O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de geometria como pontos, retas, planos, ângulos e suas medidas. Também aborda conceitos como segmentos de reta, posições relativas de retas e operações com medidas de ângulos. O documento é utilizado como material de apoio no programa de certificação de pessoal de caldeiraria do SENAI-ES.
3. Espírito Santo
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Sumário
Introdução à Geometria ......................................................... 03
Ângulos ................................................................................. 11
Triângulos ............................................................................. 29
Congruência de triângulos .................................................... 47
Quadriláteros ......................................................................... 53
Polígonos Convexos ............................................................. 67
Circunferência e Círculo ........................................................ 75
Sistema Métrico Decimal - Medidas de Massas .................... 89
Medidas não decimais ........................................................... 95
Produto Cartesiano .............................................................. 101
Função do 1º grau ................................................................ 111
Relações Métricas nos Triângulos Retângulos ..................... 121
Razões trigonométricas ........................................................ 137
Relações Métricas num Triângulo qualquer ......................... 147
Relações métricas na Circunferência ................................... 155
Polígonos Regulares ............................................................ 167
Área de Polígonos ................................................................ 177
Medida da circunferência e área do círculo .......................... 183
Bibliografia ........................................................................... 193
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4. Espírito Santo
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Introdução à Geometria
Ponto, Reta e Plano
Representação:
• Ponto - letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ...
• Reta - letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, ...
• Plano - letras gregas minúsculas: α, β, γ, ...
A
ponto reta α
plano
Considerações importantes:
a) Numa reta há infinitos pontos.
r r
b) Num plano há infinitos pontos.
α α
b) Num plano existem infinitas retas.
m
r
s
n
t
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6 Companhia Siderúrgica de Tubarão
6. Espírito Santo
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Pontos Colineares
Os pontos pertencentes a uma mesma reta são chamados
colineares.
S
A B C R T
Os pontos A, B e C são colineares Os pontos R, S e T não são colineares
Figura Geométrica
• Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.
• Figura geométrica plana é uma figura em que todos os
seus pontos estão num mesmo plano.
Exercícios
1) Quais são os elementos fundamentais da Geometria ?
2) Quantos pontos podemos marcar num plano ?
3) Quantas retas podemos traçar num plano ?
4) Por dois pontos distintos quantas retas podemos traçar ?
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8 Companhia Siderúrgica de Tubarão
7. Espírito Santo
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5) Observe a figura e responda:
M R P
r
A
Q S N s
a) Quais dos pontos pertencem à reta r ?
b) Quais dos pontos pertencem à reta s ?
c) Quais dos pontos pertencem às retas r e s ?
6) Observe a figura e complete:
a) Os pontos A, F e ___ são colineares.
b) Os pontos E, F e ___ são colineares.
c) Os pontos C, ___ e E são colineares.
d) os pontos ___, B e C são colineares.
E
D
F
A B C
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Departamento Regional do Espírito Santo 9
8. Espírito Santo
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Posições relativas de duas Retas no Plano
Duas retas distintas contidas em um plano podem ser:
a) retas concorrentes: quando têm um único ponto comum.
A r
r∩s={A}
s
a) retas paralelas: quando não têm ponto comum.
r
s r∩s=∅
Exercícios
1) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras ?
a) r e s são concorrentes
b) r e t são concorrentes
c) s e t são paralelas
d) s e p são paralelas
r s t
p
s∩t=∅
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9. Espírito Santo
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Semi-reta
Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas
partes denominadas semi-retas de origem P.
semi-reta semi-reta
P r
Para distinguir as semi-retas, vamos marcar os pontos A e B
pertencentes a cada semi-reta.
B P A r
PA - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A.
PB - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B.
Segmento
Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos
pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades.
A B
Indica-se o segmento AB por AB
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10. Espírito Santo
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Segmentos Consecutivos
Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são
chamados consecutivos.
Exemplo:
B
A C P Q R
AB e BC são consecutivos PQ e QR são consecutivos
Segmentos Colineares
Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma
reta.
Exemplo:
A B C D P Q R
AB e CD são colineares PQ e QR são colineares (e consecutivos)
Segmentos Congruentes
Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem
medidas iguais.
Indicação: A B
4 cm
AB ≅ CD
Significa: AB é congruente a CD C 4 cm D
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12 Companhia Siderúrgica de Tubarão
11. Espírito Santo
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Ponto médio de um segmento
Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento AB se M
está entre A e B e AB ≅ CD .
