Makalah ini membahas tentang transformasi variabel acak dan distribusinya. Terdapat beberapa metode untuk menemukan distribusi variabel acak yang ditransformasi, yaitu metode fungsi distribusi, metode transformasi, metode konvolusi, dan metode fungsi pembangkit momen. Metode transformasi dijelaskan sebagai metode yang paling berguna untuk menemukan fungsi kepadatan variabel acak yang ditransformasi dengan mengetahui fungsi kepadatan variabel acak aslinya.

1. TRANSFORMASI PEUBAH ACAK
DAN DISTRIBUSINYA
Makalah Kelompok-V
Diajukan untuk Melengkapi Tugas Matakuliah
Statistika Matematika
Oleh
1. RIZKI KURNIAWAN RANGKUTI
2. NUR ASIMA SIREGAR
3. MAISYAROH MANURUNG
Dosen Pengampu
Dr. Ani Minarni, M.Si
Program Studi Pendidikan Matematika
Jenjang Program Strata Dua (S-2)
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2014

2. TRANSFORMASI PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA
Dalam banyak aplikasi statistik, diberikan suatu distribusi peluang peubah acak
univariat X, seseorang ingin mengetahui distribusi peluang dari peubah acak univariat yang
lain Y = φ(X), di mana φ adalah suatu fungsi yang diketahui. Sebagai contoh, jika kita
mengetahui distribusi peluang peubah acak X, kita bisa mengetahui distribusi Y = ln(X).
Untuk peubah acak univariat X, pada umumnya digunakan transformasi peubah acak Y dari X
adalah:  
2

 

2 , , ln , , , 




    



 X
Y
X
Y X Y X Y X Y X Y . Demikian pula
untuk peubah acak bivariat (X, Y), beberapa transformasi yang paling umum dari X dan Y
X
adalah , , ,
Y
X Y XY
minX,Y, maxX,Y atau 2 2 Y X  . Dalam bab ini, kita akan
mengkaji berbagai metode untuk menemukan distribusi peubah acak univariat atau bivariat
yang ditransformasikan, ketika transformasi dan distribusi dari peubah-peubah yang
diketahui. Pertama, kita perlakukan kasus univariat, kemudian kita perlakukan kasus bivariat.
Kita mulai dengan suatu contoh untuk peubah acak univariat diskrit.
Contoh 10.1.
Fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X ditunjukkan pada tabel di bawah ini:
x -2 -1 0 1 2 3 4
f x
1
10
2
10
1
10
1
10
1
10
2
10
2
10
Tentukan fungsi padat peluag dari variabel acak 2 X Y  ?
Penyelesaian:
Ruang sampel peubah acak X adalah R   2,1,0,1,2,3,4 , kemudian ruang sampel dari
X peubah acak Y adalah R   x 2 xR  . Dengan demikian R  0,1,4,9,16 . Sekarang kita
Y X Y menghitung fungsi padat peluang g  y  untuk y di R .
Y       
1
10
g P Y P X P X
0 0 0 0
      
         
g P Y P X P X P X
         
     2
    
g P Y P X P X P X
         
       
10
g P Y P X P X
      
       
2
10
g P Y P X P X
16 16 16 4
2
9 9 9 3
2
10
4 4 4 2 2
3
10
1 1 1 1 1
2
2
2
2
      
Kita ringkas distribusi Y pada tabel sebagai berikut:
y 0 1 4 9 16
gy
1
10
3
10
2
10
2
10
2
10

3. Contoh 10.2.
Fungsi padat peluang dari peubah acak X ditunjukkan pada tabel di bawah ini:
x 1 2 3 4 5 6
  1
f
x 6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Tentukan fungsi padat peluang dari peubah acak Y = 2X +1 ?
Penyelesaian:
Ruang sampel peubah acak X adalah R   1 , 2, 3, 4, 5, 6 , kemudian ruang sampel dari peubah
X acak Y adalah R   2x 1xR  . Dengan demikian, R  3,5,7,9,11,13 . Selanjutnya kita
Y X Y menghitung fungsi padat peluag g  y untuk y di R diberikan oleh
Yg    P  Y    P  X     P  X
 

       
g P Y P X P X
       
       
g P Y P X P X
       
       
1
g P Y P X P X
       
       
1
1
1
g P Y P X P X
       
       
1
1
6
g P Y P X P X
13 13 2 1 13 6
6
11 11 2 1 11 5
6
9 9 2 1 9 4
6
7 7 2 1 7 3
6
5 5 2 1 5 2
6
3 3 2 1 3 1
       
Kita ringkas distribusi Y pada tabel sebagai berikut:
y 3 5 7 9 11 13
gy
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Distribusi X dan 2X + 1 diilustrasikan di bawah ini:

