557907062-Examen-de-Bio.pdf

Ing. Freddy Burgos Robalino
UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
Bioestadística
FUNDAMENTOS DE BIOESTADÍSTICA
Definiciones e Ideas Básicas
1
SEMANA 1

Estadística
• La estadística deriva su nombre
del hecho de haber sido aplicada
en primer lugar a la recolecciòn de
datos que permitieran la
administración de los estados, con
propósitos militares e impositivos.
2

Estadística
• La estadística es una ciencia y una
rama de las matemáticas a través
de la cual se recolecta, analiza,
describe y estudia una serie de
datos a fin de establecer
comparaciones o variabilidades que
permitan comprender un fenómeno
en particular.
• La estadística se vale, en gran
medida, de la observación para la
recolección de datos que
posteriormente serán analizados y
comparados a fin de obtener un
resultado.
3

Estadística
• La Estadística estudia los métodos y procedimientos para
recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los
datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sean
una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar
inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la
toma de decisiones y en su caso formular predicciones.
4

Transversalidad de la
Estadística
• Una de las características fundamentales de la estadística es
su transversalidad. Su metodología es aplicable al estudio de
diversas disciplinas tales como: biología, física, economía,
sociología, etc.
• La estadística ayuda a obtener conclusiones relevantes para el
estudio de todo tipo de agentes como: humanos, animales,
plantas, etc.
5

Ramas de la Estadística
Estadística
descriptiva
Se refiere a los métodos de
recolección,organización, resumen y
presentación de un conjunto de
datos.
Se trata principalmente de describir
las características fundamentales de
los datos y para ellos se suelen
utilizar indicadores, gráficos y
tablas.
Estadística
inferencial
Se trata de un paso más allá de la mera
descripción.
Se refiere a los métodos utilizados para
poder hacer predicciones,
generalizaciones y obtener conclusiones
a partir de los datos analizados teniendo
en cuenta el grado de incertidumbre
existente.
6

Diseño de Experimentos
• ¿Qué es un experimento?
• Es el cambio en las condiciones de operación de
un sistema o proceso, que se hace con el
objetivo de medir el efecto del cambio en una o
varias variables del producto. Ello nos permite
aumentar el conocimiento acerca del sistema o
del proceso.
• ¿Qué es un diseño de experimento?
• Es la planificación de un conjunto de pruebas
experimentales, de forma que los datos
generados puedan analizarse estadísticamente
para obtener conclusiones válidas y objetivas
acerca del problema establecido.
• Diseño de experimentos (DOE, Design of
Experiments) es el estudio simultáneo de varias
variables del proceso. Combinando varias
variables en un estudio en vez de estudiarlas por
separado.
7

Razones para realizar un experimento
Determinar las principales causas de la variación en una
respuesta medida.
Para encontrar las condiciones que dan lugar a un máximo
o mínimo de respuesta
8

Razones para realizar un experimento
Para comparar las respuestas logradas con diferentes
ajustes de variables controlables.
Para obtener un modelo matemático que permita predecir
respuestas futuras.
9

Estadística Descriptiva
• La estadística descriptiva es una disciplina que se encarga de recoger,
almacenar, ordenar, realizar tablas o gráficos y calcular parámetros básicos
sobre el conjunto de datos.
• La estadística descriptiva es la rama de las Matemáticas que recolecta,
presenta y caracteriza un conjunto de datos (por ejemplo, edad de una
población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los
meses de verano, etc.) con el fin de describir apropiadamente las diversas
características de ese conjunto.
10
La estadística descriptiva proporciona los métodos
para recabar información acerca de una determinada
población que se desea conocer o investigar con fines
específicos, entonces es importante obtener muestras
adecuadas que permitan inferir el comportamiento de
dicha población

Metodología
11
Selección y determinación de la muestra.
Obtención de los datos.
Clasificación y organización de los datos.
Análisis descriptivo de los datos.
Representación gráfica de los datos.
Contraste de hipótesis, si procede.
Conclusiones

Tablas y gráficos en la Estadística Descriptiva
12
Histogramas
Gráficos de Barras
Gráficos de Sectores
Tablas de probabilidad
Tablas bidimensionales
Gráficos de cajas

Inferencia Estadística
• La inferencia estadística es el
conjunto de métodos que
permiten inducir, a través de una
muestra estadística, el
comportamiento de una
determinada población.
• La inferencia estadística, estudia
entonces como, a través de la
aplicación de dichos métodos
sobre los datos de una muestra, se
pueden extraer conclusiones sobre
los parámetros de la población de
datos. De la misma manera
estudia también el grado de
fiabilidad de los resultados
extraídos del estudio.
13

Para entender el concepto es necesario
conocer:
Inferencia
Extraer juicios o
conclusiones a partir de
ciertos supuestos, sean
estos generales o
particulares.
Población
Una población de datos, es
el conjunto total de datos
que existen sobre un
variable.
Muestra estadística
Una muestra es una parte de la
población de datos.
14

Bioestadística
• La bioestadística es una disciplina científica que se encarga de
la aplicación del análisis estadístico a diferentes cuestiones vinculadas
a la biología, a las ciencias de la naturaleza, entre las que se
encuentran todas las ciencias de la salud. Puede decirse que la
bioestadística es un área o una especialización de la estadística, la
ciencia dedicada al estudio cuantitativo de todo tipo de variables.
• La Bioestadística envuelve el desarrollo y aplicación de técnicas
estadísticas a la investigación en campos relacionados a la salud
incluyendo medicina, epidemiología, salud pública y también en áreas de
estudios ambientales, investigación agrícola y biología.
15

Componente práctico
de la Bioestadística
Siendo una rama de la estadística, la
Bioestadística abarca diferentes aspectos
relacionados con el diseño de
experimentos, la recogida de datos, y el
análisis e interpretación de los mismos.
En la fase de diseño de una investigación,
la Bioestadística juega un papel
importante a la hora de determinar el
número de sujetos u observaciones que se
deben incluir en el estudio, cómo van a
seleccionarse los participantes y, si
procede, la forma en la que estos deben
ser asignados a los diferentes tratamientos
o condiciones que van a investigarse.
La Bioestadística proporciona las
herramientas de análisis necesarias para
describir y resumir los datos obtenidos y
representarlos gráficamente.
16

Componente teórico
de la Bioestadística
La Bioestadística tiene además un
componente teórico. En los últimos años
se ha producido un gran auge de la
investigación en Bioestadística, mediante
el desarrollo de nuevos métodos de
análisis específicamente orientados a la
resolución de problemas prácticos
relacionados con las ciencias de la vida.
Esto ha contribuido a mejorar la capacidad
de extraer inferencias válidas a partir de
los datos observados y avanzar así en una
investigación de calidad en estos campos.
17

Aplicaciones de la Bioestadística
• El campo de aplicación de la Bioestadística es muy extenso. Los
tratamientos médicos actuales se seleccionan en base a los resultados de
ensayos clínicos que son diseñados y analizados de acuerdo con
principios de la Bioestadística.
• En el campo de la medicina, el análisis bioestadístico de estudios
observacionales puede también ayudar a identificar factores de riesgo
relacionados con el desarrollo de diferentes enfermedades, o a
determinar la validez y fiabilidad de las pruebas utilizadas para el
diagnóstico de diversas patologías.
• La Bioestadística también se utiliza en la investigación de riesgos
medioambientales, y ha sido empleada en el campo de la agricultura
para mejorar los cultivos y la cría de animales.
18

Población
• Es el conjunto de todos los elementos o individuos cuyas
propiedades o características (variables de estudio) se
van a estudiar
• Una población es un conjunto de todos los elementos que
estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos
sacar conclusiones". Levin & Rubin (1996).
• "Una población es un conjunto de elementos que
presentan una característica común". Cadenas (1974).
19

Tipos de Población
POBLACIÓN
DIANA
Esta definida
por los
objetivos de
estudio
POBLACIÓN
FINITA
Cuando se
conoce el
tamaño de la
población
POBLACIÓN
INFINITA
Cuando no se
conoce el
tamaño de la
población

Muestra
• Es un subconjunto de casos o individuos de la población de
estudio; es el grupo de personas que realmente se estudiaran.
• Debe ser representativa de la población y para lograr esto se
tiene que tener bien definido los criterios de inclusión y
exclusión así como la realización de una buena técnica de
muestreo.
• Una muestra representativa indica que reúne
aproximadamente las características de la población que son
importantes para la investigación.
21

Porque y cuando calcular el tamaño de la
Muestra
¿Por qué calcular el tamaño de la
muestra?
• Una muestra puede
estudiarse con mayor rapidez
que una población.
• El estudio de una muestra es
menos costoso.
• Toma menos tiempo el
estudio a realizar.
• Los resultados son mas
precisos.
¿Cuándo calcular el tamaño de la
muestra?
• Cuando no se puede estudiar
toda la población
• Cuando se quieren estudiar
dos o mas grupos y
establecer diferencias.
• Cuando se quieren estimar
parámetros, prevalencia,
promedio, porcentajes y
tasas.

