esta es la primera parte de una presentación del plano cartesiano (LA RECTA)

1. Calculo y geometría analítica I
UNIDAD 1
Clase 1
“El Plano Cartesiano y La
Ecuación de la Recta”
Prof. Ing. José Rodríguez

2. Aprendizajes esperados:
• Calcular distancia y el punto medio entre dos
puntos del plano.
• Identificar la pendiente y coeficiente de posición en
una ecuación de recta dada.
• Representar gráficamente ecuaciones de recta.
• Determinar la ecuación principal de la recta, dados
dos puntos o dado un punto y la pendiente.
• Determinar si dos rectas son paralelas.
• Determinar si dos rectas son coincidentes.
• Determinar si dos rectas son perpendiculares.
• Determinar la pendiente entre dos puntos.

3. Contenidos:
5. Ecuación de la recta
5.1 Ecuación General de la recta
5.2 Ecuación Principal de la recta
4. La recta
5.5 Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente
5.6 Ecuación de la recta dados dos puntos de ella
1. Distancia entre dos puntos
3. Pendiente entre dos puntos
2. Coordenadas del punto medio
5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta
5.4 Gráfica de la línea recta
6. Rectas paralelas, rectas coincidentes y
rectas perpendiculares

4. "La vida humana representa, la
mayor parte de las veces, una
ecuación entre el pasado y el
futuro.“
Ingenieros, José

5. SISTEMA DE COORDENADASSISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS.CARTESIANAS.
O
III
III IV
X
Y
P(x, y)
abscisa
ordenada

6. X
Y
FÓRMULA DE LA DISTANCIAFÓRMULA DE LA DISTANCIA
ENTRE DOS PUNTOSENTRE DOS PUNTOS

7. PUNTO MEDIO DE UNPUNTO MEDIO DE UN
SEGMENTO DE RECTASEGMENTO DE RECTA
X
Y

8. Ejemplos:Ejemplos:
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2
= (9 – (-3))2
+ (-1 – 4)2
d2
= (9 + 3)2
+ (-5)2
d2
= 144 + 25
d2
= 169
d = 13
x1 y1 x2 y2
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
-3 + 9 , 4 + -1
2 2
Pm =
d2
= (x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2
x1 y1 x2 y2
x1 + x2 y1 + y2
2 2
Pm = ,
/

9. A
B
Veamos la distancia directamente en el plano:Veamos la distancia directamente en el plano:
4
8
2 2
4 8+ 16 64= +
80

10. Ejercicios:Ejercicios:
B(6,-1)yA(-2,3)
B(1,2)yA(-3,6)
B(2,0)yA(-2,3)
B(1,5)y,3)
2
1
A(-
1.
2.
3.
4.
5.
Calcule las distancias y puntos medios de:
,0)2B(2y)7,-2A(
d2
= (x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2
x1 + x2 y1 + y2
2 2
Pm = ,

11. Significado de la recta:
La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme cantidad
de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a
una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus
aplicaciones se tienen: problemas de costos-
ingresos y ganancia, la oferta y demanda, la
valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.
20 40 60 80
P. E.

12. ¿Qué significan estas señales de
tránsito?

13. Pendiente de una recta l
L1
L2
0 x
y
• ¿Cuál de las rectas¿Cuál de las rectas
está más inclinada?está más inclinada?
• ¿Cómo medimos¿Cómo medimos
esa inclinación?esa inclinación?
LaLa pendientependiente mm de la rectade la recta ll eses::

14. Cálculo de la pendiente de una recta
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos
P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
X
Y

15. Ejemplo:Ejemplo:
1. La pendiente entre los puntos
x1 y1 x2 y2
(-4, -2) y (1, 7) es:
7 – (-2)
1 – (-4)
m =
9
5
m =2. La pendiente entre los puntos
(8, 5) y (8, 10) es:
x1
y1 x2 y2
Como el denominador es cero,
la pendiente NO existe.
Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es
paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.
⇒
10 – 5
8 – 8
m =
5
0
m =

16. Ejemplos

17. −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
mAB = 1/7
mCD = -3/4
mEF = 0
mGH = ¿?

18. Conclusiones
1. Si m>>0 la recta ll es creciente
2. Si m<<0 la recta ll es decreciente
3. Toda recta horizontal tiene m == 0
4. Las rectas verticales no tienen
pendiente definida.
x
y
x
y
x
y
x
y

19. PensemosPensemos un poco:un poco:
Un doctor compro un automóvil nuevo en 1991
por $32 000. En 1994, él lo vendió a un amigo
en $26 000.Dibuje una recta que muestre la
relación entre el precio de venta del automóvil
y el año en que se vendió. Determine e
interprete la pendiente.
Pizarra

20. Geométricamente podemos decir que una línea
recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados
en una misma dirección; analíticamente, una recta en el
plano está representada por una ecuación de primer grado
con dos variables, x e y.
Además es el lugar geométrico de todos los puntos
que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.
Ejemplos:Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. y = 4x + 7
3. 6x + 4y = 7
La rectaLa recta

21. Ecuación de la recta (Punto – Pendiente)
La ecuación de la recta de pendiente m, y
punto de paso (x(x11, y, y11)) es:
(x(x11, y, y11)) y - yy11 = m(x - xx11)
X
Y

22. Ecuación general o implícita de la recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c
reales.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. 2x - 4y + 7 = 0
3. -x + 12y - 9 = 0
Obs. m= b=
a
b
− c
b
−

23. La gráfica de una recta de pendiente mm y
ordenada en el origen bb, es:
bb
y = mmx + bb
X
Y
Ecuación explicita de la rectaEcuación explicita de la recta

24. Es de la forma:
El coeficiente de posición (b), es la ordenada del punto
donde la recta intersecta al eje Y.
Corresponde al punto de coordenadas (0,b).
y = mx + b
m : pendiente
b : coeficiente de posición
1) y= 2x -3 m=2 b=-3
Ejemplo:
2) y= 3x – 4
2
y=3 x – 2
2
m=
3
2 b=2
Ecuación explicita de la rectaEcuación explicita de la recta

25. Ejemplo:Ejemplo:
1. La ecuación de la recta de pendiente m = -6,
que pasa por el punto (3,-2) es:
y – (-2) = -6 (x – 3) y + 2 = -6x + 18
y = -6x + 16
2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos
( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:
y – (-3) = (x – 2)6 – (-3)
5 – 2
y + 3 = (x – 2)9
3
y + 3 = 3 (x – 2)
y + 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 - 3
y = 3x – 9
x1 y1 x2 y2
y – y1 = (x – x1)
y2 – y1
x2 – x1
6x + y – 16 = 0
3x – y – 9 = 0

26. Ejercicios:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por
.. (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por
(-6;1) y (1;4).
3. Determine la pendiente y la intersección con el
eje y de la recta determinada por la ecuación
x- 9 = 5y+3.
4. Determine la ecuación general de la
recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).
y - yy11 = m(x - xx11) y = mmx + bb