O documento discute os conceitos fundamentais da geometria analítica, incluindo: (1) a história e sistemas de coordenadas cartesianas, (2) cálculo da distância entre pontos no plano, e (3) representações algébricas de retas através de equações fundamentais, reduzidas e gerais.
2. Introdução
A geometria analítica também chamada de geometria da posição, trabalha
com o sistemas de coordenadas cartesianas. Os estudos iniciais estão ligados
ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de
coordenadas cartesianas.
3. DISTÂNCIA ENTRE PONTOS NO PLANO
É sempre interessante saber qual é a distância de um ponto onde
estamos, até determinado local, por exemplo, um supermercado ou uma
escola, não é verdade? Essa informação é-nos útil para tomar certas decisões,
tais como, qual meio de transporte utilizar, qual o tempo de deslocamento etc.
Ferramentas como o GPS ou o Googlemaps, na Internet, auxiliam-nos a fazer
essas estimativas. Mas como fazemos na prática sem a utilização dessas
tecnologias?
Uma vez que já sabemos como localizar pontos no plano através de um
sistema de coordenadas, surge uma pergunta muito natural: como calcular a
distância entre pontos localizados, conforme um determinado sistema?
Primeiro, vamos calcular a distância de um ponto P até a origem O (que
no caso é o raio do ponto, nas coordenadas polares). Para isto, utilizaremos o
Teorema de Pitágoras, veja
Para localizarmos o ponto P, escolhemos o trajeto cartesiano. A partir da
origem, andamos x unidades para a direita e y unidades para cima. Estamos
caminhando pelos eixos! Dessa forma, como os eixos são perpendiculares,
formamos um triângulo retângulo. Com isto, calcular a distância d é uma tarefa
4. simples. Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que em qualquer triângulo
retângulo, o quadrado da hipotenusa d é igual à soma dos quadrados dos
catetos x e y. Isto é,
Agora que já sabemos como calcular a distância de um ponto P qualquer
à origem do sistema, vamos calcular a distância entre pontos de mesmas
ordenadas ou de mesmas abscissas. Esses casos irão nos auxiliar a calcular o
caso geral, a distância entre dois pontos quaisquer do plano.
Considere os pontos P(x,y) e Q(x’,y) de mesma ordenada, observe a
figura abaixo:
A distância entre eles será dada por d = = Calculamos
a distância em módulo para garantir que d seja um número real não negativo.
Analogamente, temos o mesmo raciocínio para pontos de mesma
abscissa, veja:
5. Neste caso, temos que a distancia entre os pontos P(x,y) e Q(x,y’) é dada
pelo número real não negativo: d = =
A partir de agora, consideremos a distância entre dois pontos P e Q por
d=d(P, Q), para ficar mais claro o que estamos calculando. Quando temos
pontos quaisquer, não necessariamente com mesmas abscissas ou ordenadas,
o procedimento a ser adotado é similar.
Consideramos o ponto R(x’,y) que tem mesma abscissa que o ponto Q e
mesma ordenada que o ponto P, formando assim um triângulo PQR, retângulo
em R.
Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos”
6. Exemplo
Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles.
xa: 2
xb: 4
ya: -3
yb: 5
EXERCÍÍCIIOS
EXERC C OS
01. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é
02. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:
03. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:
04. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?
05. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é
AS RETAS E SUAS REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS
Até agora, já falamos um pouco da história da geometria analítica, de
localização de pontos, de como calcular a distância entre eles e, para fechar,
vamos discutir um pouco sobre as possíveis formas de representar uma reta,
não só através de seu esboço no plano cartesiano, como também de forma
algébrica. Vamos lá?
Existem diversos tipos de representações algébricas para as retas: a
equação fundamental, a reduzida, a geral e também a paramétrica. É claro que
7. o que está em jogo aqui não é saber a nomenclatura ou decorar cada equação.
Muito mais importante do que isso é entender que característica da reta cada
representação privilegia, ou seja, quais informações da reta podem ser
rapidamente recuperadas por cada tipo de equação.
Sempre podemos associar a uma reta, uma equação com uma utilidade
específica. Por exemplo, a forma fundamental dá-nos um ponto da reta e seu
coeficiente angular; a forma reduzida explicita o coeficiente angular e o linear; a
forma geral tem esse nome porque permite a representação de qualquer reta
do plano, seja ela horizontal, vertical ou oblíqua; e, finalmente, a paramétrica
permite o estudo de cada variável em função de um só parâmetro real, além de
deixar explícito o vetor diretor da reta.
Mais uma vez, é interessante enfatizar a ponte que é feita entre a
Geometria e a Álgebra através da Geometria Analítica. As retas são objetos
geométricos e podem ser entendidas através de equações, objetos
essencialmente algébricos.
Ao fixar um sistema de coordenadas no plano, podemos associar as
retas desse plano às equações. Mas o que isso quer dizer? Chama-se equação
de uma reta r no plano a expressão algébrica de igualdade que envolva as
variáveis x e y, a qual será satisfeita se, e somente se, o ponto (x,y) pertencer à
reta r.
