SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 8
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Polígonos y poliedros




Fotografía del enrejado de la pirámide de Pei que es la cubierta de la entrada del Museo
del Louvre en París, Francia.



                                           “Si no puedo dibujarlo es
                                           que no lo comprendo”
                                           Albert Einstein
                                           (Alemania, 1879-1955).




                                           Tributo a Einstein
                                           Bruni Sabian. Artista brasileña.            2
“Defiende tu derecho a pensar, porque
                                                                     incluso pensar en forma errónea es mejor
                                                                                              que no pensar”
                                                                       Hipatia de Alejandría (Egipto, 370-415 d.C.)



El mundo de las formas poligonales y poliédricas
La geometría euclidiana establece como elementos básicos               Punto. Dimensión 0: no tiene largo, ancho ni altura
puntos, rectas, planos y el espacio. Estudia las diferentes figu-
ras que se pueden construir con esos elementos, con parte de
ellos y con otras figuras como cónicas, cuádricas, etc. Así, con
                                                                       Recta. Dimensión 1: tiene largo, no tiene ancho ni altura
semirrectas y segmentos como partes de rectas se comienzan
a construir ángulos, polígonos y poliedros.

El mundo de los polígonos
Lo anterior nos indica que los polígonos (poli=muchos y
                                                                       Plano. Dimensión 2: tiene largo y ancho, no tiene altura
gonos=ángulo) son figuras de muchos ángulos, pero es
necesario establecer que los polígonos se definen de tal forma
que el número de ángulos, de lados y vértices son iguales.
Una definición de polígono es: una figura plana, cerrada,
formada por segmentos que se unen sólo en sus extremos y
en donde dos segmentos adyacentes no son colineales.                   Espacio. Dimensión 3: tiene largo, ancho y altura




Estos son polígonos                                                 Estos no son polígonos




                                                                                                              Lado

Un segmento, diferente a los lados, que une a dos vértices, se        Vértice
denomina diagonal del polígono. La unión de dos lados
consecutivos del polígono determina un ángulo del mismo
                                                                                         l
                                                                                        na




llamado ángulo interior del polígono. Un lado y la prolon-
                                                                                    go
                                                                                   ia




gación del otro determinan un ángulo exterior.
                                                                                 D




                                                                                      Ángulo interior
                                                                                                               Ángulo exterior




Fascículo 2 • Polígonos y poliedros
                                      10
Clasificación de polígonos
Una clasificación de los polígonos es:
                                                        Polígonos




Convexos                                                           No convexos (cóncavos)

                                        P                                               P
                                                                        P                           Q
                                                  Q                                 Q

        P           Q




Se caracterizan porque si elegimos en el polígono                 Se caracterizan porque se puede elegir dos puntos
dos puntos P y Q cualesquiera, el segmento PQ                     P y Q cualesquiera en el polígono, pero el segmento
también está en el polígono. Otra caracterización                 PQ no está completamente contenido en el
de los polígonos convexos es que todos sus ángulos                polígono. Otra caracterización es que al menos uno
internos miden menos de 180°.                                     de sus ángulos internos mide más de 180°.




Regulares                         No regulares                       Equiláteros (lados             No equiláteros
                                                                               iguales)




                                                                 Se obtienen al dividir una
Se caracterizan porque                                           circunferencia en partes
son polígonos equián-                                            iguales y luego al unir los
gulos (todos sus ángu-                                           puntos de división de dos
los son iguales) y equi-                                         en dos, de tres en tres,
láteros (todos sus lados                                         puede resultar un poli-
son iguales)                                                     gono regular estrellado



                 Decide: ¿cuáles de las siguientes figuras
                                                             A                  B               C              D
                 son polígonos? ¿Cuáles son convexos?
                 ¿Cuáles son equiángulos? ¿Cuáles son
                 equiláteros? ¿Cuáles son regulares? y
                 ¿cuáles son no regulares?                   E              F               G              H
                 Explica en cada caso el porqué de tu
                 decisión.


Fascículo 2 • Polígonos y poliedros
                                      11
El mundo de los polígonos regulares
Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus
lados iguales y todos sus ángulos iguales. Por ello un polígono
regular es inscrito en una circunferencia (todos sus vértices
son puntos de la circunferencia) y es circunscrito en una
circunferencia (todos sus lados son tangentes a una circunfe-
rencia).
Se denomina ángulo central de un polígono regular el ángulo
                                                                     Hexágono regular                                Octágono regular
que tiene de vértice el centro del polígono y sus lados pasan
por dos vértices consecutivos.
Cada ángulo central de un triángulo equilátero mide 360°=120°.
                                                     3
Cada ángulo central del pentágono regular mide 360° =72°.
                                                5                                                            Ángulo
                                                                                                             central
¿Cuánto mide cada ángulo central de un hexágono regular?                                                     72°
¿El de un octágono regular? En general, ¿cuánto mide cada




                                                                                                   Apotema
ángulo central de un polígono regular de n lados?                                                            Ángulo
                                                                                                             interno
Se denomina apotema de un polígono regular al segmento
                                                                                                             108°
determinado por el centro del polígono y el punto medio de
un lado del polígono.
La medida de un ángulo interior de un polígono regular es
                                                                                        α          α
igual a 180° menos la medida del ángulo central. ¿Por qué?                                                                  n=6
El ángulo interior de un pentágono mide 108°. ¿Cuánto mide                                    360°/n                  2α = 180°- 360° =
el ángulo interior de un hexágono regular y el de un octágono                                                                      6
                                                                                                                     180 (6-2) = 2 x180
regular?                                                                                                                6           3
En general, ¿cuánto mide cada ángulo interior de un polígono
regular de n lados?
A partir de un polígono regular de n lados se pueden construir
                                                                                                        1
polígonos estrellados o formas estrelladas (que son no
convexas) y se clasifican en dos categorías: polígonos estrella-
dos y polígonos falsos estrellados.
Para construir una forma estrellada partimos de un polígono                5                                                     2
regular de n vértices. Enumeramos todos los vértices. Partimos
de uno de éstos, por ejemplo del número 1, uniéndolos median-
te segmentos de la siguiente manera:
El vértice 1 lo unimos con el 3, luego el 3 con el 5, el 5 con el
7 y así sucesivamente de dos en dos (p=2).
                                                                                    4                                  3
Podemos saltar de tres en tres, 1 - 4 - 7 .... (p=3), etc.
                                                                                               Pentagrama
Si al final se han unido todos los vértices y se llega al vértice                       1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 (p=2)
inicial se obtiene una figura estrellada (polígono estrellado).

