Matematika SMA

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1

DEFINISI

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap harganya .
Titik yang tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran , dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari
lingkaran.

A . PERSAMAAN LINGKARAN

A . 1 . Pusat Titik O ( 0 , 0 ) dan Jari-jari r A . 2 . Pusat Titik P (  ,  ) dan Jari-jari r

y y

r  P(,
x )

O O
(
x

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
O ( 0 , 0 ) dan jari-jari r , adalah : Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
P (  ,  ) dan berjari-jari r adalah :
x2  y2  r 2
2 2 2
( x  ) ( y ) r

A.3 . Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

2  y2  A x  B y  C  0
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah : x O ,
1 1
dengan pusat di titik : (  A ,  B ) , dan jari-jarinya adalah : r  1 2 1 2
A  B C
2 2 4 4

1
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com


1 . Tentukan persamaan dengan syarat : CONTOH
a . Berpusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 5 satuan .
b. Berpusat di titik ( 6 , −2 ) dan jari-jari 3

2 . Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :
a. x 2  ( y  9 ) 2  24
b. x2  y2  8 x  4 y  5  0

JAWAB

1. a . Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 5 adalah : x 2  y 2  25
b. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( 6 , 2 ) dan berjari-jari 3 adalah :
( x  6 )  (y  2 )  3
2 2

2. a . Lingkaran dengan persamaan x 2  ( y  9 ) 2  24
berpusat di titik ( 0 , -9 ) dan jari-jari = 2 6 .
b. Lingkaran dengan persamaan : x 2  y 2  8 x  4 y  5  0
1 1
berpusat di (  8 ,  (4) )  (  4 , 2 ) .
2 2
1 2 1
Panjang jari-jarinya = 8  (4) 2  (5 )  16  4  5  25  5
4 4

B . POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN

Diketahui lingkaran L ≡ f ( x , y )  r 2 dan titik A( a , b ).
Ada tiga kemungkinan posisi titik A ( a , b ) terhadap lingkaran L ≡ f ( x , y )  r 2 , yaitu :

Titik A ( a , b ) terletak di dalam lingkaran L , Titik A ( a , b ) terletak di luar lingkaran L ,
jika : f (a,b)  r 2
jika : f ( a , b )  r 2

Titik terletak pada lingkaran L
, jika : Info :

Jarak Titik Terhadap Garis

Jarak titik P ( m , n ) terhadap
garis A x + B y + C = 0 , adalah :

P(m,n )

Ax+By+C=
0

2


1 . Tentukan posisi dari : CONTOH
a . titik ( 3 , 4 ) terhadap lingkaran x 2  y 2  49
b . titik ( 0 , 2 ) terhadap lingkaran ( x  9 ) 2  ( y  5 ) 2  90
c . titik ( 7 , − 9 ) terhadap lingkaran x 2  y 2  6 x  10 y  2  0

2 . Tentukan persamaan lingkaran :
a . pusat di titik ( 7 , − 9 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9.
b . melalui titik ( 3 , −2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ).

JAWAB

1. a . Titik ( 3 , 4 ) terletak di dalam lingkaran x 2  y 2  49 , karena : 32  4 2  25  49
b . Titik ( 0 , 2 ) terletak pada lingkaran ( x  9 ) 2  ( y  5 ) 2  90 ,
karena : ( 0  9 ) 2  (2  5 ) 2  81  9  90
c . Titik ( 7 , -9 ) terletak di luar lingkaran x 2  y 2  6 x  10 y  2  0 , karena :
7 2  (9 ) 2  6 . 7  10 . (9 )  2  49  81  42  90  2  176  0

2 . a . Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,
dapat ditentukan dengan cara sbb :
Tentukan jari-jari lingkaran tersebut, dengan cara menentukan jarak titik ( −6 , 2 ) terhadap
garis −4x + y – 9 = 0 , sbb :

