Το άρθρο αυτό δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Ευκλείδης γ', το οποίο εκδίδει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία κάθε έξι μήνες. Το συγκεκριμένο συμπεριλαμβάνεται στο τεύχος 89, περιόδου Ιουλίου - Δεκεμβρίου 2018.

1.
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY / EUCLIDES γ΄ vol. 89, 2018
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ γ΄, Τεύχος 89, 2018
Τα Μαθηματικά και η σχέση τους με την
Αρχιτεκτονική σχεδίαση
Ρεβέκα Θεοδωροπούλου
Καθηγήτρια Μαθηματικών
M.Sc.: Μαθηματική
Μοντελοποίηση στις Φυσικές
Επιστήμες και στις Σύγχρονες
Τεχνολογίες
rtheodor@hotmail.gr
Θωμάς Γκέβρος
Πολιτικός Μηχανικός
gevrostom@yahoo.com
Περίληψη
Η επιστήμη των Μαθηματικών είναι πάντα στο επίκεντρο του
ενδιαφέροντος πολλών ανθρώπων αλλά δυστυχώς δεν ακούγονται γι αυτήν
μόνο θετικά. Οι περισσότεροι μιλούν για δυσκολίες που αντιμετωπίζουν
όταν καταπιάνονται με αυτά και μάλιστα υποστηρίζουν την μη
αναγκαιότητα των Μαθηματικών στη ζωή τους πέραν από τα σχολικά και
φοιτητικά τους χρόνια.
Αυτό που εμείς προσπαθήσαμε με τη μελέτη αυτή είναι να δείξουμε
πως υπάρχουν πολλοί τομείς της σύγχρονης ζωής που σχετίζονται απόλυτα
και μάλιστα είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι με τα Μαθηματικά. Αυτός με τον
οποίο ασχοληθήκαμε είναι η αρχιτεκτονική σχεδίαση. Θέλοντας να
αποδείξουμε τη σχέση της με τα Μαθηματικά επιλέξαμε το σχολικό βιβλίο
της γ’ τάξης του Λυκείου, με τίτλο «Γραμμικό Σχέδιο».
Ξεφυλλίζοντας λοιπόν αυτό το βιβλίο διαπιστώσαμε πόσο απαραίτητες
είναι οι γνώσεις πολλών μαθηματικών εννοιών στο να ασχοληθεί κάποιος
με το γραμμικό σχέδιο και να προχωρήσει σε αυτό, σε επίπεδο μάλιστα
πανελληνίων εξετάσεων, αφού για να περάσει κάποιος σε μια αρχιτεκτονική
σχολή είναι υποχρεωτικό να εξεταστεί και σε αυτό το μάθημα.
Αυτό που κάναμε ήταν να εντοπίσουμε στις σελίδες αυτού του βιβλίου
τις μαθηματικές έννοιες που χρησιμοποιούνται και μάλιστα να τις
συνδέσουμε με το βιβλίο και τη σχολική τάξη, στην οποία διδάχτηκαν για
πρώτη φορά. Καταφέραμε να σχηματίσουμε έναν πίνακα που παρουσιάζει

2. 18 Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Θωμάς Γκέβρος
όλα τα Μαθηματικά που βρήκαμε στο βιβλίο του Γραμμικού Σχεδίου και τα
αντιστοιχίσαμε με τα σχολικά βιβλία του Γυμνασίου και του Λυκείου.
Φυσικά και η σχέση των Μαθηματικών με την Αρχιτεκτονική Σχεδίαση
δεν είναι μόνο πρακτική αλλά και θεωρητική. Όπως τα Μαθηματικά έτσι
και η αρχιτεκτονική σχεδίαση δεν είναι μόνο τέχνη αλλά είναι ένας
συνδυασμός τέχνης και επιστήμης. Δεν είναι λοιπόν μόνο το ένα ή το άλλο.
Είναι και τα δύο μαζί. Πόσο μάλλον όταν τέχνη και επιστήμη είναι δύο
όψεις του ίδιου νομίσματος, ενώ τα τελευταία χρόνια ολοένα και
περισσότερο καταργούνται οι διαχωριστικές γραμμές μεταξύ τους.
Όσο δύσκολο και αν φαίνεται αρχικά, τόσο η ενασχόληση με τα
Μαθηματικά, όσο και με το αρχιτεκτονικό σχέδιο είναι μια δημιουργική
δραστηριότητα, όπου η γνώση και η κατάκτησή τους χρειάζεται
προσπάθεια, πειθαρχεία, επιμονή, υπομονή και φυσικά αγάπη.
Mathematics and their relationship with
Architectural Design
Abstract
The science of mathematics is always at the heart of the interest of
many people, but unfortunately they are not only heard about it positively.
Most talk about difficulties they encounter when dealing with them and
even support the non-necessity of Mathematics in their lives beyond their
school and student years.
