O documento descreve um experimento de pêndulo simples realizado por estudantes. Eles mediram o período de oscilação para diferentes comprimentos do pêndulo e calcularam a aceleração da gravidade. Os objetivos eram estudar o movimento do pêndulo simples, determinar a dependência entre período e comprimento, e calcular g.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PÊNDULO SIMPLES
Turma T5
Antônio Roberto Leão da Cruz
Douglas Bispo dos Santos
Juliano Almeida Perez
Tâmara Matos dos Santos
SÃO CRISTÓVÃO
2012

2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Relatório de laboratório apresentado à
Universidade Federal de Sergipe, Centro
de Ciências Exatas e Tecnologia,
Departamento de Física, como um dos pré-
requisitos para a conclusão da disciplina
Laboratório de Física A.
Orientador: Mário Ernesto Giroldo Valerio.
SÃO CRISTÓVÃO
2012

3. 1. INTRODUÇÃO
Galileu Galilei foi físico, astrônomo, matemático e filósofo italiano que teve
papel muito importante na revolução científica. Galileu nasceu no ano de 1564 em
Pisa, Itália. Galileu sempre foi muito dedicado aos estudos sobre os movimentos dos
corpos, sendo ele o cientista que moldou as bases para que Isaac Newton
descrevesse as três leis que explicam os movimentos dos corpos do universo. Diz a
história que, certa vez, Galileu estava observando as oscilações de um lustre da
Catedral de Pisa quando teve a ideia de fazer medidas do tempo de oscilação.
Como naquela época ainda não haviam inventado o relógio e nem o cronômetro,
Galileu fez a contagem do tempo de oscilação comparando-o com a contagem das
batidas de seu próprio pulso. Fazendo isso ele verificou que mesmo quando as
oscilações ficavam cada vez menores o tempo delas era sempre o mesmo. Em sua
casa ele repetiu o experimento utilizando um pêndulo e novamente o resultado que
tinha obtido com a oscilação do lustre foi confirmado, e verificou ainda que o tempo
das oscilações dependiam do comprimento do fio. Com essas descobertas Galileu
sugeriu o uso de um pêndulo de comprimento padrão para fazer a medida da
pulsação de pacientes. Esse aparelho se tornou muito popular entre os médicos da
época e foi a última contribuição desse físico para a medicina, pois o estudo de
outros dispositivos mecânicos fez com que ele alterasse seu ramo profissional.
Ao realizar novos experimentos com pêndulos, Galileu verificou que o tempo
de oscilação do pêndulo não depende do peso do corpo que está preso na
extremidade do fio, ou seja, o tempo é o mesmo tanto para um corpo leve quanto
para um corpo pesado. Essa descoberta fez com que Galileu imaginasse que uma
pedra leve e outra pesada oscilando na extremidade de um fio, gastavam o mesmo
tempo para ir da posição mais alta para a posição mais baixa. Sabendo que o
movimento do pêndulo e a queda livre são causados pela ação da gravidade, Galileu
disse e comprovou, na Torre de Pisa, que se duas pedras de diferentes massas
fossem abandonadas livremente da mesma altura, ambas gastariam o mesmo
tempo para alcançar o solo. Essas conclusões eram contrárias às conclusões e
ensinamentos de Aristóteles.
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô
que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora

4. causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que
estes o descrevem como um objeto de fácil previsão de movimentos e que
possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de
torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo
mais simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples. Este pêndulo
consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas
extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma:
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza
oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam
sobre o pêndulo são a tensão sobre o fio e o peso da massa m. Desta forma:
A componente da força Peso que é dado por Pcosθ se anulará com a força de
Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório é a força
restauradora Psenθ. Então:
𝐹 = −𝑃𝑠𝑒𝑛𝜃 (1)

5. Tal força tem sinal negativo devido à sua ação de tentar manter o corpo em seu
estado inicial de repouso, no centro da trajetória descrita pelo movimento.
No entanto, o ângulo 𝜃, expresso em radianos que por definição é dado pelo
quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo
é 𝑥 e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por 𝐿, assim:
𝜃 =
𝑥
𝐿
Onde ao substituirmos em 𝐹:
𝐹 = −𝑃𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝐿
Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não
descreve um MHS (Movimento Harmônico Simples), já que a força não é
proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, para ângulos
pequenos, 𝜃 ≥
𝜋
8
𝑟𝑎𝑑, o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este
ângulo. Então, ao considerarmos os casos de pequenos ângulos de oscilação:
𝐹 = −𝑃𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝐿
= −𝑃
𝑥
𝐿
𝐹 = −
𝑃
𝐿
𝑥 (2)
Como 𝑃 = 𝑚𝑔, e 𝑚, 𝑔 e 𝐿 são constantes neste sistema, podemos considerar que:
𝐾 =
𝑃
𝐿
=
𝑚𝑔
𝐿
Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como:
𝐹 = −𝐾𝑥 (3)