 4 .  6  2  9 17
rJ   17
 4 2
1 2 17
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,
adalah :  x  6    y  2   17 .
2 2

b . Persamaan lingkaran yang melalui titik ( 3 , − 2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ) , dapat ditentukan
dengan cara sbb :
Bentuk umum persamaan lingkaran : x 2  y 2  Ax  By  C  0
Melalui ( 3 , −2 ) diperoleh : 32   22  A.3  B. 2  C  0
 3 A  2B  C  13 …………. 1)
Melalui ( 6 , 3 ) diperoleh : 6 2  32  A.6  B.3  C  0
 6 A  3B  C  45 …………. 2)
Melalui ( 4 , −6 ) diperoleh : 4   6  A.4  B. 6  C  0
2 2

 4 A  6B  C  52 …………. 3)
Persamaan 1) , 2) , dan 3) jika diselesaikan diperoleh : A = −19 , B = 5 , C = 54 .
Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah : x 2  y 2  19 x  5 y  54  0

1. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :
a. x 2  y 2  54 d. ( x  1 ) 2  y 2  32
b. ( x  12 ) 2  ( y  1 ) 2  121 e. x 2  ( y  16 ) 2  72
c. ( x  8 ) 2  ( y  22 ) 2  64 f. x 2  y 2  8 x  14 y  49  0

3


g. 4 x 2  4 y 2  32 x  12 y  65  0 k. x 2  y 2  20 x  12 y  55  0
h. x 2  y 2  10 x  6 y  2  0 l. x 2  y 2  28 x  24 y  336  0
i. x 2  y 2  4 x  16 y  56  0 m. x 2  y 2  14 x  39  0
j. x 2  y 2  22 x  8 y  109  0 n. 16 x 2  16 y 2  48 x  24 y  107  0

2. Tentukan persamaan lingkaran berikut :
a. pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 3 7
b. pusat di titik ( 14 , 9 ) dan jari-jari 13
c. pusat di titik ( 8 , 6 ) dan menyinggung sumbu x.
d. pusat di titik ( 5 , 10 ) dan menyinggung sumbu y.
e. pusat di titik ( 2 , 6 ) dan menyinggung garis x − 7 y = 8
f. melalui titik ( 2 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , dan ( 4 , 1 ).

3. Diketahui lingkaran x 2  y 2  169 .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 2 , 5 ) b. ( 12 , 5 ) c. ( 15 , 20 )

4. Diketahui lingkaran ( x  3 ) 2  ( y  8 ) 2  170 .
a. ( 8 , 1 ) b. ( 4 , 6 ) c. ( 5 , 7 )

5. Diketahui lingkaran x 2  y 2  12 x  8 y  96  0 .
a. ( 5 , 12 ) b. ( 9 , 2 ) c. ( 4 , 16 )

6. Tentukan persamaan lingkaran berikut :
a. berpusat di titik ( 9 , 6 ) dan melalui titik ( 2 , 1 )
b. berpusat di titik ( 2 , 3 ) dan menyinggung lingkaran ( x  5 ) 2  ( y  7 ) 2  49

C . GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran :

1 . Garis tidak 2 . Garis menyinggung 3 . Garis memotong
memotong lingkaran. lingkaran lingkaran di dua titik.

C. 1. Garis Singgung Bergradien m.

Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran x 2  y 2  r 2 ,
adalah :
y  m x  r m2  1

4


Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran ( x   ) 2  ( y   ) 2  r 2 , adalah :

y    m ( x   )  r m2  1

Tentukan persamaan garis singgung : CONTOH
1 . pada lingkaran x 2  y 2  9 dengan gradien
−2.
2 . pada lingkaran ( x  2 )2  ( y  6 )2  36
dengan gradien 3 .
3 . pada lingkaran x 2  y 2  40 x  300  0
2
dengan gradien .
3

JAWAB
Info :
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran
Garis singgung pada
x 2  y 2  9 yang bergradien 2 adalah :
lingkaran tegaklurus pada
y  m x  r m2  1 jari-jari yang melalui titik
singgungnya.
 y  (2 ) x  3 (2 ) 2  1
 y  2 x  3 5 atau y   2 x  3 5

