2. Uno de los métodos más utilizados para la solución numérica de las
ecuaciones diferenciales parciales, es el método de diferencias finitas.
Este método consiste en sustituir aproximaciones de diferencias finitas
en lugar de las derivadas, reduciendo así las ecuaciones diferenciales
parciales en un set de ecuaciones que se pueden resolver utilizando
métodos numéricos estandar tales como Algoritmo de Thomas entre
otros.
Para modelar las diferencias finitas, el dominio de la solución se divide
en celdas de diferencias finitas utilizando una malla de diferencias
finitas.
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
3. Esta malla puede ser utilizada para simular por ejemplo distribución de
contaminantes en la agricultura.
MALLA DE DIFERENCIAS FINITAS
y(m) j
3.5 4
2.5 3
1.5 2
0.5 1
1 2 3 4 5 i
1 3 5 7 9 x(m)
4. La malla es de 10 m de largo en X y 4 m de largo en Y. En este ejemplo
tenemos sólo 20 celdas, cada una de 2 m en la dirección X y 1 m en
dirección Y.
Las celdas están referenciadas utilizando un sistema de coordenadas i,j.
y corresponde al centro de cada una de ellas. En este caso 3,4.
Para el caso de la distribución de la concentración de un contaminante
sobre el plot, esta tiene tres variables independientes (x,y,t) y la
simulación debería avanzar en el tiempo. Pasando de un paso al
siguiente.
En general el paso de tiempo no debiera ser constante.
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
5. La mayoría de los problemas, involucran en la simulación el cambio de
una o más variables dependientes (ej, concentración y temperatura) con
el tiempo.
Las ecuaciones de este tipo de problemas son invariables basadas en
las ecuaciones de conservación y en su lado izquierdo tienen la forma
Una buena aproximación a para esta solución es DA.
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
tu
t
u
h
uu
u
nn
t
1
6. La aproximación de la derecha para la conservación de la masa es más
difícil de elegir
Dependiendo de la elección en Dt, se originan diferentes esquemas de
cálculo, es así como:
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
2
11
2
2
)2(
)(
x
uuu
u
x
u iii
xx i
plicitoTotalmenteesquemau
NicolsonCrankesquemau
licitoesquemau
n
ixx
n
ixx
n
ixx
Im)(
)(
exp)(
1
5.0
7. Cada esquema tiene sus ventajas respecto de los otros. Por ejemplo el
esquema explicito genera ecuaciones algebraicas que pueden ser
resuelta directamente, en cambio los otros dos, es necesario resolver un
set de ecuaciones algebráicas para lo cual se requiere de algún
algoritmos de solución para este tipo de sistema.
Los más comunes son Algoritmo de Thomas entre otros.
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
8. Generalizando, tenemos:
Donde σ se denomina ponderación temporal implícita, y es cero para
un esquema explícito, 0<σ<1 para un esquema parcialmente implícito
tal como Crank-Nicolson y σ es 1 para un esquema totalmente
implcítito.
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
un+s
9. Desarrollar las ecuaciones generales de un esquema parcialmente
implícito para la difusión en una placa de longitud X.
Este es un problema de la ecuación de Calor y el problema matemático
a resolver es de la forma:
Condiciones iniciales:
u(x,0)= 0 para todo x
Condiciones de borde:
u(0,t)= 0 para t>0
u(X,t)= 0 para todo t
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
Xx
x
u
D
t
u
0:2
2
10. Una adecuada representación de una grilla de diferencias finitas, es
como se muestra.
Esta grilla se establece para un problema particular dependiendo de las
condiciones de borde.
Para este problema, los valores son conocidos a x=0 y x=X en los
nodos x=0 y x=X, nodos asociados a las celdas 1 y p respectivamente.
Esto significa que el largo de la celda, δx, está dado por:
REPRESENTACION DE DIFERENCIAS FINITAS
)1(
p
X
x
11. La ecuación para los nudos 1 y p viene directamente de las condiciones
de borde.
Para una esquema parcialmente implícito, la ecuación diferencia infinita
para cualquier nodo interno es:
Asumiendo que varía linealmente con σ, tenemos:
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
u1
n
=1 para todon
y
up
n
= 0 para todo n
(un+1
-un
)i
h
=
D(ui-1 -2ui +ui+1)n+s
(dx)2
un+s
un+s
= (1-s)un
+sun+1
12. Estos resulta:
Donde:
y
La ecuación general diferencia finita, se resuelve a cada paso del
tiempo. Este set de ecuaciones forman una matriz trídiagonal, que
puede ser resuelta usando el algoritmo de Thomas.
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIUALES
-b(ui-1)n+1
+ 1+2b[ ](ui )n+1
-b(ui+1)n+1
=g(ui-1)n
+ 1-2g[ ](ui )n
+g(ui+1)n
= f n
b =
sDh
(dx)2
g =
(1-s )Dh
(dx)2
13. Matriz Trídiagonal
1 0
-b 1+2b -b
-b 1+ 2b -b
. . .
. . .
-b 1+ 2b -b
0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
u1
u2
u3
.
.
up-1
up
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
n+1
=
1
f2
f3
.
.
fp-1
0
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
n
Nota, los valores de f dependen solo de la variable evaluada en el tiempo n,
entonces pueden ser calculados directamente por inserción en el Algoritmo de
Thomas. Cualquiera sea el valor de la constante β, esta matriz se puede ver
como diagonal dominante, por lo tanto el algoritmo de Thomas debería
trabajar sin problemas.
Si el esquema es explícito, no se requiere el algoritmo de Thomas y la
solución se obtiene por cálculo directo.
14. Condiciones de borde
Las condiciones de borde consideradas en el ejemplo anteriores son de la forma:
u= f (x,t)
Este tipo de condiciones de borde son llamadas Condiciones de Primer Tipo.
Las Condiciones de Borde de la forma:
Son condiciones de borde son llamadas Condiciones de Segundo Tipo.
Y las Condiciones de Borde de la forma:
son llamadas Condiciones de Tercer Tipo.