6. Ainda podemos desenvolver a equação 𝐹 = −𝑃𝑠𝑒𝑛𝜃 da seguinte maneira:
𝑚𝑎 = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
Para 𝑎 =
𝑑²(𝑥)
𝑑𝑡²
e 𝑥 = 𝜃𝐿, temos:
𝑚
𝑑²(𝑥)
𝑑𝑡²
= −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑²(𝜃𝐿)
𝑑𝑡²
= −𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑²(𝜃)
𝑑𝑡²
+
𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐿
= 0 (4)
Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para
pequenas oscilações, um pêndulo simples descreve um MHS. Como para qualquer
MHS, o período é dado por:
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝐾
E como 𝐾 =
𝑚𝑔
𝐿
, então, o período de um pêndulo simples pode ser expresso por:
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑚𝑔
𝐿
= 2𝜋
𝐿
𝑔
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
(5)
Figura 01: Movimento de um Pêndulo Simples na prática.

7. 2. OBJETIVOS
 Estudar o movimento de um pêndulo simples;
 Determinar a dependência entre o período de oscilação e o comprimento do
pêndulo simples;
 Calcular o valor da aceleração da gravidade.

8. 3. MATERIAIS E MÉTODOS
Para a realização deste experimento, foram utilizados os seguintes itens:
 Uma esfera de aço presa a um fio de nylon;
 Um eletroímã;
 Uma fonte de tensão;
 Um sensor óptico;
 Um cronômetro digital;
 Um tripé e haste de fixação para o pêndulo;
 Uma chave 2 pólos/2 posições;
 Uma trena;
 Um micrômetro;
 Um transferidor;
 Uma bancada nivelada;
 Um Computador com o Software SciDAVis instalado.
Segue abaixo as Figuras 02 e 03 com o esboço do experimento:
Figura 02: Modelo para o arranjo experimental.

9. Figura 03: Imagem captada durante a prática de um experimento de pêndulo simples.
Inicialmente, o experimento foi montado e ajustado no intuito de atender a
todas as especificações. Foi determinado o diâmetro da esfera de aço e sua
respectiva incerteza com o auxílio do micrômetro. Em seguida, foi determinado o
comprimento do fio de nylon e sua respectiva incerteza com a ajuda da trena.
Na sequência, acionamos a chave para energizar o eletroímã e levamos a
esfera às suas proximidades para que fosse fixada na posição desejada. Após a
fixação da esfera no eletroímã, utilizamos o transferidor para garantir que o ângulo
formado com a vertical estaria inferior a 15º. Logo após, desacionamos a chave e a
esfera é libertada da ação magnética do eletroímã. A esfera descreve o movimento
esperado e passa pelo sensor óptico que registra o tempo gasto da mesma para
percorrer ¼ do seu período. Em seguida, resetamos o cronômetro digital e repetimos
mais quatro vezes o mesmo procedimento, obtendo um total de cinco medidas para
o valor de ¼ do período do movimento descrito pela esfera. Repetimos os passos
anteriores para dez comprimentos de fio diferentes.
Finalmente, calculamos a incerteza de ¼ do período e de todo o período de
revolução da esfera em todos os diferentes casos mencionados anteriormente, e
ainda, montamos uma tabela organizando todos esses dados, tanto os obtidos como
os calculados.

10. 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Segue abaixo as Tabelas 1.1 e 1.2 que revelam respectivamente: Os dados
obtidos e calculados com a realização do experimento e os cálculos das incertezas
envolvidas.

11. Tabela 1.1
L L (m)
σ B em
L (m)
Ângulo
(°)
Tempo (s)
t (s) σ A (s) σ B (s) σ C (s)
Medida 1 Medida 2 Medida 3 Medida 4 Medida 5
L1 0,209 0,0005 12 0,1871 0,1786 0,1800 0,1873 0,1852 0,18364 0,0018228 0,0001 0,0018255
L2 0,24 0,0005 12 0,2121 0,2122 0,2095 0,2128 0,212 0,21172 0,00057219 0,0001 0,0005809
L3 0,3 0,0005 12 0,2361 0,2323 0,2402 0,2373 0,2328 0,23574 0,00146513 0,0001 0,0014685
L4 0,315 0,0005 12 0,2376 0,2369 0,2385 0,2387 0,2328 0,2369 0,00107471 0,0001 0,0010794
L5 0,34 0,0005 12 0,2485 0,2493 0,2459 0,2454 0,2441 0,24664 0,00097652 0,0001 0,0009816
L6 0,365 0,0005 12 0,2568 0,2569 0,2633 0,2539 0,2634 0,25886 0,00191065 0,0001 0,0019133
L7 0,398 0,0005 12 0,2733 0,2684 0,2688 0,2693 0,2669 0,26934 0,00106799 0,0001 0,0010727
L8 0,425 0,0005 12 0,2683 0,2731 0,2649 0,2609 0,2729 0,26802 0,00234657 0,0001 0,0023487
L9 0,447 0,0005 12 0,2843 0,2851 0,2708 0,2833 0,2864 0,28198 0,00284067 0,0001 0,0028424
L10 0,483 0,0005 12 0,2855 0,2895 0,2929 0,2914 0,294 0,29066 0,00149486 0,0001 0,0014982