                                                                                1                                1          2


                                                                     6                         2
                            Cuando resulta más de un polígono éste                                     8                             3

                              se llama polígono compuesto o falso
                                                       estrellado.
                                                                                                       7                             4
                                                                     5                         3


                                                                                4                                6           5
                                                                           Hexagrama                            Falso estrellado
                                                                         Falso estrellado                          1-3-5-7-1
                                      12                                     1-3-5-1
                                                                             2-4-6-2
                                                                                                                   2-4-6-8-2
Fascículo 2 • Polígonos y poliedros
Otro ejemplo de polígonos estrellados                                                                                               30°


A partir de un dodecágono regular (n=12), el cual se puede                                                          360° =30°
construir por duplicación de un hexágono regular o, también,                                                         12

utilizando un transportador y marcando sobre la circunferencia
un ángulo central de 360°/12 = 30°. Tomar un compás y con
esta abertura trazar los vértices del dodecágono. Numeramos
las marcas del 1 al 12.

                                1
                    12
                                               2



            11
                                                         3 p=5
                                                             1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8-1
                                                             Resulta un dodecágono estrellado

       10                                                    4




            9                                                                                        p=2
                                                         5
                                                                                                     1-3-5-7-9-11-1
                                                                                                     2-4-6-8-10-12-2
                                                   p=3                                               Resultan dos hexágonos por
                   8                       6
                                                   1-4-7-10-1                                        lo que es un estrellado compuesto
                               7
                                                   2-5-8-11-2                                        o falso estrellado
                                1                  3-6-9-12-3                                    1
                    12                             Resultan tres cuadrados por              12
                                               2                                                                    2
                                                   lo que es un falso estrellado

            11                                                                       11
                                                         3                                                                      3




       10                                                    4                  10                                                  4




            9                                            5                           9                                          5



                   8                       6                                                8                   6
                               7                                                                 7


                 ¿Cuántos octágonos estrellados hay?
                 ¿Cuantos undecágonos estrellados hay?
                 Sugerencia: Determina los números primos
                 con 8 menores que 4 y aquellos primos con
                 11 y menores a 5.




Fascículo 2 • Polígonos y poliedros
                                      13
El mundo de los cuadriláteros concíclicos
Todo triángulo es inscrito en una circunferencia de centro el
punto de corte de las mediatrices de los lados del triángulo
y es circunscrito en una circunferencia de centro el punto de
corte de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo.                            O
Además, todos los polígonos regulares satisfacen las mismas
propiedades.                                                                               O
En el caso especial de los cuadriláteros, existen los que se
pueden inscribir en una circunferencia denominados
concíclicos o inscriptibles, como los cuadrados (polígonos
regulares de 4 lados) y los rectángulos. Además de los
rectángulos, hay otros cuadriláteros no regulares que son
concíclicos.
Mostramos varios ejemplos de estos cuadriláteros.




Una caracterización de los cuadriláteros concíclicos es la
siguiente:                                                                             D
“Un cuadrilátero es concíclico sí y solo sí tiene dos ángulos
opuestos suplementarios”.
Veamos porqué si un cuadrilátero es concíclico entonces tiene
dos ángulos opuestos suplementarios.                                                                           C
                                                                   A
El cuadrilátero ABCD es concíclico. Los ángulos ADC y ABC
son ángulos inscritos en la circunferencia por ello m ( ADC)                               O
es la mitad de la medida del arco ABC (en fucsia) y m ( ABC)
es la mitad del arco ADC (en azul). Pero la medida del arco
ABC más la medida del arco ADC es 360º, luego m( ADC)
+ m( ABC) = 180°.
Por tanto, los ángulos ADC y ABC, opuestos en el cuadrilátero
                                                                                                           B
concíclico, son suplementarios. De igual forma se demuestra
que los ángulos BAD y BCD son suplementarios.

                                                                                               D
Observa en la figura los ángulos del cuadrilátero y los
diferentes ángulos que se forman al trazar las diagonales del                          d
cuadrilátero. Se establece que si el cuadrilátero es concíclico                            w
entonces se cumple cada una de las siguientes relaciones:              A       x
i) m (   BAD) + m(     BCD)=180° ii) m(    ABC) + m(   ADC)=180°           a
                                                                                           O
iii) a = w      iv) b = u     v) c = d             vi) x = y
                                                                               b
Y recíprocamente, si alguna de las relaciones es verdadera el
                                                                                                   u
cuadrilátero es concíclico.                                                        y
                                                                           B                   c

                                      14                                                               C
Fascículo 2 • Polígonos y poliedros
Los polígonos en el diseño,
las artes y la arquitectura
Desde tiempos remotos los polígonos se han utilizado en la
pintura, en la arquitectura y en la decoración de monumentos,
además de su sentido místico-religioso.
A los pitagóricos, conocedores del dodecaedro que representa
El Universo, con sus doce caras pentagonales, les fascinaba
este poliedro por su relación con el pentagrama o estrella de
cinco puntas que era el símbolo místico y de identificación de
esa hermandad, lo que a su vez está relacionado con el número
de oro. Éste fue también el signo cabalístico con el que el
Fausto del gran escritor alemán Göethe (1749-1832) atrapó a
Mefistófeles.
Diseño de un teatro romano realizado por Vitruvio. Se observa
una circunferencia para representar el perímetro interior y las
filas de asientos. Se inscriben cuatro triángulos equiláteros
que reproducen el polígono estrellado compuesto de 12 lados
(n=12 y p=4). Los astrólogos utilizan desde tiempos inmemo-
riales una figura semejante a ésta para representar los 12
signos del zodíaco.
En el diseño de edificaciones como templos, monumentos,
edificios, también es común encontrar polígonos.