¶u
¶x
= f (x,t)
),( txfqu
x
u
p
15. Ejemplo.
Simule la concentración sobre un período de 20 minutos. Asuma una
longitud de 0,5 metros y una constante de D de 1,25x10-5 m 2 s-1. Use
un esquema explícito con 6 celdas y un paso de tiempo de 400s.
Solución:
La ecuación queda por lo tanto queda:
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES
0+(ui )n+1
+0 = 0.5 (ui-1)n
+ 1- 2x0.5[ ] (ui )n
+ 0.5 (ui+1)n
esdecir :
(ui )n+1
= 0.5 (ui-1 + ui+1)n
dx =
X
(p-1)
=
0.5
5
= 0.1m
h = 400s
s = 0 si b = 0
g =
(1- 0) x1.25 x10-5
x 400
0.12
= 0.5
16. SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIUALES
Los resultados se muestran tabulados
17. Repita el problema anterior considerando un paso de tiempo de 200
segundos.
Solución:
La ecuación queda por lo tanto queda:
SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIUALES
0+(ui )n+1
+0 =1(ui-1)n
+ 1-2x1[ ] (ui )n
+1(ui+1)n
esdecir :
(ui )n+1
= (ui-1 + ui +ui+1)n
dx =
X
(p-1)
=
0.5
5
= 0.1m
h = 200s
s = 0 si b = 0
g =
(1- 0) x1.25 x10-5
x 200
0.12
= 0.5
18. SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIUALES
Los resultados se muestran tabulados
Este ejemplo es claramente inestable. La estabilidad del esquema
explícito depende del valor de , el cual es Dh
(dx)2
g
20. La ecuación elíptica es del tipo:
Esta ecuación es llamada ecuación de Laplace
Reemplazando las derivadas por la correspondiente expresión de
diferencias finitas, tenemos.
Esto es el valor de u en el interior de los puntos de la grilla y
corresponde al promedio aritmético de los cuatro puntos vecinos a la
izquierda, derecha, arriba y abajo.
SOLUCION DE ECUASIONES ELIPTICAS
ui-1, j - 2ui, j + ui+1, j
h2
+
ui, j-1 - 2ui, j + ui, j+1
k2
= 0
tomandouna grilla cuadrada y considerando h= k, tenemos:
ui, j =
1
4
ui+1, j + ui-1, j + ui, j+1 + ui, j-1
éë ùû
¶2
u
¶x2
+
¶2
u
¶y2
= 0, esdecir, uxx + uyy = 0
21. Esta solución es llamada la fórmula estandar de los cinco puntos.
(SFPF)
Si en vez del caso anterior se usa la fórmula
Esto muestra que el valor ui,j es el promedio aritmético de los cuatro
valores vecinos en las diagonales de los puntos. Este es llamada la
fórmula de la diagonal de los cinco puntos. (DFPF)
SOLUCION DE ECUASIONES ELIPTICAS
1,11,11,11,1,
4
1
jijijijiji uuuuu
SFPF DFPF
22. Los valores de u(x,y) que satisfacen la ecuación de Laplace pueden ser
reemplazados por SFPF o DFPF .
Liebmann es un método iterativo, para la solución, inicialmente se
encuentran los valores de los puntos en el interior de la malla para luego
ser mejorados por iteración.
SOLUCION DE ECUACIÓN DE LAPALCE
POR EL MÉTODO DE LIEBMANN
24. Los valores fueron obtenidos por SFPF.
Con lo anterior, se obtienen todos los valores de los bordes de u y los
valores aproximados en cada punto interior de la región, luego se
procede al proceso iterativo hasta alcanzar los valores óptimos.
u2 =
1
4
(u1 + u3 + c3 + u5 )
u4 =
1
4
(c15 + u5 + u1 + u7 )
u6 =
1
4
(u5 + c7 + u3 + u9 )
u8 =
1
4
(u7 + u9 + u5 + c11)
25. La formula iterativa es:
Esto es conocido como el proceso de iteración de Liebmann
)1(
1,1,,1
)1(
,1
)1(
,
4
1
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji uuuuu
26. Ejemplo: resolver la ecuación elíptica uxx + uyy = 0, para el siguiente
cuadrado:
27. Solución: u1 , u2 , …….., u9 son los valores de x en la región interior.
Se puede ver que los valores de borde de u son simétricos en AB.
Por lo tanto: u7= u1 ; u8= u2 ; u9= u3
También, los valores de u son simetricos en CD,
u3= u1 ; u6= u4 ; u9= u7
Por lo tanto, esto es suficiente para encontrar los valores de u1 , u2 , u4
y u5 . Los valores iniciales son mostrados a continuación:
u5
0
=
1
4
= 2000 + 2000 +1000 +1000[ ] =1500 (SFPF)
u1
0
=
1
4
= 0 +1500 +1000 + 2000[ ] =1125 (DFPF)
u2
0
=
1
4
= 1125+1125+1000 +1500[ ] =1187.5 (SFPF)
u4
0
=
1
4
= 2000 +1500 +1125+1125[ ] =1437.5 (SFPF)
31. Octava iteración (n=8)
Desde la octava y novena iteración, vemos que hay una mayor
diferencia entre los valores. Por lo tanto:
u1= 939, u2= 1001, u4= 1251, y u5 = 1126, implica que.
u3= 939, u6= 1251, u7= 939, u8 = 1001, u9= 939.
u1
9
=
1
4
= 1000 +1001.0987+ 500 +1251.0987[ ] = 938.04935
u2
9
=
1
4
= 938.04935+ 938.04935+1000 +1126.0987[ ] =1000.5494
u4
9
=
1
4
= 2000 +1126.0987+ 938.04935+ 938.04935[ ] =1250.5494
u5
9
=
1
4
= 1250.5494+1250.5494+1000.5494+1000.5494[ ] =1125.5494
32. Recordar que:
Debido a que la matriz es diagonalmente dominante, este procedimiento
convergirá a una solución estable. Para acelerar la razón de
convergencia, algunas veces se emplea la sobrerrelajación, aplicando la
siguiente fórmula después de cada iteración:
Donde λ es un factor de peso que varía entre 1 y 2.