Sabemos que as retas são gráficos de funções afins. E que estas
representam diversos fenômenos naturais e/ou cotidianos a nossa volta. Por
exemplo: o crescimento de uma planta, o montante acumulado em regime de
juros simples ou, até mesmo, a área de um retângulo do qual sabemos sua
base. Como saber se, em um determinado fenômeno, o modelo matemático a
8. ser adotado tem graficamente o comportamento retilíneo? Estes são
fenômenos onde acréscimos iguais de x correspondem acréscimos iguais para
f(x). Veja:
A EQUAÇÃO FUNDAMENTAL
Toda reta indica uma direção e esta forma um ângulo de inclinação com
relação ao eixo horizontal. Nesta altura, um conceito relevante é o de
coeficiente angular de uma reta. Essa informação é privilegiada pela chamada
equação fundamental, a qual é obtida a partir do coeficiente angular e um
ponto qualquer que pertença à reta.
O coeficiente angular m de uma reta é o quociente entre uma dada
variação em y(Δy) pela variação correspondente em x(Δx). Devido ao fato do
coeficiente angular ser definido como uma razão, esta só está bem definida,
quando o denominador é diferente de zero. Logo, precisamos que haja a
possibilidade de variar a coordenada x. Se a abscissa de todos os pontos da
9. reta for constante, a variação em x é nula e; portanto, o coeficiente angular
desta reta não está bem definido. Retas com essa característica são chamadas
de retas verticais.
(x0, y0) (x1, y1)
2. Se a reta for decrescente
Como a tangente é uma função que só depende do ângulo e não do triângulo
formado, temos que essa razão ΔΔyx é constante na reta dada. Portanto, a
partir de um ponto qualquer (x0, y0) de uma reta r e de seu coeficiente angular
temos que qualquer ponto (x,y) da reta pode ser expresso pela equação:
10. Como é a Equação Fundamental da reta r
Esta equação exprime a condição para que o ponto (x,y) pertença à reta r.
Note que se a reta é vertical, seu ângulo de inclinação é de 90° e sua
tangente não está definida; logo, não temos equação fundamental para retas
verticais. Este é um argumento algébrico para o fato de retas verticais não
possuírem coeficiente angular. Se a reta é horizontal, temos ângulo de
inclinação nulo e, assim, a tangente desse ângulo é nula também. A equação
fundamental fica definida por y = y0, nesse caso.
Analisando o sinal do coeficiente angular, obtemos uma informação
geométrica, a saber, a posição relativa da reta no plano. Quando o coeficiente
angular de uma reta é positivo, temos que o ângulo de inclinação é agudo e
isto quer dizer que a reta é crescente. Se o coeficiente angular for negativo,
temos um ângulo de inclinação obtuso e, assim, a reta é decrescente.
Como mencionado anteriormente, o gráfico de uma função afim é dado por
uma reta. Neste caso, o coeficiente angular é conhecido como taxa de variação
da função. Um exemplo de grandeza física que é definida como taxa de
variação é a velocidade média de um corpo em movimento. Digamos que um
automóvel iniciou seu percurso no ponto O, como nos mostra a figura abaixo.
Ao descrevermos o trajeto do automóvel pela função s(t), onde s(t) nos dá a
distância percorrida pelo automóvel no tempo t, a razão nos dá a velocidade
média do objeto no percurso.
11. Se quisermos saber a velocidade instantânea do objeto num determinado
período de tempo t0, devemos calcular um limite de taxas de variação. Este
limite é chamado de derivada da função s no ponto t0.
A EQUAÇÃO REDUZIDA
Se a reta não for vertical, essa terá interseção com o eixo y. A ordenada
desta interseção b chamamos de coeficiente linear da reta, isto é, o ponto (0,b)
é um ponto da reta r. Note que podemos calcular o coeficiente angular de
qualquer reta a partir de dois pontos. Imagine que queremos utilizar um ponto
qualquer (x,y) e o ponto d é a interseção com o eixo y (o,b). Deste modo,
temos:
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente
angular m = tg(α):
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em
que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o
12. eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax
+ by + c = 0:
Onde:
A EQUAÇÃO GERAL
Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os
conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax +
by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante
de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa
determinação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados
(x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a
matriz geral da determinação da equação geral:
Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1) e
(x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y)
13. Exemplo
Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e
B(–2, 5).
[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0
[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0
– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0
–3x – y – 1 = 0
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada
pela expressão: –3x – y – 1 = 0.
14. Posições relativas entre retas
Retas paralelas
Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:
(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2
Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:
a1 a2
PARALELAS DISTINTAS
b1 b2
a1 a2
PARALELAS COINCIDENTES
b1 b2
15. Exercícios
1) Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas.
2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0
3) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0
Retas perpendiculares
Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:
(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2
Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:
1
a1 PERPENDICULARES
a2
Exercícios
1) Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam
perpendiculares.
2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x
+ 3y - 12 = 0.
3) Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).
16. Avaliação será feita da seguinte maneira:
1º A avaliação da aprendizagem será feita sempre no final de cada aula
com perguntas e exercícios.
2º Trabalho em grupo;
3º Prova.