       El gran genio del Renacimiento italiano, Leonardo
       Da Vinci (1452-1519), en sus planos para construir
       iglesias utilizaba los polígonos regulares como
       una parte esencial del diseño. Allí vemos una              En la circunferencia externa del borde del teatro
       planta octogonal en la que se agregan capillas a           se situaron las columnas.
       la iglesia sin que se afecte la simetría del edificio
       principal.




Fascículo 2 • Polígonos y poliedros
                                      15
Muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen
sobre la base de polígonos, como mostramos a continuación
con Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation.




El eminente arquitecto italiano de origen suizo, Francesco
Castelli, conocido como Borromini (1599-1667), uno de los
maestros del barroco italiano, igualmente se valía de los polí-
gonos.
Observemos, a la derecha, el esquema geométrico de la planta
de San Ivo alla Sapienza, Roma (1650), que se refleja en su
parte superior.
La decoración, el diseño artístico, las artes en general, tienen
en los polígonos un gran aliado. Es innumerable la utilización
de los polígonos en estos campos, de los que suministramos
unas pocas muestras en estos fascículos.




Composición de Víctor Vasarely (Hungría, 1908-                     En la fotografía observamos el famoso Pentágono
1997). Observa los cuadrados y los rombos, que                     sede del departamento de defensa de los Estados
al mantener fija la vista crean una sensación de                   Unidos. Éste es el edificio más grande del mundo
movimiento.Vasarely es uno de los maestros del                     con forma de pentágono, consistente de cinco
arte cinético virtual. Mediante “trucos perceptivos”               anillos consecutivos de cinco plantas cada uno.
se observa un movimiento debido a los ángulos
de enfoque y al desplazamiento del observador.


                                      16
Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Diapositiva division clau
Diapositiva division clauDiapositiva division clau
Diapositiva division clauclaumate
 
División de Números decimales.pptx
División de Números decimales.pptxDivisión de Números decimales.pptx
División de Números decimales.pptxmonica131735
 
Segmentos operaciones
Segmentos operacionesSegmentos operaciones
Segmentos operacionesMIGUEL INTI
 
Power point área y perímetro
Power point área y perímetroPower point área y perímetro
Power point área y perímetrofrancisca26
 
Sesion transformaciones
Sesion transformacionesSesion transformaciones
Sesion transformacionesArturoShgreg
 
Sesion 1 reconocemos elementos de un triángulo
Sesion 1 reconocemos elementos de un triánguloSesion 1 reconocemos elementos de un triángulo
Sesion 1 reconocemos elementos de un triángulomarcosbd
 
Taller de polígonos regulares e irregulares
Taller de polígonos regulares e irregularesTaller de polígonos regulares e irregulares
Taller de polígonos regulares e irregularesAlfredo Paucar
 
Ejercicios area y perimetro poligonos
Ejercicios area y perimetro poligonosEjercicios area y perimetro poligonos
Ejercicios area y perimetro poligonosEstela Henríquez
 
Operaciones combinadas
Operaciones combinadasOperaciones combinadas
Operaciones combinadassandramuoz165
 
Sesion ecuacion exponencial
Sesion ecuacion exponencialSesion ecuacion exponencial
Sesion ecuacion exponencialvictor alegre
 
Planificación unidad geometría séptimo básico
Planificación unidad geometría séptimo básicoPlanificación unidad geometría séptimo básico
Planificación unidad geometría séptimo básicoCarolina Andrea Barra León
 
Ejercicios propuestos geometría área compuestas
Ejercicios propuestos geometría área compuestasEjercicios propuestos geometría área compuestas
Ejercicios propuestos geometría área compuestassitayanis
 
Ejercicios de comparación y orden de fracciones
Ejercicios de comparación y orden de fraccionesEjercicios de comparación y orden de fracciones
Ejercicios de comparación y orden de fraccionesSara Gutierrez Bermejo
 
Presentación transformaciones geometricas
Presentación transformaciones geometricasPresentación transformaciones geometricas
Presentación transformaciones geometricasproflflores
 

Was ist angesagt? (20)

Diapositiva division clau
Diapositiva division clauDiapositiva division clau
Diapositiva division clau
 
División de Números decimales.pptx
División de Números decimales.pptxDivisión de Números decimales.pptx
División de Números decimales.pptx
 
Segmentos operaciones
Segmentos operacionesSegmentos operaciones
Segmentos operaciones
 
Angulos
AngulosAngulos
Angulos
 
Power point área y perímetro
Power point área y perímetroPower point área y perímetro
Power point área y perímetro
 
Sesion transformaciones
Sesion transformacionesSesion transformaciones
Sesion transformaciones
 
Sesion 1 reconocemos elementos de un triángulo
Sesion 1 reconocemos elementos de un triánguloSesion 1 reconocemos elementos de un triángulo
Sesion 1 reconocemos elementos de un triángulo
 
Taller de polígonos regulares e irregulares
Taller de polígonos regulares e irregularesTaller de polígonos regulares e irregulares
Taller de polígonos regulares e irregulares
 