Muestreo
• El muestreo es el proceso
mediante el cual el investigador
podrá seleccionar a los pacientes
o a los sujetos de estudio a partir
de la muestra calculada
previamente.
• Es la técnica empleada para la
selección de elementos (unidades
de análisis o de investigación)
representativos de la población de
estudio que conformarán una
muestra y que será utilizada para
hacer inferencias (generalización)
a la población de estudio.

Tipos de Muestreo
• Probabilístico (Aleatorio)
• No probabilístico

Muestreo Probabilístico
• Su principal característica es que todos los sujetos de
la población de estudio tienen la misma probabilidad
de ser seleccionados para formar parte de la muestra.
Muestreo No Probabilístico
• En este tipo de muestreo hay uno o mas criterios de
selección por parte del investigador, para que uno o
mas sujetos pueda formar parte del estudio. No todos
los sujetos tienen la misma posibilidad para ser
elegidos.

Variables
• El término variable refiere a cosas que son
susceptibles de ser modificadas
(de variar), de cambiar en función de algún
motivo determinado o indeterminado.
Fuente: https://concepto.de/variable/#ixzz6RN4eKBMB
• En estadística, es una característica o
cualidad de un individuo que está
propensa a adquirir diferentes
valores. (Estos valores, se caracterizan por
poder medirse).
• Por ejemplo, el color de pelo, las notas de
un examen, el sexo o la estatura de una
persona, son variables estadísticas
26

Variables estadísticas
• Una variable estadística es el conjunto de valores que puede
tomar cierta característica de la población sobre la que se
realiza el estudio estadístico y sobre la que es posible su
medición.
• Las variables estadísticas son fundamentales para lograr
estudiar eventos y circunstancias que tienen a oscilar en
diferentes resultados o soluciones
27

Clasificación de las Variables Estadísticas
• Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
• Cualitativas: Serán
cualitativas aquellas que
expresen características o
cualidades diferentes;
• Cuantitativas: Serán
cuantitativas cuando
expresen argumentos
numéricos
Fuente: https://concepto.de/variable/#ixzz6RNUaF5GQ
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Bioestadística
FUNDAMENTOS DE BIOESTADÍSTICA
Definiciones e Ideas Básicas
29
SEMANA 2
Bioestadística

Variables
• El término variable refiere a cosas que son susceptibles
de ser modificadas (de variar), de cambiar en función de
algún motivo determinado o indeterminado.
Fuente: https://concepto.de/variable/#ixzz6RN4eKBMB
• En estadística, es una característica o cualidad de un
individuo que está propensa a adquirir diferentes
valores. (Estos valores, se caracterizan por poder
medirse).
• Por ejemplo, el color de pelo, las notas de un examen, el
sexo o la estatura de una persona, son variables
estadísticas
30

Variables estadísticas
• Una variable estadística es el conjunto de valores que puede tomar
cierta característica de la población sobre la que se realiza el estudio
estadístico y sobre la que es posible su medición.
• Las variables estadísticas son fundamentales para lograr estudiar
eventos y circunstancias que tienen a oscilar en diferentes resultados
o soluciones
31

Clasificación de las Variables Estadísticas
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
• Cualitativas: Serán cualitativas
aquellas que expresen
características o cualidades
diferentes;
• Cuantitativas: Serán
cuantitativas cuando expresen
argumentos numéricos
• Fuente: https://concepto.de/vari
able/#ixzz6RNUaF5GQ
32

Variables Cualitativas
• Son aquellas que expresan características, cualidades o atributos, y no
pueden ser medidas con números. Pueden ser ordinales o nominales.
• Ejemplos de Variables cualitativas:
• Red social preferida por los millenials.
• El color de ojos de los actores de una película.
• Posición en la que llega un corredor en la prueba de 100 metros
planos.
• El curso favorito de tus amigos.
• Series de Netflix más vistas en tu país.
• La tienda de ropa preferida por los habitantes de una ciudad.
33

Variables Cuantitativas
• Son aquellas que se expresan mediante un número, por tanto, se puede
realizar operaciones aritméticas con ellas. Puede ser discretas o continuas.
• Ejemplos de Variables cuantitativas:
• El peso de las vacas de una granja.
• Estatura de los habitantes de una ciudad.
• El número de hijos en una familia.
• Número de clientes atendidos en una tienda.
• Velocidad a la que avanza un tren.
• Número de personas que visitan el campus virtual de la UG en un día.
• Cantidad de goles anotados en un partido de fútbol.
34

Método Descriptivo
• El método descriptivo es uno de los métodos cualitativos que se
utilizan en investigaciones que tienen el objetivo de evaluar algunas
características de una población o situación particular.
• En la investigación descriptiva, el objetivo es describir el
comportamiento o estado de un número de variables. El método
descriptivo orienta al investigador en el método científico.
35

Características
• Suele atender a un método cualitativo
• Es un primer abordaje al objeto que
se esta estudiando y funciona como
un catalizador de nuevas
investigaciones
• Hace posible la consecución de
muchos datos sobre el objeto que se
estudia
• Implica una observación atenta y hay
un registro fiel de lo que se observa
• No implica generalizaciones ni
proyecciones
36

Escalas de Medición en Estadística
• Escalas de medición: son una
sucesión de medidas que permiten
organizar datos en orden
jerárquico.
• Las escalas de medición, pueden
ser clasificadas de acuerdo a una
degradación de las características
de las variables.
• Las escalas de medición ofrecen
información sobre la clasificación
de variables discretas o continuas,
también más conocidas como
escalas grandes o pequeñas.
37

Escalas de Medición en Estadística
• La medición es un proceso inherente y consustancial a toda investigación,
sea esta cualitativa y cuantitativa.
• Se mide principalmente variables considerando tres elementos básicos:
• La validez, consistencia y confiabilidad de los datos medidos dependen, en
buena parte, de la escala de medición que se adopte.
38
El instrumento de medición
La escala de medición
El sistema de unidades de medición

Nivel de Escala o medición
• La medición puede definirse como la asignación de numerales a
objetos o sucesos siguiendo ciertas reglas, Stevens (1946). El autor
de esta definición desarrolló un método para clasificar los diferentes
resultados de las mediciones en lo que llamó niveles de medición.
• Un nivel de medición es la escala que representa una jerarquía de
precisión dentro de la cual una variable puede evaluarse, en función
de las características que rigen las escalas.
39

Escalas de Medición
Variables Cualitativas o
Categóricas
Ordinal
Los datos pueden usarse para
jerarquizar u ordenar las
observaciones
Nominal
Los datos son etiquetas o
categorías que se usan para
definir un atributo de un
elemento
Variables Cuantitativas o
Numéricas
Intervalo
Los datos tienen las propiedades de
los datos ordinales, pero a su vez la
separación entre las variables tiene
sentido.
El valor cero no indica la ausencia de
la propiedad
Razón
Posee un cero absoluto (es
indispensable que exista) y
determina la igualdad de
relaciones o proporciones.
40

Por ejemplo, la variable estatura puede analizarse en
diferentes niveles de medida
• Un conjunto de personas pueden clasificarse en altos y bajos, A y B,
creando dos grupos. Para ello no es necesario recurrir a ninguna
cinta métrica, simplemente basta observar quienes destacan sobre
los demás (el grupo de altos) y el resto completarán el grupo de
bajos. El nivel de medición que corresponde a esta forma de medir
es nominal.
• También podrían alinearse a los sujetos y ordenarlos según
su altura, el primero sería el más alto y el último el más bajo,
de forma que cada persona tuviese delante a uno más alto y
detrás a uno más bajo. El nivel de medición en este caso es
ordinal. Hasta el momento no es posible decir cuánto es una
persona más alta que otra.

