +<$ y
elemental sabemos que
*+< œ +<$ Í < œ $. Por otra parte de la geometría
+  +<  +<#  +<$ œ $'!° Ê +  $+  *+  #(+ œ $'!° Í + œ *°, luego los
ángulos resultan ser: *°, #(°, )"° y #%$°.
Si se supone <  " ß < œ
"
$
y + œ #%$° y resultan los mismos ángulos.
13. En un cuadrado de lado + se inscribe otro cuadrado cuyos vértices dividen los
lados del primer cuadrado en la razón " À "Þ En el segundo cuadrado se inscribe un
tercer cuadrado que divide a los lados del anterior en la misma razón y así
sucesivamente. Encontrar la suma de los perímetros y áreas de 8 de estos
cuadrados, cuáles son estas sumas si 8 Ä _Þ
Solución.
Perímetro; T" œ %+ß T# œ %
T
W8 œ %+Ò " 
È#
#

Si 8 Ä _ Ê W T œ
Área;
È#
È#
È#
#
È#
#
È#
È#
8"
+ß T$ œ %
+ß Þ Þ Þ ß T8 œ %
# 
# 
#
 † † † 
# 
# 
Ó œ %+
"Š
E
W8
È#
#
)
+
#  È#
#
#
È#
%
#
8
"  ˆ"‰
#
œ + Ò
Óà si 8 Ä _ Ê W E œ #+#
"  ˆ"‰
#
#
È# 8"
# ‹
"
È#
E" œ + ß E# œ 
+ ß E$ œ 
+ ß Þ Þ Þ ß E8 œ 
# 
# 
# 
#
8"
#a8"b
+#

14. Mett ®
14. Se deja caer una pelota de goma desde una altura 2ß en el primer rebote la pelota
sube hasta el tercio de la altura 2ß en el segundo rebote sube hasta el tercio de la
nueva altura y así sucesivamente. Calcule la distancia que recorre la pelota antes de
detenerse.
Solución.
Se debe tener que: L œ 2  " 2  " ˆ " 2‰  " ˆ " ˆ " 2‰‰  † † † †
$
$ $
$ $ $
œ 2 Ò" 
 ˆ"‰  ˆ"‰  † † † Ó
$
$
#
"
$
Se trata de una serie geométrica de razón < œ
términos será
L œ2
"
" "
$
œ
$
#
$
"
$
 "ß por tanto la suma de infinitos
2
4.5. Progresiones Armónicas
Definición 1
Se dice que la sucesión +" ß +# ß +$ ß Þ Þ Þ Þ es una progresión armónica aT ÞLÞb si y
" " "
solo si la sucesión
ß
ß ß Þ Þ Þ Þ está en progresión aritmética
+" + # + $
Ejemplo 1
Es una progresión armónica
"ß
" " "
ß ß ß ÞÞÞÞ
# $ %
Nota.
Se sabe que, no es posible una fórmula elemental, tal como en las T ÞEÞ y T ÞKÞ
para calcular la suma de los 8 primeros términos de un T ÞLÞ
Interpolación
Cuando se pide interpolar : medios armónicos entre + y , reales dados, significa
que: +ß los : números en cuestión y , deben estar en T ÞLÞ.
4.6. Ejercicios Resueltos

15. Mett ®
1. Interpolar # medios armónicos entre & y ""Þ
Solución.
Se debe tener que si &ß +# ß +$ ß "" están en T ÞLÞ Í
" " " "
ß
ß
ß
están en
& +# +$ ""
T ÞEÞ luego
"
"
"
"
#
&  +$
"
"
"! +$
"
 œ

œ
y

Ê

Ê +# œ
œ
+#
&
"" +$
+$
"! +$
+$
+#
&  +$
""
&&
&&
+$ œ
y +# œ
(
*
2. Dados + y , encontrar 8 números +" ß +# ß Þ Þ Þ Þ +8 tales que
+ß +" ß +# ß Þ Þ Þ Þ +8 ß , estén en T ÞLÞ a+ y , Á !b
Solución.
" " "
" "
ß ß
ß Þ Þ Þ Þ ß ß están en T ÞEÞ
+ +" + #
+8 ,
"
"
+,
"
"
+,
de aquí
œ  a8  "b. Í . œ
Ê
œ
 a5  "b
,
+
+,a8  "b
+5
+
+, a8  "b
de donde
a8  "b+,
+5 œ
a5  "b+  a8  5 b,
+ß +" ß +# ß Þ Þ Þ Þ +8 ß , están en T ÞLÞ Í
Para el caso particular de un medio armónico entre + y ,, hacemos 5 œ # •
# +,
8 œ $ Ê +# œ
+,
3. En una T ÞLÞ si los términos de lugares :ß ; y < son respectivamente: +ß , y -Þ
Demuestre que
a;  <b,-  a<  :b-+  a:  ; b+, œ !
Demostración.
Siendo B y . el primer término y diferencia de la T ÞEÞ correspondiente, se tiene:
"
œ B  a:  "b.ß
+
"
œ B  a;  "b.
,
y
"
œ B  a<  "b.ß de donde
-
a;  <b
œ a;  <bB  a;  <ba:  "b.
+
a<  :b
œ a<  :bB  a<  :ba;  "b.
,

