Trigonometria Triangulo retângulo. Fonte: Saraiva

1. TRIGONOMETRIA NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO

2. CAPÍTULO 1 – A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
ARCOS E ÂNGULOS
Seja uma circunferência de centro O, sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. A circunferência fica dividida
em duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência.
Um arco de extremidades A e B é representado por ෢
𝐴𝐵 .
A todo arco ෢
𝐴𝐵 corresponde
um ângulo central, isto é, um
ângulo cujo vértice é o centro
da circunferência.
AÔB é o ângulo central correspondente
ao arco ෢
𝐴𝐵
Arcos de circunferência
Ângulo central

3. CAPÍTULO 1 – A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
ARCOS E ÂNGULOS
A medida angular de um arco ou,
simplesmente, medida de um arco é igual
à medida do ângulo central
correspondente.
Med(AÔB) = 120°.
Dizemos que o arco ෢
𝐴𝐵 mede 120°
Unidades de medidas de arcos e ângulos
O grau
Ao dividirmos a circunferência em 360 arcos
congruentes, temos que cada um dos arcos
encontrados tem medida de 1 grau ou 1°
O radiano
1 radiano é a medida de um arco cujo
comprimento coincide com o comprimento do raio
da circunferência que o determinou.
180° = π rad
Medida e comprimento de arco

4. CAPÍTULO 1 – A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
ARCOS E ÂNGULOS
Aplicação: Determine a medida do menor ângulo α entre os ponteiros de um relógio ao marcar 2 h 40 min.
Solução:
O ângulo pedido mede 𝛼.
Observe que, entre duas marcas consecutivas de horas, tem-se um arco cujo
ângulo central tem medida
360°
12
= 30° . Assim, considerando o deslocamento
do “2 ao 8”, temos que:
𝛼 + 𝑥 = 6 . 30° ֜ 𝛼 = 180° − 𝑥.
Em 1 hora (60 minutos), o ponteiro das horas percorre um arco de medida 30°.
Para calcular a medida de x do ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 40
minutos podemos estabelecer a proporção:
60′
− 30°
40′
− 𝑥
Daí, x = 20°
Assim: 𝛼 = 180° − 20° = 160°

5. CAPÍTULO 1 – A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
O comprimento de um arco
l = α ⋅ r
• α → medida do arco em radianos
• l → comprimento do arco
• r → medida do raio da circunferência
Num plano cartesiano, a circunferência de centro (0, 0) e raio unitário
é denominada de circunferência trigonométrica. Observe na figura,
que ela foi dividida em quatro partes iguais, denominadas de
quadrantes (1°Q, 2°Q, 3°Q e 4°Q).
Convencionamos que todos os arcos tomados nessa circunferência
têm origem no ponto A (1, 0) e o sentido positivo é o anti-horário.
Circunferência trigonométrica

6. CAPÍTULO 1 – A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Como o raio é unitário, o comprimento da circunferência trigonométrica é 2π.
Vamos associar a cada número real x, 0 ≤ x < 2π, um único ponto P da circunferência trigonométrica, de modo que:
• Se x = 0, o ponto P coincide com o ponto A (1, 0).
• Se x > 0, descrevemos, a partir de A, no sentido horário, um arco de comprimento x cujas extremidades são A e P.
NÚMEROS REAIS ASSOCIADOS A PONTOS DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Números reais associados a pontos da circunferência trigonométrica

7. CAPÍTULO 1 – A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
SIMETRIAS
1. Em relação ao eixo vertical 2. Em relação ao eixo horizontal 3. Em relação ao centro
Esquema geral
Simetrias

8. CAPÍTULO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
Seja P um ponto da circunferência trigonométrica, imagem
de um número real α, 0 ≤ α ≤ 2π.
Cosseno de α é a abscissa do ponto P.
Eixo dos cossenos → eixo horizontal da circunferência
trigonométrica.
sen α = ordenada de P
cos α = abscissa de P
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Seno
Seja P um ponto da circunferência trigonométrica, imagem de
um número real α, 0 ≤ α ≤ 2π.
Seno de α é a ordenada do ponto P.
Eixo dos senos → eixo vertical da circunferência trigonométrica
sen α = med (OP′)
Cosseno
cos α = med (OP′)