A M B
Exercícios
1) Observe a figura abaixo e escreva se os segmentos são
consecutivos, colineares ou adjacentes (consecutivos e
colineares):
C
A B D E F G
a) AB e BC = e) AB e EF =
b) AB e DE = f) DE e EF =
c) BC e CD = g) EF e FG =
d) CD e DE = h) AB e FG =
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Departamento Regional do Espírito Santo 13
12. Espírito Santo
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2) Observe a figura e responda:
A
5
E 7 F 3 G
2
8
B C D
12
a) Qual a medida do segmento EG ?
b) Qual a medida do segmento AB ?
c) Qual a medida do segmento CD ?
2) Na figura abaixo, M é o ponto médio de AB e N é o ponto
médio de BC . Se AB mede 6cm e BC mede 4cm.
A M B N C
a) Qual é a medida de AM ?
b) Qual é a medida de BN ?
c) Qual é a medida de MN ?
d) Qual é a medida de AN ?
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14 Companhia Siderúrgica de Tubarão
13. Espírito Santo
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Ângulos
Definição
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e
não-colineares.
Na figura:
• O é o vértice.
B
• OA e OB são os lados
o
lad
vértice
O lado A
Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplesmente Ô.
Pontos internos e Pontos externos a um Ângulo
Seja o ângulo AÔB
• Os pontos C, D e E são alguns dos pontos
internos ao ângulo AÔB.
G B
• Os pontos F, G, H e I são alguns dos pontos
F C externos ao ângulo AÔB.
O D
E
H
I
A
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Medida de uma ângulo
Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado
transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB
da figura mede 40 graus.
Indicação:
m (AÔB) = 40º
A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda.
1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’)
1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)
Simbolicamente:
• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’
• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é
indicado por 12º 20’ 45”.
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15. Espírito Santo
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Exercícios
1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo
transferidor:
a) m (AÔB) = a) m (AÔB) =
b) m (AÔB) = b) m (AÔB) =
c) m (AÔB) = c) m (AÔB) =
d) m (AÔB) = d) m (AÔB) =
Operações com medidas de ângulos
Adição
1) Observe os exemplos:
17º 15’ 10”
17º 15’ 10” + 30º 20’ 40” + 30º 20’ 40”
47º 35’ 50”
2)
13º 40’
+ 30º 45’
13º 40’ + 30º 45’ 43º 85’
+ 1º 25’
44º 25’
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Departamento Regional do Espírito Santo 17
17. Espírito Santo
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Multiplicação de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
1) 2)
17º 15’ x 2 24º 20’ x 3
17º 15’ 24º 20’
x 2 x 3
34º 30’ 72º 60’
1º
73º
Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.” 90º x 90º = ?
Exercícios
1) Calcule os produtos:
a) 25º 10’ x 3 = a) 28º 30’ x 2 =
b) 44º 20’ x 2 = b) 12º 40’ x 3 =
c) 35º 10’ x 4 = c) 15º 30’ x 3 =
d) 16º 20’ x 3 = d) 14º 20’ x 5 =
Divisão de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
36º 30’ ÷ 3 39º 20’ ÷ 4
36º 30’ 3 39º 20’ 4
0 0 12º 10’ 3º 180’ 9º 50’
200’
00
Nota: “Não há divisão entre ângulos.” 90º ÷ 20º = ?
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Departamento Regional do Espírito Santo 19
18. Espírito Santo
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Exercícios
1) Calcule os quocientes:
a) 48º 20’ ÷ 4 = a) 55º ÷ 2 =
b) 45º 30’ ÷ 3 = b) 90º ÷ 4 =
c) 75º 50’ ÷ 5 = c) 22º 40’ ÷ 5 =
2) Calcule:
2 3
a) de 45º = a) de 48º 20’ =
3 4
5 3
b) de 84º = b) de 15º 20’ =
7 2
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.
B
C
O 30º
30º
O
A D
Indicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)
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20 Companhia Siderúrgica de Tubarão
19. Espírito Santo
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Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
A
O
M
B
Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.
Exercícios
1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do
ângulo dado.
a) b)
A A
4X + 5º 3X
O X + 20º
O
37º M M
B B
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Departamento Regional do Espírito Santo 21
20. Espírito Santo
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2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do
ângulo dado.
a) b)
A
3X
C
O 5X - 20º
M x
- 5º
2
B
A
B
35º
O
Ângulos Reto, Agudo e Obtuso
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas
medidas:
• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.
• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.
• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.
ÂNGULO RETO ÂNGULO AGUDO ÂNGULO OBTUSO
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22 Companhia Siderúrgica de Tubarão
21. Espírito Santo
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Retas Perpendiculares
Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos,
dizemos que elas são perpendiculares.
Indicação: r ⊥ s
Significa: r perpendicular a s.
Ângulos Complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é 90º.
A
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
B
O C
Exemplos:
• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º
• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 23
22. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um
ângulo (medido em graus):
a) 2x = 90º e) 4 (x + 3º) = 20º
b) 4x + 10º = 90º f) (3x - 20º) + 50º = 90º
c) 5x - 20º = 1º + 2x g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º)
d) x = 2 (90º - x) h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)
2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:
• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
dobro do seu complemento.
Solução:
Medida do ângulo = x
Medida do complemento do ângulo = 90º - x
x = 2 ( 90º - x )
Resolvendo a equação: x = 2 (90º - x)
x = 180º - 2x
x + 2x = 180º
3x = 180º
x = 60º
Resposta: 60º
a) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
complemento. Quanto mede esse ângulo ?
b) A medida de um é a metade da medida do seu
complemento. Calcule a medida desse ângulo.
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23. Espírito Santo
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c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
triplo de seu complemento.
d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu
complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.
e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º.
Qual a medida do ângulo ?
f) Dois ângulos complementares têm suas medidas
expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto
medem esses ângulos ?
Ângulos Suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas
medidas é 180º.
m (AÔB) + m (BÔC) = 180º
B
A O C
Exemplos:
• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º
• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º
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Departamento Regional do Espírito Santo 25
24. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:
a)
3x - 10º
2x - 40º
2) Calcule x:
a)
5x - 4º
3x
2x 2x - 2º
3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a
medida do seu suplemento.
4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
suplemento. Calcule esse ângulo.
5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu
suplemento.
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26 Companhia Siderúrgica de Tubarão
25. Espírito Santo
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6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do
suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do
suplemento desse ângulo é 250º
2
8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a do
3
seu suplemento.
9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é
110º. Quanto mede o ângulo ?
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a
dois, opostos pelo vértice.
Na figura:
∃
• â e c são opostos pelo vértice.
∃ ∃
• m e n são opostos pelo vértice.
∃
c
∃
m ∃
n
∃
a
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Departamento Regional do Espírito Santo 27
26. Espírito Santo
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Teorema
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Prova:
Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.
∃ ∃
( 1 ) m ( a ) + m ( c ) = 180º
∃ ∃
( 2 ) m ( b ) + m ( c ) = 180º
Comparando ( 1 ) e ( 2 ) :
∃ ∃ ∃ ∃
m (a ) + m ( c ) = m (b) + m ( c )
∃
m (a) = ∃
m (b)
∃ ∃
Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.
Exercícios:
1) Se x = 50º, determine y, m e n:
m
x y
n
2) Calcule os ângulos x, y, z e w da figura:
100º
y w
x 18º
z
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28 Companhia Siderúrgica de Tubarão
27. Espírito Santo
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3) Calcule os ângulos x, y e z das figuras:
y
x 80º
z y 60º 130º
z x
4) Observe o exemplo abaixo e determine o valor de x nas
seguintes questões:
Solução:
5x - 70º = 2x + 20º
5x - 70º 2x + 20º 5x - 2x = 20º + 70º
3x = 90º
x = 30º
a) b)
3x + 10º
x + 70º
2x
x + 50º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 29
28. Espírito Santo
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c) d)
5 (x - 3º)
x x
+ 1º + 6º
2 3
4 (x - 3º)
Ângulos formados por duas retas paralelas e uma
transversal
Duas retas r e s, interceptadas pela transversal t, formam oito
ângulos.
t
2
A 1
r
3
4
6
B 5
s
7
8
Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são
assim denominados:
∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃
• Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7
∃ ∃ ∃ ∃
• Colaterais internos: 4 e 5, 3 e 6
∃ ∃ ∃ ∃
• Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7
∃ ∃ ∃ ∃
• Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5
∃ ∃ ∃ ∃
• Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8
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CST
30 Companhia Siderúrgica de Tubarão
29. Espírito Santo
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Propriedades
Considere duas retas paralelas e uma transversal.
t
r
s
Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que
são válidas as seguintes propriedades:
• Os ângulos correspondentes são congruentes.
• Os ângulos alternos externos são congruentes.