)1(
1,1,,1
)1(
,1
)1(
,
4
1
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji uuuuu
MEJORAS AL METODO
LIEBMANN
anterior
ji
nuevo
ji
nuevo
ji uuu ,,, )1(
33. Ejemplo: Determinar la temperatura de la placa cuadrada, según se
indica en la figura.
Placa sometida a una temperatura constante en los borde. Esta
condición es conocida como condición de frontera de Dirichlet.
34. Si analizamos el punto (1,1), tenemos y utilizamos una nomenclatura de
T en lugar de u, tenemos:
Del problema, tenemos:
Por lo tanto la ecuación queda:
De la misma forma se pueden plantear las restantes ecuaciónes para
los puntos interiores de la placa.
04 1101120121 TTTTT
075 1001 TyT
754 211211 TTT
36. La solución para el punto (1,1), está dada por:
Si empleamos la sobrerrelajación y un valor de λ=1.5, tenemos:
Para el punto (2,1)
Para 3,1
75.18
4
00750
11
T
125.280)5.11()75.18(5.111 T
03125.7
4
00125.280
21
T
54688.100)5.11()03125.7(5.121 T
13672.15
4
0054688.1050
31
T
70508.220)5.11()13672.15(5.131 T
37. Para la segunda iteración, los resultados son:
Con un error del 13.5%
Con un error del 0.71 %
39. Variables secundarias
Para el caso de la placa la variable en la ecuación de Laplace
corresponde a la temperatura, sin embargo en muchos casos de EDP,
las variables secundarias pueden ser más importantes.
Para este cas en particular, la variable secundaria es la razón de flujo de
calor a través de la superficie de la placa, el cual se representa en dos
direcciones (x.y) como:
40. E flujo de calor resultante se puede calcular como:
Utilizando los resultados del problema anterior, se pude determinar la
distribución del flujo de calor. Suponer que la placa es de 40x40cm y
está hecha de aluminio (k´= 0.49 cal/(s.cm.°C))
41.
42.
43. Condición de borde de la derivada:
Esta condición conocida como de
Neumann, se utiliza para problemas donde se conoce la derivada. Un
ejemplo de esta situación corresponde a la placa aislada (condición de
frontera natural) donde la derivada es cero.
Para el ejemplo anterior, si consideramos el nudo (0,j) en el extremo
izquierdo, tenemos:
CONDICIONES DE BORDE
04 01,01,0,1,1 jjjjj TTTTT
44. Para este caso el punto imaginario (-1,j), está fuera de la placa. Este
punto sirve como vínculo para incorporar la condición de frontera de la
derivada. Tenemos:
Para lo cual se puede resolver:
Esta ecuación puede ser reemplazada generando:
Se pueden desarrollar relaciones similares para los otros contornos.
CONDICIONES DE BORDE
x
T
xTT jj
2,1,1
x
TT
x
T jj
2
,1,1
0422 01,01,0,1
jjjj TTT
x
T
xT
45. Ejemplo: Placa calentada con espesor aislado (borde inferior)
Placa sometida a una temperatura constante y borde inferior
aislado, tenemos:
54. DEFLEXIONES EN UNA PLACA
Una placa simplemente apoyada en sus bordes y sujeta a una
carga por unidad de área q, la deflexión (deformación) se puede
determinar resolviendo la EDP elíptica, según:
55.
56.
57.
58. EJEMPLO
Determine la deflexión de una placa cuadrada simplemente
apoyada en sus bordes y sujeta a una carga por unidad de área,
Considere una placa de 2 m de largo, q= 33.6 KN/m2, = 0.3,
dz=10-2 m y E = 2x1011 Pa. Considere dx=dy= 0.5 m
59.
60. Naturaleza y tipología de las ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales a
resolver.
Ya se ha señalado que las ecuaciones diferenciales que
interesan son aquellas provenientes de la expresión
matemática de las leyes y principios físicos que explican
fenómenos relacionados a la ingeniería civil. Estas leyes
son normalmente la de conservación de la masa,
conservación de la cantidad de movimiento (o
momentum) y conservación de la energía.
61. Algunas ecuaciones también provienen del transporte
(en el sentido del teorema de transporte de Reynolds.
presentado normalmente en los cursos de Mecánica de
Fluidos) de las propiedades antes señaladas (masa,
momentum, energía). En sistemas físicos más o menos
complejos lo que se obtiene son sistemas de
ecuaciones en derivadas parciales.
Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden
clasificar a partir de la siguiente ecuación general,
donde U representa a la variable dependiente y ‘x” y ‘t”
(o ‘y’) representan a las variables independientes.
0gfU
t
U
e
x
U
d
t
U
c
tx
U
b
x
U
a 2
22
2
2
(1)
62. x
U
t
U
Esta ecuación se denomina de ‘segundo orden”, ya que
contiene solo primeras y segundas derivadas. Además, se
dice que (1) es ‘lineal” cuando los coeficientes a, b. c y g
son constantes o funciones de “x” y “t” solamente. Una
propiedad importante de las ecuaciones lineales es la
“superposición’, en virtud de la cual la suma de soluciones
particulares es también solución de la ecuación diferencial
Cuando los coeficientes a. b. c y g son funciones de x, t,
U, ,
la ecuación se dice “cuasi-lineal”.
Si los coeficientes son funciones de las segundas
derivadas, la ecuación diferencial se clasificará como “no-
lineal”.
63. La variable dependiente U puede representar
propiedades físicas muy diferentes, como temperatura,
velocidad, caudal, tensión, deformación, presión,
concentración de un contaminante, etc.
Dependiendo de la Importancia relativa de los
coeficientes a, b, c g la ecuación puede tener diferentes
comportamientos, los que incidirán fuertemente en sus
características y en los métodos de solución aplicables.