What we have tried with this study is to show that there are many areas
of modern life that are totally related and are inherently connected with
Mathematics. The one we have dealt with is architectural design. In order to
prove her relationship with Mathematics, we chose the school textbook of
the third grade of Lyceum entitled "Linear Plan".
To browse this book, we found out how necessary the knowledge of
many mathematical concepts is to deal with the linear plan and to proceed
with it at the level of Pan-Hellenic examinations, since in order to pass to a
school of architecture it is obligatory to examine the course.
What we did was to locate on the pages of this book the mathematical
concepts used and even link them to the book and the classroom in which
they were taught for the first time. We have managed to form a table
showing all the Mathematics we found in the book of the Linear Plan and
we mapped them to the school books of High School and Lyceum.

3. Τα Μαθηματικά και η σχέση τους με την Αρχιτεκτονική Σχεδίαση 19
Of course, the relationship between Mathematics and Architectural
Design is not only practical but also theoretical. Like Mathematics,
architectural design is not only art but a combination of art and science. It is
not just one or the other. They are both together. All the more when art and
science are two sides of the same coin, and in the last few years the dividing
lines between them have been abolished.
As difficult as it may appear initially, both engagement with
mathematics and architectural design is a creative activity where knowledge
and conquest requires effort, discipline, persistence, patience and, of course,
love.
Εισαγωγή
Τα τελευταία χρόνια ολοένα και συχνότερα γίνεται λόγος για τη μη
αναγκαιότητα των Μαθηματικών στη ζωή και την καθημερινότητά μας,
μετά το τέλος των σχολικών και των φοιτητικών μας χρόνων. Πολλοί
μαθητές και φοιτητές υποστηρίζουν, πως οτιδήποτε και αν χρειαστούν, ο
υπολογιστής τσέπης (κομπιουτεράκι) θα τους δώσει τη λύση.
Άλλοι πάλι πιστεύουν ότι δεν υπάρχει λόγος να διδασκόμαστε κάτι (ως
μαθητές ή και αργότερα), το οποίο δεν θα εφαρμόσουμε στο επάγγελμα που
έχουμε επιλέξει. Παρά λοιπόν, τις αρνητικές και απαξιωτικές ακόμα
απόψεις για τη χρησιμότητα των Μαθηματικών υπάρχει πληθώρα
επαγγελμάτων που απαιτούν κάποιες βασικές γνώσεις μαθηματικών
εννοιών.
Από το απλό επάγγελμα του αγρότη, ο οποίος θα πρέπει να γνωρίζει
πως θα υπολογίσει το εμβαδό του χωραφιού του, πόσα γραμμάρια
φυτοφαρμάκου αντιστοιχούν στα στρέμματα της καλλιέργειάς του. Μέχρι
τον αρχιτέκτονα που πρέπει να σχεδιάσει το σπίτι, την πολυκατοικία, το
δρόμο, τη γέφυρα που επιθυμεί να κατασκευάσει, που εκτός από το ταλέντο
της σχεδίασης θα χρειαστεί και κάποιες μαθηματικές και κυρίως
γεωμετρικές γνώσεις. Τα Μαθηματικά λοιπόν δηλώνουν επιβλητικά την
παρουσία τους σε πολλά επαγγέλματα και στην καθημερινότητα όλων μας
επομένως.
Εμείς διαπιστώσαμε την ουσιαστική συσχέτιση των Μαθηματικών με
την αρχιτεκτονική σχεδίαση ξεφυλλίζοντας το σχολικό βιβλίο της γ’
λυκείου με τίτλο «Γραμμικό Σχέδιο». Το βιβλίο αυτό αποτελεί το
απαραίτητο εγχειρίδιο, το οποίο προετοιμάζει τους μαθητές για την
εισαγωγή τους σε αρχιτεκτονικές σχολές και σχολές καλών τεχνών της
τριτοβάθμιας εκπαίδευσης.

4. 20 Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Θωμάς Γκέβρος
Μελετώντας το, πιο αναλυτικά, παρατηρήσαμε ότι χρησιμοποιεί
μαθηματικές έννοιες για να προσδιορίσει βασικές αρχές του σχεδίου και να
τις διδάξει. Τα Μαθηματικά που εντοπίσαμε διδάσκονται στα παιδιά του
γυμνασίου και του λυκείου στο μάθημα της Άλγεβρας και σε αυτό της
Γεωμετρίας.
Εκτός από την ουσιαστική σχέση που συνδέει τα Μαθηματικά με το
αρχιτεκτονικό σχέδιο μια φράση κλειδί στο προαναφερθέν βιβλίο μας
ενίσχυσε την πεποίθηση ότι πρόκειται για δύο επιστήμες άρρηκτα δεμένες
στη βάση τους.
«Η σχεδίαση είναι μια δημιουργική δραστηριότητα και η γνώση και
κατάκτηση της χρειάζεται προσπάθεια, πειθαρχία, επιμονή, υπομονή και
αγάπη».