16. Mett ®
a:  ; b
œ a:  ; bB  a:  ; ba<  "b.
Sumando estas tres expresiones, se tiene:
a;  <b a<  :b
a:  ; b


œ !
+
,
-
amplificando por +,-ß finalmente
a;  <b,-  a<  :b-+  a:  ; b+, œ !
4. Si , es medio armónico entre + y -ß demostrar que
"
"
"
"

œ

,+
,+
Demostración.
#+por tanto
+"
"
"
"
++
œ #+ #+œ

,+
,+a-  +b - a+  - b
+-  +
+-  -
, medio armónico entre + y - Í , œ
œ a+  - bÒ
"
"
"
"
"

Ó œ a+  - b
œ 
+a-  +b - a-  +b
++
-
5. Si +ß ,ß - están en T ÞLÞß demostrar que
+
+œ
+,
+-
Demostración.
Si +ß ,ß - están en T ÞLÞ Ê
+# ambos miembros se tiene
" " "
ß ß están en T ÞEÞ Ê , a+  - b œ #+- sumando
+ , -
,+  ,-  +# œ #+-  +# Í +#  +- œ +#  +,  +-  ,- Í
+
++a+  - b œ a+  - ba+  , b Í
œ
+,
+6. Si el término de lugar 7 de una T ÞLÞ es igual a 8 y el término de lugar 8 es
78
igual a 7ß demuestre que el término de lugar a7  8b es igual a
78
Demostración.
Sean + y . el primer término y la diferencia de la T ÞEÞ correspondienteß luego:

17. Mett ®
"
"
"
ß Þ Þ Þ Þ ß 8ß Þ Þ Þ Þ 7 en T ÞLÞ Ê +ß Þ Þ Þ Þ ß ß Þ Þ Þ ß están en T ÞEÞ entonces
+
8
7
+7 œ +  a7  "b. œ
"
8
"
+8 œ +  a8  "b . œ
7
a"b
a#b
resolviendo a"b y a#b para + y .ß obtenemos: + œ . œ
+78 œ +  a7  8  "b. œ
"
por tanto,
87
"
"
78
 a7  8  "b
œ
esto implica
87
87
87
78
que para la T ÞLÞ se tendrá ,78 œ
78
7. Si +ß ,ß - están en T ÞLÞß demostrar que
691a+  - b  691a+  #,  - b œ # 691a+  - b
Demostración.
" " "
#+ß ß están en T ÞEÞ Ê , œ
Í
+ , +%+%+ #, œ 
Í +  #,  - œ + 
- Í
++-
Si +ß ,ß - están en T ÞLÞ Ê
a+  - ba +  #,  - b œ a+  - b# de donde aplicando logaritmos y sus propiedades
se obtiene
691a+  - b  691a+  #,  - b œ # 691a+  - b
8. Determine el valor de 5 para que 5ß 5  ' y 5  ) estén en progresión armónica.
Solución.
"
"
"
ß
ß
están en T ÞEÞ luego
5 5' 5)
"
"
"
"
 œ

de donde se obtiene
5' 5
5) 5'
Si 5ß 5  ' y 5  ) están en T ÞLÞ Ê
se debe cumplir que
5 œ  "#
9. Si +ß ,ß -ß . están en progresión armónica entonces +  .  ,  - con +ß ,ß - y .
positivos.
Demostración.
Si +ß ,ß -ß . están en T ÞLÞ Ê
" " " "
ß ß ß están en T ÞEÞ por tanto:
+ , - .

