2. La finalidad del plano cartesiano es
describir la posición o ubicación de un
punto en el plano. La cual esta
representada por el sistema de
coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para
analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la
hipérbole, la línea, la circunferencia y
la elipse, las cuales forman parte de la
geometría analítica.
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o
sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen
o punto cero.
3. Distancia entredos puntos
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2 se deduce la formula de distancia entre estos dos
puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras.
Un ejemplo muestra como usar la formula para determinar la distancia entre dos puntos dadas sus
coordenadas. La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d (P1, p2). La
formula de la distancia usa las coordenadas de los puntos.
.
4. El punto medio puede ser calculado solo cuando tenemos a un segmento que une a dos puntos, ya que
tiene una ubicación definida. El punto medio no puede ser calculado para una línea o un rayo, ya que una
línea tiene dos extremos que se extienden indefinidamente y un rayo tiene un extremo que se extiende
indefinidamente.
5. Hay un caso particular de circunferencia que tiene su centro en el origen la
ecuación que define se llama ecuación canónica de la circunferencia:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2.
Si la circunferencia no esta centrada en el (0,0) es posible armar un nuevo
sistema de modo tal que el centro de la circunferencia coincida con el nuevo
origen de coordenadas. Por ejemplo coincidiremos:
(𝑥 − 𝑎)2
+(𝑦 − β)2
= 𝑟2
Si hacemos un cambio variable:
𝑥′ = 𝑥 − 𝑎
𝑦′ = 𝑦 − β
En las nuevas variables la ecuación queda expresada en forma canónica.
𝑥𝑟2 + 𝑦𝑟2 = 𝑟2
Para obtener la ecuación canónica, hicimos una translación de ejes, de modo
que el centro del nuevo sistema coincidiera con el centro circunferencia:
6. Dados un punto F(foco) y una r(directriz), se denomina parábola al
conjunto de puntos del plano que equidistan al foco y de la directriz.
Simbólicamente:
𝑃 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑 𝑃, 𝑟 = 𝑑(𝑃, 𝐹)}
Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de
puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la grafica
de una función cuadrática(que e como ustedes la conocían hasta ahora).
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es
el eje de simetría de la parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.
7.
8.
9. La ecuación de una elipse en posición estándar toma la forma
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2=1 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 𝑏.
A la ecuación 1 también se le conoce como ecuación reducida de la
elipse de eje horizontal, y si 𝑎 < 𝑏, se le conoce como la ecuación
reducida de la elipse de eje vertical.
Además, si el centro de la elipse no es el origen, entonces la ecuación
de una elipse toma la forma
(𝑥−𝑥0)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑦0)2
𝑏2 =1,
Donde el punto (𝑥0, 𝑦0 ) corresponde al centro de dicha elipse.
Nuevamente, si 𝑎 > 𝑏, la elipse se encuentra en posición vertical .
10. Dados dos puntos 𝐹1 y 𝐹2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales
que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.
𝐻 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑 𝑃; 𝐹1 − d P; 𝐹2 = 2a = etc}
Si la distancia entre los focos es 𝑑 𝐹1 𝐹2 = 2𝑐 la condición para que sea un hipérbola es
𝑐 > 𝑎 > 0
𝑐2
> 𝑎2
𝑐2
−𝑎2
= 𝑏2
⇒ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
11. Representación Grafica de la hipérbola con centro en el origen
• Hipérbola Horizontal: Su eje focal
coincide con el eje “X”
• Hipérbola Vertical: Su eje focal coincide
con el eje “Y”
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