Θεωρώντας πως η ίδια πρόταση θα μπορούσε να γραφτεί και για τα
Μαθηματικά αποφασίσαμε να μελετήσουμε διεξοδικά τις δύο αυτές
αξιοθαύμαστες τέχνες και τη σχέση που τις συνδέει.
Στόχος της μελέτης και παρουσίαση του περιεχομένου της
Στην προσπάθειά μας να αναδείξουμε τη συσχέτιση μεταξύ δύο
επιστημονικών κλάδων, που φαινομενικά είναι άσχετοι παρατηρήσαμε
υπερβολικά πολλά κοινά σημεία και φυσικά την εξάρτηση του ενός από τον
άλλο. Στόχος λοιπόν αυτής της μελέτης είναι να εντοπίσει και να
παρουσιάσει τα σημεία τομής των Μαθηματικών και του αρχιτεκτονικού
σχεδίου.
Ο τρόπος που ακολουθήσαμε για να γίνει αυτό είναι ο εξής :
1) Διαβάσαμε το σχολικό βιβλίο «Γραμμικό Σχέδιο» και στη συνέχεια
κάθε ενότητα, στο κάθε κεφάλαιο, στην κάθε σελίδα αυτού βρήκαμε
και σημειώσαμε τις Μαθηματικές έννοιες που εμφανίζονται.
2) Στη συνέχεια εντοπίσαμε αυτές τις Μαθηματικές έννοιες στα
σχολικά βιβλία Μαθηματικών του γυμνασίου και του λυκείου.
Σημειώσαμε την τάξη και το κεφάλαιο που βρήκαμε το καθένα από
αυτά και δημιουργήσαμε μια λίστα των Μαθηματικών εννοιών που
αντιστοιχούν στο γυμνάσιο και άλλη μια για αυτές του λυκείου.
3) Κάνοντας λοιπόν τα δύο προηγούμενα βήματα σκεφτήκαμε ότι καλό
θα ήταν να προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους μαθητές, καθηγητές
και γονείς τον προτιμότερο τρόπο ώστε τα παιδιά να οδηγηθούν σε
αρχιτεκτονικές σχολές. Παρόλα αυτά, λόγω των συνεχών αλλαγών
στο σύστημα εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση αποφασίσαμε
να αποφύγουμε να αναφερθούμε σε επιστημονικά πεδία και
μαθήματα προσανατολισμού συγκεκριμένα. Τελειώνοντας λοιπόν,

5. Τα Μαθηματικά και η σχέση τους με την Αρχιτεκτονική Σχεδίαση 21
την ανάλυσή μας θα συμβουλέψουμε απλά τους αναγνώστες για τον
πιο κατάλληλο τρόπο, προκειμένου τα παιδιά να μην δυσκολευτούν
στο μάθημα του γραμμικού σχεδίου αλλά να έχουν δημιουργήσει
από πριν βήμα-βήμα το απαραίτητο υπόβαθρο Μαθηματικών
γνώσεων.
4) Ολοκληρώνοντας το πρακτικό κομμάτι της μελέτης μας θελήσαμε
να συγκρίνουμε γενικότερα τους δύο επιστημονικούς κλάδους. Έτσι
παρουσιάζουμε μια αντιπροσωπευτική εικόνα τόσο για τα
Μαθηματικά όσο και για το αρχιτεκτονικό σχέδιο.
Μαθηματικές έννοιες που εμφανίζονται στο βιβλίο του Γραμμικού
Σχεδίου
Γενικά, χρειαζόμαστε τα ίδια πράγματα και στα Μαθηματικά και στο
αρχιτεκτονικό σχέδιο. Για να μάθουμε Μαθηματικά, οποιασδήποτε
βαθμίδας δεν αρκεί μόνο να τα διαβάσουμε αλλά πρέπει και να πιάσουμε
μολύβι και χαρτί και να αρχίσουμε να κάνουμε μόνοι μας Μαθηματικά. Το
ίδιο περιγράφεται εδώ και για το σχέδιο. Κατά βάση, χρειάζονται τα ίδια
πρωταρχικά υλικά. Θα αριθμήσουμε κάποια από αυτά για να γίνουν πιο
κατανοητά αυτά που έχουμε να πούμε.
 Ευθείες γραμμές (πραγματικές και βοηθητικές), ευθύγραμμα
τμήματα, κορυφές και πλευρές.
Στο μάθημα της Γεωμετρίας προκειμένου να απεικονίσουμε το
σχεδιαστικό μας αντικείμενο, χρησιμοποιούμε ποικίλες γραμμές, όπου η
κάθε μία έχει διαφορετική σημασία. Για παράδειγμα, σε ένα γεωμετρικό
σχήμα έχουμε τις δεδομένες γραμμές από την αρχή της άσκησης, φυσικά τις
νοητές, οι οποίες μπορεί να είναι οι άξονες ή τα σημεία συμμετρίας και
φυσικά τις βοηθητικές γραμμές, οι οποίες τις περισσότερες φορές είναι
απαραίτητες για να τελειοποιηθεί ένα γεωμετρικό σχήμα και να
αποδειχθούν τα ζητούμενα.