Cuadriláteros I
Cuadriláteros ICuadriláteros I
Cuadriláteros I
 
Ejercicios area y perimetro poligonos
Ejercicios area y perimetro poligonosEjercicios area y perimetro poligonos
Ejercicios area y perimetro poligonos
 
Conversión de los sistemas de numeración
Conversión  de los sistemas de numeraciónConversión  de los sistemas de numeración
Conversión de los sistemas de numeración
 
Operaciones combinadas
Operaciones combinadasOperaciones combinadas
Operaciones combinadas
 
Sesion ecuacion exponencial
Sesion ecuacion exponencialSesion ecuacion exponencial
Sesion ecuacion exponencial
 
TRIGONOMETRÍA 2.pdf
TRIGONOMETRÍA 2.pdfTRIGONOMETRÍA 2.pdf
TRIGONOMETRÍA 2.pdf
 
Planificación unidad geometría séptimo básico
Planificación unidad geometría séptimo básicoPlanificación unidad geometría séptimo básico
Planificación unidad geometría séptimo básico
 
Redondear
RedondearRedondear
Redondear
 
Ejercicios propuestos geometría área compuestas
Ejercicios propuestos geometría área compuestasEjercicios propuestos geometría área compuestas
Ejercicios propuestos geometría área compuestas
 
Ejercicios de comparación y orden de fracciones
Ejercicios de comparación y orden de fraccionesEjercicios de comparación y orden de fracciones
Ejercicios de comparación y orden de fracciones
 
Presentación transformaciones geometricas
Presentación transformaciones geometricasPresentación transformaciones geometricas
Presentación transformaciones geometricas
 
Triangulos propiedades ejercicios
Triangulos propiedades ejerciciosTriangulos propiedades ejercicios
Triangulos propiedades ejercicios
 

Andere mochten auch

GEMA1000 - Razón y Proporción
GEMA1000 - Razón y ProporciónGEMA1000 - Razón y Proporción
GEMA1000 - Razón y ProporciónAngel Carreras
 
Guia primero
Guia primero Guia primero
Guia primero Rnst Vzgc
 
CUENTO 13 - UNA MASA MOLESTA CON EL SEÑOR ROCE
CUENTO 13 - UNA MASA MOLESTA CON EL SEÑOR ROCECUENTO 13 - UNA MASA MOLESTA CON EL SEÑOR ROCE
CUENTO 13 - UNA MASA MOLESTA CON EL SEÑOR ROCEEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOSIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOSEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
Solución de practica n° 03
Solución de practica n° 03Solución de practica n° 03
Solución de practica n° 03WILDER1974
 
CUENTO 14 - EL DIA EN QUE EL REINO DE LA REINA MASA CASI SE DIVIDE
CUENTO 14 - EL DIA EN QUE EL REINO DE LA REINA MASA CASI SE DIVIDECUENTO 14 - EL DIA EN QUE EL REINO DE LA REINA MASA CASI SE DIVIDE
CUENTO 14 - EL DIA EN QUE EL REINO DE LA REINA MASA CASI SE DIVIDEEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
Reducir al primer cuadrante ii
Reducir al primer cuadrante iiReducir al primer cuadrante ii
Reducir al primer cuadrante iiLiceo Naval
 
CELOS MAL REPRIMIDOS: DESCARTES Y FERMAT
CELOS MAL REPRIMIDOS: DESCARTES Y FERMATCELOS MAL REPRIMIDOS: DESCARTES Y FERMAT
CELOS MAL REPRIMIDOS: DESCARTES Y FERMATEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 

Andere mochten auch (20)

GEMA1000 - Razón y Proporción
GEMA1000 - Razón y ProporciónGEMA1000 - Razón y Proporción
GEMA1000 - Razón y Proporción
 
Resumen Geometría Plana 1 BINMAT
Resumen Geometría Plana 1 BINMATResumen Geometría Plana 1 BINMAT
Resumen Geometría Plana 1 BINMAT
 
Sesión 10.funciones i
Sesión 10.funciones iSesión 10.funciones i
Sesión 10.funciones i
 
Cuatro operaciones
Cuatro operacionesCuatro operaciones
Cuatro operaciones
 
Guia primero
Guia primero Guia primero
Guia primero
 
CUENTO 12 - FUERZA EMPUJE
CUENTO 12 - FUERZA EMPUJECUENTO 12 - FUERZA EMPUJE
CUENTO 12 - FUERZA EMPUJE
 
MANUAL WIKISPACES
MANUAL WIKISPACESMANUAL WIKISPACES
MANUAL WIKISPACES
 
Unidad 3
Unidad 3Unidad 3
Unidad 3
 
Sistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones linealesSistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales
 
TRUCOS DE MATEMÀTICA
TRUCOS DE MATEMÀTICATRUCOS DE MATEMÀTICA
TRUCOS DE MATEMÀTICA
 
CUENTO 15 - EL PRIMER DIA DEL REINO
CUENTO 15 - EL PRIMER DIA DEL REINOCUENTO 15 - EL PRIMER DIA DEL REINO
CUENTO 15 - EL PRIMER DIA DEL REINO
 
CUENTO 13 - UNA MASA MOLESTA CON EL SEÑOR ROCE
CUENTO 13 - UNA MASA MOLESTA CON EL SEÑOR ROCECUENTO 13 - UNA MASA MOLESTA CON EL SEÑOR ROCE
CUENTO 13 - UNA MASA MOLESTA CON EL SEÑOR ROCE
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOSIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
 
Solución de practica n° 03
Solución de practica n° 03Solución de practica n° 03
Solución de practica n° 03
 
Centro Poblado Menor de Huanchayllo
Centro Poblado Menor de HuanchaylloCentro Poblado Menor de Huanchayllo
Centro Poblado Menor de Huanchayllo
 