• Os ângulos alternos internos são congruentes.
• Os ângulos colaterais externos são suplementares.
• Os ângulos colaterais internos são suplementares.
Exercícios
a)
t
2x
r
3x - 20º
s
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 31
31. Espírito Santo
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Triângulos
Conceito
Triângulo é um polígono de três lados.
A
B C
Na figura acima:
• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
• Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo.
∃ ∃ ∃
• Os ângulos A , B e C são ângulos internos do triângulos.
Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por ∆ ABC.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 33
32. Espírito Santo
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Ângulo Externo
Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.
A
m
C B
∃
Na figura acima m é um ângulo externo.
Perímetro
O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos
seus lados.
Perímetro ∆ ABC = AB + AC + BC
Classificação dos Triângulos
Quanto aos lados os triângulos se classificam em:
• Equilátero quando tem os três lados congruentes.
• Isósceles quando tem dois lados congruentes.
• Escaleno quando não tem lados congruentes.
A
A A
B C B C C B
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
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CST
34 Companhia Siderúrgica de Tubarão
33. Espírito Santo
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Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:
• Acutângulo quando tem três ângulos agudos
• Retângulo quando tem um ângulo reto.
• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.
R R
R
S T S T S T
ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO
Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto
chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se
hipotenusa.
A
Cateto Hipotenusa
B C
Cateto
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 35
34. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Determine o comprimento do lado BC , sabendo-se que o
perímetro do ∆ ABC é 48cm.
A
x 15
C 2x B
2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento
do menor lado.
R
x+7
x
S x+3 T
3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos
ângulos:
A
A
A
100º
80º
60º 40º 45º 35º
B C C B B C
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CST
36 Companhia Siderúrgica de Tubarão
35. Espírito Santo
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4) Observe a figura e responda:
A
B C
a) Que nome recebe o lado BC ?
b) Que nome recebem os lados AB e AC ?
5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?
Condição de existência de um Triângulo
Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos
outros dois lados.
Exemplo:
Seja o triângulo: A
4 cm
2 cm
B 3 cm C
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 37
36. Espírito Santo
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__
Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das
medidas dos outros dois.
Assim: 2 < 3 + 4 ou 2 < 7
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
Para verificar a citada propriedade, procure construir um
triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm.
4 cm
2 cm
A 7 cm B
É impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos lados
medem 7cm, 4cm e 2cm.
Elementos notáveis de um triângulo
• Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice
ao ponto médio do lado oposto.
R R
baricentro
me
dia
na
S M T S T
Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um
ponto chamado baricentro.
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CST
38 Companhia Siderúrgica de Tubarão
37. Espírito Santo
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• Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um
ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse
ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.
R R
incentro
bis
set
riz
S T S T
P
Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um
ponto interior chamado incentro.
• Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular
traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu
prolongamento.
R R R
ortocentro
altura
altura
S T
S T
S T
Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto
chamado ortocentro.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 39
38. Espírito Santo
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Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos.
B B
80º 60º
60º
40º
30º
A C
A C
80º + 40º + 60º = 180º
30º + 60º + 90º = 180º
Note que: ∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
Vamos à demonstração desse teorema.
Teorema
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos
internos é igual a 180º.
Prova:
consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
A
s
^
1 ^
2
^
A
B C
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CST
40 Companhia Siderúrgica de Tubarão
39. Espírito Santo
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a) Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC .
∃ ∃ ∃
m ( 1 ) + m ( A ) + m ( 2 ) = 180º 1
Note que: ∃ ∃
m ( 1 ) ≅ m ( B ) (alternos internos) 2
∃ ∃
m ( 2 ) ≅ m ( C ) (alternos internos) 3
b) Temos que:
c) Substituindo 2 e 3 em 1, temos:
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
Exercícios:
1) Calcular x no triângulo abaixo:
B
80º
x 30º
A C
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 41
43. Espírito Santo
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Teorema do ângulo externo
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.
Prova:
Consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
∃ ∃ ∃
m ( e ) = m ( A ) + m (B )
B
e
A C
a) ∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º (pelo teorema anterior)
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) = 180º - m ( C ) 1
b) ∃ ∃
m ( e ) + m ( C ) = 180º
∃ ∃
m ( e ) = 180º - m ( C ) 2
Igualando 1 e 2 temos:
∃ ∃ ∃
m ( e ) = m ( A ) + m (B )
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 45
47. Espírito Santo
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b)
A
75º
C
20º 15º
x
B D
4) O perímetro do triângulo da figura é 37cm. Qual a medida
do menor lado ?