Sin entrar en mayores detalles de tipo matemático, los
que pueden ser encontrados por ejemplo en Smith
(1985), las ecuaciones diferenciales parciales se
clasifican en:
64. a) Ecuaciones elípticas: si b2-4 ac < O
Estas ecuaciones están generalmente asociadas a
problemas que representan una condición de equilibrio, es
decir, problemas donde no aparece la variable “tiempo” (p. e.
movimiento permanente). Casos conocidos son, por ejemplo,
la ecuación de Poisson
(2)0g
y
U
x
U
2
2
2
2
65. y también la ecuación de Laplace
(3)
Ecuaciones de este tipo provienen de problemas de
equilibrio de tensiones, flujo potencial (hidráulico, eléctrico),
etc.
La solución de este tipo de ecuaciones se obtiene en un
solo paso. a diferencia de las restantes, donde se debe
avanzar paso a paso en el tiempo.
02
2
2
2
y
U
x
U
66. b) Ecuaciones parabólicas: si b2-4 ac = 0
Generalmente provienen de problemas donde la variable
“tiempo’ es relevante (movimiento impermanente, por
ejemplo) y donde se propaga alguna propiedad física,
como la propagación de calor, de momentum, de un
contaminante, etc.,
La expresión típica de una ecuación parabólica
unidimensional de propagación de calor es, por ejemplo
(4)2
2
x
U
K
t
U
67. donde K es una constante relacionada con las
propiedades conductivas del medio de transporte.
La solución de este tipo de ecuaciones se obtiene con
un procedimiento de marcha en el tiempo’, partiendo de
una solución inicial (tiempo=0) y avanzando dando ‘sal
tos’ en el tiempo.
c) Ecuaciones hiperbólicas: si b2 - 4 ac > 0
Estas ecuaciones generalmente están asociadas a
fenómenos de vibración o de propagación de ondas en
diferentes medios (ondas de presión en líquidos,
cuerdas superficies o cuerpos vibrantes, etc.). Por
ejemplo, la ecuación
(5)2
2
2
2
2
x
U
c
t
U
68. Puede representar el desplazamiento de una cuerda
vibrante (en la dirección perpendicular a x) o la variación de
la presión en una onda de presión que se desplaza en un
tubo con líquido a presión.
Todas las ecuaciones diferenciales cuasi-lineales pueden
ser resueltas numéricamente mediante diferencias finitas,
aunque en algunos casos existen otros métodos eficientes
alternativos (método de las características, para
ecuaciones hiperbólicas, por ejemplo). Soluciones
analíticas son posibles solo para casos muy simples y
limitados a condiciones especiales.
69. Metodología general para la construcción de modelos
Problema Real Hipótesis simplificatorias
Formulación de un modelo
matemático
Calibración o ajuste de los
parámetros del modelo
Solución numérica del
modelo
Validación:
Que tan bueno es el
modelo?
Observaciones (datos) del
fenómeno real
Modificación del
modelo
Modelo apto para ser usado con
fines prácticos
No satisfactorio
Satisfactorio
70. El mundo continuo y el mundo discreto
Mundo Continuo Mundo Discreto
t
f
t
ff n
j
n
j
1
t
t
f
ff n
j
n
j
1
71. Conceptos del análisis en que se apoyan los
métodos de diferencias finitas
a) Teorema del valor medio.
Si una función u es continuamente diferenciable (i. e. su
derivada existe y es continua) en un intervalo [a,b],
entonces existe un punto ξ ε [a,b] tal que
(1)
lo que gráficamente puede interpretarse como que existe
un punto tal que la pendiente de la tangente en tal punto es
igual a la pendiente de la secante que pasa por a y b. tal
como se indica en la Fig. 3
)(
)(
ab
x
u
aubu
72. a ξ b
u(a)
du(ξ) (b-a)
dx
u(x)
x
Fig. 3. Teorema del valor medio.
73. ya que de (1)
(2)
El teorema del valor medio también se puede re-escribir
como:
(3)
x
)(u
ab
aubu
)ab(
x
)(u
aubu
74. b) Expansión en serie de Taylor.
Si una función u es k-veces continuamente
diferenciable sobre un intervalo [a,b], entonces, para
todo x y xo ε [a, b] existe ξ entre x y xo tal que
(4)
k
ok
o
k
k
ok
o
k
o
o
o
o
o
xx
x
xu
k
xx
x
xu
k
xx
x
xu
xx
x
xu
xuxu
)(
)(
!
1
)(
)(
)!1(
1
....)(
)(
!2
1
)(
)(
)()(
1
1
1
2
2
2
75. Nótese que el signo de igualdad vale tanto para el
teorema del valor medio como para la expansión en
serie de Taylor; la existencia de garantiza la igualdad y
no una aproximación.
Se puede apreciar también que el teorema del valor
medio corresponde a un caso particular de la expansión
en serie de Taylor, para k=1, xo=a y x=b.
76. c) Aproximación en serie de Taylor.
Si los puntos x y x están suficientemente cercanos, se
puede comprobar que la contribución de los términos
de las derivadas de orden superior es cada vez menor,
ya que (x-xo)n es menor mientras mayor es n. En este
caso, la ecuación (4) puede ser aproximada por
p
op
o
p
o
o
o
o
o
xx
x
xu
p
xx
x
xu
xx
x
xu
xuxu
)(
)(
!
1
....)(
)(
!2
1
)(
)(
)()( 2
2
2
(5)
77. La aproximación (5) puede ser utilizada en dos sentidos
diferentes
i) Para aproximar u(x), conocidos u(xo)y las derivadas
dpu(xo).
ii) Para aproximar las derivadas dpu(xo)/dxp, conocidos los
valores de la función u(x) y u(xo).
78. d) Interpretación geométrica de la aproximación por
serie de Taylor
Es instructivo visualizar el significado geométrico de las
aproximaciones mediante serie de Taylor, en efecto, la
aproximación (5) permite calcular un valor aproximado
de la función, basado en el conocimiento del valor de la
función en un punto conocido xo y de las derivadas de la
función en dicho punto.
79. Esto es válido siempre que la función sea p-veces
continua y diferenciable en el intervalo [a,b] y tanto x
como xo estén dentro de dicho intervalo. Se debe notar
que esta aproximación no requiere conocer la expresión
analítica de la función, solo u(xo) y las derivadas en xo.