Αρκετά από αυτά δεν τα βλέπουμε για πρώτη φορά. Γνωρίζουμε τα
χαρτιά, τα κοινά ξύλινα μολύβια, τις ξύστρες και τις γόμες από τα πρώτα
παιδικά μας χρόνια. Τα τρίγωνα, τα υποδεκάμετρα, οι διαβήτες, τα
μοιρογνωμόνια μας είναι γνωστά από το μάθημα της Γεωμετρίας.
 Σχεδίαση με κανόνα και διαβήτη (σε κάποιες τάξεις είναι
μονόδρομος για να γίνει πλήρως κατανοητός αυτός ο τρόπος).
Στα Μαθηματικά ο κλασικός τρόπος χάραξης γραμμών είναι με κανόνα
(χάρακα όπως είναι γνωστός στους περισσότερους) και διαβήτη. Υπάρχουν

6. 22 Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Θωμάς Γκέβρος
όμως περιπτώσεις που χρειαζόμαστε και το μοιρογνωμόνιο, όταν θέλουμε
να μετρήσουμε κάποια γωνία.
 Η έννοια της γωνίας και μέτρηση με μοιρογνωμόνιο.
 Δευτερεύουσες έννοιες όσον αφορά στις ευθείες
1) μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος,
2) χάραξη ευθείας κάθετη σε άλλη ευθεία,
3) χάραξη ευθείας κάθετη σε άλλη ευθεία από δεδομένου σημείου
εκτός αυτής,
4) χάραξη ευθείας που περνά από σημείο και είναι παράλληλη σε
άλλη ευθεία και,
5) διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε ίσα ή ανάλογα μέρη.
Παρουσιάζουμε στη συνέχεια ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα
ασκήσεων που εντοπίσαμε στο βιβλίο του Γραμμικού Σχεδίου και θα
μπορούσαν να είναι κάλλιστα ασκήσεις Μαθηματικών (αν εξαιρέσουμε
μόνο τη χρήση κάποιων οργάνων που δεν υπάρχουν στη Γεωμετρία).
Εικόνα 1. Από το σχολικό βιβλίο "Γραμμικό Σχέδιο", σελ.33
 Δευτερεύουσες έννοιες όσον αφορά στις γωνίες
1) διχοτόμηση γωνίας,
2) τριχοτόμηση ορθής γωνίας και,
3) μεταφορά μιας γωνίας πάνω σε άλλη.

7. Τα Μαθηματικά και η σχέση τους με την Αρχιτεκτονική Σχεδίαση 23
 Πολύγωνα: γνώση των ιδιοτήτων τους και διχοτόμηση της
επίκεντρης γωνίας σε κανονικά πολύγωνα. Κατασκευή όλων των
πολυγώνων (τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα κλπ).
 Κύκλος και έλλειψη : ιδιότητες και εφαπτομένη κύκλου.
 Έννοια της κλίμακας και σχεδίαση αντικειμένων με συγκεκριμένη
κλίμακα.
Η κλίμακα είναι η σχέση ενός πραγματικού μήκους προς το μήκος του
ίδιου του αντικειμένου στο σχέδιο. Με μαθηματικούς λοιπόν όρους η
κλίμακα είναι ένα κλάσμα με αριθμητή το σχεδιασμένο μήκος και
παρονομαστή το αντίστοιχο πραγματικό μήκος του αντικειμένου. [6]
Οι παρακάτω ασκήσεις θα μπορούσαν να είναι και μαθηματικές
ασκήσεις, με σκοπό να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της κλίμακας.
Εικόνα 2. Από το σχολικό βιβλίο "Γραμμικό Σχέδιο", σελ. 70
 Διανύσματα και προβολή διανύσματος πάνω σε διάνυσμα ή πάνω σε
κάποια ευθεία.
 Συμμετρία σχημάτων, αντικειμένων κλπ
Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά των Μαθηματικών είναι η
συμμετρία, η οποία μάλιστα διδάσκεται στα παιδιά από πολύ νωρίς. Με
απλό τρόπο βέβαια στην αρχή, απλά διπλώνοντας ένα κομμάτι χαρτί στα
δύο ώστε να συμπέσει το ένα μισό με το υπόλοιπο μισό.
Αρχικά οι μαθητές σχεδιάζουν στη μια διάσταση αλλά έρχεται η στιγμή
που πρέπει να μάθουν να κατασκευάζουν τα γεωμετρικά σχήματα και στο
δισδιάστατο χώρο.

8. 24 Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Θωμάς Γκέβρος
Εικόνα 3. Από το διαδίκτυο (http://users.sch.gr/parantoniou)
Αυτός είναι ο τρόπος 1
που τα παιδιά έρχονται σε επαφή με τα
γεωμετρικά σχήματα με διάσταση παραπάνω από μια. Σε μικρές ακόμα
τάξεις οι δάσκαλοι εξηγούν στους μαθητές τους τον τρόπο ώστε να
σχηματίσουν μόνα τους τα γεωμετρικά σχήματα για να μάθουν τις ιδιότητές
τους.