Por ejemplo, la variable estatura puede analizarse en
diferentes niveles de medida
• A través del número de personas que hay entre dos sujetos, por ejemplo,
Andrea y Juan en la fila ordenada anteriormente. En este caso además
del orden se conoce la magnitud de la altura. Si en lugar de utilizar el
número de personas se recurre a una regla se puede ofrecer otra
medida de la altura. Esta forma de medir es propia del nivel de
intervalos, que permite saber la magnitud de los elementos
comparando unos con otros.
• La cuarta posibilidad es utilizar un metro que sitúa el cero en
el mismo suelo y, por lo tanto, la altura se define en función
de la distancia desde la cabeza al suelo (valor cero absoluto
donde se sitúa la ausencia de altura). Una característica de
esta clasificación es que las propiedades de una escala se
cumplen en el nivel superior.

Ejemplos:
Escala Nominal
• El sexo de una persona es un
dato nominal no numérico.
• El numero de seguro de salud de
una persona es un dato nominal
numérico.
43
Sexo:
Masculino ( 1 )
Femenino ( 2 )
Tipos de Pacientes:
Consulta externa (40)
Emergencia (15)
Internados (60)

Ejemplos:
Escala Ordinal
• El estado de salud de un
paciente son datos ordinales no
numéricos.
Estado de Salud
Muy Saludable 5
Medianamente saludable
4
Saludable
X 3
Poco Saludable 2
No Saludable 1
44

Ejemplos:
Escala Intervalo
• La temperatura (en grados centígrados)
media de una ciudad.
• En esta escala, los número mayores
corresponden a temperaturas mayores.
Es decir, el orden importa, pero a la vez
la diferencias entre las temperaturas
importa.
45

Ejemplos:
Escala Razón
• Variables como la edad, la
distancia, la altura, el peso y
el tiempo se miden con una
escala de razón.
46

Datos Cualitativos
• Datos que se expresan en forma de palabras o
textos que ayudan a comprender ciertas acciones
y actitudes de los encuestados que no son
cuantificables, por lo que su uso es muy
importante para fundamentar cualquier
investigación seria.
• Este tipo de datos tienen como principal
característica que no se pueden medir, ni
expresarse con número, deben ser interpretados.
• Los datos cualitativos son utilizados
principalmente como el primer acercamiento al
problema, ya que nos aporta información acerca
de la existencia de una realidad en la que están
involucrados nuestros participantes.
47

Datos Cualitativos: Variables politómicas
• Son aquellos que no se pueden
expresa numéricamente.
• Representan una cualidad o atributo
que clasifica a cada sujeto en una de
varias categorías.
• Los valores para grupos de
individuos generalmente se tabulan
utilizando tablas de contingencia:
• Ejemplo:
48
Médicos según
Servicios
UCI
Cirugía
Consulta Externa
Medidas de
aislamiento
Lavado de manos
Mascarillas
Uso de guantes

Datos Cualitativos: Variables dicotómicas
• Son aquellos que no se pueden expresar
numéricamente.
• Representan una cualidad o atributo
que clasifica a cada sujeto en una de
varias categorías.
• Ejemplo:
49
Vivo/ Muerto
Este es el ejemplo más claro (por lo
menos no se conocen muchos casos
de estados intermedios entre la vida
y la muerte).
Sano/ Enfermo
Requiere una definición para la
condición de enfermo.

Datos Cuantitativos
• El concepto “datos cuantitativos” hace
referencia a la información tangible, la que
es obtenida mediante algún método de
investigación. La manera de cuantificar los
datos obtenidos en nuestro estudio nos
dará la pauta de hacia qué rumbo dirigirse,
de ahí la importancia de su correcto análisis
para poder demostrar si estamos en lo
correcto o no, en la hipótesis planteada.
• Hay dos tipos de datos cuantitativos, que
también se conocen como datos numéricos:
continuo y discreto. Como regla general, los
recuentos son discretos y las mediciones
son continuas.
50

Datos Cuantitativos: Datos Continuos
• Se refiere al flujo constante de valores
posibles de la variable, estos datos no
se restringen a valores enteros (aunque
normalmente son reducidos a valores
enteros por aproximación).
• Los datos continuos se miden en lugar
de contarse. Además tienen entre sus
características que pueden dividirse.
• Son aquellos datos que pueden tomar
cualquier valor (dentro de un rango)
• Los datos continuos pueden tomar un
número infinito de valores y no tiene
categorías naturales.
• Ejemplo:
51
Medir la altura
de una persona
Medir la altura en metros,
centímetros y hasta dar una
medida en milímetros, es decir, los
datos son continuos
Edad Definir una edad en años, meses y
hasta día

Datos Cuantitativos: Datos Discretos
• Los datos discretos tiene un número
finito de categorías naturales.
• Prácticamente hablamos de números
enteros, por valores completos.
• Se cuentan, no se miden.
• Ejemplo:
52
Número de hijos,
adultos o mascotas
en su familia.
Son datos discretos, porque se
cuentan por números
indivisibles: no se puede tener
2,5 hijos, o 1,3 mascotas.
Cantidad de
empleados que
trabajan en una
tienda.
Son datos discretos, porque se
cuentan por números
indivisibles: no se puede tener
20,5 empleados.

Bioestadística
DISTRIBUCIONES
SEMANA 3
Bioestadística

Generalidades
FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
Generalidades

Generalidades
La organización de los datos constituye la primera
etapa de su tratamiento, puesto que facilita los
cálculos posteriores y evita posibles confusiones.
Cuando no existían los computadores, o ni siquiera
calculadoras, era necesario que los datos tuvieran
alguna estructura que permitiera resumirlos y
comprenderlos de una forma más o menos
sencilla.
La organización va a depender del número de
observaciones distintas que se tengan y de las
veces que se repitan cada una de ellas. En base a lo
anterior, se pueden estructurar los datos de
maneras diferentes.

Generalidades…
Las distribuciones de frecuencias son tablas en que
se dispone las modalidades de la variable por filas.
En las columnas se dispone el número de
ocurrencias por cada valor, porcentajes, etc. La
finalidad de las agrupaciones en frecuencias es
facilitar la obtención de la información que
contienen los datos
En estadística y por consiguiente en bioestadística,
se le llama distribución de frecuencias a la
agrupación de datos en categorías mutuamente
excluyentes que indican el número de observaciones
en cada categoría. Esto proporciona un valor
añadido a la agrupación de datos.

Recordemos: Variables en Estadística
Variable Discreta
Una variable discreta es aquella que no puede tomar algunos valores dentro
de un mínimo conjunto numerable, quiere decir, no acepta cualquier valor,
únicamente aquellos que pertenecen al conjunto.
Ejemplos: número de empleados de una fábrica; número de hijos;
Variable Continua
Una variable continua es aquella que puede adoptar cualquier valor en el
marco de un intervalo que ya está predeterminado.
Ejemplos: temperaturas registradas en un observatorio; tiempo en recorrer
una distancia en una carrera; contenido de alcohol en un cuba-libre; estatura

Tipos de Frecuencia
Una de los primeros pasos que se realizan en
cualquier estudio estadístico es la tabulación
de resultados, es decir, recoger la información
de la muestra resumida en una tabla en la que
a cada valor de la variable se le asocian
determinados números que representan el
número de veces que ha aparecido, su
proporción con respecto a otros valores de la
variable, etc. Estos números se denominan
frecuencias.