12. Tabela 1.2
Resultado de t T (s) σ T (s) Resultado de T T² (s²) σ T² (s²) Resultado de T²
(0,18364 ± 0,00182) 0,73456 0,007302164 (0,73456 ± 0,00730) 0,539578394 0,010727755 (0,53958 ± 0,01073)
(0,21172 ± 0,00058) 0,84688 0,002323446 (0,84688 ± 0,00232) 0,717205734 0,003935359 (0,71720 ± 0,00393)
(0,23574 ± 0,00147) 0,94296 0,005874147 (0,94296 ± 0,00587) 0,889173562 0,011078171 (0,88917 ± 0,01108)
(0,2369 ± 0,0011) 0,9476 0,004317407 (0,9476 ± 0,0043) 0,89794576 0,008182349 (0,8979 ± 0,0082)
(0,24664 ± 0,00098) 0,98656 0,003926525 (0,98656 ± 0,00393) 0,973300634 0,007747505 (0,97330 ± 0,00775)
(0,25886 ± 0,00191) 1,03544 0,007653078 (1,03544 ± 0,00765) 1,072135994 0,015848606 (1,07213 ± 0,01585)
(0,26934 ± 0,00107) 1,07736 0,004290641 (1,07736 ± 0,00429) 1,16070457 0,00924513 (1,16070 ± 0,00924)
(0,26802 ± 0,00235) 1,07208 0,009394807 (1,07208 ± 0,00939) 1,149355526 0,02014397 (1,14935 ± 0,02014)
(0,28198 ± 0,00284) 1,12792 0,011369714 (1,12792 ± 0,01137) 1,272203526 0,025648256 (1,27220 ± 0,02565)
(0,29066 ± 0,00149) 1,16264 0,005992796 (1,16264 ± 0,00599) 1,35173177 0,013934928 (1,35173 ± 0,01393)

13. Estão listadas abaixo, todas as equações utilizadas nos cálculos que
envolveram o experimento:
 MÉDIA
𝑥
−
=
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
Geralmente, ao se realizar um experimento, várias medidas de um mesmo
objeto em questão são feitas para garantir um intervalo mais preciso da medição.
Por conseguinte, a média representa a melhor estimativa do valor real desejado.
 DESVIO PADRÃO DA MEDIDA
𝜎 =
𝑥𝑖 − 𝑥
− 2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
Faz-se necessário aplicar o conceito estatístico do desvio padrão da medida,
para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio.
 INCERTEZA DO TIPO A
𝜎𝐴 =
𝜎
𝑛
A incerteza do Tipo A utiliza conceito estatístico que se associa ao valor
médio. É estimado pelo desvio padrão da média e ainda, se torna mais exato,
quanto maior for o número de medidas envolvidas.
 INCERTEZA DO TIPO B
A incerteza do tipo B ou incerteza instrumental é determinada através da
resolução do equipamento utilizado para as medições. No caso de um equipamento
digital, a incerteza de tipo B equivale à menor medida possível do aparelho; para um
equipamento analógico, deve-se dividir o menor valor da escala por dois para obter
a incerteza em questão.

14.  INCERTEZA COMBINADA
𝜎𝐶 = 𝜎𝐴
2 + 𝜎 𝐵
2
A incerteza Combinada representa o valor total das incertezas associadas às
medidas, ou seja, relaciona tanto a incerteza do Tipo A quanto a do Tipo B.
 PERÍODO DE UM MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
Elevando os dois membros ao quadrado, temos:
𝑇 2
= 2𝜋
𝐿
𝑔
2
𝑇2
= 4𝜋²
𝐿
𝑔
 COEFICIENTE ANGULAR DA RETA FORMADA PELO GRÁFICO L x T²
𝑎 =
𝑔
4𝜋²
 ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
𝑔 = 𝑎4𝜋²
 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A ACELERAÇÃO DA
GRAVIDADE
𝜎𝑔 =
𝜕𝑔
𝜕𝑎
𝜎𝑎
2
= 4𝜋²𝜎𝑎
2
𝜎𝑔 = 4𝜋²𝜎𝑎