CUENTO 14 - EL DIA EN QUE EL REINO DE LA REINA MASA CASI SE DIVIDE
CUENTO 14 - EL DIA EN QUE EL REINO DE LA REINA MASA CASI SE DIVIDECUENTO 14 - EL DIA EN QUE EL REINO DE LA REINA MASA CASI SE DIVIDE
CUENTO 14 - EL DIA EN QUE EL REINO DE LA REINA MASA CASI SE DIVIDE
 
Reducir al primer cuadrante ii
Reducir al primer cuadrante iiReducir al primer cuadrante ii
Reducir al primer cuadrante ii
 
EL MAESTRO Y LA DISCIPULA
EL MAESTRO Y LA DISCIPULAEL MAESTRO Y LA DISCIPULA
EL MAESTRO Y LA DISCIPULA
 
CELOS MAL REPRIMIDOS: DESCARTES Y FERMAT
CELOS MAL REPRIMIDOS: DESCARTES Y FERMATCELOS MAL REPRIMIDOS: DESCARTES Y FERMAT
CELOS MAL REPRIMIDOS: DESCARTES Y FERMAT
 
Electromagnetismo
ElectromagnetismoElectromagnetismo
Electromagnetismo
 

Ähnlich wie EL MUNDO DE LOS POLIGONOS (20)

ANGULO DIEDRO - POLIEDROS
ANGULO DIEDRO - POLIEDROSANGULO DIEDRO - POLIEDROS
ANGULO DIEDRO - POLIEDROS
 
POLIGONOS
POLIGONOSPOLIGONOS
POLIGONOS
 
Poligonos
PoligonosPoligonos
Poligonos
 
Poligonos
PoligonosPoligonos
Poligonos
 
Trabajo geometria rafael naztar h clic 3.0
Trabajo geometria rafael naztar h clic 3.0Trabajo geometria rafael naztar h clic 3.0
Trabajo geometria rafael naztar h clic 3.0
 
Clase final.
Clase final.Clase final.
Clase final.
 
Clase final.
Clase final.Clase final.
Clase final.
 
Tema 7 geometría
Tema 7   geometríaTema 7   geometría
Tema 7 geometría
 
Tema 4 figuras geometricas
Tema 4 figuras geometricasTema 4 figuras geometricas
Tema 4 figuras geometricas
 
Geometría
GeometríaGeometría
Geometría
 
Angulo+trigonometrico
Angulo+trigonometricoAngulo+trigonometrico
Angulo+trigonometrico
 
1quincena9
1quincena91quincena9
1quincena9
 
Conceptos de polígono
Conceptos de polígonoConceptos de polígono
Conceptos de polígono
 
Trigonometría 4.1º (reparado)
Trigonometría  4.1º (reparado)Trigonometría  4.1º (reparado)
Trigonometría 4.1º (reparado)
 
Polígonos
PolígonosPolígonos
Polígonos
 
Figuras Geométricas
Figuras GeométricasFiguras Geométricas
Figuras Geométricas
 
Matematica
MatematicaMatematica
Matematica
 
Los polígonos
Los polígonosLos polígonos
Los polígonos
 
Proyecto
ProyectoProyecto
Proyecto
 
Tema 12,12 laura
Tema 12,12 lauraTema 12,12 laura
Tema 12,12 laura
 

Mehr von EDWIN RONALD CRUZ RUIZ

LA CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ Y SU HISTORIA
LA CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ Y SU HISTORIALA CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ Y SU HISTORIA
LA CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ Y SU HISTORIAEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
Proyecto Educativo Colaborativo "Elaboración de periódicos Murales"
Proyecto Educativo Colaborativo "Elaboración de periódicos Murales"Proyecto Educativo Colaborativo "Elaboración de periódicos Murales"
Proyecto Educativo Colaborativo "Elaboración de periódicos Murales"EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
modulo de formacion ciudadana 4º 2011
modulo de formacion ciudadana 4º 2011modulo de formacion ciudadana 4º 2011
modulo de formacion ciudadana 4º 2011EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
modulo de formacion ciudadana 1º 2011
modulo de formacion ciudadana 1º 2011modulo de formacion ciudadana 1º 2011
modulo de formacion ciudadana 1º 2011EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
modulo de formacion ciudadana 3º 2011
modulo de formacion ciudadana 3º 2011modulo de formacion ciudadana 3º 2011
modulo de formacion ciudadana 3º 2011EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
modulo de formacion ciudadana 2º 2011
modulo de formacion ciudadana 2º 2011modulo de formacion ciudadana 2º 2011
modulo de formacion ciudadana 2º 2011EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
modulo de formacion ciudadana 5º 2011
modulo de formacion ciudadana 5º 2011modulo de formacion ciudadana 5º 2011
modulo de formacion ciudadana 5º 2011EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
El pensamiento y el lenguaje en la matematica
El pensamiento y el lenguaje en la matematicaEl pensamiento y el lenguaje en la matematica
El pensamiento y el lenguaje en la matematicaEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 

Mehr von EDWIN RONALD CRUZ RUIZ (20)

LA CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ Y SU HISTORIA
LA CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ Y SU HISTORIALA CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ Y SU HISTORIA
LA CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ Y SU HISTORIA
 
COMPARACIÓN DE MAGNITUDES
COMPARACIÓN DE MAGNITUDESCOMPARACIÓN DE MAGNITUDES
COMPARACIÓN DE MAGNITUDES
 
Proyecto Educativo Colaborativo "Elaboración de periódicos Murales"
Proyecto Educativo Colaborativo "Elaboración de periódicos Murales"Proyecto Educativo Colaborativo "Elaboración de periódicos Murales"
Proyecto Educativo Colaborativo "Elaboración de periódicos Murales"
 
modulo de formacion ciudadana 4º 2011
modulo de formacion ciudadana 4º 2011modulo de formacion ciudadana 4º 2011
modulo de formacion ciudadana 4º 2011
 