18. Mett ®
"
"
"
"
"
"
œ  ;à
œ  #;à
œ  $; de donde
,
+
+
.
+
"
"
#
"
"
 œ  $; œ  Í
,
+
+ .
,#  $+;
+.
"
#  $+;
"
#  $+;
œ
œ
Ê
œ
•
œ
,+
+.
,+a,  - b
+.
+a+  . b
por otra parte
" "
"
"
"
;
† œ Œ  ; Œ  #;  œ #  $  #; #
, +
+
+
+
a"b
" "
" "
"
;
† œ Œ  $;  œ #  $
+ .
+ +
+
+
a#b
de a"b y a#b se puede implicar que
"
"

y por tanto
,+.
#  $+;
#  $+;

Í +. ,+a,  - b
+a+  . b
4.7. Ejercicios Resueltos aP.A. , P.G. y P.H.b
1. La suma de tres números en T ÞKÞ es (!ß si los extremos son amplificados por % y
el del medio por &ß la serie está en T ÞEÞÞ Hallar los números.
Solución.
Sean +ß +<ß +<# los tres números en T ÞKÞß luego +a"  <  <# b œ (!
tambien nos dicen que %+ß &+<ß %+<# están en T ÞEÞ Ê
a"b
&+<  %+ œ %+<#  &+< Í #<#  &<  # œ ! Ê <" œ # y <# œ " ß de donde por
#
a"b obtenemos; +" œ "! y +# œ %! luego los números resultan ser:
"!ß #!ß %! ” %!ß #!ß "!
2. Hallar una T ÞEÞ cuyo primer término es "ß y tal que los términos de lugares #ß "!
y $% se encuentran en T ÞKÞÞ
Solución.

19. Mett ®
De inmediato se tiene que: +# œ "  .ß +"! œ "  *. y +$% œ "  $$.
además +# ß +"! ß +$% en T ÞKÞ Ê Ð+"! Ñ# œ +# +$% Í
a"  *. b# œ a"  . b a"  $$. b Í %) . #  "' . œ ! Ê . œ ! ” . œ
Así resultan: "ß "ß "ß Þ Þ Þ Þ
3. Demostrar que si
lo están en T ÞKÞÞ
"
# a+
y
"
$
1, % ß & ß #ß Þ Þ Þ Þ las dos T ÞEÞ correspondientes.
$ $
 ,bß ,ß " a,  - b se encuentran en T ÞLÞ entonces +ß ,ß #
Demostración.
"
"
#
"
#
a+  ,bß ,ß a,  - b están en T ÞLÞ Ê
ß ß
lo están en T ÞEÞ
#
#
+, , ,#
#
"
"
"
"
"
luego
œ
 Í œ

Í

,
+,
,,
,
+, ,Si
+,  +-  ,#  ,- œ +,  ,-  #, # Í , # œ +- Ê +ß ,ß - están en T ÞKÞ
4. Si +# ß ,# ß - # están en T ÞEÞß demuestre que ,  -ß +  -ß +  , están en T ÞLÞÞ
Demostración.
Si +# ß ,# ß - # están en T ÞEÞ Í , #  +# œ - #  , # Í
a,  +ba,  +b œ a-  ,ba-  ,b Í
,+
-,
œ
Í
,+,
-,++-,+
Ð-  ,Ñ  Ð+  -Ñ
Ð+  -Ñ  Ð,  +Ñ
œ
Í
œ
Ð,  -Ña+  - b
Ð+  ,Ña+  - b
Ð,  -Ña+  - b
Ð+  ,Ña+  - b
Í
"
"
"
"
"
"
"

œ

Í
ß
ß
están en T ÞEÞ Ê
+,+, +,- +- +,
,  -ß +  -ß +  , están en T ÞLÞÞ
5. Si
"
"
"
ß
ß
están en T ÞEÞß demostrar que +ß ,ß - están en T ÞKÞÞ
,  + #, ,  -
Demostración.
Si
"
"
"
"
"
"
"
ß
ß
están en T ÞEÞ Ê