Tipos de Frecuencia…
FRECUENCIA
ABSOLUTA
Cuantas veces
se repite un
evento ( fi )
FRECUENCIA
RELATIVA

Frecuencia Absoluta
La frecuencia absoluta es una medida
estadística que nos da información
acerca de la cantidad de veces que se
repite un suceso al realizar un número
determinado de experimentos
aleatorios. Esta se representa mediante
las letras fi.
La letra f se refiere a la palabra
frecuencia y la letra i se refiere a la
realización i-ésima del experimento
aleatorio. (En otros textos las
encontraran como ni)

Ejemplo de Frecuencia Absoluta (Variable Discreta)
Supongamos que tenemos el número de
miembros de una familia y los datos son los
siguientes:
1, 2, 8, 5, 8, 3, 8, 5, 6, 10, 5, 7, 9, 4, 10, 2, 7, 6, 5, 10.
Xi = Variable aleatoria estadística, número de
miembros de una familia.
N = 20
fi = Frecuencia absoluta = Número de veces que
se repite el suceso (en este caso, el número de
miembros de cada familia).
Xi fi
1 1
2 2
3 1
4 1
5 4
6 2
7 2
8 3
9 1
10 3
∑ 20

Ejemplo de Frecuencia Absoluta (Variable continua)
Supongamos que la altura de 15 personas que se presentan a los
postulantes del cuerpo de policía nacional son las siguientes:
1,82, 1,97, 1,86, 2,01, 2,05, 1,75, 1,84, 1,78, 1,91, 2,03, 1,81, 1,75,
1,77, 1,95, 1,73.
Para elaborar la tabla de frecuencias, los valores se ordenan de
menor a mayor, pero en este caso dado que la variable es continua
y podría tomar cualquier valor de un espacio continuo infinitesimal,
hay que agrupar las variables por intervalos.
Por tanto tendremos:
Xi = Variable aleatoria estadística, altura de los postulantes al
cuerpo de policía nacional.
N = 15
fi = Frecuencia absoluta = Número de veces que se repite el suceso
(en este caso, las alturas que se encuentran dentro de un
determinado intervalo).
Xi fi
[1,70 , 1,80) 5
[1,80 , 1,90) 4
[1,90 , 2,00) 3
[2,00 , 2,10) 3
∑ 15

Frecuencia Relativa
La frecuencia relativa es una medida estadística
que se calcula como el cociente de la frecuencia
absoluta de algún valor de la población/muestra
(fi) entre el total de valores que componen la
población/muestra (N)
Para calcular la frecuencia relativa es necesario
antes calcular la frecuencia absoluta. Sin ella no
podríamos obtener la frecuencia relativa. La
frecuencia relativa se representa con las letras hi
y su fórmula de cálculo es la siguiente:
Donde N = Tamaño de la muestra

Para calcular la Frecuencia Relativa…
hi = Frecuencia relativa de la observación i-ésima
fi = Frecuencia absoluta de la observación i-ésima
N = Número total de observaciones de la muestra
De la fórmula de cálculo de la frecuencia relativa se desprenden dos conclusiones:
La frecuencia relativa va a estar acotada entre 0 y 1, debido a que la frecuencia de los valores de la
muestra, siempre va a ser menor al tamaño de la muestra.
La suma de todas las frecuencias relativas va a ser 1 si se mide en tanto por 1, o 100 si se mide en tanto
por ciento.
Por consiguiente la frecuencia relativa nos informa acerca de la proporción o el
peso que tiene algún valor u observación en la muestra. Esto la hace de especial
utilidad, dado que a diferencia de la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa nos
va a permitir hacer comparaciones entre muestras de tamaños distintos. Esta se
puede expresar como un valor decimal, como fracción o como porcentaje.

Ejemplo de Frecuencia Relativa (Variable Discreta)
Supongamos que tenemos el número de miembros
de una familia y los datos son los siguientes:
1, 2, 8, 5, 8, 3, 8, 5, 6, 10, 5, 7, 9, 4, 10, 2, 7, 6, 5, 10.
Xi = Variable aleatoria estadística, número de
miembros de una familia.
N = 20
fi = Frecuencia absoluta = Número de veces que se
repite el suceso (en este caso, el número de
miembros de una familia).
hi = Frecuencia relativa (proporción que representa
el valor i-ésimo en la muestra).
Xi fi hi
1 1 5%
2 2 10%
3 1 5%
4 1 5%
5 4 20%
6 2 10%
7 2 10%
8 3 15%
9 1 5%
10 3 15%
∑ 20 100%

Ejemplo de Frecuencia Relativa (Variable continua)
Supongamos que la altura de 15 personas que se presentan a las oposiciones
del cuerpo de policía nacional son las siguientes:
1,82, 1,97, 1,86, 2,01, 2,05, 1,75, 1,84, 1,78, 1,91, 2,03, 1,81, 1,75, 1,77,
1,95, 1,73.
Para elaborar la tabla de frecuencias, los valores se ordenan de menor a
mayor, pero en este caso dado que la variable es continua y podría tomar
cualquier valor de un espacio continuo infinitesimal, hay que agrupar las
variables por intervalos.
Por tanto tendremos:
Xi = Variable aleatoria estadística, altura de los opositores al cuerpo de
policía nacional.
N = 15
fi = Frecuencia absoluta = Número de veces que se repite el suceso (en este
caso, las alturas que se encuentran dentro de un determinado intervalo).
hi = Frecuencia relativa (proporción que representa el valor i-ésimo en la
muestra)
Xi fi hi
[1,70 , 1,80) 5 33%
[1,80 , 1,90) 4 27%
[1,90 , 2,00) 3 20%
[2,00 , 2,10) 3 20%
∑ 15 100%

Ejemplo
Personas
Activas
Número
Familias
Xi fi fi/N hi
1 16 16/50 32%
2 20 20/50 40%
3 9 9/50 18%
4 5 5/50 10%
Total 50 100%

APLICACIONES INFORMÁTICAS PARA OBTENER LA TABLA DE
FRECUENCIAS
USO DE FÓRMULAS DE
EXCEL
USO DE ANÁLISIS DE DATOS

Ing. Freddy Burgos Robalino, MDGPT
Bioestadística
DISTRIBUCIONES
SEMANA 4
Bioestadística
72

Generalidades
FRECUENCIA ABSOLUTA
ACUMULADA
FRECUENCIA RELATIVA
ACUMULADA
73

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
ACUMULADA
Generalidades
74

Tipos de Frecuencia Acumulada
FRECUENCIA
ABSOLUTA
ACUMULADA
Sumatoria del número
de veces que se repite
el suceso (Fi)
FRECUENCIA
RELATIVA
ACUMULADA
Sumatoria de la
proporción que
representa el valor i-
ésimo en la muestra
(Hi)
75

Frecuencia Acumulada
La frecuencia acumulada es el
resultado de sumar
sucesivamente las frecuencias
absolutas o relativas, desde el
menor al mayor de sus valores
76

Frecuencia Absoluta Acumulada
La frecuencia absoluta acumulada es el
resultado de ir sumando las frecuencias
absolutas de las observaciones o valores de una
población o muestra. Esta se representa por las
siglas Fi.
Para calcular la frecuencia absoluta acumulada,
hay que calcular primero la frecuencia absoluta
(fi) de la población o muestra. Para ello, los
datos se ordenan de menor a mayor y se
colocan en una tabla.
Una vez hecho esto, la frecuencia absoluta
acumulada se obtiene de ir sumando las
frecuencias absolutas de una clase o grupo de la
muestra con la anterior (primer grupo +
segundo grupo, primer grupo + segundo grupo +
tercer grupo y así sucesivamente hasta llegar a
acumular del primer grupo al último).
77

Ejemplo de Frecuencia Absoluta Acumulada
(Variable Discreta)
siguientes:
1, 2, 8, 5, 8, 3, 8, 5, 6, 10, 5, 7, 9, 4, 10, 2, 7, 6, 5,
10.
Xi = Variable aleatoria estadística, miembros
de una familia.
N = 20
fi = Frecuencia absoluta = Número de veces
que se repite el suceso (en este caso, los
miembros de la familia).
Fi= Frecuencia absoluta acumulada
(sumatorio del número de veces que se
repite el suceso, en este caso miembros de
una familia)
Xi fi Fi
1 1 1
2 2 3 (1+2)
3 1 4 (3+1)
4 1 5 (4+1)
5 4 9 (5+4)
6 2 11 (9+2)
7 2 13 (11+2)
8 3 16 (13+3)
9 1 17 (16+1)
10 3 20 (17+3)
∑ 20
78