La aproximación mejorará en precisión mientras más
términos de la expansión en serie sean considerados,
generándose, por lo tanto, aproximaciones de diversos
grados, según sea donde se produce el truncamiento de
la serie.
80. i) Aproximación de orden O
La aproximación más burda que se puede tomar en el
entorno de xo está dada por el truncamiento de la serie (5)
inmediatamente después del primer término, o sea
u(x) u(x ) (6)
con un error del orden de (x-xo)
La Fig. 4 interpreta geométricamente esta aproximación.
La aproximación de orden O puede ser usada cuando no
se conoce las derivadas en el punto xo es decir no se
conoce la pendiente de la curva u(x).
81. ii) Aproximación de 1er orden
En el caso de disponer de información relativa a la
primera derivada en xo, la aproximación dada por (6)
puede ser mejorada, usando la información adicional
y reduciendo la discrepancia entre el valor real y el
aproximado
)(
)(
)()( o
o
o xx
x
xu
xuxu
(7)
82. con un error del orden de (x-xo)2. Si x está suficientemente
cerca de xo la diferencia (x-xo) será pequeña y elevada al
cuadrado será aún más pequeña.
La Fig. 5 muestra la interpretación gráfica de la aproximación
(7).
a xo x b
u(xo)
Valor Real
Valor Aproximado por (6)
u(x)
x
Fig. 4. Interpretación geométrica de la aproximación de orden O.
83. a xo x b
u(xo)
Valor Real
Valor Aproximado
por (6)
u(x)
Valor Aproximado
por (7)
)( oxx
x
u
Fig. 5. Interpretación geométrica de la aproximación de 1er orden.
84. Para mejorar la aproximación dada por (7) se requiere
de información adicional, y esta no es otra que la
relativa a la concavidad de la función en xo.
Evidentemente el grado de aproximación mejorará si se
conoce que en xo la concavidad es positiva o negativa.
Como es sabido del cálculo, la segunda derivada de
una función en un punto representa a la concavidad en
dicho punto.
85. iii) Aproximación de 2° orden.
Conocidas la primera y segunda derivadas en x
podemos agregar un término adicional, truncando (5) en
el término de orden 3 y sucesivos
(8)
con una aproximación del orden de (x-xo)3.
La Fig. 6 muestra una interpretación gráfica de la
aproximación dada por (8), indicando la contribución de
cada uno de sus términos.
2
2
2
)(
)(
!2
1
)(
)(
)()( o
o
o
o
o xx
x
xu
xx
x
xu
xuxu
86. a xo x b
u(xo)
Valor Real
Valor Aproximado por (6)
u(x)
Valor Aproximado por (7)
x
Valor Aproximado por (8)
2
2
2
)(
2
1
oxx
x
u
)( oxx
x
u
Fig. 6. Interpretación geométrica de la aproximación de 2° orden.
87. Se debe notar que todas las derivadas en (7) y (9) están
evaluadas en el punto xo.
La extensión de las aproximaciones a espacios de n-
dimensiones es inmediata, obteniéndose derivadas
parciales en lugar de las ordinarias; por ejemplo, la
aproximación de primer orden en un espacio de tres
dimensiones será
(9)
con todas las derivadas parciales evaluadas en el punto
(xo, yo, zo)
)()()(),,(),,( oooooo zz
z
u
yy
y
u
xx
x
u
zyxuzyxu
88. Discretización del dominio de definición de una
función.
Se ha señalado que la expansión en serie de Taylor será
utilizada para relacionar el mundo continuo con el discreto,
de manera que, si se estudia una función uni-dimensional,
en lugar de interesar su comportamiento sobre todos los
puntos de la recta real que representa a la variable
independiente, interesa solamente en su comportamiento
sobre determinados puntos.
Se describe a continuación la forma de las discretizaciones
generalmente usadas para espacios de 1, 2 o 3
dimensiones.
89. i) Espacios uni-dimensionales.
Se tiene una sola variable independiente, por ejemplo “x”.
El espacio continuo está representado por una recta
(real), con infinitos puntos. El correspondiente espacio
discreto estará representado por un conjunto de N
puntos, repartidos sobre la recta real de acuerdo con
algún criterio pre-establecido (uniforme o desigualmente
repartidos), tal como se indica en la Fig. 7
Fig. 7 Discretizacion de un espacio uni-dimensional
90. ii) Espacios bi-dimensionales
En este caso hay dos variables independientes, por
ejemplo “x” y “t” , definiendo un plano como el indicado en
la figura 8.
Fig. 8 Discretizacion de un espacio bi-dimensional
91. iii) Discretización de un espacio tri-dimensional.
En este caso ahora hay tres variables independientes, por
ejemplo ‘5c”, “y” y “t”. como se indica en la Fig. 9.
Fig. 9 Discretizacion de un espacio tri-dimensional
92. Uso de la serie de Taylor para aproximar las
derivadas de una función
Se continuara trabajando con funciones de una sola
variable, por razones de simplicidad en la notación, pero
los resultados son igualmente validos para espacio multi-
dimensionales. Se denotara indistintamente como “x” o
“t” la variable independiente. Sin que ello implique
referencia alguna a su significado.
93. Fig. 10 Aproximación por serie de Taylor
Sean A, B y C tres puntos correspondientes a valores t-
∆t, t y t+∆t en una función u(t). Tal como se indica en la
figura 10.
Entonces se puede evaluar el valor de la función en C a
partir de B como:
94. ...
!3!2
)()( 3
33
2
22
t
ut
t
ut
t
u
ttuttu (10)
Asimismo, se puede evaluar el valor de la función en A a partir de b como
(11)
Nótese que:
i) Todas las derivadas están evaluadas en el punto “t”, conocido.
ji) La función “u” es continuamente diferenciable sobre el intervalo en
estudio.
iii) Tanto en (10), (11) como en la Fig. 10, está implícita la idea de
“discretizar” el espacio de definición de la función, algo que ya ha sido visto
en párrafos anteriores.