œ

Í
,  + #, ,  #, ,  +
,#,

20. Mett ®

+,
,œ #
Í  ,$  +,#  -, #  +,- œ , $  -, #  +, #  +,- Í
#  ,,
,  ,-
,$ œ +,- Í ,# œ +- Í +ß ,ß - están en T ÞKÞÞ
+,
+
œ ß demostrar que +ß ,ß - están en T ÞEÞ si + œ .à en T ÞKÞ si , œ .
,.
y en T ÞLÞ si - œ .Þ
6. Si
Demostración.
Si + œ . Ê
+,
œ " Í +  , œ ,  - Í +ß ,ß - están en T ÞEÞ
,-
Si , œ . Ê
+,
+
œ Í ,# œ +- Í +ß ,ß - están en T ÞKÞ
,,
Si
-œ. Ê
están en T ÞLÞÞ
+,
+
" "
" "
œ
Í +-  ,- œ +,  +- Í  œ  Í +ß ,ß ,,
+
,
7. Si 7 es el producto de 8 números en T ÞKÞß : su suma y ; la suma de sus
recíprocos, demuestre que
:
7 œŒ 
;
8
#
Demostración.
Sean +ß +<ß +<# ß Þ Þ Þ Þ ß +<8" los 8 números en T ÞKÞß por tanto:
+ † +< † +<# † † † † +<8" œ 7
a"b
"
"
"
"

 #  † † †  8" œ ;
+ +< +<
+<
a$b
+  +<  +<#  † † †  +<8" œ : a#b
De a"b À +8 <"# †††a8"b œ 7 Í +8 < # a8"b8 œ 7
"
Í +#8 <a8"b8 œ 7#
<8  "
" "  <"8
De a#b À +
œ : y de a$b se obtiene:
œ ; de donde resulta
<"
+ " "
<
:
:
œ +# <8" Í Œ  œ +#8 <a8"b8 œ 7# Þ
;
;
8
dividiendo miembro a miembro

21. Mett ®
8. Si los términos de lugares 7  "ß 8  " y <  " de una T ÞEÞ están en T ÞKÞ y
7ß 8 y < están en T ÞLÞß demuestre que el cuociente entre la diferencia . de la
#
T ÞEÞ y su primer término +ß es igual a  Þ
8
Demostración.
Por demostrar
.
+
#
œ  8 ß en efecto:
+7" œ +  7 .ß
+8" œ +  8 .ß
+<" œ +  < .ß están en T ÞKÞ Ê
"8.
"< .
+  8.
+  <.
.
7  <  #8
+
+
œ
Í
œ
Í
œ
.
.
+  7.
+  8.
+
8#  7<
"7 +
"8 +
por otra parte: 7ß 8 , < en T ÞL Í
a"bß
" " "
ß ß en T ÞEÞ luego
7 8 <
"
"
"
"
7<

œ 
Í 7<œ#
finalmente remplazando en a"bß resulta:
8 7
< 8
8
# 7<  #8
.
 #a8#  7<b
#
8
œ #
=
œ  Þ
#  7<b
+
8  7<
8a8
8
9. Sea 5ß a5 Á !bß un número dado. Encontrar los números +ß ,ß - sabiendo que +ß ,ß
- están en T ÞKÞà +ß ,  5ß - están en T ÞEÞ y +  5ß ,  5ß - están en T ÞKÞ
Solución.
Por hipótesis se tienen:
+ß ,ß - en T ÞK Í , # œ + -
+ß ,  5ß - en T ÞEÞ Í #a,  5 b œ +  -
+  5ß ,  5ß - en T ÞKÞ Í a,  5 b# œ - a+  5 b
de donde resolviendo el sistema formado por
obtenemos:
a"b
a#b
a$b
a"bß a#b ya$b para +ß , y
-
+ œ 5ß , œ 5 Š" „ È#‹ y - œ 5 Š$ „ È#‹
10. Si el medio aritmético entre + y , es el doble que el medio geométrico entre + y
,, demostrar que
+
#  È$
œ
,
#  È$
”
+
#  È$
œ
,
#  È$

22. Mett ®
Solución.
"
Nos dicen que:
a+  ,b œ # È+, Í a+  , b# œ "' +, Í +#  "%+,  , # œ !
#
+ #
+
Í Š ‹  "% Ð Ñ  " œ ! resolviendo esta ecuación de 2° grado obtenemos:
,
,
+
œ ( „ %È$ tomando la raíz positiva, resulta
,
+
#  È$
analogamente con la raíz negativa
œ
,
#  È$
#
+
#  È$
œ Š#  È$ ‹ œ
,
#  È$
11. Si entre dos números cualquiera se han interpolado # medios aritméticos E" ß E# à
dos medios geométricos K" ß K# y dos medios armónicos L" ß L# Þ Demostrar que:
K" K#
E"  E#
œ
L" L#
L"  L#
Solución.
Sean + y , los números cualquiera, entonces:
+ß E" ß E# ß , están en T ÞEÞ Í E"  + œ ,  E# Í E"  E# œ +  ,
a#b
a"b
+ß K" ß K# ß , están en T ÞKÞ Í
K"
,
œ
Í K" K# œ + ,
+
K#
+ß L" ß L# ß , están en T ÞLÞ Í
"
"
"
"
"
"
"
"
 œ 
Í