COMPENDIO TERCERO
COMPENDIO TERCEROCOMPENDIO TERCERO
COMPENDIO TERCERO
 
Geometria Cociap 3ro
Geometria Cociap 3roGeometria Cociap 3ro
Geometria Cociap 3ro
 
ALGEBRA 1º
ALGEBRA 1ºALGEBRA 1º
ALGEBRA 1º
 
modulo de formacion ciudadana 1º 2011
modulo de formacion ciudadana 1º 2011modulo de formacion ciudadana 1º 2011
modulo de formacion ciudadana 1º 2011
 
ALGEBRA 4º y 5º
ALGEBRA 4º y 5ºALGEBRA 4º y 5º
ALGEBRA 4º y 5º
 
COMPENDIO PRIMERO
COMPENDIO PRIMEROCOMPENDIO PRIMERO
COMPENDIO PRIMERO
 
COMPENDIO SEGUNDO
COMPENDIO SEGUNDOCOMPENDIO SEGUNDO
COMPENDIO SEGUNDO
 
mod_geo_primer_grad_2010
mod_geo_primer_grad_2010mod_geo_primer_grad_2010
mod_geo_primer_grad_2010
 
modulo de formacion ciudadana 3º 2011
modulo de formacion ciudadana 3º 2011modulo de formacion ciudadana 3º 2011
modulo de formacion ciudadana 3º 2011
 
ALGEBRA 2º
ALGEBRA  2ºALGEBRA  2º
ALGEBRA 2º
 
modulo de formacion ciudadana 2º 2011
modulo de formacion ciudadana 2º 2011modulo de formacion ciudadana 2º 2011
modulo de formacion ciudadana 2º 2011
 
modulo de formacion ciudadana 5º 2011
modulo de formacion ciudadana 5º 2011modulo de formacion ciudadana 5º 2011
modulo de formacion ciudadana 5º 2011
 
COMPENDIO CUARTO
COMPENDIO CUARTOCOMPENDIO CUARTO
COMPENDIO CUARTO
 
COMPENDIO QUINTO
COMPENDIO QUINTOCOMPENDIO QUINTO
COMPENDIO QUINTO
 
CIRCUITOS LOGICOS
CIRCUITOS LOGICOSCIRCUITOS LOGICOS
CIRCUITOS LOGICOS
 
El pensamiento y el lenguaje en la matematica
El pensamiento y el lenguaje en la matematicaEl pensamiento y el lenguaje en la matematica
El pensamiento y el lenguaje en la matematica
 

Kürzlich hochgeladen

Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdfNeurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...Carlos Muñoz
 
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIARAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIACarlos Campaña Montenegro
 
proyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niño
proyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niñoproyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niño
proyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niñotapirjackluis
 
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdadLecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdadAlejandrino Halire Ccahuana
 
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxzulyvero07
 
TIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptx
TIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptxTIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptx
TIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptxlclcarmen
 
Historia y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteHistoria y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteRaquel Martín Contreras
 
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grandeMAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grandeMarjorie Burga
 
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxTECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxKarlaMassielMartinez
 
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxOLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxjosetrinidadchavez
 
cortes de luz abril 2024 en la provincia de tungurahua
cortes de luz abril 2024 en la provincia de tungurahuacortes de luz abril 2024 en la provincia de tungurahua
cortes de luz abril 2024 en la provincia de tungurahuaDANNYISAACCARVAJALGA
 
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria  2024 (1).pptxRegistro Auxiliar - Primaria  2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptxFelicitasAsuncionDia
 
Identificación de componentes Hardware del PC
Identificación de componentes Hardware del PCIdentificación de componentes Hardware del PC
Identificación de componentes Hardware del PCCesarFernandez937857
 
Ecosistemas Natural, Rural y urbano 2021.pptx
Ecosistemas Natural, Rural y urbano  2021.pptxEcosistemas Natural, Rural y urbano  2021.pptx
Ecosistemas Natural, Rural y urbano 2021.pptxolgakaterin
 

Kürzlich hochgeladen (20)

Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdfNeurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdf
 
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
 
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIARAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
 
proyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niño
proyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niñoproyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niño
proyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niño
 
Power Point: "Defendamos la verdad".pptx
Power Point: "Defendamos la verdad".pptxPower Point: "Defendamos la verdad".pptx
Power Point: "Defendamos la verdad".pptx
 
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdadLecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
 
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
 
TIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptx
TIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptxTIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptx
TIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptx
 
Historia y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteHistoria y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arte
 
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grandeMAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
 
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxTECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
 
Sesión de clase: Defendamos la verdad.pdf
Sesión de clase: Defendamos la verdad.pdfSesión de clase: Defendamos la verdad.pdf
Sesión de clase: Defendamos la verdad.pdf
 
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
 
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxOLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
 
cortes de luz abril 2024 en la provincia de tungurahua
cortes de luz abril 2024 en la provincia de tungurahuacortes de luz abril 2024 en la provincia de tungurahua
cortes de luz abril 2024 en la provincia de tungurahua
 
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
 
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria  2024 (1).pptxRegistro Auxiliar - Primaria  2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
 
Identificación de componentes Hardware del PC
Identificación de componentes Hardware del PCIdentificación de componentes Hardware del PC
Identificación de componentes Hardware del PC
 
Ecosistemas Natural, Rural y urbano 2021.pptx
Ecosistemas Natural, Rural y urbano  2021.pptxEcosistemas Natural, Rural y urbano  2021.pptx
Ecosistemas Natural, Rural y urbano 2021.pptx
 
Presentacion Metodología de Enseñanza Multigrado
Presentacion Metodología de Enseñanza MultigradoPresentacion Metodología de Enseñanza Multigrado
Presentacion Metodología de Enseñanza Multigrado
 