4. Pada contoh 10.1, kita telah menghitung distribusi (yaitu, fungsi padat peluang) dari
peubah acak Y = φ(X) yang ditransformasikan, di mana φ(x) = x2. Transformasi ini tidak
meningkat atau menurun (yaitu, monoton) di ruang RX dari peubah acak X. Oleh karena itu,
distribusi Y berubah menjadi sangat berbeda dari X. Pada contoh 10.2, bentuk distribusi
transformasi peubah acak Y = φ(x), di mana φ(x) = 2x + 1, pada dasarnya sama. Hal ini
terutama disebabkan oleh fakta bahwa φ(x) = 2x + 1 adalah monoton di RX.
Dalam bab ini, kita akan memeriksa fungsi padat peluang dari peubah acak yang
ditransformasikan dengan mengetahui fungsi kepadatan peubah acak yang asli. Ada beberapa
metode untuk menemukan fungsi kepadatan peluang dari peubah acak yang
ditransformasikan. Beberapa metode ini adalah : (1) metode fungsi distribusi, (2) metode
transformasi, (3) metode konvolusi, dan (4) metode fungsi pembangkit momen.
Di antara empat metode tersebut, metode transformasi adalah yang paling berguna.
Metode konvolusi adalah kasus khusus dari metode ini. Metode transformasi diturunkan
dengan menggunakan metode fungsi distribusi.
10.1. Metode Fungsi Distribusi
Kita telah melihat di BAB-6 bahwa suatu metode yang mudah untuk menemukan
fungsi padat peluang dari transformasi peubah acak kontinu adalah untuk menentukan fungsi
distribusinya dan kemudian fungsi kepadatan tersebut ditentukan dengan diferensiasi.
Contoh 10.3.
Sebuah kotak akan dibangun sehingga tingginya 4 inci dan alasnya adalah X inci. Jika X
memiliki distribusi normal standar, tentukan distribusi volume kotak tersebut?
Penyelesaian:
Volume kotak adalah suatu peuah acak, karena X adalah suatu peubah acak. Peubah acak V
diberikan oleh V = 4X2. Untuk menemukan fungsi kepadatan V, pertama-tama kita tentukan
bentuk fungsi distribusi G(v) dari V dan kemudian kita turunkan G(v) untuk menemukan
fungsi kepadatan V. Fungsi distribusi V diberikan oleh:
퐺(푣) = 푃(푉 ≤ 푣)
= 푃(4푋2 ≤ 푣)
= 푃(− 1
2 √푣 ≤ 푋 ≤ 1
2 √푣)
= ∫ 1
√2휋
푒−
1
2
푥2
푑푥
1
2
√푣
−
1
2
√푣
= 2 ∫ 1
√2휋
1
2
푒−
푥2
푑푥
1
2
√푣
0
(ketika integran sama)

5. Oleh karena itu, dengan Teorema Dasar Kalkulus, kita peroleh
푔(푣) = 푑퐺 (푣)
푑푣
= 푑
푑푣
(2 ∫
1
√2휋
푒−
1
2
푥2
푑푥
1
2
√푣
0
)
= 2 1
√2휋
1
2
푒−
(1
2
2
(1
√푣 )
2
) 푑 √푣
푑푣
= 1
√2휋
1
8
푒−
푣 1
2√푣
= 1
Γ(
1
2
)√8
푣
1
2
−1푒−
1
8
푣
= 푉 ∼ 퐺퐴푀 (8, 1
2
)
Contoh 10.4
Jika fungsi kepadatan 푋 didefinisikan oleh
푓(푥) = {
1
2
, 푢푛푡푢푘 − 1 < 푥 < 1
0, 푢푛푡푢푘 푏푎푡푎푠 푥 푦푎푛푔 푙푎푖푛
Tentukan fungsi padat peluang 푌 = 푋2
Penyelesaian:
Pertama, kita temukan fungsi distribusi komulatif 푌 dan differensiasi, kita peroleh fungsi
kepadatan 푌. Fungsi distribusi 퐺(푦) dari 푌 diberikan dengan
퐺(푦) = 푃(푌 ≤ 푦)
= 푃(푋2 ≤ 푦)
= 푃(−√푦 ≤ 푋 ≤ √푦)
= ∫
√푦
1
푑푥 −√푦
2
= √푦
Dengan demikian, fungsi kepadatan 푌 diberikan oleh
푔(푦) = 푑퐺 (푦)
푑푦
= 푑 √푦
푑푦
= 1
2√푦
, 푢푛푡푢푘 0 < 푦 < 1