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran
( x  2 )2  ( y  6 )2  36 yang bergradien 3
adalah :

y 6 5( x2)  6  3 2
 1  y  6  5 ( x  2 )  12
 y  5 x  10  12  6

 y  5 x  28 atau y 5x  4
2
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  40 x  300  0 yang bergradien adalah :
3
1 1
Pusat lingkaran adalah ( 20 , 0 ) dan jari-jari = 400  0  300  100  10
4 4
2
2 2 
y  ( x  20 )  10    1 Info :
3 3 
2 40 4 1 Jika diketahui dua buah garis g
 y  x  10
3 3 9 dan l , dengan persamaan garis :
2 40 10 g ≡ y = m1 x + C1 , dan
 y  x  5
3 3 3 l ≡ y = m2 x + C2 , maka :
2 40 10 1. Garis g sejajar l , jika :
 y  x  5 atau
3 3 3 m1 = m2
2 40 10 2. Garis g tegaklurus l , jika :
y  x  5 m1 × m2 = −1
3 3 3

5


Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1. x 2  y 2  196 , m = 4 6. ( x  6 ) 2  ( y  7 ) 2  50 , m = 2
2. x 2  y 2  44 , m = 11 7. x 2  y 2  10 x  6 y  15  0 ,m= 15
1 8. x 2  y 2  12 x  16 y  0 dengan m= 7
3. x 2  y 2  16 , m = 
2 9. ( x  4 ) 2  ( y  14 ) 2  196 yang sejajar
4. ( x  16 ) 2  ( y  4 ) 2  49 ,m = 3 dengan garis 2 x  y  8

5. ( x  2 ) 2  ( y  1 ) 2  81 , m =
1 10. x 2  y 2  9 dan tegak lurus terhadap
4 garis x  3 y  27

C.2. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1 , y 1 )
Pada Lingkaran .
Info :
Persamaan garis singgung yang melalui titik ( x , y )
1 1

pada lingkaran x 2  y 2  r 2 , adalah : Kaidah Membagi Adil :
Digunakan untuk menentukan
persamaan garis singgung pada
x1. x  y1. y  r 2 lingkaran yang melalui titik
( x1 , y1 ). Penerapannya dengan
cara mengubah variabel pada
Persamaan garis singgung persamaan lingkaran dengan
(x,y )
1 1 yang melalui titik (x , y ) aturan sbb :
1 1
pada lingkaran x 2 diubah menjadi x1 x
y 2 diubah menjadi y1 y
( x   )2  ( y   )2  r 2
( x − A ) 2 diubah menjadi
,adalah :
(x1 − A ) ( x − A )
(y−B) 2 diubah menjadi
( x1   ) ( x   )  ( y1   ) ( y   )  r 2 (y1 − B ) ( y − B )
x diubah menjadi ½ ( x1 + x )
y diubah menjadi ½ ( y1 + y )
Persamaan garis singgung yang melalui titik (x , y )
1 1

pada lingkaran x 2  y 2  A x  B y  C  0 , adalah :

1 1
x1 . x  y1 . y  A ( x  x1 )  B ( y  y1 )  C  0
2 2

CONTOH
1 . x 2  y 2  90 , di titik ( 9 , 3 )
2 . ( x  4 ) 2  ( y  18 ) 2  68 di titik ( 12 , 16 )
3. x2  y 2  14 x  2 y  42  0 di titik ( 5 , 3 )

6


JAWAB

1. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  90 , di titik ( 9 , 3 ) , adalah :
x1. x  y1. y  90   9 x  3 y  90
 (9 ) x  3 y  90  3 x  y   30

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x  4 ) 2  ( y  18 ) 2  68 di titik ( 12 , 16 ) , adalah :
( x1   ) ( x   )  ( y1   ) ( y   )  68  8 x  32  2 y  36  68
(12  4 ) ( x  4 )  (16  18 ) ( y  18 )  68  8 x  2 y  64
 8 ( x  4 )  2 ( y  18 )  68  4 x  y  32
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  14 x  2 y  42  0 di titik ( 5 , 3 ) , adalah :
1 1
(5 ) x  3 y  14 ( x  5)  2 ( y  3 )  42  0
2 2
  5 x  3 y  7 ( x  5)  ( y  3 )  42  0
 5 x  3 y  7 x  35  y  3  42  0
 2 x  2y   4