EL MUNDO DE LOS POLIGONOS

  • 1. Polígonos y poliedros Fotografía del enrejado de la pirámide de Pei que es la cubierta de la entrada del Museo del Louvre en París, Francia. “Si no puedo dibujarlo es que no lo comprendo” Albert Einstein (Alemania, 1879-1955). Tributo a Einstein Bruni Sabian. Artista brasileña. 2
  • 2. “Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma errónea es mejor que no pensar” Hipatia de Alejandría (Egipto, 370-415 d.C.) El mundo de las formas poligonales y poliédricas La geometría euclidiana establece como elementos básicos Punto. Dimensión 0: no tiene largo, ancho ni altura puntos, rectas, planos y el espacio. Estudia las diferentes figu- ras que se pueden construir con esos elementos, con parte de ellos y con otras figuras como cónicas, cuádricas, etc. Así, con Recta. Dimensión 1: tiene largo, no tiene ancho ni altura semirrectas y segmentos como partes de rectas se comienzan a construir ángulos, polígonos y poliedros. El mundo de los polígonos Lo anterior nos indica que los polígonos (poli=muchos y Plano. Dimensión 2: tiene largo y ancho, no tiene altura gonos=ángulo) son figuras de muchos ángulos, pero es necesario establecer que los polígonos se definen de tal forma que el número de ángulos, de lados y vértices son iguales. Una definición de polígono es: una figura plana, cerrada, formada por segmentos que se unen sólo en sus extremos y en donde dos segmentos adyacentes no son colineales. Espacio. Dimensión 3: tiene largo, ancho y altura Estos son polígonos Estos no son polígonos Lado Un segmento, diferente a los lados, que une a dos vértices, se Vértice denomina diagonal del polígono. La unión de dos lados consecutivos del polígono determina un ángulo del mismo l na llamado ángulo interior del polígono. Un lado y la prolon- go ia gación del otro determinan un ángulo exterior. D Ángulo interior Ángulo exterior Fascículo 2 • Polígonos y poliedros 10
  • 3. Clasificación de polígonos Una clasificación de los polígonos es: Polígonos Convexos No convexos (cóncavos) P P P Q Q Q P Q Se caracterizan porque si elegimos en el polígono Se caracterizan porque se puede elegir dos puntos dos puntos P y Q cualesquiera, el segmento PQ P y Q cualesquiera en el polígono, pero el segmento también está en el polígono. Otra caracterización PQ no está completamente contenido en el de los polígonos convexos es que todos sus ángulos polígono. Otra caracterización es que al menos uno internos miden menos de 180°. de sus ángulos internos mide más de 180°. Regulares No regulares Equiláteros (lados No equiláteros iguales) Se obtienen al dividir una Se caracterizan porque circunferencia en partes son polígonos equián- iguales y luego al unir los gulos (todos sus ángu- puntos de división de dos los son iguales) y equi- en dos, de tres en tres, láteros (todos sus lados puede resultar un poli- son iguales) gono regular estrellado Decide: ¿cuáles de las siguientes figuras A B C D son polígonos? ¿Cuáles son convexos? ¿Cuáles son equiángulos? ¿Cuáles son equiláteros? ¿Cuáles son regulares? y ¿cuáles son no regulares? E F G H Explica en cada caso el porqué de tu decisión. Fascículo 2 • Polígonos y poliedros 11
  • 4. El mundo de los polígonos regulares Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Por ello un polígono regular es inscrito en una circunferencia (todos sus vértices son puntos de la circunferencia) y es circunscrito en una circunferencia (todos sus lados son tangentes a una circunfe- rencia). Se denomina ángulo central de un polígono regular el ángulo Hexágono regular Octágono regular que tiene de vértice el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Cada ángulo central de un triángulo equilátero mide 360°=120°. 3 Cada ángulo central del pentágono regular mide 360° =72°. 5 Ángulo central ¿Cuánto mide cada ángulo central de un hexágono regular? 72° ¿El de un octágono regular? En general, ¿cuánto mide cada Apotema ángulo central de un polígono regular de n lados? Ángulo interno Se denomina apotema de un polígono regular al segmento 108° determinado por el centro del polígono y el punto medio de un lado del polígono. La medida de un ángulo interior de un polígono regular es α α igual a 180° menos la medida del ángulo central. ¿Por qué? n=6 El ángulo interior de un pentágono mide 108°. ¿Cuánto mide 360°/n 2α = 180°- 360° = el ángulo interior de un hexágono regular y el de un octágono 6 180 (6-2) = 2 x180 regular? 6 3 En general, ¿cuánto mide cada ángulo interior de un polígono regular de n lados? A partir de un polígono regular de n lados se pueden construir 1 polígonos estrellados o formas estrelladas (que son no convexas) y se clasifican en dos categorías: polígonos estrella- dos y polígonos falsos estrellados. Para construir una forma estrellada partimos de un polígono 5 2 regular de n vértices. Enumeramos todos los vértices. Partimos de uno de éstos, por ejemplo del número 1, uniéndolos median- te segmentos de la siguiente manera: El vértice 1 lo unimos con el 3, luego el 3 con el 5, el 5 con el 7 y así sucesivamente de dos en dos (p=2). 4 3 Podemos saltar de tres en tres, 1 - 4 - 7 .... (p=3), etc. Pentagrama Si al final se han unido todos los vértices y se llega al vértice 1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 (p=2) inicial se obtiene una figura estrellada (polígono estrellado). 1 1 2 6 2 Cuando resulta más de un polígono éste 8 3 se llama polígono compuesto o falso estrellado. 7 4 5 3 4 6 5 Hexagrama Falso estrellado Falso estrellado 1-3-5-7-1 12 1-3-5-1 2-4-6-2 2-4-6-8-2 Fascículo 2 • Polígonos y poliedros