A partir de las ecuaciones (10) y (11), o de combinaciones de ella, se puede
obtener aproximaciones a las primeras y segundas derivadas, lo que da
origen a diferentes expresiones o esquemas.
...
!3!2
)()( 3
33
2
22
t
ut
t
ut
t
u
ttuttu
95. Esquema de diferencias hacia adelante o anteriores (forward
differences) de primer orden.
De la ecuación (10), se puede calcular derivada, en efecto, despejando du(t)/dt
(12)
o bien
(13)
donde O( ) agrupa a todos los términos de la serie infinita que involucran
derivadas de orden igual o superior a la segunda, o sea, términos de “primer
orden” en o superior. Lo que es equivalente a decir que la primera derivada
puede ser aproximada por
..
!3!2
)()()( 2
3
3
2
2
t
t
ut
t
u
t
tuttu
t
tu
)(
)()()(
tO
t
tuttu
t
tu
t
t
96. Esquema de diferencias hacia atrás o posteriores (backward
differences) de primer orden.
Análogamente al caso anterior, se puede utilizar (11) para aproximar
la primera derivada como
(15)
con un error de truncamiento del orden de
t
ttutu
t
tu
)()()(
t
(14)
con un error, debido al truncamiento de la serie, del orden de o de
“primer orden”.
t
tuttu
t
tu
)()()(
t
97. Esquemas de diferencias centrales o centradas (central
differences) de segundo orden.
i) Aproximación de primeras derivadas.
Restando las ecuaciones (10) y (11), se obtiene
o sea
(16)
......
)(
!3
2)(
2)()( 3
3
3
t
tu
t
t
tu
tttuttu
)(
2
)()()( 2
tO
t
ttuttu
t
tu
lo que se aproxima como
(17)
con un error de truncamiento del orden de (segundo orden).
t
ttuttu
t
tu
2
)()()(
98. El esquema dado por (17) se aplica directamente a derivadas parciales, en
efecto, (17) podría interpretarse como si la función “u” dependiese de otras
variables además de “t”.
ii) Aproximación de segundas derivadas.
Sumando (10) y (11), se obtiene
o sea
(18)
t
u
.....
)(
!4
2)(
)()( 4
4
4
2
2
2
t
tu
t
t
tu
tttuttu
)(
)()(2)()( 2
22
2
tO
t
ttututtu
t
tu
99. lo que se aproxima como
(19)
también con un error de truncamiento del orden de (segundo orden).
iii) Terceras derivadas
Las derivadas de orden superior se pueden aproximar mediante diferencias
centrales con la introducción de variables auxiliares. Así, la tercera derivada se
calcula como la primera derivada de una variable auxiliar dada por
(20)
luego
22
2
)()(2)()(
t
ttututtu
t
tu
2
2
t
u
V
t
v
t
u
3
3
100. por lo tanto
y
o sea
(21)
con un error de truncamiento del orden de (segundo orden)
)(
2
)()( 2
3
3
tO
t
ttvttv
t
u
t
t
u
t
u
t
u tttt
2
2
2
2
2
3
3
223
3
)2()(2)()()(2)2(
2
1
t
ttuttutu
t
tuttuttu
tt
u
33
3
)2(5.0)()()2(5.0
t
ttuttuttuttu
t
u
2
t
101. iv) Cuartas derivadas.
Similarmente al caso de las terceras derivadas, la cuarta derivada se calcula
como la segunda derivada de la variable auxiliar ya introducida en (20), o sea
por lo tanto
o sea
(22)
con un error de truncamiento del orden de (segundo orden).
)(
)()(2)( 2
22
2
4
4
tO
t
ttvtvttv
t
v
t
u
22224
4
t
)t2t(u)tt(u2)t(u
t
)tt(u)t(u2)tt(u
2
t
)t(u)tt(u2)t2t(u
t
1
t
u
44
4
)2()(4)(6)(4)2(
t
ttuttututtuttu
t
u
2
t
102. v) Segundas derivadas cruzadas.
Se puede demostrar que
(23)
con un error de truncamiento del orden de O
Esquemas de diferencias finitas de orden superior.
En las secciones 6.1 y 6.2 se han obtenidos aproximaciones de primer orden
[i.e. O ] a las primeras derivadas, a base de diferencias hacia adelante y atrás.
La pregunta ahora es si es posible obtener aproximaciones de orden superior,
por ejemplo
O , de manera de reducir el error de truncamiento. La misma pregunta se
puede plantear a las aproximaciones de segundo orden basadas en las
diferencias centrales de la sección 6.3.
Sí se analiza la aproximación a la primera derivada, por diferencias hacia
adelante, de las expresiones (12) y (13), que se repiten a continuación
yx
uuuu
t
u jijijiji
4
1,11,11,11,1
4
4
),( 22
yx
103. )t(O
t
)t(u)tt(u
t
)t(u
y
...
!3
t
t
u
!2
t
t
u
t
)t(u)tt(u
t
)t(u
3
3
2
2
(12)
(13)
se puede ver que la aproximación dada por (13) resulta de primer orden
debido a que se está despreciando el segundo término del lado derecho
de (12) (y los términos siguientes). Por lo tanto, si se desea buscar alguna
forma de disminuir el error de truncamiento (o sea de obtener una
aproximación de segundo orden), se debería buscar la manera de
introducir ese segundo término en la aproximación de la primera derivada.
Lo anterior conduce a la necesidad de contar con aproximaciones de la
segunda derivada mediante diferencias hacia adelante, las que se
pueden obtener a partir de una expansión en serie de Taylor en torno a “t”
con un intervalo (hacia adelante) de 2 t
104. multiplicando (12) por 2
(25)
y restando (25)-(24) se puede eliminar la primera derivada, obteniéndose
de donde
....
t
)t(u
!3
)t2(
t
)t(u
!2
)t2(
t
u
t2)t(u)t2t(u 3
33
2
22
....
)(
!3
2
)(
!2
22)(2)2(2 3
33
2
22
t
tut
t
tut
t
u
ttuttu
....
!3
6
!2
2
)()2()2(2 3
33
2
22
t
ut
t
ut
tuttuttu
...