œ  Í
L"
+
,
L#
L"
L#
+
,
L"  L#
+,
œ
à remplazando a"b y a#b en ésta última expresión se tiene
L" L#
+,
L" L#
L" L#
œ
E" E#
K" K#
Í
K" K#
E"  E#
œ
L" L#
L"  L#
4.8. Ejercicios Propuestos
1. En una T ÞEÞ cuyo primer término es % y el de orden 8ß $%Þ Si la suma de los 8
primeros términos es #%(ß determine 8 y la diferencia .Þ
Respuesta.

23. Mett ®
13 y
&
#
2. Sumar "* términos de la sucesión:
$ # (
ß ß ß ÞÞÞ
% $ "#
Respuesta.
0
3. Interpolar * medios aritméticos entre
"
$*
y 
%
%
Respuesta.
$
(
""
"&
"*
#$
#(
$"
$&
 ß  ß
ß 
ß 
ß 
ß 
ß 
ß 
Þ
%
%
%
%
%
%
%
%
%
4. Sumar 25 términos de la sucesión:
$
% È
ß
ß &ß Þ Þ Þ
È& È&
Respuesta.
15È&
5. La suma de % números enteros de una T ÞEÞ es #% y su producto es *%&Þ Hallar
los números.
Respuesta.
$ß &ß ( y 9.
6. Encontrar la suma de todos los números entre "% y 84 inclusive extrayendo los
múltiplos de $Þ
Respuesta.
""&#
7. Dados tres números en T ÞEÞ con diferencia .ß . − à se sabe que uno de ellos es
múltiplo de .Þ Demostrar que el producto de ellos es divisible por '. $ Þ
8. Si +ß ,ß - están en T ÞEÞ y 0 aBb œ : B  ; en que 0 À ‘ Ä ‘ es una función
con : Á !Þ Demuestre que 0 a+bß 0 a,bß 0 a- b también están en T ÞEÞÞ
9. En la ecuación B%  a$7  %bB#  a7  "b# œ ! determinar
raíces estén en T ÞEÞÞ
Respuesta.
7 œ #Þ
7 tal que sus

24. Mett ®
10. Si la suma de 7 términos de una T ÞEÞ es igual a la suma de los siguientes 8
términos y también a la suma de los siguientes : términos, entonces demostrar que:
a7  8bŒ
"
"
"
"
  œ a7  : bŒ  
7 :
7 8
11. La suma de cinco términos en una T ÞEÞ es #! y el producto entre el mayor y el
menor es  #!Þ ¿Cuáles son los términos?
Respuesta.
 #ß "ß %ß (ß "! o bien "!ß (ß %ß "ß  #Þ
"2Þ Demuestre que la suma de un número impar de términos consecutivos de un T ÞEÞ
es igual al término central multiplicado por el número de términos.
13. Una sucesión +" ß +# ß Þ Þ Þ ß +8 satisface la igualdad ! +5 œ $8#  #8Þ Demuestre
8
5œ"
que la sucesión es una progresión aritmética y encuentre una expresión para +8 en
términos de 8 únicamente.
Respuesta.
+8 œ '8  "
14. Si en una T ÞEÞ la suma de los 7 primeros términos es igual a la suma de los 8
primeros términos, demostrar que la suma de los a7  8b términos es nula.
15. En un triángulo rectángulo los lados están en T ÞEÞÞ Demostrar que la diferencia de
la progresión es igual al radio de la circunferencia inscrita al triángulo.
16. La suma de tres números en T ÞEÞ es * y la suma de sus recíprocos es nula.
Determine la suma de los #! primeros términos de esta T ÞEÞÞ
Respuesta.
30Š# „ "(È$‹
17. Una persona contrae una deuda que debe pagar en tres años en cuotas mensuales
que se incrementan cada més en una cantidad fija. Si al término de las dos primeros
años la persona ha pagado la mitad de la deuda y la primera cuota del tercer año es
de $122000. Determine el total que la persona paga al final de los tres años.
Respuesta.
$Þ%&'Þ!!!