Αυτός ο τρόπος διδάσκεται και στο βιβλίο του Γραμμικού Σχεδίου ως ο
καταλληλότερος για να αναπαραστήσουμε ένα αντικείμενο που έχει τρεις
διαστάσεις.
Αντιστοίχιση των Μαθηματικών στο βιβλίο του Γραμμικού
Σχεδίου με το μάθημα και τη σχολική τάξη που εμφανίζονται
Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε σε ένα πίνακα τα σημεία στα σχολικά
βιβλία Μαθηματικών του γυμνασίου και του λυκείου, στα οποία
διδάσκονται οι έννοιες που εντοπίσαμε στο βιβλίο «Γραμμικό Σχέδιο» που
δίνεται στη γ’ λυκείου.
1
Ο συγκεκριμένος τρόπος ονομάζεται ευρωπαϊκό σύστημα σχεδίασης προβολών.
Πρόκειται για τους γενικούς κανόνες που ακολουθούνται στην Ευρώπη για το σχέδιο των
μηχανικών, κυρίως το μηχανολογικό σχέδιο. Όταν σχεδιάζεται ένα αντικείμενο και
απαιτείται η γενική εικόνα αυτού, πρέπει να σχεδιαστούν και οι έξι όψεις, χωρίς
προοπτική, ενώ οι άξονές του συνήθως είναι κάθετοι ή παράλληλοι στο χαρτί σχεδίασης.
[2]

9. Τα Μαθηματικά και η σχέση τους με την Αρχιτεκτονική Σχεδίαση 25
Μαθηματικές Έννοιες στο βιβλίο
του Γραμμικού Σχεδίου
Μάθημα και Σχολική τάξη που
διδάσκονται
Ευθείες γραμμές Μαθηματικά Α’ γυμνασίου,
Μέρος Β’, Κεφάλαιο 1ο
Σχεδίαση με κανόνα και διαβήτη Μαθηματικά Α’ γυμνασίου,
Μέρος Β’, Κεφάλαιο 1ο
Γωνία και χρήση μοιρογνωμονίου Μαθηματικά Α’ γυμνασίου,
Μέρος Β’, Κεφάλαιο 1ο
Δευτερεύουσες έννοιες στις ευθείες Μαθηματικά Α’ γυμνασίου,
Μέρος Β’, Κεφάλαιο 2ο
Δευτερεύουσες έννοιες στις γωνίες Γεωμετρία Α’ λυκείου, Κεφάλαιο 2ο
Πολύγωνα Μαθηματικά Β’ γυμνασίου,
Μέρος Β’, Κεφάλαιο 3ο
Κύκλος και έλλειψη Μαθηματικά Α’ γυμνασίου, Μέρος
Β’, Κεφάλαιο 1ο
Μαθηματικά Β’ λυκείου,
Κεφάλαιο 3ο
Κλίμακα Μαθηματικά Α’ γυμνασίου,
Μέρος Α’, Κεφάλαιο 6ο
Διανύσματα Μαθηματικά Β’ γυμνασίου, Μέρος
Β’, Κεφάλαιο 2ο
Μαθηματικά Β’ λυκείου,
Κεφάλαιο 1ο
Συμμετρία Μαθηματικά Α’ γυμνασίου,
Μέρος Β’, Κεφάλαιο 2ο
Αναγκαιότητα της γνώσης των παραπάνω μαθηματικών εννοιών
για την εισαγωγή στην αρχιτεκτονική σχεδίαση
Μετά λοιπόν και τη μελέτη των προηγούμενων ενοτήτων
παρατηρήσαμε την αναγκαιότητα των Μαθηματικών γνώσεων για κάποιον
που επιλέγει το μάθημα του Γραμμικού Σχεδίου και κατ’ επέκταση τις
αντίστοιχες αρχιτεκτονικές σχολές, καλών τεχνών και άλλων ΑΕΙ ή ΤΕΙ.
Διαπιστώσαμε ότι ένα καλό μαθηματικό υπόβαθρο είναι απαραίτητο για
έναν μαθητή που θα παρακολουθήσει το συγκεκριμένο μάθημα.
Είναι γνωστό σε όλους μας και ίσως το έχουμε διαπιστώσει και οι ίδιοι
ότι ακόμα και μια ενότητα των Μαθηματικών να χάσουμε δυσκολευόμαστε

10. 26 Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Θωμάς Γκέβρος
να καταλάβουμε τη συνέχειά τους. Συνεπώς οι μαθητές πρέπει να έχουν
καλή γνώση των Μαθηματικών του γυμνασίου και του λυκείου.