)2()(2)(
3
3
22
2
t
t
u
t
ttuttutu
t
u
(24)
105. o sea
(26)
con una aproximación de primer orden solamente.
Reemplazando el segundo término del lado derecho de (i2) por (26) se obtiene
la que, reordenada, resulta ser
22
2
)2()(2)(
t
ttuttutu
t
u
)( t
...
!32
)2()(2)()()()( 2
3
3
2
t
t
ut
t
ttuttutu
t
tuttu
t
tu
...
!32
)2()(4)(3)( 2
3
3
t
t
u
t
ttuttutu
t
tu
106. y truncando después del primer término del lado derecho
(27)
que constituye una aproximación de segundo orden a las primeras
derivadas aproximadas mediante diferencias hacia adelante.
Usando un procedimiento similar se podrían obtener aproximaciones de
primer orden para las terceras y cuartas derivadas, aproximaciones de
segundo orden para la segunda, tercera y cuarta derivada, todas ellas
basadas en diferencias hacia adelante, Nada impide hacer lo mismo para
diferencias hacia atrás y para obtener aproximaciones de ‘cuarto orden
para las diferencias centrales. La Tabla 1, presentada por Abbott y Basco
(1989), resume todas estas aproximaciones, usando una notación solo
levemente diferente (se debe reemplazar “f” de la Tabla por “u”).
t
ttuttutu
t
tu
2
)2()(4)(3)(
107. Como puede apreciarme, para aproximar derivadas con un orden
superior, hay que incorporar más puntos donde el valor de la función es
conocido Asimismo, es fácil ver que para aproximar una derivada
cualquiera hay muchas alternativas posibles (diferencias hacia adelante,
hacia atrás o centrales, y con variados grados de aproximación (primer,
segundo y cuarto orden), aunque podría ser posible seguir aumentando el
orden de la aproximación. El punto es ahora averiguar cual o cuales de
los esquemas de aproximación es más adecuado en una aplicación
concreta.
108. Tabla 1. resumen de aproximaciones de primer,
segundo y cuarto orden, para las primeras cuatro
derivadas [tomada de Abbott y Basco (1989)]
- 1 1
1 - 2 1
1 3 - 3 1
1 - 4 6 - 4 1
f j f 1j f 2j f 3j f 4j
x
f
x
x
f
x 2
2
2
x
f
x 3
3
3
x
f
x 4
4
4
(a) Diferencias hacia adelante O (∆x)
109. -1 1
1 -2 1
1 3 -3 1
1 - 4 6 - 4 1
x
f
x
x
f
x 2
2
2
x
f
x 3
3
3
x
f
x 4
4
4
f 4j f 3j f 2j f 1j f j
(b) Diferencias hacia atrás O (∆x)
110. - 3 4 -1
2 - 5 4 1
-5 18 - 24 14 -3
3 - 14 26 - 24 11 -2
f j f 1j f 2j f 3j f 4j
x
f
x2
x
f
x 2
2
2
x
f
x2 3
3
3
x
f
x 4
4
4
f 5j
(c) Diferencias hacia adelante O x
2
111. 1 -4 3
-1 4 -5 2
3 - 14 24 -18 5
-2 11 -24 26 -14 3
x
f
x2
x
f
x 2
2
2
x
f
x2 3
3
3
x
f
x 4
4
4
f 4j f 3j f 2j f 1j f jf 5j
(d) Diferencias hacia atrás O x
2
112. -1 0 1
1 -2 1
-1 2 0 -2 1
1 -4 6 -4 1
x
f
x2
x
f
x 2
2
2
x
f
x2 3
3
3
x
f
x 4
4
4
f 2j f 1j f j f 2jf 1j
(e) Diferencias centrales O x
2
113. 1 -8 0 8 -1
-1 16 30 16 -1
1 -8 13 0 -13 8 -1
-1 12 -39 56 -39 12 -1
x
f
x12
x
f
x12 2
2
2
x
f
x8 3
3
3
x
f
x6 4
4
4
f 3j f 2j f 1j f j f 1j f 2j f 3j
(f) Diferencias centrales O x
4
114. Esquemas explícitos e implícitos.
Al reemplazar las derivadas parciales de una ecuación diferencial por algunas
de las aproximaciones establecidas en la sección 6, se obtendrá una ecuación
en diferencias finitas que aproxima a la ecuación diferencial original y que es
posible de resolver en un computador. Por ejemplo, para resolver la ecuación
diferencial (advección pura)
(1)
usando diferencias hacia atrás para y diferencias hacia adelante para ,
resulta
(2)
de donde, reordenando, se obtiene
(3)
0
x
h
c
t
h
x
h
t
h
0
1
1
x
hh
c
t
hh n
j
n
j
n
j
n
j
n
jr
n
jr
n
j hChCh 1
1
)1(
115. con
(4)
La ecuación (3) se denominará un “esquema” numérico para resolver la
ecuación diferencial CI). Dado que el esquema permite calcular explícitamente
el valor de la incógnita al tiempo “n+l”, cono una función directa del valor de la
variable al tiempo anterior “n” (conocido), se dirá que tal expresión es un
‘esquema explicito”.
Dado que las derivadas en (1) se han aproximado con diferencias de primer
orden, el esquema (3) es también una aproximación de primer orden, o sea
O , de (1).
Hay una infinidad de esquemas posibles para resolver (1), así, si en lugar de
tomar diferencias hacia atrás para , se hubiese tornado diferencias
hacía adelante o diferencias centrales (ya sea de primer, segundo o cuarto
orden) el esquema representado por (3) habría sido ligeramente diferente, Lo
más importante es que los diversos esquemas posibles habrían tenido grados
de aproximación diferentes. El punto será entonces determinar el “mejor”
esquema, de entre los infinitos esquemas posibles, con un consumo razonable
de recursos computacionales.
x
t
cCr
),( 2
xt
xh
116. Los esquemas de tipo explícito son simples de aplicar, de hecho, programar el
esquema dado por (3) en una computador (o en una calculadora
programable…) es extremadamente sencillo, y esta es la principal ventaja de
los esquemas explícitos. Sin embargo, como se verá más adelante, hay un
precio que se debe pagar por esta simplicidad.