C.3. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1 , y 1 ) di Luar Lingkaran

Jika titik ( x , y ) terletak di luar lingkaran, persamaan garis singgung
1 1
yang melalui titik tersebut dapat ditentukan dengan cara sbb : (x,y )
1 1

Tentukan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik
( x , y ) , yaitu : y  m ( x  x1 )  y1
1 1

Untuk menentukan nilai gradien m dari garis tersebut dapat
dilakukan dengan dua macam cara, yaitu :

CARA 1 :
Potongkan persamaan garis dengan
lingkaran , kemudian bentuklah persamaan
Info : kuadrat dengan variabel x .
Tentukan nilai m dengan
menentukan nilai D = b 2  4 a c = 0
Persamaan Garis Lurus
CARA 2 :
1 . Melalui titik dan bergradien m : Titik ( x , y ) disubstitusikan ke
1 1
dalam persamaan garis singgung pada lingkaran
dengan gradien m .
2 . Melalui titik dan :
Nilai m yang diperoleh disubstitusikan
ke persamaan garis pada langkah pertama untuk
memperoleh persamaan garis singgung yang
dimaksud .

CONTOH

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  25 yang melalui titik ( 11 , 2 )

7


JAWAB

Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  25 yang melalui titik ( 11 , 2 )
Persamaan garis melalui ( 11 , 2 ) dan bergradien m , adalah : y  2  m ( x  11 )  y  m x  11m  2

Menentukan nilai gradien :
CARA 1 :
Dipotongkan dengan lingkaran x 2  y 2  25 , diperoleh :
x 2  ( m x  11 m  2 ) 2  25  ( m 2  1 ) x 2  ( 22 m 2  4 m ) x  121 m 2  44 m  21  0
Syarat D = b 2  4 a c = 0

( 22 m 2  4 m ) 2  4 ( m 2  1 ) ( 121 m 2  44 m  21 )  0  96 m 2  44 m  21  0
 44  10000  44  100
m 
192 192
44  100 56 7 44  100 144 3
m   atau m     
192 192 24 192 192 4
7 3
Diperoleh : m  atau m
24 4

CARA 2 :
Untuk menentukan nilai m, titik ( 11 , −2 ) disubstitusikan pada persamaan garis singgung bergradien
m pada lingkaran x 2  y 2  25 yaitu : y  m x  5 m 2  1
Sehingga diperoleh :

 2  11 m  5 m 2  1  4  44 m  121 m 2  25 m 2  25
 96 m 2  44 m  21  0
  2  11 m   5 m 2  1
7 3
 (  2  11 m ) 2  25 ( m 2  1 ) m atau m  .
24 4

Substitusikan nilai m yang diperoleh ke dalam persamaan y  m x  11m  2
7 7 125
Untuk m diperoleh garis singgung y x
24 24 24
3 3 25
Untuk m   diperoleh garis singgung y x
4 4 4


1. x 2  y 2  65 di titik ( 7 , 4 )

2. ( x  6 ) 2  ( y  10 ) 2  73 di titik ( 2 , 7 )

3. ( x  8 ) 2  ( y  2 ) 2  20 di titik ( 6 , 2 )

4. ( x  11 ) 2  ( y  7 ) 2  18 di titik ( 9 , 4 )

5. ( x  5 ) 2  ( y  4 ) 2  32 di titik ( 1 , 8 )

8


6. x 2  y 2  6 x  18 y  50  0 di titik ( 3 , 11 )

7. x 2  y 2  4 x  12 y  76  0 di titik ( 8 , 2 )

8. x 2  y 2  24 x  32 y  26  0 di titik ( 8 , 20 )

9. x 2  y 2  169 melalui titik ( 7 , 17 )

10. x 2  y 2  80 melalui titik ( 10 , 0 )

9

Matematika SMA

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Matematika SMA

Ähnlich wie Matematika SMA (20)

Matematika SMA