Soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat nasional 2016 (hari pertama)

1. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.blogspot.co.id/ 1
Pembahasan Soal Hari Pertama
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2016
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
HARI PERTAMA
1. Tentukan semua bilangan real yang memenuhi persamaan
(1 + x2
+ x4
+ .... + x2014
)(x2016
+ 1) = 2016x2015
.
Pembahasan: x = 1
Diketahui (1 + x2
+ x4
+ .... + x2012
+ x2014
)(x2016
+ 1) = 2016x2015
Kemudian mencari pola penyelesaiannya, yakni sebagai berikut:
(1 + x2
+ x4
+ .... + x2012
+ x2014
)(x2016
+ 1) = 2016x2015
Ruas kiri dan kanan dikalikan 2015
1
x
, didapat:
(1 + x2
+ x4
+ .... + x2012
+ x2014
)(x2016
+ 1) 





2015
1
x
= 2016x2015






2015
1
x
(1 + x2
+ x4
+ .... + x2012
+ x2014
) 





 2015
1
x
x = 2016
(x + x3
+ x5
+ .... + x2013
+ x2015
) + 






xxxxx
11
....
111
3201120132015
= 2016







x
x
1
+ 





 3
3 1
x
x + 





 5
5 1
x
x + .... + 





 2013
2013 1
x
x + 





 2015
2015 1
x
x = 2016
Perhatikan persamaan aljabar di atas, terlihat jelas bahwa persamaan tersebut akan terpenuhi jika
dan hanya jika terjadi
x
x
1
 , 3
3 1
x
x  , 5
5 1
x
x  , .... , 2013
2013 1
x
x  , 2015
2015 1
x
x 
Dengan demikian didapat
x
x
1
  x2
= 1
 x = ± 1,
Akan tetapi untuk nilai x < 0 pada persamaan awal mengakibatkan ruas kiri bernilai positif dan
ruas kanan bernilai negatif, sehingga nilai x yang memenuhi hanyalah x > 0, yaitu x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi dari persamaan (1 + x2
+ x4
+ .... + x2014
)(x2016
+ 1) = 2016x2015
adalah x = 1

2. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.blogspot.co.id/ 2
2. Misalkan A adalah suatu bilangan bulat dan
A = 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... +
  
angka40
2016....20162016
Tentukan tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan.
Pembahasan: 2.402.230
Penjumlahan dari 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... +
  
angka40
2016....20162016
Sama seperti penjumlahan bersusun berikut:
.... Sebanyak 1 angka .... 2
.... Sebanyak 2 angka .... 2 0
.... Sebanyak 3 angka .... 2 0 1
.... Sebanyak 4 angka .... 2 0 1 6
.... Sebanyak 5 angka .... 2 0 1 6 2
.... Sebanyak 6 angka .... 2 0 1 6 2 0
.... Sebanyak 7 angka .... 2 0 1 6 2 0 1
.... Sebanyak 8 angka .... 2 0 1 6 2 0 1 6
.... Sebanyak 9 angka .... .... 0 1 6 2 0 1 6 2
.... Sebanyak 10 angka .... .... 1 6 2 0 1 6 2 0
.... Sebanyak 11 angka .... .... 6 2 0 1 6 2 0 1
.... Sebanyak 12 angka .... .... 2 0 1 6 2 0 1 6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... Sebanyak 37 angka .... .... 0 1 6 2 0 1 6 2
.... Sebanyak 38 angka .... .... 1 6 2 0 1 6 2 0
.... Sebanyak 39 angka .... .... 6 2 0 1 6 2 0 1
.... Sebanyak 40 angka .... .... 2 0 1 6 2 0 1 6
.... jutaan ratusan ribu puluham ribu ribuan ratusan puluhan satuan
.... 74 75 81 83 83 84 90
Setelah dijumlahkan berurut, maka angka-angkanya menjadi seperti berikut:
.... 2 4 0 2 2 3 0
Jadi, tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan
satuan adalah 2.402.230
9 × 10 = 90
9 × 10 – 6 = 84
9 × 10 – 7(1+6) = 83
9 × 10 – 7(0+1+ 6) = 83
9 × 10 – 9(2+0+1+6) = 81
9 × 10 – 15(6+2+0+1+6) = 75
9 × 10 – 16(1+6+2+0+1+6) = 74
angka2016sebanyak10kali
danjumlahdariangka-anganya
adalah2+0+1+6=9

3. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.blogspot.co.id/ 3
3. Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama dengan CQ,
BAP = CAQ dan APB lancip.
Apakah segitiga ABC sama kaki? Tulis alasan Anda.
Pembahasan: iya
Diketahui Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama
dengan CQ, BAP = CAQ
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Berdasarkan ilustrasi gambar a), b), dan c), maka gambar yang sesuai berdasarkan kondisi soal
adalah pada gambar c) yaitu bahwa APB lancip.
Kemudian, perhatikan ilustrasi gambar berikut
Diketahui panjang BP = CQ dan BAP = CAQ, maka besar BPA = CQA.
Sehingga segitiga BAP kongruen dengan segitiga CAQ.
Hal ini berakibat, bahwa besar ABP = ACQ atau dapat ditulis besar ABC = ACB
Dengan demikian, segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan kaki-kaki sudutnya
terletak pada titik B dan C
Jadi, benar bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama kaki
4. Ayu akan membuka koper tetapi dia lupa kuncinya. Kode koper tersebut terdiri dari Sembilan
angka yakni empat angka 0 (nol) dan lima angka 1. Ayu ingat bahwa tidak ada empat angka
sama yang berurutan.
Berapa banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka?
Pembahasan: ada 99 kode
A
B C
t
Q D P
**
(c)
Panjang BP > BD dan panjang
CQ > CD, maka berturut-turut
besar APB dan  AQC lancip
A
B C
t
P,D,Q
(b)
Panjang BP = BD =CQ, maka besar
APB =  AQC = 90
A
B C
t
P D Q
(a)
Panjang BP < BD dan panjang
CQ < CD, maka berturut-turut
besar APB dan  AQC tumpul
A
B C
t
Q D P

4. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.blogspot.co.id/ 4
Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1, permasalahan ini
merupakan permasalahan permutasi berulang tanpa syarat.
misalkan q1 = munculnya huruf 1, yaitu q1 = 5
q2 = munculnya huruf 0, yaitu q2 = 4
sehingga
kqqq
n
P


....!!
!
21

!!
!9
21 qq
P



!4!5
!9

P
 P = 9 × 2 × 7
 P = 126
Akan tetapi, ada syaratnya yakni “bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan”
Ada tiga kemungkinan yang terdapat empat angka sama yang berurutan, yaitu
1) Lima angka 1 berurutan
111110000
011111000
001111100 ada 1
2) Empat angka 1 berurutan
111100001
111100010
111100100
111101000
011110001
011110010
011110100
001111001
001111010
000111101
Atau banyak cara empat angka 1 seperti halnya menempatkan empat angka 1 dan satu angka
satu dari lima angka 1 yang ada di antara angka 0, yaitu sebanyak 5P2 = 20
3) Empat angka 0 berurutan selain yang terdapat pada kemungkinan 1) dan 2)
111000011 ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 2
Sehingga, banyak empat angka sama yang berurutan ada sebanyak 5 + 20 + 2 = 27
Dengan demikian, Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1
dengan syarat bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan sebanyak 126 – 27 = 99
Jadi, banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka
adalah ada 99 kode
5. Fulan memelihara 100 kalkun dengan bobot kalkun ke- i adalah xi untuk i  {1, 2, 3, .... , 100}.
Bobot kalkun ke-i dalam gram diasumsikan mengikuti fungsi xi(t) = Sit + 200 – i dengan t
menyatakan waktu dalam satuan hari dan Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika
dengan suku pertama adalah bilangan positif a dengan beda b =
5
1
. Diketahui rata-rata data
bobot seratus kalkun tersebut pada saat t = a adalah 150,5 gram.
Hitunglah median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari.
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 4 ada sebanyak 5
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 20

5. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.blogspot.co.id/ 5
Pembahasan: 349,5 gram
Diketahui fungsi xi(t) = Sit + 200 – i
Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika
S1 = a, b =
5
1
dan
100
)( axi
= 150,5 gram
Karena S1 = a dan b =
5
1
, maka S2 = S1 + 1(
5
1
) atau S2 = a +
5
1
Kemudian mencari x1(a), yaitu x1(a) = (a)a + 200 – 1
x1(a) = a2
+ 199
x2(a), yaitu x2(a) = (a +
5
1
)a + 200 – 2
x2(a) = a2
+
5
a
+ 198
beda dari bobot perkalkun: x2(a) – x1(a) =
5
a
– 1
sehingga  )(100 ax =
2
100
[2(a2
+ 199) + (100 – 1)(
5
a
– 1)]
= 50(2a2
+ 398 +
5
99a
– 99)
= 50(2a2
+
5
99a
+ 299)
 )(100 ax = 100a2
+ 990a + 14950
Dengan demikian,
100
)( axi
= 150,5  100a2
+ 990a + 14950 = 15050
 100a2
+ 990a – 100 = 0
 (10a – 1)(10a + 100) = 0
a =
10
1
atau a = –10
nilai a yang memenuhi adalah a =
10
1
Sehingga mediannya
2
)20()20( 5150 xx 
=
2
5120020
5
50
5020020
5
49
























 aa
=
2
14920
5
50
10
1
15020
5
49
10
1

























=
2
14920021501962 
=
2
699
= 349,5
Jadi, median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari adalah 349,5 gram
Dibahas oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/