Como en esto de aproximar uno se puede tomar muchas licencias, alguien
podría sugerir que, en vez de tomar diferencias hacia adelante para ,
ubicándonos solo en el punto xj., porque no hacerlo tomando un promedio de
lo que pasa tanto en xj. como en xj+1, o sea
(5)
th
t
hh
t
hh
t
h
n
j
n
j
n
j
n
j 1
1
1
1
5.0
117. De donde, claramente, ya no es posible despejar directamente el valor de las
incógnitas al instante “n+1”, obteniéndose un esquema de los denominados
“implícitos. En este caso, el esquema (5) deberá ser aplicado a todos los
puntos de la discretización, dando lugar a un sistema de ecuaciones lineales
en , con i recorriendo todo el espacio de las “x”. Las condiciones en los
puntos extremos de la discretización (para i=1l e i=N) deberán ser
especificadas, constituyendo las “condiciones de borde del problema.
Tenemos, por lo tanto, una variada gama de aproximaciones (de las derivadas)
que pueden dar origen tanto a esquemas explícitos como implícitos. Se
revisará a continuación algunas de las más conocidas, otras se introducirán
más adelante.
1n
ih
al reemplazar en (1), manteniendo como una diferencia hacia atrás,
resultaría un esquema como el siguiente
(6)
dx
dh
n
j
n
jr
n
jr
n
j
n
j hhChChh 11
1
1
1
)21(2
118. Aproximaciones que dan origen a esquemas explícitos.
a) Esquema difusivo.
Usado en hidráulica para integrar las ecuaciones de Saint Venant del
movimiento impermanente, es básicamente una diferencia hacia adelante,
donde el valor de la función en el instante de tiempo anterior se toma como el
promedio del valor de la función en los puntos vecinos, o sea
(7)
b) Esquema “Leapfrog”(salto de la rana o caballito de bronce).
Donde se toman aproximaciones dadas por diferencias centrales en ambas
direcciones, por ejemplo
t
uuu
t
U jijiji
)(5.0 ,1,11,
t
uu
t
U
y
t
uu
t
U
jiji
ji
jiji
ji
2
2
,1,1
,
1,1,
,
(8)
(9)
119. este esquema, cuando es aplicado a una ecuación del tipo parabólico, como la
propagación de calor [ver ecuación (4) de la sección 7], con las segundas
derivadas aproximadas como diferencias centrales, es inestable [Abbott y
Basco (l989)]. corno en el siguiente esquema
(10)
c) Esquema de DuFort-Frankel.
Un cambio aparentemente insignificante puede estabilizar el esquema (10), y
consiste en reemplazar por el promedio aritmético de los valores de
a los tiempos n+1 y n-1, o sea, el esquema (10) pasa a ser
(11)
se puede verificar que el nuevo esquema, todavía explicito, es
incondicionalmente estable.
2
11
11
2
2 x
UUU
K
t
UU n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
jU jU
2
1
11
1
11
)(
2 x
UUUU
K
t
UU n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
120. Aproximaciones que dan origen a esquemas implícitos.
a) Aproximación de Crank-Nicolson.
Utilizado originalmente en ecuaciones del tipo parabólico, aproxima las
derivadas mediante un promedio aritmético de las derivadas a los tiempos “j” y
“j+1”. En el caso de las segundas derivadas, estas se aproximan mediante
diferencias centrales dadas por
(12)
Las primeras derivadas pueden ser aproximadas por
(13)
claramente, el esquema resultante será implícito, ya que el valor de la incógnita
al tiempo “j+1” aparece en más de un término en las aproximaciones (12) y (13)
2
,1,,1
2
1,11,1,1
2
2
22
2
1
x
UUU
x
UUU
x
U jijijijijiji
x
UU
x
UU
x
U jijijiji ,1,1,11,
2
1
121. b)Método de los cuatro puntos o de la “caja”
Consiste en una generalización del método de Crack-Nicolson, esta vez
tomando promedios ponderados, en lugar de promedios aritméticos, en el caso
anterior e una función de dos variables (x y t), la aproximación sería
(14)
y
(15)
con un error de truncamiento variable, de acuerdo a los valores de los
coeficientes θ; para θ =0.5 la aproximación es del orden de . Los coeficientes
deben cumplir además con la condición
t
UU
t
UU
t
U jijijiji ,11,1
1
,1,
1 )1(
x
UU
x
UU
x
U jijijiji 1,1,1
2
,,1
2 )1(
10
10
2
1
122. El valor de la función dado por el promedio entre los cuatro puntos que forman
la celda
(16)
La Fig. 11 muestra gráficamente las características del esquema de los 4
puntos, donde se puede apreciar que los coeficientes de ponderación permiten
mover el punto P alrededor de toda la celda.
Evidentemente, por aparecer más de una incógnita al tiempo j+1 e una
ecuación, el esquema es implícito
2
)1(
2
,1,
2
1,11,
2
jijijiji uuuu
123. Fig. 11 Esquema de los cuatro puntos
El esquema de los cuatro puntos es unos de los esquemas de
aproximación mas usados debido a su generalidad y características
numéricas . Si los coeficientes de ponderación se hacen igual a 0.5 , se
vuele al esquema de Crack-Nicolson (o esquema de los cuatro puntos
centrados), mientras que si θ es igual a 0 el esquema se transforma en
una simple diferencia hacia adelante (esquema explícito).
124. El esquema es conocido también en aplicaciones a la hidráulica como método
de Preissmann .
En el ejemplo de la ecuación (1) de adveccion pura, la aproximación de los
cuatro puntos conduciría al siguiente esquema.
(17)
Para las segundas derivadas, la aproximación de los cuatro puntos seria:
0
x
hh
x
hh
1C
t
hh
t
hh
1
1j,i1j,1i
2
j,ij,1i
2
j,1i1j,1i
1
j1j,i
1
x
UU2U
x
UU2U
1
X
U
2
1j,1i1j,i1j,1i
2
j,1ij,ij,1i
2
2