  • 5. Otro ejemplo de polígonos estrellados 30° A partir de un dodecágono regular (n=12), el cual se puede 360° =30° construir por duplicación de un hexágono regular o, también, 12 utilizando un transportador y marcando sobre la circunferencia un ángulo central de 360°/12 = 30°. Tomar un compás y con esta abertura trazar los vértices del dodecágono. Numeramos las marcas del 1 al 12. 1 12 2 11 3 p=5 1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8-1 Resulta un dodecágono estrellado 10 4 9 p=2 5 1-3-5-7-9-11-1 2-4-6-8-10-12-2 p=3 Resultan dos hexágonos por 8 6 1-4-7-10-1 lo que es un estrellado compuesto 7 2-5-8-11-2 o falso estrellado 1 3-6-9-12-3 1 12 Resultan tres cuadrados por 12 2 2 lo que es un falso estrellado 11 11 3 3 10 4 10 4 9 5 9 5 8 6 8 6 7 7 ¿Cuántos octágonos estrellados hay? ¿Cuantos undecágonos estrellados hay? Sugerencia: Determina los números primos con 8 menores que 4 y aquellos primos con 11 y menores a 5. Fascículo 2 • Polígonos y poliedros 13
  • 6. El mundo de los cuadriláteros concíclicos Todo triángulo es inscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las mediatrices de los lados del triángulo y es circunscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo. O Además, todos los polígonos regulares satisfacen las mismas propiedades. O En el caso especial de los cuadriláteros, existen los que se pueden inscribir en una circunferencia denominados concíclicos o inscriptibles, como los cuadrados (polígonos regulares de 4 lados) y los rectángulos. Además de los rectángulos, hay otros cuadriláteros no regulares que son concíclicos. Mostramos varios ejemplos de estos cuadriláteros. Una caracterización de los cuadriláteros concíclicos es la siguiente: D “Un cuadrilátero es concíclico sí y solo sí tiene dos ángulos opuestos suplementarios”. Veamos porqué si un cuadrilátero es concíclico entonces tiene dos ángulos opuestos suplementarios. C A El cuadrilátero ABCD es concíclico. Los ángulos ADC y ABC son ángulos inscritos en la circunferencia por ello m ( ADC) O es la mitad de la medida del arco ABC (en fucsia) y m ( ABC) es la mitad del arco ADC (en azul). Pero la medida del arco ABC más la medida del arco ADC es 360º, luego m( ADC) + m( ABC) = 180°. Por tanto, los ángulos ADC y ABC, opuestos en el cuadrilátero B concíclico, son suplementarios. De igual forma se demuestra que los ángulos BAD y BCD son suplementarios. D Observa en la figura los ángulos del cuadrilátero y los diferentes ángulos que se forman al trazar las diagonales del d cuadrilátero. Se establece que si el cuadrilátero es concíclico w entonces se cumple cada una de las siguientes relaciones: A x i) m ( BAD) + m( BCD)=180° ii) m( ABC) + m( ADC)=180° a O iii) a = w iv) b = u v) c = d vi) x = y b Y recíprocamente, si alguna de las relaciones es verdadera el u cuadrilátero es concíclico. y B c 14 C Fascículo 2 • Polígonos y poliedros
  • 7. Los polígonos en el diseño, las artes y la arquitectura Desde tiempos remotos los polígonos se han utilizado en la pintura, en la arquitectura y en la decoración de monumentos, además de su sentido místico-religioso. A los pitagóricos, conocedores del dodecaedro que representa El Universo, con sus doce caras pentagonales, les fascinaba este poliedro por su relación con el pentagrama o estrella de cinco puntas que era el símbolo místico y de identificación de esa hermandad, lo que a su vez está relacionado con el número de oro. Éste fue también el signo cabalístico con el que el Fausto del gran escritor alemán Göethe (1749-1832) atrapó a Mefistófeles. Diseño de un teatro romano realizado por Vitruvio. Se observa una circunferencia para representar el perímetro interior y las filas de asientos. Se inscriben cuatro triángulos equiláteros que reproducen el polígono estrellado compuesto de 12 lados (n=12 y p=4). Los astrólogos utilizan desde tiempos inmemo- riales una figura semejante a ésta para representar los 12 signos del zodíaco. En el diseño de edificaciones como templos, monumentos, edificios, también es común encontrar polígonos. El gran genio del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci (1452-1519), en sus planos para construir iglesias utilizaba los polígonos regulares como una parte esencial del diseño. Allí vemos una En la circunferencia externa del borde del teatro planta octogonal en la que se agregan capillas a se situaron las columnas. la iglesia sin que se afecte la simetría del edificio principal. Fascículo 2 • Polígonos y poliedros 15
  • 8. Muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de polígonos, como mostramos a continuación con Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. El eminente arquitecto italiano de origen suizo, Francesco Castelli, conocido como Borromini (1599-1667), uno de los maestros del barroco italiano, igualmente se valía de los polí- gonos. Observemos, a la derecha, el esquema geométrico de la planta de San Ivo alla Sapienza, Roma (1650), que se refleja en su parte superior. La decoración, el diseño artístico, las artes en general, tienen en los polígonos un gran aliado. Es innumerable la utilización de los polígonos en estos campos, de los que suministramos unas pocas muestras en estos fascículos. Composición de Víctor Vasarely (Hungría, 1908- En la fotografía observamos el famoso Pentágono 1997). Observa los cuadrados y los rombos, que sede del departamento de defensa de los Estados al mantener fija la vista crean una sensación de Unidos. Éste es el edificio más grande del mundo movimiento.Vasarely es uno de los maestros del con forma de pentágono, consistente de cinco arte cinético virtual. Mediante “trucos perceptivos” anillos consecutivos de cinco plantas cada uno. se observa un movimiento debido a los ángulos de enfoque y al desplazamiento del observador. 16 Fascículo 2 • Polígonos y poliedros