Ejemplo de Frecuencia Absoluta Acumulada
(Variable continua)
Supongamos que la altura de 15 personas que se presentan a las
postulaciones del cuerpo de policía nacional son las siguientes:
1,82, 1,97, 1,86, 2,01, 2,05, 1,75, 1,84, 1,78, 1,91, 2,03, 1,81, 1,75, 1,77,
1,95, 1,73.
mayor, pero en este caso dado que la variable es continua y podría
tomar cualquier valor de un espacio continuo infinitesimal, hay que
agrupar las variables por intervalos.
Por tanto tenemos:
Xi = Variable aleatoria estadística, altura de los postulantes al cuerpo de
policía nacional.
N = 15
fi = Frecuencia absoluta = Número de veces que se repite el suceso (en
este caso, las alturas que se encuentran dentro de un determinado
intervalo).
Fi = Sumatorio del número de veces que se repite el suceso (en este
caso, las alturas que se encuentran dentro de un determinado
intervalo).
Xi fi Fi
[1,70 , 1,80) 5 5
[1,80 , 1,90) 4 9 (5+4)
[1,90 , 2,00) 3 12 (9+3)
[2,00 , 2,10) 3 15 (12+3)
∑ 15
79

Frecuencia Relativa Acumulada
La frecuencia relativa acumulada es el resultado
de ir sumando las frecuencias relativas de las
observaciones o valores de una población o
muestra. Esta se representa por las siglas Hi.
Para calcular la frecuencia relativa acumulada,
hay que calcular primero la frecuencia absoluta
(fi) y la frecuencia relativa (hi) de los valores de
la población o muestra
Para ello, los datos se ordenan de menor a
mayor y se colocan en una tabla. Una vez hecho
esto, la frecuencia relativa acumulada se
obtiene de ir sumando las frecuencias relativas
de una clase o grupo de la muestra con la
anterior (primer grupo + segundo grupo, primer
grupo + segundo grupo + tercer grupo y así
sucesivamente hasta llegar a acumular del
primer grupo al último).
80

Ejemplo de Frecuencia Relativa Acumulada
(Variable Discreta)
siguientes :
1, 2, 8, 5, 8, 3, 8, 5, 6, 10, 5, 7, 9, 4, 10, 2, 7, 6, 5, 10.
Xi = Variable aleatoria estadística, miembros de
una familia.
N = 20
fi = Frecuencia absoluta = Número de veces que se
repite el suceso (en este caso, miembros de una
familia).
hi = Frecuencia relativa (proporción que
representa el valor i-ésimo en la muestra).
Hi = Frecuencia relativa acumulada (Sumatorio de
la proporción que representa el valor i-ésimo en la
muestra)
Xi fi hi Hi
1 1 5% 5%
2 2 10% 15%(5+10)
3 1 5% 20%(15+5)
4 1 5% 25%(20+5)
5 4 20% 45%(25+20)
6 2 10% 55%(45+10)
7 2 10% 65%(55+10)
8 3 15% 80%(65+15)
9 1 5% 85%(80+5)
10 3 15% 100%(85+15)
∑ 20 100%
81

Ejemplo de Frecuencia Relativa Acumulada
(Variable continua)
Supongamos que la altura de 15 personas que se presentan a las
postulaciones del cuerpo de policía nacional son las siguientes:
1,82, 1,97, 1,86, 2,01, 2,05, 1,75, 1,84, 1,78, 1,91, 2,03, 1,81, 1,75, 1,77,
1,95, 1,73.
mayor, pero en este caso dado que la variable es continua y podría tomar
cualquier valor de un espacio continuo infinitesimal, hay que agrupar las
variables por intervalos.
Por tanto tenemos:
Xi = Variable aleatoria estadística, altura de los postulantes al cuerpo de
policía nacional.
N = 15
fi = Frecuencia absoluta = Número de veces que se repite el suceso (en este
caso, las alturas que se encuentran dentro de un determinado intervalo).
hi = Frecuencia relativa (proporción que representa el valor i-ésimo en la
muestra).
Hi = Sumatorio de la proporción que representa el valor i-ésimo en la
muestra.
Xi
f
i
hi Hi
[1,70 , 1,80) 5 33% 33%
[1,80 , 1,90) 4 27% 60%(33+27)
[1,90 , 2,00) 3 20% 80%(50+20)
[2,00 , 2,10) 3 20% 100%(80+20)
∑ 15 100%
82

Ejemplo:
Personas
Activas
Número
Familias
Xi fi fi/N hi Fi Fi/N Hi
1 16 16/50 32% 16 16/50 32%
2 20 20/50 40% 36 36/50 72%
3 9 9/50 18% 45 45/50 90%
4 5 5/50 10% 50 50/50 100%
Total 50 100%
83

Distribución de frecuencias agrupadas
O tabla con datos agrupados se
emplea si las variables toman un
número grande de valores o la
variable es continua. Se agrupan
los valores en intervalos que
tengan la misma amplitud
denominados clases. A cada clase
se le asigna su frecuencia
correspondiente.
84

Distribución de frecuencias agrupadas…
No existen normas establecidas para
determinar cuándo es apropiado utilizar
datos agrupados o datos no agrupados;
se sugiere cuando el número total datos
(N) es igual o superior de 50 e y además
el rango o recorrido de la serie de datos
es mayor de 20, entonces se utilizará la
distribución de frecuencias para datos
agrupados, también se utilizara este
tipo de distribución cuando se requiera
elaborar gráficos lineales como el
histograma, el polígono de frecuencia o
la ojiva.
85

Distribución de frecuencias agrupadas…
La razón fundamental para utilizar
la distribución de frecuencias de
clases es proporcionar mejor
comunicación acerca del patrón
establecido en los datos y facilitar
la manipulación de los mismos.
Los datos se agrupan en clases
con el fin de sintetizar, resumir,
considerar o hacer que la
información obtenida de una
investigación sea manejable con
mayor facilidad.
86

Clase y Determinación del número de clases.
Concepto: Es el número de subconjuntos en que se han agrupado los datos.
Cada clase se puede denominar mediante una letra, un número o alguna
característica del subconjunto.
El número de clases en que se agrupan los datos se determina con la raíz
cuadrada del número de datos cuando este es menor de 200.
Número de clases = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
Para muestras con 200 o más datos el número de clases se determina con la
raíz cúbica del número de datos.
Número de clases =
3
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
Límites de la clase. Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase
y el límite superior de la clase.
87

Fórmula de Sturges
Este es otra forma para calcular el
intervalo de la clase:
La fórmula de Sturges, determina
un número aproximado de
intervalos "k".
Aunque ésta no siempre resulta
muy adecuada, es una relación
muy utilizada: k = 1 + 3.322 log
(n).
Donde: n es el número de datos a
condensar en la tabla.
88

Intervalo de clase y Cómo calcular el intervalo de clase
Concepto: Es un conjunto de elementos que forman a una clase,
conteniendo un límite inferior y un límite superior.
Como calcular el intervalo de la clase:
Calcular el rango de datos. El rango es la diferencia entre los puntos de datos
más altos y más bajos.
Determinar el número de clases del tamaño de la muestra. Como regla
general, se utilizan de cinco a siete clases para un tamaño de la muestra de
hasta 50, de ocho a 10 clases para un tamaño de la muestra entre 50 y 100,
10 a 15 clases para un tamaño de la muestra entre 100 y 250 y de 15 a 20
clases para un tamaño de la muestra mayor a 250.
Calcula el intervalo de clase utilizando la siguiente fórmula:
intervalo de clase = rango/número de clases.
89

Tamaño de clase y Cálculo del tamaño de clase.
Concepto: Es la diferencia entre dos límites inferiores o superiores de
clases sucesivas.
Para determinar el tamaño de clase es necesario conocer el rango de la
muestra, que se obtiene con la diferencia entre el dato mayor y el dato
menor de la muestra y se representa con la letra R.
R = dato mayor - dato menor
El tamaño de clase se obtiene al dividir el rango entre el número de
clases, y se representa con la letra c.
Tamaño de clase = rango /número de clases
c= R/ 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
90

Amplitud y Marca de Clase
La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior
de la clase (tamaño de la clase)
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que
representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.
91