A
3x 2x + 2
B C
2x
5) Com os segmentos de medidas 8cm, 7cm e 18cm podemos
construir um triângulo ? Por quê ?
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 49
50. Espírito Santo
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Congruência de triângulos
Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se
for possível transportar um deles sobre o outro, de modo que
eles coincidam.
A A
B C B C
Definição
Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e
os ângulos correspondentes são congruentes.
Logo:
AB ≅ RS ∃ ∃
A ≅R
BC ≅ ST e ∃ ∃
⇔ B ≅ S
∆ ABC ≅ ∆ RST
CA ≅ TR ∃ ∃
C ≅ T
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CST
52 Companhia Siderúrgica de Tubarão
51. Espírito Santo
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Casos de congruência
O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por
finalidade estabelecer o menor número de condições para que
dois triângulos sejam congruentes.
1º CASO: L . L . L . (lado, lado, lado)
Dois triângulos que têm três lados respectivamente congruentes
são congruentes.
B F
2 cm 3 cm 2 cm 3 cm
A 4 cm C E 4 cm G
AB ≅ EF
AC ≅ EG ⇔ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
BC ≅ FG
2º CASO: L . A . L . (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formado
respectivamente congruentes são congruentes.
B F
5 cm 5 cm
30º 30º
C 6 cm A G 6 cm E
AB ≅ EF
∃ ∃ ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
A ≅E
AC ≅ EG
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 53
52. Espírito Santo
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3º CASO: A . L . A . (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos que têm um lado e dois ângulos adjacentes a
esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
B F
50º 40º 50º
A 3 cm C E 3 cm G
∃ ∃
A ≅E
AC ≅ EG ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
∃ ∃
C ≅ G
4º CASO: L . A . Ao . (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um
ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são
congruentes.
B F
50º 50º
30º 30º
A 5 cm C E 5 cm G
AC ≅ EG
∃ ∃ ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
A ≅E
∃ ∃
B ≅F
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CST
54 Companhia Siderúrgica de Tubarão
56. Espírito Santo
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Quadrilátero
Conceito
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
No quadrilátero ao lado, destacamos:
A
• vértice: A, B, C, D
• lados: AB , BC , CD e DA
∃ ∃ ∃ ∃
• ângulos internos: A , B , C e D
D
• lados opostos: AB e CD , AD e BC
∃ ∃ ∃ ∃
• ângulos opostos: A e C , B e D
B
C
Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer
segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele.
B
A
A B C
D
D
C
Quadrilátero não-convexo
Quadrilátero convexo
Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.
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CST
58 Companhia Siderúrgica de Tubarão
57. Espírito Santo
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Diagonal
O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado
diagonal.
D
Na figura, AC e BD são diagonais.
A C
B
Exercícios
1) Observe o quadrilátero e responda:
a) Quais são os lados ? M P
b) Quais são os vértices ?
c) Quais são os ângulos internos ?
d) Quais são as diagonais indicadas ?
N
O
2) Considere o quadrilátero ABCD.
a) Nomeie os dois pares de lados A B
opostos.
b) Nomeie os dois pares de ângulos
opostos. C D
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 59
58. Espírito Santo
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3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede
cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2,
3x + 1 e 2x - 4 ?
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em
dois triângulos.
Veja:
B
A
D C
A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos
ângulos internos do quadrilátero.
Logo:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é
180º + 180º = 360º
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CST
60 Companhia Siderúrgica de Tubarão
60. Espírito Santo
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4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:
a) b)
R F
x 130º z
N
120º
E
y
130º 95º
110º x
M S
G H
5) Calcule x na figura:
80º
x
40º 20º
x + 20º
6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que
x 3x
eles medem x, 2x, e .
2 2
Paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos
paralelos.
A C
Na figura, temos:
AB CD
AC BD
B D
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CST
62 Companhia Siderúrgica de Tubarão
61. Espírito Santo
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Tipos de Paralelogramos
• Retângulo - Possui quatro ângulos retos.
• Losango - Possui os quatro lados congruentes.
• Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos
retos.
Retângulos Losango Quadrado
Note que:
• Todo quadrado é um losango.
• Todo quadrado é um retângulo.
Teorema:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
Prova:
Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que
∃ ∃ ∃ ∃
A ≅ C eB ≅D
A C
^
^ 2
1
^
4
^
3
B D
a) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos
ABD e CDB.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 63
62. Espírito Santo
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b) Temos:
∃ ∃
• 1 ≅ 4 (alternos internos)
A.L.A.