Όπως παρατηρήσαμε στις προαναφερθείσες συγκρίσεις, οι γνώσεις της
Γεωμετρίας είναι ιδιαιτέρως απαραίτητες. Για παράδειγμα, αν κάποιος δεν
έχει εμπεδώσει την έννοια του κύκλου ή της έλλειψης και τις ιδιότητες
αυτών, δεν θα μπορέσει να ανταπεξέλθει με ευκολία όταν του ζητηθεί να τα
σχεδιάσει, να τα σχεδιάσει με κλίμακα ή να παρατηρήσει κάποια από τα
χαρακτηριστικά τους.
Φυσικά και ένας μαθητής τρίτης λυκείου δεν θα δυσκολευτεί τόσο στο
να επαναφέρει κάποιες γνώσεις που δεν έχει μάθει καλά, όμως αυτό θα
είναι χάσιμο χρόνου, θα τον κρατήσει πίσω και θα του κλέψει ώρες μελέτης
των εννοιών του Αρχιτεκτονικού Σχεδίου.
Επομένως, αυτό που έχουμε να προτείνουμε από τη δική του πλευρά ο
καθένας μας είναι να δώσουν τα παιδιά ιδιαίτερη προσοχή στα Μαθηματικά
από νωρίς και δεν έχουν παρά να κερδίσουν από τις γνώσεις τους αυτές, όχι
μόνο σε αρχιτεκτονικές σχολές αλλά και σε όλες εκείνες τις επιστήμες που
συνδέονται μαζί τους, με τον προφανή ή όχι τρόπο.
Άρρηκτα συνδεδεμένες επιστήμες και τέχνες
Μέχρι τώρα συγκρίναμε, περιγράψαμε, σχολιάσαμε και αναλύσαμε
διεξοδικά τη σχέση των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας με την
αρχιτεκτονική Σχεδίαση σε πρακτικό επίπεδο. Όμως, όπως όλες οι
επιστήμες έτσι και αυτές που μελετούμε εδώ, έχουν και το θεωρητικό τους
υπόβαθρο. Αυτό θα δούμε λοιπόν στη συνέχεια, θα παρουσιάσουμε και τις
δύο και έπειτα θα συγκρίνουμε και θα βρούμε και σε αυτό τον τομέα τα
κοινά τους χαρακτηριστικά.
Η Αρχιτεκτονική είναι μια εντυπωσιακή τέχνη, που σκοπό έχει την
ικανοποίηση των ανθρωπίνων αναγκών στο χώρο, μέσω του σχεδιασμού
μεθόδων και υλικών κατασκευών. [1]
Παλαιότερα αυτοί που ασκούσαν το συγκεκριμένο επάγγελμα ήταν
μαΐστορες, φιλόσοφοι, γεωμέτρες2
, ξυλουργοί και άλλοι απλοί άνθρωποι
που έτυχε να μάθουν την τέχνη αυτή. Στην εποχή μας, το ρόλο τους
2
Η γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με ερωτήματα σχετικά
με το σχήμα, το μέγεθος, τη σχετική θέση των μορφών και τις ιδιότητες του χώρου. Ένας
μαθηματικός που εργάζεται στον τομέα της γεωμετρίας ονομάζεται γεωμέτρης. Η
γεωμετρία προέκυψε ανεξάρτητα, σε μια σειρά πρώιμων πολιτισμών ως πρακτικός τρόπος
αντιμετώπισης των μηκών, των περιοχών και των όγκων. Η Γεωμετρία λοιπόν άρχισε να
βλέπει στοιχεία της επίσημης μαθηματικής επιστήμης που εμφανίζονται στη Δύση ήδη από
τον 6ο αιώνα π.Χ..[2]

11. Τα Μαθηματικά και η σχέση τους με την Αρχιτεκτονική Σχεδίαση 27
ανέλαβαν πλέον πλήρως καταρτισμένοι επιστήμονες, οι οποίοι ονομάζονται
αρχιτέκτονες μηχανικοί.
Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη που ασχολείται με θέματα, τα οποία
έχουνε σχέση με την ποσότητα, τη δομή, το χώρο και την αλλαγή. Η
αλήθεια βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει ένας συγκεκριμένος ορισμός που να
είναι γενικά αποδεκτός. Τα Μαθηματικά είναι η αναζήτηση μοτίβων για την
χρησιμοποίησή τους στη διατύπωση νέων εικασιών, καθώς επίσης η
επίλυση της αλήθειας ή ακόμα και της ψευδαίσθησης των εικασιών μέσω
της μαθηματικής απόδειξης.
Η τέχνη αποτελείται από ένα ευρύ φάσμα ανθρώπινων δραστηριοτήτων
για τη δημιουργία οπτικών, ακουστικών ή ερμηνευτικών αντικειμένων, που
εκφράζουν τις φανταστικές ή τεχνικές δεξιότητες του εκάστοτε δημιουργού,
που προορίζονται να εκτιμηθούν για την ομορφιά ή τη συναισθηματική
τους δύναμη. Από την άλλη μεριά, Η επιστήμη είναι μια συστηματική
επιχείρηση που χτίζει και οργανώνει τη γνώση με τη μορφή δοκιμαστικών
εξηγήσεων και προβλέψεων για το σύμπαν. Για το λόγο αυτό λοιπόν, η
αρχιτεκτονική σχεδίαση δεν είναι μόνο τέχνη αλλά είναι ένας συνδυασμός
τέχνης και επιστήμης.