9. CAPÍTULO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
SENO E COSSENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO
Seno
Cosseno

10. CAPÍTULO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
SENO - SIMETRIAS
sen (360° − α) = sen (2π − α) = − sen (α)
sen (180° − α) = sen (π − α) = sen (α)
sen (180° + α) = sen (π + α) = − sem (α)
sen 0° = sen 0 = 0
sen 90° = sen
𝜋
2
= 1
sen 180° = sen 𝜋 = 0
sen 270° = sen
3𝜋
2
= -1
sen 360° = sen 2𝜋 = 0
−𝟏 ≤ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ≤ 𝟏
𝛼
30° =
𝜋
6
45° =
𝜋
4
60° =
𝜋
3
120° =
2𝜋
3
135° =
3𝜋
4
150° =
5𝜋
6
3
2
2
2
1
2
−
1
2
−
2
2
−
3
2
sen 𝛼
210° =
7𝜋
6
225° =
5𝜋
4
240° =
4𝜋
3
300° =
5𝜋
3
315° =
7𝜋
4
330° =
11𝜋
6
3
2
2
2
1
2
−
1
2
−
3
2
−
2
2
𝛼 sen 𝛼
senos - simetrias

11. CAPÍTULO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
COSSENO - SIMETRIAS
cos (360° − α) = cos (2π − α) = cos (α)
cos (180° − α) = cos (π − α) = −cos (α)
cos (180° + α) = cos (π + α) = −cos (α)
cos 0° = cos 0 = 1
cos 90° = cos
𝜋
2
= 0
cos 180° = cos 𝜋 = −1
cos 270° = cos
3𝜋
2
= 0
cos 360° = cos 2𝜋 = 1
−𝟏 ≤ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ≤ 𝟏
𝛼
30° =
𝜋
6
45° =
𝜋
4
60° =
𝜋
3
120° =
2𝜋
3
135° =
3𝜋
4
150° =
5𝜋
6
3
2
2
2
1
2
−
1
2
−
2
2
−
3
2
cos 𝛼
210° =
7𝜋
6
225° =
5𝜋
4
240° =
4𝜋
3
300° =
5𝜋
3
315° =
7𝜋
4
330° =
11𝜋
6
3
2
2
2
1
2
−
1
2
−
3
2
−
2
2
𝛼 cos 𝛼
Cossenos - simetrias

12. CAPÍTULO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
RELAÇÕES ENTRE SENO E COSSENO
Relação trigonométrica fundamental
Para todo α ∈ [0, 2π], temos:
sen2 α + cos2 α = 1
Consequências:
sen2 α = 1 − cos2 α
cos2 α = 1 − sen2 α
Atenção: 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 = (𝒔𝒆𝒏 𝜶)𝟐
porém: 𝒔𝒆𝒏𝟐
𝜶 ≠ 𝒔𝒆𝒏 𝜶𝟐

13. CAPÍTULO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
ARCOS COMPLEMENTARES E TANGENTE
Considere no ciclo trigonométrico o ponto T, intersecção da
reta OP com o eixo das tangentes (reta perpendicular ao eixo x, que
passa pelo ponto A).
O arco AP corresponde ao ângulo central α.
Definimos como tangente do ângulo α (ou do arco AP) a medida
algébrica do segmento AT, e é indicado por:
Considere na circunferência uma arco x ∈ ℝ, 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
.
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = cos 𝑥 −
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = sen 𝑥 −
𝜋
2
e
Arcos complementares
Tangente
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑚𝑒𝑑 (𝐴𝑇)

14. CAPÍTULO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
TANGENTE
Tangente
2º Q 3º Q 4º Q
P é imagem de 𝛼 .
T está abaixo de A.
tg 𝜶 < 0
P é imagem de 𝛼 .
T está acima de A.
tg 𝜶 > 0
P é imagem de 𝛼 .
T está abaixo de A.
tg 𝜶 < 0