25. Mett ®
18. En una T ÞKÞ de & términos, la razón es la cuarta parte del primer término y la
suma de los dos primeros términos es #%Þ Hallar tales términos.
Respuesta.
), "', $#, '%, "#) o bien  "#ß $'  "!)ß $#%ß  *(#Þ
19. Interpolar ' medios geométricos entre "% y 
(
'%
Respuesta.
 (ß
(
( (
( (
ß ß ß ß
#
% )
"' $#
20. La suma de los primeros & términos de una T ÞKÞ es %##ß y la suma de los
términos segundo al sexto es 633. determine la T ÞKÞÞ
Respuesta.
$#ß %)ß (#ß "!)ß "'#
21. Dividir el número ##" en tres partes que formen una T ÞKÞ de modo que el tercer
número sobrepase al primero "$'Þ
Respuesta.
"(ß &"ß "&$Þ
22. Si +ß ,ß - están en T ÞKÞ y 0 aBb œ /B en que 0 À ‘ Ä ‘ es una funciónÞ
Demuestre que 0 a+bß 0 a,bß 0 a- b también están en T ÞKÞÞ
23. La suma de 5 números de una T ÞK Þ de razón # es "&$$ y el último término es
(')Þ Determine los 5 números y luego calcule la suma de 10 primeros términos de
la T ÞKÞÞ
Respuesta.
5 œ *ß +" œ $ß W"! œ $!'*Þ
24. Si cada término de una T ÞKÞ se resta del término siguiente, demostrar que las
diferencias sucesivas forman otra T ÞKÞ con la misma razón que la primera T ÞKÞ
25. Si +" œ !ß +# œ "ß Þ Þ Þ ß +8 œ " a+8"  +8# bà demuestre que
#
+8 œ
#
$
8"
Ò"  ˆ  " ‰ Ó
#
26. Demostrar que, si:
#?" œ +  ,ß #?# œ ,  ?" ß #?$ œ ?"  ?# ß Þ Þ Þ Þ

26. Mett ®
entonces
8
8
$ ?8 œ +Ò"  ˆ  " ‰ Ó  ,Ò#  ˆ  " ‰ Ó
#
#
27. Si W es la suma de 8 números en progresión geométrica y W w es la suma de los
recíprocos de dichos números, entonces W À W w es el producto del primer número
por el último.
28. Si W" ß W# ß Þ Þ Þ ß W: son las sumas de las series geométricas de primeros términos "ß
"
#ß Þ Þ Þ ß : respectívamente y de razones " , " ß Þ Þ Þ ß :" respectivamente, demuestre
# $
que:
W"  W #  Þ Þ Þ  W : œ
"
#
:a:  "b
29. Si L es el medio armónico entre + y ,ß demostrar que
"
"
" "

œ 
L + L ,
+ ,
30. Si +ß ,ß - están en T ÞLÞ demuestre
+,
+
œ
,-
31. Encuentre la suma de 8 términos de la sucesión
+#  #+ß +%  %+ß +'  '+ß +)  )+ß Þ Þ Þ Þ
Respuesta.
+#
+#8  "
 8 a 8  " b+
+#  "
32. Un químico tiene un pricipitado compuesto de " gramo de una sustancia y 1 gramo
de impureza. En cada lavado el logra reducir las impurezas en la mitad. ¿Cuántos
lavados son necesarios para que la impureza sea menor que !Þ!!!" gr.
Respuesta.
14 lavados.
33. Una T ÞKÞ y una T ÞLÞ tienen iguales los términos de lugares
consecutivos que son +ß , y -Þ Probar que
7ß 8ß < no
+a,  - b 691 +  ,a-  +b 691 ,  - a+  , b 691 - œ !
34. Demostrar que el medio armónico entre el medio aritmético y el medio geométrico
de + y , es:
#a+  ,b
Ò ˆ+‰
,
35. Si +ß ,ß - están en
T ÞKÞ
"Î%
,
 ˆ+‰
T ÞLÞß demuestre que
"Î% #
Ó
"
# a#+
 , bß " ,ß " a#-  , b están en
#
#

27. Mett ®
36. Determinar para que valores de B es posible calcular el valor de la serie geométrica
y calcule el valor de la serie.
"
"
"B

"
a"Bb#
 † † † †
Respuesta.
B   # ” B  !ß " 
"
B
37. Calcular la suma de 8 términos, de:
a) W8 œ "  %B  *B#  "'B$  † † † †
b) W8 œ #  )B  ")B#  $(B$  † † † †
Respuesta.
a)
"
a"Bb#
Ò" 
#Ba"B8 b
"B
 a8  "b# B8  8# B8" Ó
8
"% Ò"  a#Bb8 Ó
) "  ˆ " B‰
#
b)