Δεν είναι μόνο το ένα ή το άλλο. Είναι και τα δύο μαζί. Πόσο μάλλον
όταν τέχνη και επιστήμη είναι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος, ενώ τα
τελευταία χρόνια ολοένα και περισσότερο καταργούνται οι διαχωριστικές
γραμμές μεταξύ τους. Εφόσον πρόκειται για δύο έννοιες άρρηκτα
συνδεδεμένες όπου η μία τροφοδοτεί διαρκώς και ανελλιπώς την άλλη.
Οι σχέσεις μεταξύ τους δεν είναι με κανένα τρόπο γραμμικές και
ευθύγραμμες, αλλά τουναντίον, δυναμικές και καθόλου προφανείς.[2] Αυτό
που είναι προφανές στην περίπτωση που μελετούμε είναι η σχέση των δύο
αυτών επιστημονικών κλάδων, της αρχιτεκτονικής σχεδίασης και των
Μαθηματικών. Ο τρόπος που οι επιστήμονες αυτού του είδους περιγράφουν
την αρχιτεκτονική τείνει να ταιριάξει με μαθηματικές εκφράσεις.
Σύμφωνα με απόψεις ανθρώπων που ασχολούνται με την αρχιτεκτονική
θεωρούν πως είναι δύσκολο να την κατατάξουμε στη μία ή την άλλη
κατηγορία. Επισημαίνεται ακόμη ότι οι διαφορετικές οπτικές γωνίες, από
τις οποίες μπορούμε να εξετάσουμε το αντικείμενο αυτό είναι τρεις και
είναι οι ακόλουθες :
1) η οπτική γωνία του καλλιτέχνη, ο οποίος ενδιαφέρεται για τη μορφή
που θα εκφράσει την ιδέα του
2) η οπτική γωνία του επιστήμονα, ο οποίος ενδιαφέρεται για την
ορθότητα και τη μαθηματική ακολουθία των σκέψεών του, και

12. 28 Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Θωμάς Γκέβρος
3) η οπτική γωνία του αρχιτέκτονα, ο οποίος ενεργεί με βάση μια
ανάγκη λειτουργική.
Αυτό που παρατηρούμε μελετώντας αυτά τα τρία σημεία είναι ότι τα
Μαθηματικά σχετίζονται μαζί τους απόλυτα.
Όσον αφορά στο πρώτο, ο Μαθηματικός δεν μπορεί παρά να είναι και
αυτός καλλιτέχνης στο είδος του, ο οποίος αναζητά τον καταλληλότερο
τρόπο για να παρουσιάσει τις ιδέες του. Να τις παρουσιάσει στους
συναδέρφους του και φυσικά να γίνουν αποδεκτές από αυτούς ή να τις
παρουσιάσει στους μαθητές του με τέτοιο τρόπο που τα παιδιά να τις
κατανοήσουν. Σχετικά με το δεύτερο, εννοείται πως κάθε Μαθηματικός
επιθυμεί την ορθότητα και τη μαθηματική ακολουθία των σκέψεών του.
Αναφορικά με το τελευταίο, η συσχέτιση του αρχιτέκτονα και του
Μαθηματικού είναι υπαρκτή. Η λειτουργική ανάγκη του Μαθηματικού έχει
να κάνει με την επιθυμία του, τα μαθηματικά που κάνει, οι εξισώσεις που
λύνει, οι παραδόσεις μιας δύσκολης μαθηματικής έννοιας να έχουν
αντίκρισμα. Δηλαδή να μπορούν τα μαθηματικά μοντέλα 3
να
χρησιμοποιηθούν από άλλες επιστήμες, τα αποτελέσματα από τη λύση των
εξισώσεων, για παράδειγμα, να μπορούν να μελετηθούν περεταίρω και να
έχουν κάποια αξία, όχι να είναι απλώς αριθμοί.
Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι δεν είναι απλώς αριθμοί, ότι έχουν μεγάλη
αξία στη ζωή μας γενικότερα και την καθημερινότητά μας και μάλιστα είναι
αναγκαία και χρήσιμα σε τόσες άλλες επιστήμες.
Το ίδιο δέος θα νιώσει κάποιος στη θέα ενός αρχιτεκτονικού
αριστουργήματος και ενός μαθηματικού δημιουργήματος.