15. CAPÍTULO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
TANGENTE - SIMETRIAS
tg (360° − α) = tg (2π − α) = - tg (α)
tg (180° − α) = cos (π − α) = −tg (α)
tg (180° + α) = tg (π + α) = tg(α)
tg 0° = tg 0 = 0
tg 90° = tg
𝜋
2
, não é definida
tg 180° = tg 𝜋 = 0
tg 270° = tg
3𝜋
2
, não é definida
tg 360° = tg 2𝜋 = 0
Tangente - simetrias
𝛼
30° =
𝜋
6
45° =
𝜋
4
60° =
𝜋
3
120° =
2𝜋
3
135° =
3𝜋
4
150° =
5𝜋
6
3
3
3
− 1
−
3
3
tg 𝛼
210° =
7𝜋
6
225° =
5𝜋
4
240° =
4𝜋
3
300° =
5𝜋
3
315° =
7𝜋
4
330° =
11𝜋
6
𝛼 cos 𝛼
1
− 3
3
3
3
− 1
−
3
3
1
− 3

16. CAPÍTULO 3 – TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Os lados de um triângulo são proporcionais aos
senos dos respectivos ângulos opostos, e a
constante de proporcionalidade é igual à medida
do diâmetro da circunferência circunscrita a esse
triângulo.
LEI DOS SENOS
Lei dos senos
𝑎
𝑠𝑒𝑛 Â
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 ෠
𝐵
=
𝑎
𝑠𝑒𝑛 መ
𝐶
= 2𝑅

17. CAPÍTULO 3 – TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Exemplo:
Resolução:
Calcule as medidas dos lados 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 do triângulo ABC da
figura ao lado, em função da medida b do lado 𝐴𝐶.
Observe que med (Â) = 180° − 60° − 45° = 75°
Pela lei dos senos:
𝑏
𝑠𝑒𝑛 60°
=
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 45°
=
𝐵𝐶
𝑠𝑒𝑛 75°
𝐴𝐵 =
𝑠𝑒𝑛 45°
𝑠𝑒𝑛60°
. 𝑏 ≅ 0,816 . 𝑏
𝐵𝐶 =
𝑠𝑒𝑛 75°
𝑠𝑒𝑛60°
. 𝑏 ≅ 1,115 . 𝑏
Lei dos senos

18. CAPÍTULO 3 – TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Em todo triângulo, o quadrado da medida de qualquer lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros
dois menos o dobro do produto da medida desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formados.
LEI DOS COSSENOS
Cada uma das relações acima é conhecida como lei dos cossenos.
Observe que são as mesmas relações, diferenciando apenas pelo lado do triângulo que tomamos inicialmente.
Essas relações valem para todos os triângulos
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 cos መ
𝐴
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 cos ෠
𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑏𝑐 cos ෠
𝐵
Lei dos cossenos

19. CAPÍTULO 3 – TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Exemplo:
Solução:
Na figura ao lado, determine a medida do ângulo A e
a medida do vértice b. Nesse exemplo haverá a
necessidade do uso de uma calculadora científica e de
uma tabela trigonométrica.
Determinando a medida 𝐴𝐶 pela lei dos cossenos:
𝑏2 = 82 + 102 − 2 . 8 .10 . cos 50°
𝑏2 = 164 + 100 − 160. cos 50°
𝑏2 = 164 + 100 − 160.0,64279
Novamente aplicando a lei dos cossenos para determinar o
vértice A.
𝑏2 ≅ 7,82
82
= 102
+ 7,822
− 2 . 10 .7,82 . cos Â
64 = 161,1524 − 156,4. cos Â
cos  ≅ 0,62
Consultando a tabela trigonométrica, encontramos o ângulo cujo cosseno é mais próximo de 0,62,no caso, 52°.
Assim: med (Â) ≅ 52°

20. TEOREMA DE PITÁGORAS
TRIANGULO RETÂNGULO
Hipotenusa
(a)
Cateto
(b)
Triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras:
Cateto
(c)
a² = b² + c²