$ "  #B
$ " "B
#
38. En un cuadrado de lado + se inscribe otro cuadrado cuyos vértices dividen los
lados del primer cuadrado en la razón " À #Þ En el segundo cuadrado se inscribe un
tercer cuadrado que divide a los lados del anterior en la misma razón y así
sucesívamente. Encontrar la suma de los perímetros y áreas de 8 de estos
cuadrados, cuáles son estas sumas si 8 Ä _Þ
Respuesta.
T œ %+
"Š
"
È& 8
$ ‹
È&
$
à si 8 Ä _ Ê T œ
"#+
$  È&
*
&
*
E œ +# Ò"  Œ  Óà si 8 Ä _ Ê E œ +#
%
*
%
8
39. Si [WÓ< es la suma de 5 términos de una T ÞEÞ en que < es el primer término y
a#<  "b es su diferencia, demuestre que
! [WÓ< œ
8
<œ"
"
#
58a58  "b
40. En un triángulo equilátero de lado + se unen los puntos medios de sus lados y se
forma un triángulo equilátero. En este segundo triángulo se repite el procedimiento
y así, sucesívamente. Calcule la suma de los perímetros de todos los triángulos
equiláteros así obtenidos y además la suma de sus áreas.
Respuesta.

28. Mett ®
T œ '+à E œ # É $ +#
$
#
41. Tres números están en T ÞKÞß si el segundo se aumenta en ) los números quedan
en T ÞEÞß pero si en ésta última el tercer término se aumenta en '% la progresión
vuelve a ser geométrica. Encontrar los números.
Respuesta.
%ß "# y 36 o bien
4
#! "!!
,  ß
9
*
*
42. Una progresión aritmética y otra progresión geométrica de $ términos cada una
tienen el mismo primer término % y también el 2° término es el mismo, pero
#&
desconocido. El tercer término de la T ÞKÞ es
del tercer término de la T ÞEÞÞ
"'
Determinar las progresiones.
Respuesta.
T ÞEÞ À %ß "!ß "' y %ß
&
& #&
ß "Þ T ÞKÞ À %ß "!ß #& y %ß ß
#
# "'
43. En una circunferencia de radio < se inscribe un cuadrado. En este cuadrado se
inscribe una circunferencia, en esta se inscribe otro cuadrado y así sucesivamente.
Calcule:
La suma de las áreas y perímetros de todos los cuadrados y círculos así formados.
Respuesta.
Círculos: E œ #1<# à T œ
%1 <
#  È#
Cuadrados: E œ %<# à T œ
È#  "
)<
44. Si +ß ,ß - están en progresión aritmética y +ß ,ß . están en progresión armónica,
demuestre que:
+
,
œ "  #Ò  #  Ó
.
,
+
45. Dadas las sumas de infinitos términos, con l<l  " À
+
+
 # † † † †
<
<
,
,
T œ,  #  † † † †
< <
Uœ- #  %  † † † †
<
<
W œ+
Demuestre que
WT
+,
œ
U
-

29. Mett ®
46. Calcule la suma de 8 términos:
a) "  $B  'B#  "!B$  † † † † †
" #
b) ˆ"  B ‰  ˆ" 
" ‰#
B#
 ˆ" 
" ‰#
B$
 † † † † †
c) ˆ#8  " ‰  ˆ&8  "  " ‰  ˆ)8  # 
#
'
" ‰
")
 † † † †
Respuesta.
a)
"  B8
"
"
Ò
 8a8  $bB8  8a8  "bB8" Ó
#
#
#
a"  Bb "  B
"
b) 8 
c)
B8  "
B#8  "
 #
aB  "bB8
aB  "bB#8
" #
# 8 a$8
8
 "b  " 8a8  "b  $ Òˆ  " ‰  " Ó
#
)
$
47. Un empresario contrata un obrero con un sueldo mensual de $150000 y le ofrece
dos alternativas de aumento para el futuro.
a) Un aumento variable anual, equivalente al 10% del sueldo del año
inmediatamente anterior; y
b) Un aumento fijo anual, equivalente al 20% del sueldo inicial de contratación.
El obrero eligió la segunda alternativa, critique su elección 10 años después.
Respuesta.
Perdió.
48. Un campesino vendió al primero de sus compradores la mitad de sus manzanas más
la mitad de una manzana, al segundo, la mitad de las restantes más " manzana, al
#
tercero, la mitad de las que quedaron más " manzana, y así sucesivamente. El
#
décimo comprador adquirió también la mitad de las manzanas restantes más "
#
manzana, agotando con ello la mercadería. ¿Cuántas manzanas tenía el campesino?
Respuesta.
1023
49. Si W4 œ "4Œ
_
5œ"
"