• BD ≅ BD (comum) ∆ ABD ≅ ∆ CDB
∃ ∃
• 2 ≅ 3 (alternos internos)
∃
Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: A
∃
≅ C.
∃ ∃
• 1≅ 4
⇒ ∃ ∃
1+ 4 ≅ ∃ ∃
2 + 3
∃ ∃
• 2 ≅ 3
∃ ∃
Logo: B ≅ D
Exercícios:
1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
A B
y x
50º z
D C
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CST
64 Companhia Siderúrgica de Tubarão
63. Espírito Santo
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2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
P Q
3x - 10º
x - 50º
R S
3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w.
110º 70º
x w
z y
70º 110º
4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?
5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:
a) b)
B C P Q
60º 142º
A D S R
6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 65
64. Espírito Santo
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a) b)
R S R S
x + 70º 3x - 10º
2x + 10º 2x + 8º
T U T U
7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
a) b)
R S R S
3x
2x + 25º 5x + 20º
T U T U
7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo:
a) b)
R R
x + 80º
S x U S y z U
5x 2x + 20º
T T
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CST
66 Companhia Siderúrgica de Tubarão
65. Espírito Santo
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Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que
são chamados de base).
A base menor B
Na figura, temos:
altura
AB CD
C base maior D
A distância entre as bases chama-se altura.
Tipos de Trapézio
• Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes.
• Retângulo - Tem dois ângulos retos.
• Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes.
E F E F E F
Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo Trapézio
Escaleno
G H G H
G H
Exercícios:
1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos ?
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Departamento Regional do Espírito Santo 67
66. Espírito Santo
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2) Calcule o valor de x nas figuras:
a) b)
R S R S
2x 2x x
x x 30º
T U T U
3) Calcule o valor de x nas figuras:
a) b)
R S R S
2x x
110º
x + 30º
T U T U
4) Responda:
a) Quantos lados possui um quadrilátero ?
b) Quantos vértices possui um quadrilátero ?
c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?
5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero?
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CST
68 Companhia Siderúrgica de Tubarão
71. Espírito Santo
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Elementos de um Polígono
Observe o polígono ABCDE:
• A, B, C, D, E são os vértices. B
• ∃ ∃ ∃ ∃ ∃
A , B , C , D , E são os ângulos internos. o vértice
lad
• AB , BC , CD , DE , EA são os lados. A C
E D
Nomes dos Polígonos
Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes
especiais:
nome nº de lados
triângulo ..................................................... 3
quadrilátero ................................................ 4
pentágono .................................................. 5
hexágono ................................................... 6
heptágono .................................................. 7
octógono .................................................... 8
eneágono ................................................... 9
decágono .................................................. 10
undecágono .............................................. 11
dodecágono .............................................. 12
pentadecágono ......................................... 15
icoságono .................................................. 20
• O número de lados de um polígono é igual ao número de
vértices.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 73
72. Espírito Santo
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Exercícios
1) Quais são os polígonos convexos ?
a) b) c)
2) Responda:
a) Quantos lados tem um hexágono ?
b) Quantos lados tem um undecágono ?
c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ?
d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados ?
3) Como se chama um polígono de:
a) 5 lados ?
b) 12 lados ?
c) 7 vértices ?
d) 20 vértices ?
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
A traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um
polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de
triângulos é sempre o número de lados menos dois.
Veja:
A
D 4 lados ⇒ 2 triângulos
2
1
B
C
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CST
74 Companhia Siderúrgica de Tubarão
73. Espírito Santo
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A
B 2 E
1
5 lados ⇒ 3 triângulos
3
C D
A
6 lado ⇒ 4 triângulos
. .
B F
1 4 . .
. .
. .
. .
2 3 . .
C . .
E
. .
. .
D n lados ⇒ ( n - 2 ) triângulos
Um polígono de n lados será dividido em (n - 2) triângulos. Logo,
para obter a soma de seus ângulos internos (Sn), basta
multiplicar o número de triângulos por 180º, ou seja:
Sn = ( n - 2 ) . 180º
Exemplo:
Calcular a soma dos ângulos internos do octógono ( n = 8 )
Solução:
Sn = ( n - 2 ) . 180º
S8 = ( 8 - 2 ) . 180º
S8 = 6 . 180º
S8 = 1080º
Resposta: 1080º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 75