Elaboración de intervalos.
El tamaño de clase indica el número de datos que conforman a cada
intervalo, considerando los valores extremos llamados límites. En cada
intervalo aparece un límite inferior (LI) y un límite superior (LS).
Cada intervalo se forma sumando al límite inferior (LI) un número
menos que el tamaño de clase para obtener el límite superior (LS)
92

APLICACIONES INFORMÁTICAS PARA
OBTENER LA TABLA DE FRECUENCIAS
USO DE FÓRMULAS DE
EXCEL
USO DE ANÁLISIS DE
DATOS
93

Bioestadística
GRÁFICOS
SEMANA 5
Bioestadística

¿Qué es un gráfico?
Generalidades:
Un grafico es la representación de datos, generalmente numéricos ,
mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos
guardan entre si y facilitar su interpretación. La utilización de gráficos hace
mas sencilla e inmediata la interpretación de los datos.
La calidad de un gráfico estadístico consiste en comunicar ideas complejas
con precisión, claridad y eficiencia, de tal manera que:
• Induzca a pensar en el contenido más que en la apariencia.
• No distorsione la información proporcionada por los datos.
• Presente mucha información (números) en poco espacio.
• Favorezca la comparación de diferentes grupos de datos o de relaciones
entre los mismos (por ejemplo una secuencia temporal)

Elementos de un gráfico
Área del gráfico: Área que se
encuentra definida por el
marco del gráfico y que incluye
todas sus partes.
Título del gráfico: Texto
descriptivo del gráfico que se
coloca en la parte superior.
Series de datos: Son los puntos
de datos relacionados entre sí
trazados en un gráfico. Cada
serie de datos tiene un color
exclusivo. Un gráfico puede
tener una o más series de
datos a excepción de los
gráficos circulares que
solamente pueden tener una
serie de datos.
Ejes: Línea que sirve como
referencia de medida. El eje Y
es conocido como el eje
vertical y generalmente
contiene datos. El eje X es
conocido también como el eje
horizontal y suele contener las
categorías del gráfico.
Líneas de división: Son líneas
opcionales que extienden los
valores de los ejes de manera
que faciliten su lectura e
interpretación.
Título de eje: Texto descriptivo
que se alinea
automáticamente al eje
correspondiente.
Leyenda: Recuadro que ayuda
a identificar los colores
asignados a las series de datos.

Elementos de un gráfico

Representaciones gráficas de datos cualitativos
En cuanto a la representación gráfica de las variables cualitativas
destacamos dos tipos de gráfico por ser los que se utilizan con mayor
frecuencia.
• Diagrama de sectores.
• Gráfico de barras.

Generalidades
1.4.1
Gráfico de
Sectores
1.4.1
Gráfico de
barras.
1.4.2
Histograma
s
1.4.3
Polígonos
1.4.4
Gráfico de
tallo y
hojas.
1.4.5
Diagrama
de caja.
100

DIAGRAMA DE SECTORES
• El diagrama de sectores, se utiliza para visualizar de forma sencilla
las frecuencias relativas de las variables.
• En los gráficos de sectores se divide una figura, habitualmente de
forma circular, de forma que el área correspondiente a cada posible
respuesta de la variable será proporcional a la frecuencia relativa de
la variable.

Ejemplo: Se ha encuestado a 30 personas sobre el color
de sus ojos, obteniendo los siguientes resultados.
102
Marrón Verde Verde Azul Marrón Azul Marrón Marrón Azul Marrón
Azul Marrón Verde Verde Marrón Azul Verde Marrón Marrón Azul
Marrón Verde Marrón Verde Verde Marrón Marrón Marrón Azul Marrón

CATEGORIA fi hi Grados
30 --> 360°
Marrón 15 0.50 180
Verde 8 0.27 96
Azul 7 0.23 84
N 30 1.00 360
Marrón
0,50
50%
Verde
0,27
27%
Azul
0,23
23%
Diagrama de sectores: Color de ojos
Marrón Verde Azul

Generalidades
1.4.1
Gráfico de
Sectores
1.4.1
Gráfico de
barras.
1.4.2
Histograma
s
1.4.3
Polígonos
1.4.4
Gráfico de
tallo y
hojas.
1.4.5
Diagrama
de caja.
104

GRÁFICO DE BARRAS
En este tipo de gráfico se
representa una barra vertical u
horizontal para cada una de las
categorías de la variable de altura
proporcional a su frecuencia
absoluta o relativa.
15
8
7
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Marrón Verde Azul
Diagrama de barras: Color de
ojos - fi

Representaciones gráficas de datos cuantitativos
Estas representaciones nos ayudarán a visualizar los datos y a
conocer sus principales características.
Entre las principales representaciones gráficas tenemos:
• Gráfico de barras
• Histograma
• Polígonos de frecuencia
• Diagrama de tallos y hojas
• Diagrama de cajas

GRÁFICO DE BARRAS
Se usan también
para representar la
distribución de
frecuencias de
variables discretas.
Cada categoría se
representa por una
barra cuyo largo
indica la frecuencia
de observaciones
de dicha categoría.
1
2
1 1
4
2 2
3
1
3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CANTIDAD
DE
ESTUDIANTES
NOTAS
GRÁFICO DE BARRAS: NOTAS
DE EXÁMES - FI
Xi fi
1 1
2 2
3 1
4 1
5 4
6 2
7 2
8 3
9 1
10 3
∑ 20

Gráficos estadísticos: Variables cuantitativas continuas
Generalidades:
• Cuando las variables son continuas, utilizamos como diagramas
diferenciales los histogramas y los polígonos de frecuencias.
• Un histograma se construye a partir de la tabla estadística,
representando sobre cada intervalo, un rectángulo que tiene a este
segmento como base

Generalidades
1.4.1
Gráfico de
Sectores
1.4.1
Gráfico de
barras.
1.4.2
Histograma
s
1.4.3
Polígonos
1.4.4
Gráfico de
tallo y
hojas.
1.4.5
Diagrama
de caja.
109

HISTOGRAMA
Cuando las variables son continuas, utilizamos como diagramas
diferenciales los histogramas y los polígonos de frecuencias.
Un histograma se construye a partir de la tabla estadística,
representando sobre cada intervalo, un rectángulo que tiene a este
segmento como base
Xi fi
[1,70 , 1,80) 5
[1,80 , 1,90) 4
[1,90 , 2,00) 3
[2,00 , 2,10) 3
∑ 15

Generalidades
1.4.1
Gráfico de
Sectores
1.4.1
Gráfico de
barras.
1.4.2
Histograma
s
1.4.3
Polígonos
1.4.4
Gráfico de
tallo y
hojas.
1.4.5
Diagrama
de caja.
111

POLÍGONOS DE FRECUENCIA
Son diagramas de línea que se obtienen al unir los puntos medios del
lado superior de cada rectángulo del histograma correspondiente.
El histograma y el polígono de frecuencias son gráficos que se utilizan
para representar distribuciones de frecuencias para datos agrupados.
Xi
Marca de
clase
fi
[1,70 , 1,80) 1,75 5
[1,80 , 1,90) 1,85 4
[1,90 , 2,00) 1,95 3
[2,00 , 2,10) 2,05 3
∑ 15

Generalidades
1.4.1
Gráfico de
Sectores
1.4.1
Gráfico de
barras.
1.4.2
Histograma
s
1.4.3
Polígonos
1.4.4
Gráfico de
tallo y
hojas.
1.4.5
Diagrama
de caja.
113

DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS
El diagrama "tallo y hojas permite obtener simultáneamente una
distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica.
Para construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la
derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que
formará el tallo).

Se tiene los siguientes datos edad correspondiente a 20
personas, construir el diagrama de tallos y hojas.
36 25 37 24 39 20 36 45 31 31
39 24 29 23 41 40 33 24 34 40

Se tiene los siguientes datos edad correspondiente a 20 personas,
construir el diagrama de tallos y hojas.