4"
5"
à 4 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 demuestre que "W5 œ
8
5œ"
"
8a8  $b
#
50. Si en una T ÞKÞ de tres términos, se le suma "" al primer término y se resta &' al
tercero resulta una T ÞEÞ y si en esta última se le suma " al tercer término resulta
nuevamente una T ÞKÞÞ Determinar los términos de cada una de estas tres
progresiones.
Respuesta.

30. Mett ®
&ß #!ß )!à "'ß #!ß #%à "'ß #! #& o bien
& $& #%& %* $& #" %* $& #&
ß ß
à
ß ß à
ß ß
% % %
% % %
% % %
51. Sea una progresión aritmética con un número par de términos. La suma de los
términos que ocupan lugares impares es "'" y la suma de los términos que ocupan
lugares pares es "')Þ Además el último término de la progresión excede al primero
#(
en
Þ Determine la diferencia . y el número de términos.
#
Respuesta.
.œ
"
ß 8 œ "%
#
52. Si 6ß 7ß 8 están en T ÞKÞ y los términos de lugares 6ß 7ß 8 de una T ÞEÞ se
encuentran en T ÞLÞ, demuestre que:
+8
78
œ
•
+7
67
+
œ7"
.
donde +8 es el término de orden 8 de la T ÞEÞß + su primer término y . su
diferencia constante.
53. Un criador de caballos vende un caballo en $3.000.000. Un potencial comprador
encuentra que el precio es excesivo, por lo cual el granjero le hace la siguiente
proposición: el caballo tiene 7 clavos por cada pata y Ud. debe pagarme $20 por el
primer clavo, $30 por el segundo clavo, $45 por el tercero, $67,5 por el cuarto y así
sucesivamente hasta completar el último clavo. Si el comprador acepta esta
proposición, ¿gana o pierde en el negocio?¿Cuanto?.
Respuesta.
Pierde, $ %!))'(Þ(#
54. Una deuda de $840.000 se paga en #" meses con un reajuste mensual constante de
$ +Þ Si después de pagar las "& primeras cuotas queda una deuda todavía de $
307.500. Determine el valor de la última cuota.
Respuesta.
&&!!!Þ
55. La suma de tres números en T ÞEÞ es $*ß si los números extremos se disminuyen
en $ y el del medio se disminuye en ( los números quedan en T ÞKÞ. Determine
los números que se encuentran en T ÞEÞÞ
Respuesta.
&ß "$ß #" o bien #"ß "$ y &Þ

31. Mett ®
56. Una persona tiene un plan de ahorro mensual, mediante el cual el primer mes ahorra
$E y cada mes ahorra el 2% más que lo ahorrado el mes anterior.
a) Exprese en términos de 5 y E el ahorro correspondiente al k-ésimo mes.
b) Calcule el monto total ahorrado al cabo de 5 meses.
Respuesta.
a) Ea"Þ!#b5" b) &!EÒa"Þ!#b5  " Ó
*
57. Dada la T ÞEÞ " ß #! ß "$ ß "( ß † † † ¿Cuál es el máximo número de términos que es
%
#! #!
posible sumar sin que la suma supere 2000?.
Respuesta.
"%!
58. La suma de los #8 primeros términos de una T ÞKÞß cuyo primer término es + y la
razón es <, es igual a la suma de los 8 primeros términos de otra progresión
geométrica cuyo primer término es , y la razón <# Þ Demuestre que , es igual a la
suma de los dos primeros términos de la primera T ÞKÞÞ
59. Exprese en forma de fracción los siguientes números
a) #Þ$&")$&")$&")Þ Þ Þ
b) 0.34279279279 . . .
Respuesta.
a)
#$&"'
****
b)
('"
###!
60. Si W5 es la suma de los 5 primeros términos de una T ÞKÞß demuestre que:
W8 ÐW$8  W#8 Ñ œ ÐW#8  W8 Ñ#
61. Si W : œ "  <#:  <%:  † † † † a: parb y
#
w
W: œ "  <:  <#:  † † † † † y W: œ "  <:  <#:  † † † † †
Demuestre
w
W:  W : œ W :
#

32. Mett ®