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[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュ
- 3. 3 Key に対応するValue を得たい ex) コンパイラの記号表 辞書を表すデータ構造
- 5. 5 直接アドレス表の定義 普遍集合: から選択されるキー を持つ動的集合を表現 すべての要素は異なるキーを持つと仮定 直接アドレス表: 配列の各位置: 枠(Slot) 集合がキー を含まなければ U = {0, 1, . . . m − 1} T = {0, 1, . . . m − 1} k T[k] = nil
- 8. 8 直接アドレス表の問題点 普遍集合 が大きくなる-> 計算時間遅い キー集合が である必要有 キーと格納先は1:1対応である必要 U k << U
- 9. 9 ハッシュ直接アドレス: キー に格納 ハッシュ: キー に格納 で枠の位置を決める操作: ハッシュする(Hashing) k → 枠k k → ハッシュ関数h(k) h(k) は普遍集合 から への写像h(k) U T = {0, 1, . . . m − 1} h : U → {0, 1, . . . , m − 1}
- 12. 12 挿入の探索時間の評価 INSERT: をリスト の先頭に代入 -> SEARCH: の中からキー をもつ要素を探査 DELETE: リスト から を削除-> x T[h(x. key)] O(1) T[h(k)] k T[h(x. key)] x O(1)
- 13. 13 チェイン法の探査時間 ハッシュ表の負荷率 : 1つのチェインにある要素数の平均 (最悪 ) 単純一様ハッシュ仮定(Simple Uniform Hashing) n要素, 枠数mの α = n/m α Θ(n) 失敗時: , 成功時: ハッシュ表の枠数と表の要素数が比例: Θ(1 + α) Θ(1 + α) n = O(m) α = n/m = O(m)/m = (1)
- 15. 15 除算法 h(k) = k mod m を決定する, 2のべき乗から離れているほどよい 問題点: ハッシュ先のバリエーションが少ない-> 衝突 が発生 m
- 16. 16 乗算法 1. キー を乗じ, 整数部のみを抽出 2. 任意の数 を乗じ, 少数部を切り捨て kに定数A(0 < A < 1) m h(k) = [m(kA mod 1)] の選択に結果がさほど依存しない, 通常は 理想の m m = 2 p A ≈ ( − 1)/2 = 0.6180339887...5‾√
- 17. 17 万能ハッシュ法 悪意のある代入時, 最悪探索時間はO(n) ランダムにハッシュ関数を選べば起こりえない へと写像する の集合 からランダムに抽出した についてキー の衝突が のときに万能 Uを{0, 1, . . . m − 1} h(k) ℌ ℌ h k, l < 1/m
- 18. 18 万能ハッシュ法の設計 全てのキー が に入る十分大きな素数 を 選ぶ を 表す は素数なので, これを法として整数論的に解ける(普遍 集合のサイズは枠数よりも十分に大きい) k 0 < k < p − 1 p で集合{0, 1, . . . , p − 1}, で集合{1, 2, . . . , p − 1}ℤp ℤ ∗ p p
- 19. 19 万能ハッシュ法の設計 任意の に対してハッシュ関数 を に関する法をとることで定義 このようなハッシュ関数からなる族をランダムに選べ ばよい a ∈ , b ∈ℤp ℤ ∗ p ha,b p, m = ((ak + b) mod p) mod mha,b = { : a ∈ かつ b ∈ }ℌpm ha,b ℤp ℤp
- 20. 20 オープンアドレス法 Open addressing 全ての要素をハッシュ表に格納する(チェイン法のよ うにリストを有しない) 値がぶつかった場合, 次の要素を探査 探索は要素を発見or失敗まで継続する(キーを置ける空 の枠があるまで) 利点: ポインタを使用しないため容量減, 衝突減, 高速 化
- 21. 21 オープンアドレス法 ハッシュ関数を拡張(探索番号の導入) の探査列 は表を完全 に埋めるために の置換である必要 h : U × {0, 1, . . . , m − 1} → {0, 1, . . . , m − 1} k ⟨h(k, 0), h(k, 1), . . . , k(k, m − 1)⟩ ⟨0, 1, . . . , m − 1⟩
- 23. 23 オープンアドレス法の手法 一様ハッシュを仮定, キーの探査列は ある置換の うち1つと等確率で一致 ( ) 1つの数だけでなく1つの探査列を出力するように拡張 した単純一様ハッシュ 一様ハッシュの実現は困難-> ダブルハッシュ法などで 近似 m!個 Θ(m!)
- 24. 24 線形探査法 以下のハッシュ関数を用いる 補助ハッシュ関数 を用いて線形に探査していく 問題点: 主クラスタ化(primary clustering) h(k, i) = ( (k) + i) mod nh ′ (k)h ′
- 25. 25 2次関数探査法 以下のハッシュ関数を用いる は正の補助定数, 探査数(探査する位置)は で表さ れる2次式より決定 探査列のバリエーション増加 , 主クラスタ化を防 止 問題点: 同じ初期探査位置を持つ2つのキーは同じ探査 列を持つ-> 副クラスタ化(secondary clustering) h(k, i) = ( (k) + i + ) mod nh ′ c1 c2 i 2 ,c1 c2 i Θ(m)
- 26. 26 ダブルハッシュ法 以下のハッシュ関数を用いる ランダム置換と多くの性質を共有->最良 初期位置と次探査位置の2つが変化しうる-> キー に二 重依存, 探査列のバリエーション増加 ハッシュ表全体を探索するためには, 値 はハッシ ュ表のサイズ と互いに素である必要 h(k, i) = ( (k) + i (k)) mod nh1 h2 k Θ( )m 2 (k)h2 m
- 27. 27 オープンアドレス法の解析 負荷率 一様ハッシュを仮定したとき, 探査列と置換数は一致 成功時の探査数期待値: 以下 失敗時の探査数期待値: 挿入時の探査数期待値: α = n/m < 1 ln 1 α 1 1−α 1/(1 − α) 1/(1 − α)
- 28. 28 完全ハッシュ法 Perfect Hashing ハッシュ: キー集合が静的な場合大きさは変わらず, 最 悪時にも良い性能(ex. 予約語, CD) 探索に必要なメモリアクセス回数が最悪でもO(1)
- 30. 参考文献[1] T. H. Cormen, C. Stein, R. L. Rivest, and C. E. Leiserson, アルゴリズムイントロダクション 第3版, Vol. 1, 2012. [2] D. E. Knuth, Sorting and Searching, volume 3 of The Art of Computer Programming, Addusib-Wesley, 1973, 2nd Edition, 1997
- 31. 30