Generalidades
1.4.1
Gráfico de
Sectores
1.4.1
Gráfico de
barras.
1.4.2
Histograma
s
1.4.3
Polígonos
1.4.4
Gráfico de
tallo y
hojas.
1.4.5
Diagrama
de caja.
117

DIAGRAMA DE CAJAS
Los diagramas de Caja-Bigotes son una presentación visual que describe varias
características importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersión y simetría.
Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo
de los datos, sobre un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente.
Construcción:
Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más
largos muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un
segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su
relación con los cuartiles primero y tercero(recordemos que el segundo cuartil
coincide con la mediana).
Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores
mínimo y máximo de la variable. Las líneas que sobresalen de la caja se llaman
bigotes. Estos bigotes tienen un límite de prolongación, de modo que cualquier
dato o caso que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado
individualmente

DIAGRAMA DE CAJAS
Se tiene los siguientes datos edad correspondiente a 20 personas,
construir el diagrama de tallos y hojas.

DIAGRAMA DE CAJAS

Ing. Freddy Burgos Robalino, MDGPT.
Bioestadística
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia central:
Media, mediana y moda
SEMANA 6
Bioestadística

Generalidades
LA MEDIA ARITMÉTICA LA MEDIANA LA MODA
123

Unidades
Experimentales
(Muestra)
Es una porción de la
información a analizar.
Ejemplo: muestra
compuesta por ocho
personas.

Media (promedio)
La media es la suma de todas las observaciones
dividida entre el número de observaciones.
Por ejemplo, el tiempo de espera (en minutos) de
cinco clientes de un banco es: 3, 2, 4, 1 y 2. El
tiempo medio de espera es:
En promedio, un cliente espera 2.4 minutos para ser
atendido en el banco.

Media Aritmética
La media aritmética es el valor promedio de las muestras y es
independiente de las amplitudes de los intervalos.
La media aritmética es el valor que se obtiene al sumar todos los datos
que tenemos y dividir el resultado entre el número total de esos datos
es el símbolo de la media aritmética.

Ejemplo de datos no agrupados
Los pesos de seis amigos son
84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg.
Hallar el peso medio

Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión
de la media es:

Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de
42 personas se han obtenido las
puntuaciones que muestra la
tabla.
Calcule la puntuación media
xi fi
[10, 20) 15 1
[20, 30) 25 8
[30,40) 35 10
[40, 50) 45 9
[50, 60 55 8
[60,70) 65 4
[70, 80) 75 2

Ejercicio…
En primer lugar vamos a calcular la
sumatoria de xi · fi, crearemos una
nueva columna para los productos
de la variable por su frecuencia
absoluta y lo sumaremos todo
También tenemos que calcular N
que es la sumatoria de las
frecuencias absolutas
xi fi xi · fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
 42 1820

Media Geométrica
La media geométrica es un tipo de media que se
calcula como la raíz del producto de un conjunto
de números estrictamente positivos.
La media geométrica se calcula como un
producto conjunto. Es decir, que todos los valores
se multiplican entre sí. De modo que si uno de
ellos fuera cero, el producto total sería cero.
(verificar números que sean únicamente
positivos.)
La media geométrica se utiliza con más
frecuencia para calcular la tasa de crecimiento
porcentual promedio de algunas series dadas, a
través del tiempo.

Fórmula de la media geométrica
Donde.
N: Se trata del número total de observaciones. Por ejemplo, si tenemos el
crecimiento de los beneficios de una empresa durante 4 periodos, N será 4.
x: La variable X es sobre la que calculamos la media geométrica. Siguiendo el
ejemplo anterior, el crecimiento de los beneficios estará expresado en porcentaje y
será la variable X.
i: Representa la posición de cada observación. En este ejemplo, podríamos ponerle
un número cada periodo. Un 1, al periodo 1, un 2 al periodo 2, etc. De manera que
x1 es el crecimiento de los beneficios en el periodo 1, x2 el crecimiento de los
beneficios en el periodo 2, x3 el crecimiento de los beneficios en el periodo 3 y x4
el crecimiento de los beneficios en el periodo 4.
132

Fórmula de la media geométrica…
Se hace énfasis en que este tipo de media es adecuada para calcular
variables en porcentaje o índices. Una de sus principales ventajas es
que es menos sensible a valores extremos (muy grandes o muy
pequeños) que podrían alterar la media de una muestra estadística. Por
el contrario, su principal desventaja es que no puede utilizarse con
números negativos.
133

Ejemplo de media geométrica
Supongamos los resultados de una
empresa. La empresa ha generado
un 20% de rentabilidad el primer
año, un 15% el segundo año, un 33%
el tercer año y un 25% el cuarto año.
Lo fácil, en este caso sería sumar las
cantidades y dividir entre cuatro. Sin
embargo esto no es correcto.
Para calcular la media de varios
porcentajes debemos hacer uso de la
media geométrica. Aplicado al caso
anterior, tendríamos lo siguiente:
134

Resultado del Ejemplo:
El resultado es 1,23, que
expresado en porcentaje es un
23%. Lo que quiere decir que en
promedio, cada año la empresa
ha ganado un 23%. Dicho de
otra forma, si cada año hubiese
ganado un 23%, hubiera ganado
lo mismo que ganando un 20%
el primer año, un 15% el
segundo, un 33% el tercero y un
25% el último año.
NOTA: Si las rentabilidades fueran
negativas, no se pondrían números
negativos. Si la rentabilidad es del -
20%, el número a multiplicar sería
0,80. Si la rentabilidad es del -5%, el
número a multiplicar sería 0,95. En
conclusión si las rentabilidades son
positivas, a uno le sumamos el
porcentaje en tanto por uno.
Mientras que, si las rentabilidades o
porcentajes son negativos, a 1 le
restamos el porcentaje en tanto por
uno.
135
Tomado de https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Mediana
La mediana es el valor que cumple que la mitad de los valores de la
variable son inferiores a él y la otra mitad son superiores. Si el número
de datos en la muestra es impar será el valor central de la muestra
ordenada (muestra en la que las unidades experimentales aparecen
ordenadas según el valor que toman). Si el número de datos es par la
mediana se define como la media de los dos valores centrales de la
muestra ordenada.

Mediana
Para estos datos ordenados, la mediana es 13. Es decir, el 50% de los
valores es menor que o igual a 13 y el 50% de los valores es mayor que
o igual a 13.
Si se ordenan todos los datos, de menor a mayor, la mediana es el
valor que ocupa la posición central. Si el número de datos es par, la
mediana es la media aritmética de los dos centrales

Mediana para Datos no agrupados
Sean x1, x2, x3,…, xn los datos de una muestra ordenada en orden
creciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos:
Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n+1)/2 una
vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o
decreciente), porque este es el valor central. Es decir: Me= x(n+1)/2.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x1=3, x2=6,
x3=7, x4=8, x5=9 => El valor central es el tercero: x(5+1)/2= x3=7. Este
valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por
debajo x1, x2 y otros dos por encima de él x4, x5.

Mediana para Datos no agrupados…
Sean x1, x2, x3,…, xn los datos de una muestra ordenada en orden
creciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos:
b. Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores
centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de
la muestra ocupan las posiciones n/2 y (n/2)+1. Es decir: Me=((x
n/2)+(x n/2+1)/2.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x1=3, x2=6, x3=7,
x4=8, x5=9, x6=10. Aquí dos valores que están por debajo del
x6/2=x3=7 y otros dos que quedan por encima del siguiente dato
x(6/2+1)=x4=8. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la
media aritmética de estos dos datos: Me=)x3+x4)/2=(7+8)/2=7,5.