16. Importamos para o SciDAVis as medidas do comprimento do fio de nylon (𝐿)
e do quadrado do período de revolução da esfera (𝑇²) e montamos um gráfico de (𝐿)
x (𝑇²). A previsão teórica indica que o gráfico deve ser uma reta. Conforme a
dedução abaixo:
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
𝑇 2
= 2𝜋
𝐿
𝑔
2
𝑇2
= 4𝜋²
𝐿
𝑔
𝐿 = 𝑔
𝑇²
4𝜋²
Obtivemos pontos dispersos, mas com os devidos ajustes conseguiu-se traçar uma
reta, porém, a mesma não englobou todos os pontos levados em consideração.
Diante deste resultado que o Gráfico 1 ilustra, podemos afirmar que a coleta dos
dados experimentais de alguma maneira foi afetada. Seja pelos erros aleatórios,
porque utilizamos dispositivos eletrônicos que estão sujeitos aos mesmos, e também
pelo fato de poucas amostras terem sido coletadas para as análises. Seja pelos
erros sistemáticos, que por ventura não tenham sido identificados e eliminados pela
equipe. Ou até mesmo pelos erros grosseiros, pois a natureza humana propicia tal
acontecimento.
A partir do gráfico confeccionado foi possível obter o coeficiente angular da
reta, bem como sua incerteza. Tomando a função da reta como:
𝐿 = 𝑔
𝑇²
4𝜋²
E comparando com a equação genérica:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

17. O coeficiente angular será:
𝑎 =
𝑔
4𝜋²
Após plotar o gráfico, o software SciDAVis informa automaticamente o coeficiente
angular e sua respectiva incerteza.
Foi possível calcular a aceleração da gravidade a partir do coeficiente
angular. Isolando g na equação:
𝑎 =
𝑔
4𝜋²
Onde 𝑎 é o coeficiente angular da reta formada pelo gráfico L x T², teremos:
𝑔 = 𝑎4𝜋²
Propagando as incertezas na equação acima, obtemos a incerteza de g:
𝜎𝑔 =
𝜕𝑔
𝜕𝑎
𝜎𝑎
2
= 4𝜋²𝜎𝑎
2
𝜎𝑔 = 4𝜋²𝜎𝑎
Abaixo se encontram o valor teórico e o valor calculado para a aceleração da
gravidade:
Aceleração da Gravidade Teórico Calculado
g (m/s²) 9,78 (13,35048572 ± 0,00066433)
Comparando-se os valores, percebemos que mesmo dentro do intervalo da
incerteza os valores não iguais. Tal fato deve-se aos erros em que o experimento foi
acometido ou exposto, como comentado anteriormente.
Podemos concluir que quanto maior for o comprimento de L maior será o
período de revolução. Podemos tirar esta conclusão porque nesse aspecto, tanto a

18. previsão teórica quanto os resultados obtidos indicaram o mesmo resultado, mesmo
que com certa incoerência entre os resultados. Comparando-se os valores obtidos
nas Tabelas 1.1 e 1.2, do período (T) e comprimento (L), tal conclusão fica mais
clara.

19. 5. CONCLUSÕES
Diante do exposto, embora a dependência entre o período de revolução do
pêndulo e o seu comprimento tenha sido de certa forma comprovada, não foi
possível validar os conceitos teóricos para este experimento através dos dados
obtidos, uma vez que a reta do gráfico confeccionado não se comportou de maneira
satisfatória em relação à previsão, e o valor para a aceleração da gravidade
calculado não condiz com o valor teórico. De fato, nossas medidas contêm erros que
prejudicaram as análises acerca do experimento. Para contornar este problema,
seria necessário identificar tais erros e realizar novamente a experiência para
minimizá-los e obter resultados mais próximos do esperado.

20. 6. BIBLIOGRAFIA
 YOUNG H. D.,FREEDMAN R. A., SEARS F. W., ZEMANSKY M. W., Física,
vol. 1, ed. São Paulo, 2005.
 Só Física, Pêndulo Simples, disponível em:
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php,
acesso em 18/05/2012.
 Santos, Marco Aurélio da Silva, Um físico chamado Galileu Galilei, disponível
em:
http://www.mundoeducacao.com.br/fisica/um-fisico-chamado-galileu-
galilei.htm, acesso em 18/05/2012.
 Pratavieira, Manoel Batista, Pêndulo Simples, disponível em:
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pendulo/PenduloSimples_HTML.htm,
acesso em 18/05/2012.