1. O documento descreve o escoamento em condutas, especificamente as leis que regem o escoamento laminar e turbulento e como calcular a perda de carga. 2. São apresentadas equações para calcular a perda de carga devido ao atrito nas paredes da conduta para escoamentos laminares e turbulentos, considerando variáveis como diâmetro, comprimento, viscosidade do fluido e velocidade média. 3. O documento também aborda como lidar com secções não circulares, perdas localizadas e a associação de condut

1. 1
Escoamento no Interior de Condutas
Departamento de Engenharia Mecânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Luis Adriano Oliveira

2. 2
Escoamento no Interior de Condutas
∂
Secçao circ. A1 = A 2 = 0 µ = c te
∂t
Q1 = Q 2 = c te ρ = c te ∴ V1 = V2
pressão
originado por: gravidade
Escoamento:
contrariado por : atrito
1.ª Lei da Termodinâmica:
p1 V 2 p2 V 2 ∆p
+ + z1 = + + z2 + hf ⇒ hf = + ∆z
ρg 2g ρg 2g ρg
Como relacionar hf com τo (tensão de atrito na parede)?

3. 3
Escoamento no Interior de Condutas
∂
FS + FC =
∂t
( )
∫∫∫VC ρVdv + ∫∫SC ρV V.n dA
ˆ [1 − D] ⇒
( p1 − p2 ) πR 2 − 2πR∆Lτ0 + ρg sin φπR 2 ∆L = ρV2πR 2 V2 − ρV1πR 2 V1 = 0 ⇒
∆p 2τ0 ∆L ∆p 2 τ 0 ∆L
− + ∆Lsin φ = 0 ⇒ h f = + ∆z = . (∆ ≡ quot;1quot;− quot;2quot;)
ρg Rρg ρg ρg R
∆z
Se ε for a altura característica da rugosidade do tubo, é de esperar que:
τ0 = G ( V, ρ, µ,d, ε )
8τ 0
Análise dimensional : f = F  Red , ε 
  com f = (Moody)
d 2
  ρV
fρV 2 fρV 2 ∆L ∆L V 2
τ0 = ⇒ hf = . ⇒ hf = f (lam. ou turb.)
8 4ρg R d 2g

4. 4
Escoamento no Interior de Condutas
Para determinar a forma da função F: análise diferencial
∂
Coordenadas cilíndricas: (s, θ, r), (u, v, w) + = 0, v = 0, u = u(r)
∂θ
Continuidade :
1∂ 1 ∂v ∂u 1∂
( rw ) + + =0⇒ ( rw ) = 0 ⇒ rw = c.te
r ∂r r ∂θ ∂s r ∂r w=0
( rw )r =R = 0
Navier-Stokes :
∂u ∂p µ d  du 
ρu = 0 = − + ρg sin φ + r  ⇒
∂s ∂s r dr  dr 
µ d  du  d d d
 r  = ( p − ρg sin φs ) = ( p + ρgz ) ⇒ ( p + ρgz ) = c.te
r dr  dr  ds ds ds
(lam. ou turb.)

5. 5
Escoamento no Interior de Condutas
Regime laminar: Hagen-Poiseuille
µ d  du  d
 r  = ( p + ρgz ) ⇒ u = −
r dr  dr  ds
1 d
4µ ds
( p + ρgz ) R 2 − r 2( )
Q ∫ udA u max
τ0 = µ
du
= ... =
8µV
V= = = ... =
A πR 2 2 dr r =R d
Moody
8τ 064µ 64 f
f lam = = ⇒ f lam =
ρV 2 ρdV Red
Red
∆L V 2
h f lam = f lam
d 2g
⇒ h flam =
32ν∆LV
gd 2
(∝ V, ∝−1 d2 )

6. 6
Escoamento no Interior de Condutas
Regime turbulento: Lei logarítmica (desprezando a subcamada laminar)
u 1 (R − r ) uτ
ln +B K ≈ 0.41 B ≈ 5.0 0≤r≤R
uτ k ν
V 1 R 1 (R − r ) uτ  Ru
= ∫o  ln + B 2πrdr = 2.44ln τ + 1.34
u τ πR 2 k ν  ν
Com:
τ0 8τ 0 V 8 Ru τ RV u τ Red f
uτ = f= ⇒ = = =
ρ ρV 2 uτ f ν ν V 2 8
8  Red f 
= 2.44ln   + 1.34 ( f não surge explicitado )
f  2 8

7. 7
Escoamento no Interior de Condutas Regime turbulento (cont.):
0.316 Re −1/ 4 (4000 ≤ Red ≤ 105 )
Alternativas (tubos lisos): f≅
1.02 (log Red ) −2.5
Nota - via lei logarítmica:
laminar
 V   V 
  >  = 0.5
 u max  turb  u max lam
turbulento
εu τ / ν < 5 parede lisa (rug. “submersa” na sub-camada viscosa)
Rugosidade 5 < εu τ / ν < 70 transição (efeito de Re moderado)
εu τ / ν > 70 parede rugosa (atrito independente de Re)

8. 8
Escoamento no Interior de Condutas
Regime laminar: efeito de rugosidade desprezável
Regime turbulento, εuτ/ν >70 medidas sugerem correcção do perfil logarítmico
u 1 (R − r ) uτ  1 εu τ  1 (R − r)
ln + B −  ln − 3.5  = ln + 8.5 (ν)
uτ k ν k ν  k ε
(A sequência é análoga à anterior para tubos lisos)
Problemas típicos:
dados : d, ∆L, V (ou Q), ρ, µ ⇒ h f = ? (Problema directo - Moody)
dados : d, ∆L, h f , ρ, µ ⇒ V (ou Q) = ?
(Problemas inversos - iteração)
dados : Q, ∆L, h f , ρ, µ ⇒ d = ?

9. 9
Escoamento no Interior de Condutas
Diagrama de Moody
f
ε/d
Red=ρVd/µ
∆L V 2
d, ∆L, V (ou Q), ρ, µ ⇒ h f = f (Problema directo - Moody)
d 2g

10. 10
Escoamento no Interior de Condutas - diâmetro equivalente
Secção não circular : análise ainda válida?
( p1 − p2 ) πR 2 − 2πR∆Lτ0 + ρg sin φπR 2 ∆L = ρπR 2 ( V22 − V12 ) = 0
∆p τ0 ∆L 2τ0 ∆L
∆pA − P∆L τ0 + ρg∆zA = 0 ⇒ h f = + ∆z = hf = .
ρg ρg A / P ρg R
A A
R eq. = 2 ⇒ d eq. = 4 A: área da secção recta ; P: perímetro molhado
P P
∆L V 2
hf = f Secção circular : deq.=d
4A / P 2g

11. 11
Escoamento no Interior de Condutas - perdas localizadas
∆p
hf = + ∆z ∆pi
ρg hi =
ρg
∆zi ≅ 0
hi
A cada perda localizada i corresponde um coef. adim. : ki =
V 2 / 2g
V 2  ∆L 
= h f + ∑ hi =
 d ∑ i
h tot f + k
2g  
i i 
Nota: alternativa (menos usada) : comprimento equivalente

12. 12
Escoamento no Interior de Condutas - associação de condutas
I ) Associação em série :
1
2 3
Q1 = Q 2 = Q3 = ...
∆h = ∆h1 + ∆h 2 + ∆h 3 + ...
I I) Associação em paralelo :
1
Q = Q1 + Q 2 + Q3 + ...
2
∆h1 = ∆h 2 = ∆h 3 = ...
3