Fórmula y cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el
intervalo donde la frecuencia
acumulada llega hasta la mitad de
la suma de las frecuencias
absolutas.
Es decir tenemos que buscar el
intervalo en el que se encuentre.
Li es el límite inferior de la clase
donde se encuentra la mediana
N/2 es la semisuma de las
frecuencias absolutas
fi es la frecuencia absoluta de la
clase mediana
Fi - 1 es la frecuencia acumulada
anterior a la clase mediana
ai es la amplitud de la clase
La mediana es independiente de
las amplitudes de los intervalos
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +
𝑁
2
− 𝐹𝑖 −1
𝑓𝑖
. 𝑎𝑖

Ejemplo de cálculo de la mediana para distribución
estadística
Calcular la mediana de una distribución
estadística que viene dada por la siguiente
tabla
En primer lugar crearemos una nueva
columna con los valores de la frecuencia
acumulada:
En la primera casilla colocamos la primera
frecuencia absoluta. En la segunda casilla
sumamos el valor de la frecuencia
acumulada anterior más la frecuencia
absoluta correspondiente y así
sucesivamente hasta la última, que tiene que
se igual a N(100)
fi Fi
[60 , 63) 5 5
[63 , 66) 18 23
[66 , 69) 42 65
[69 , 72) 27 92
[72 , 75) 8 100
 100

Ejemplo de cálculo de la mediana para distribución estadística
Buscamos el intervalo donde se encuentra
la mediana, para ello dividimos la N por 2
porque la mediana es el valor central
100/2 = 50. Buscamos en la columna de
las frecuencias acumuladas Fi el intervalo
que contiene a 50
Clase de la mediana: [66 , 69)
Aplicaremos la fórmula para el cálculo de
la mediana para datos agrupados,
extrayendo los siguientes datos:
fi Fi
[60 , 63) 5 5
[63 , 66) 18 23
[66 , 69) 42 65
[69 , 72) 27 92
[72 , 75) 8 100
 100
142

Ejemplo de cálculo de la mediana para distribución estadística
Li = 66
N/2 = 100/2 = 50
fi = 42
Fi - 1 = 23
ai = 3
Me = 66 + ((100/2 - 23) / 42) * 3
Me = 67,92
143
fi Fi
[60 , 63) 5 5
[63 , 66) 18 23
[66 , 69) 42 65
[69 , 72) 27 92
[72 , 75) 8 100
 100
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +
𝑁
2
− 𝐹𝑖 −1
𝑓𝑖
. 𝑎𝑖

Moda
La moda es el valor que ocurre con más frecuencia en un conjunto de
observaciones. Mientras que la media y la mediana requieren un
cálculo, la moda se obtiene simplemente contando el número de veces
que cada valor ocurre en un conjunto de datos.
La moda puede ser única o no.

Unimodal
La calificaciones de los alumnos
de quinto año son:
2, 9, 5, 8, 9, 7, 3, 7, 6, 7.
Hallar la moda.
• Para resolver el problema
contamos cuántas veces se
repite cada valor.

Bimodal
La calificaciones de los alumnos
de sexto año son:
4, 9, 5, 8, 9, 7, 9, 7, 6, 7
Hallar la moda.

Gráficas de media, mediana y moda
En distribuciones simétricas la media aritmética, mediana y moda
coinciden.

Graficas de media, mediana y moda
Las distribuciones asimétricas pueden ser:
Asimétrica hacia la izquierda. Asimétrica hacia la derecha.

Moda de datos agrupados
Se calcula considerando la siguiente fórmula:
donde:
Li es el límite inferior
fi es la frecuencia del iésimo valor
fi+1 es la frecuencia del iésimo valor más uno, es decir, el siguiente
fi-1 es la frecuencia del iésimo valor menos uno, es decir, el anterior
ai es la amplitud de ese intervalo
Nota: Se debe tomar en la frecuencia absoluta el número más mayor.
149
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +
𝑓𝑖 − 𝑓𝑖 −1
(𝑓𝑖 −𝑓𝑖−1)+(𝑓𝑖−𝑓𝑖+1)
. 𝑎𝑖

Relación empírica entre Media, Mediana y Moda
En las estadísticas, existe una relación entre la media, la mediana y el moda
que se basa empíricamente. Las observaciones de innumerables conjuntos
de datos han demostrado que la mayoría de las veces la diferencia entre la
media y la moda es tres veces mayor que la diferencia entre la media y la
mediana. Esta relación en forma de ecuación es:
Fórmula:
Media – Moda = 3(Media-Mediana)
Se puede despejar de la siguiente forma:
Moda = Media – 3(Media – Mediana)
El contraste con lo teórico es la forma empírica de adquirir conocimiento.
150

Ejemplo:
En un Banco se tomo la muestra de 40 personas que realizan sus
diferentes movimientos, para el banco es de gran importancia atender
a sus clientes lo más pronto posible. Desean saber aproximadamente
cuanto tiempo se tardan en realizar sus operaciones los resultados son
los siguientes que se presentan a continuación comprueba la relación
empírica.
151

Bioestadística
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de posición:
Cuartiles, Percentiles, Deciles
SEMANA 6
Bioestadística

GENERALIDADES
4.1. LOS CUARTILES 4.2 LOS DECILES 4.3 LOS PERCENTILES

Cuartil
Los cuartiles son los tres valores de la
variable que dividen a un conjunto de datos
ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores
correspondientes al 25%, al 50% y al
75% de los datos. dividen al conjunto de
datos ordenados en cuatro partes
porcentualmente iguales.
Q2 coincide con la mediana
El primer cuartil, es el valor en el cual o por
debajo del cual queda un cuarto (25%) de
todos los valores de la sucesión (ordenada);
el tercer cuartil, es el valor en el cual o por
debajo del cual quedan las tres cuartas
partes (75%) de los datos.

Cuartil Para Datos No Agrupados
• Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante
las siguientes fórmulas:
• Para el primer cuartil:
• Cuando n es par:
• Cuando n es impar:
• Para el tercer cuartil

Para Datos Agrupados
Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos
un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos
generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La
fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos
agrupados es la siguiente:
K = 1, 2, 3
Donde:
Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k
n = Número de datos
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.
fk = Frecuencia de la clase del cuartil k
c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k

Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra
fórmula se tiene lo siguiente:
El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de
los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 25% de las
observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.
Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:
Donde:
Li = limite inferior de la clase que lo contiene
P = valor que representa la posición de la medida
f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
Ic = intervalo de clase

Para Q2:
El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la mediana, Q2 = Md),
es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de
las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.
Donde:
L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
Ic = intervalo de clase

Para Q3:
El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes
de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es
superado por el 25% de las observaciones.
Donde:
Ic = intervalo de clase.

DECILES
Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos
ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve
valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes
iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los deciles
se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc.
Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para
fijar el aprovechamiento académico. En estadística descriptiva, un decil
es cualquiera de los nueve valores que dividen a un grupo de datos
ordenados en diez partes iguales, de manera que cada parte representa
1/10 de la muestra o población.

DECILES
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante
las siguientes fórmulas:
Siendo A el número del decil.

Datos Agrupados
Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula.
k= 1,2,3,... 9
Donde:
Lk = Límite real inferior de la clase del decil k
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil
k.
fk = Frecuencia de la clase del decil k
c = Longitud del intervalo de la clase del decil k

Otra fórmula para calcular los deciles:
El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40%, de las
observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.
El quinto decil corresponde a la mediana.
Donde (para todos):
Ic = intervalo de clase.

PERCENTIL
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie
de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores
correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
P50 coincide con la mediana.

Percentil
Son usadas por los pediatras para
para valorar el desarrollo de los
niños en función de unos valores
de referencia admitidos de
antemano como normales para
niños de una misma edad, sexo y
raza.
Las tablas se dividen en curvas de
crecimiento para niños de 0 a 2
años y de 2 a 14 años y son
diferentes para niños y para niñas.

Percentil Datos Agrupados
Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan
mediante la fórmula:
k= 1,2,3,... 99
Donde:
Lk = Límite real inferior de la clase del decil k
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.
fk = Frecuencia de la clase del decil k
c = Longitud del intervalo de la clase del decil k

EJEMPLO: Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el
30 percentil, de la siguiente tabla:
Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula
Salarios No. De Fa
(I. De Clases) Empleados (fi)
200-300 85 85
300-400 90 175
400-500 120 295
500-600 70 365
600-700 62 427
700-800 36 463
• Siendo, La posición del primer
cuartil.
• La posición del 7 decil.
• La posición del percentil 30.

EJEMPLO:
Entonces,
El primer cuartil:
115.75 – 85 = 30.75
Li = 300, Ic = 100 , fi = 90
463
4
= 115,75

EJEMPLO:
El 7 decil:
Posición:
324.1 – 295 = 29.1
Li = 500, fi = 70
El percentil 30
Posición:
138.9 – 85 = 53.9
Li= 300, fi = 90
Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados ganan salarios por debajo de $
334; que bajo 541.57 gana el 70% de los empleados y sobre $359.88, gana el 70% de los
empleados.

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