Εικόνα 4. Ένα αρχιτεκτονικό αριστούργημα μαζί με
ένα μαθηματικό δημιούργημα ισάξιας ομορφιάς
3
Μαθηματικό μοντέλο είναι η περιγραφή ενός συστήματος με τη χρήση μαθηματικών
εννοιών και μαθηματικών τύπων.[2]

13. Τα Μαθηματικά και η σχέση τους με την Αρχιτεκτονική Σχεδίαση 29
Τα Μαθηματικά πολλές φορές παρουσιάζονται ως απρόσωπα,
ανεξάρτητα, στερημένα από κάθε κοινωνική και ανθρώπινη πλευρά. [3] Και
όμως είναι παντού και είναι η βάση τόσων επιστημών, όπως η
αρχιτεκτονική σχεδίαση. Κάπου εκεί έξω υπάρχει ένας μυστικός κόσμος,
ένα κρυμμένο παράλληλο σύμπαν, παράξενα συνυφασμένο με το δικό μας,
γεμάτο ομορφιά και κομψότητα. Είναι ο κόσμος των Μαθηματικών. [4]
Μπορεί για πολλούς να παραμένει αόρατος αλλά για αυτούς που θα
κάνουν τον κόπο να τον γνωρίσουν είναι σίγουρο ότι θα θαμπωθούν από
την ομορφιά, την τελειότητα και την αρμονία που τα περιβάλλει. Όσο
δύσκολο και αν φαίνεται αρχικά, η ενασχόληση με τα Μαθηματικά είναι
μια δημιουργική δραστηριότητα, όπου η γνώση και η κατάκτησή τους
χρειάζεται προσπάθεια, πειθαρχεία, επιμονή, υπομονή και φυσικά αγάπη.
Συμπεράσματα  Προτάσεις για μελλοντική έρευνα
Τελειώνοντας λοιπόν αυτή τη μελέτη διαπιστώνουμε τη σύνδεση των
δύο αυτών επιστημών. Ίσως, εκ πρώτης όψεως, να μοιάζουν άσχετα αλλά
με μια περαιτέρω ενασχόληση καταλαβαίνουμε ότι τα Μαθηματικά είναι
εκεί.
Αυτό που σκεφτόμαστε για τη συνέχεια είναι να πραγματοποιήσουμε
μια έρευνα για την ύπαρξη των Μαθηματικών στις Αρχιτεκτονικές σπουδές.
Σκοπός μας είναι να δημιουργήσουμε ένα ερωτηματολόγιο, το οποίο θα
απαντηθεί από φοιτητές αρχιτεκτονικών σχολών, καλών τεχνών και άλλων
συναφών τμημάτων, μέσα από το οποίο να συμπεράνουμε πόσο στενή είναι
η σχέση αυτή και τις απόψεις των ανθρώπων που υπηρετούν τις επιστήμες
αυτές.
Φυσικά αυτό θα μπορούσε να επεκταθεί περισσότερο δημιουργώντας
ένα ερωτηματολόγιο για τους επαγγελματίες πια του κλάδου (αρχιτέκτονες,
μηχανικούς, σχεδιαστές κλπ). Κάτι άλλο που θα μας ενδιέφερε επίσης είναι
να μελετήσουμε τη σχέση των Μαθηματικών και του αρχιτεκτονικού
σχεδίου και με άλλες επιστήμες.
Πιστεύουμε ακράδαντα πως όταν βλέπουμε τα πράγματα σφαιρικά και
από διαφορετικές οπτικές γωνίες είναι πιο εύκολο να εντρυφήσουμε σε
αυτά και να τα χρησιμοποιήσουμε για την επίλυση ποικίλων προβλημάτων,
με άλλα λόγια, να απλοποιήσουμε και να διευκολύνουμε τη ζωή μας.
Βιβλιογραφία
Για τη μελέτη αυτή χρησιμοποιήσαμε όλα τα σχολικά βιβλία
Μαθηματικών του γυμνασίου και του λυκείου όλων των τάξεων.

14. 30 Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Θωμάς Γκέβρος
[1] «Αντικείμενο Σκοπός Αρχιτεκτονικών μελετών», Άρθ. 224 εδ. 2.
Π.Δ. 696/74 (ΦΕΚ – 301 Α’)
[2] «Αρχιτεκτονική: Τέχνη ή Επιστήμη;» άρθρο της Ελευθεροτυπίας
(έντυπη έκδοση: 7/11/2009), Τάσης Παπαϊωάννου, καθηγητής
Αρχιτεκτονικής ΕΜΠ.
[3] Μπάμπης Τουμάσης (2004). «Σύγχρονη Διδακτική των
Μαθηματικών». Αθήνα: Εκδόσεις Gutenberg.
[4] Edward Frenkel (2013). «Έρωτας και Μαθηματικά». Αθήνα: Εκδόσεις
Αλεξάνδρεια.
[5] «mathematics, n.». Oxford English Dictionary. Oxford University
Press. 2012. Ανακτήθηκε στις June 16, 2012. «The science of space,
number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical
reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes
geometry, arithmetic, algebra, and analysis».
[6] «Γραμμικό Σχέδιο». Β’ Γενικού Λυκείου. Ινστιτούτο Τεχνολογίας
Υπολογιστών και Εκδόσεων «Διόφαντος». Υπουργείο Παιδείας και
Θρησκευμάτων, ινστιτούτο εκπαιδευτικής πολιτικής.