6. 10.2 Metode Transformasi untuk Kasus Univariat
Teorema berikut adalah penopang metode transformasi.
Teorema 10.1.
Misalkan 푋 merupakan suatu peubah acak kontinu dengan fungsi padat peluang 푓(푥).
Misalkan 푦 = 푇(푥) merupakan fungsi naik atau fungsi turun, maka fungsi kepadatan dari
peubah acak 푌 = 푇(푥) diberikan oleh
푑푥
푑푦
푔(푦) = |
| 푓(푊(푦))
dimana 푥 = 푊(푦) adalah fungsi invers dari 푇(푥)
Bukti:
Duga bahwa 푦 = 푇(푥) merupakan suatu fungsi naik. Fungsi distribusi 퐺(푦) dari 푌 diberikan
oleh
퐺(푦) = 푃(푌 ≤ 푦)
= 푃(푇(푋) ≤ 푦)
= 푃(푋 ≤ 푊(푦))
= ∫ 푓(푥)푑푥 푊(푦)
−∞
maka, dengan mendifferensiasikannya kita peroleh fungsi kepadatan 푌, yaitu
푔(푦) = 푑퐺 (푦)
푑푦
= 푑
푑푦
(∫ 푓(푥)푑푥 푊(푦)
−∞
)
= 푓(푊(푦)) 푑푊 (푦)
푑푦
= 푓(푊(푦)) 푑푥
푑푦
, ketika 푥 = 푊(푦)
Dalam hal yang lain, jika 푦 = 푇(푥) adalah fungsi turun, maka fungsi distribusi 푌 diberikan
oleh
퐺(푦) = 푃(푌 ≤ 푦)
= 푃(푇(푋) ≤ 푦)
= 푃(푋 ≥ 푊(푦)), ketika 푇(푥) menurun
= 1 − 푃(푋 ≤ 푊(푦))
= 1 − ∫ 푓(푥)푑푥 푊(푦)
−∞
Seperti sebelumnya, dengan mendifferensiasikannya kita peroleh fungsi kepadatan 푌, yaitu
푔(푦) = 푑퐺 (푦)
푑푦
= 푑
푑푦
(1 − ∫ 푓(푥)푑푥 푊(푦)
−∞
)
= −푓(푊(푦)) 푑푊(푦 )
푑푦
= −푓(푊(푦)) 푑푥
푑푦
, ketika 푥 = 푊(푦)

7. Dengan demikian, dengan menggabungkan kedua kasus tersebut, kita peroleh
푑푥
푑푦
푔(푦) = |
| 푓(푊(푦))
Contoh 10.5.
Misalkan 푍 = 푋−휇
휎
. Jika 푋~푁(휇, 휎 2), maka tentukan fungsi padat peluang 푍
Penyelesaian:
푧 = 푈(푥) =
푥 − 휇
휎
Oleh karena itu, invers U diberikan dengan
푊(푧) = 푥
= 휎푧 + 휇
Dengan demikian
푑푥
푑푧
= 휎
Oleh karena itu, dengan Teorema 10.1, kepadatan Z diberikan dengan
푔(푧) = |푑푥
푑푧
| 푓(푊(푦))
= 휎 1
1
2
√2휋 휎2 푒−
(푤(푧)−휇
휎
)
2
= 1
√2휋
1
2
푒−
(푧휎+휇−휇
휎
2
)
= 1
√2휋
1
2
푒−
푧2
Contoh 10.6.
Misalkan 푍 = 푋−휇
휎
. Jika 푋~푁(휇, 휎 2), maka tunjukkan bahwa 푍2 adalah chi-kuadrat dengan
satu derajat kebebasan, yaitu 푍2~푋2(1).
Penyelesaian:
푦 = 푇(푥) = (푥−휇
휎
)
2
푥 = 휇 + 휎√푦
푊(푦) = 휇 + 휎√푦, 푦 > 0
푑푥
푑푦
= 휎
2√푦
Kepadatan Y adalah:
푔(푦) = |푑푥
푑푦
| 푓(푊(푦))
= 휎 1
2√푦
푓(푊(푦))

8. = 휎 1
2√푦
1
√2휋 휎2 푒−
1
2
(푊(푦) −휇
휎
2
)
= 1
2√2휋푦
푒
−
1
2
√푦휎+휇−휇
(
휎
2
)
= 1
2√2휋푦
푒−
1
2
푦
= 1
2√휋 √2
푦−
1
2 푒−
1
2
푦
= 1
2Γ (1
2
)√2
1
2 푒−
푦−
1
2
푦
Dengan demikian 푌~푋2(1)
Contoh 10.7.
Misalkan 푌 = − ln 푋. Jika 푋~푈푁퐼퐹(0,1), maka tentukan fungsi kepadatan Y ketika tidak-nol.
Penyelesaian:
Diberikan 푦 = 푇(푥) = − ln 푥
Dengan demikian, invers dari 푦 = 푇(푥) diberikan oleh
푊(푦) = 푥
= 푒−푦
Maka
푑푥
푑푦
= −푒−푦
Dengan demikian, berdasarkan Teorema 10.1, kepadatan peluang dari Y diberikan oleh:
푑푥
푑푦
푔(푦) = |
| 푓(푊(푦))
= 푒−푦 푓(푊(푦))
= 푒−푦
Kemudian 푌~퐸푋푃(1), dengan demikian, jika 푋~푈푁퐼퐹(0,1), maka peubah acak
− ln 푋 ~퐸푋푃(1).
Meskipun semua contoh pada sesi ini terkait dengan peubah acak yang kontinu, metode
transformasi juga bekerja untuk variabel random yang diskrit.