El documento define una matriz como un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. Explica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, simétricas y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, producto, inversa y determinante.

1. MATRICES
 Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la
forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2,..., m, j =1,
2 ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el
primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento
a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos
que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
 Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia
debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por
tanto es de orden 1xn.
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n
=1 y por tanto es de orden m x1.

2. Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de
columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada
es de orden n, y no n x n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal
de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal
secundaria.
Matriz transpuesta: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se
representa por At
, a la matriz que se obtiene cambiando filas por
columnas. La primera fila de A es la primera fila de At
, la segunda fila de
A es la segunda columna de At
, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At
es de
orden n x m.
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At
, es decir,
si aij = aji " i, j.
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At,
es decir, si aij = –aji " i, j.
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa
por 0.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos
no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la
diagonal iguales.
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de
la diagonal principal iguales a 1.

3. Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los
elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las
matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.
 OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES
La suma de dos matrices A = (aij) m×n y B = (bij) p×q de la misma
dimensión (equidimensionales): m = p y n = q es otra matriz C = A+B
= (cij) m×n = (aij+bij)
2 0 1 1 0 1
3 0 0 1 2 1
5 1 1 1 2 0
2 1 0 0 1 1 3 0 2
3 1 0 2 0 1 4 2 1
5 1 1 1 1 0 6 2 1
A B
A B
   
   = =   
      
+ + +   
   + = + + + =   
   + + +   
PRODUCTO DE MATRICES
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de
columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la
matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces
su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada
por:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) , , B , ,2 B 2, ... , B ,AB i j A i l l j A i j A i n n j= + + +

4. Para cada par i y j.
Por ejemplo:
 INVERSA DE UNA MATRIZ
La matriz inversa de una
matriz cuadrada A de orden ,n es la matriz, 1
A−
, de orden n que
verifica:
1 1
. .A A A A I− −
= =
Donde I es la matriz identidad de orden n .
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen
inversa matrices singulares.
Solo existe si el determinante es diferente de cero.
Ejemplo:
1
1
3 2
5 4
3 2 1 0 1 2 / 31/ 3 0 1 2 / 3 1/ 3 01 3
5
5 4 0 1 5 4 0 1 0 2 / 3 5 / 3 13 2
1 2 / 3 1/ 3 0 1 0 2 12
0 1 5/ 2 3/ 2 0 1 5 / 2 3/ 23
2 1
5 / 2 3/ 2
A
A
A
−
−
 
=  
 
     
= → → − →     
−     
   −
→ −   
− −   
− 
=  − 
DETERMINANTES
3 4 7 1
5 8 9 2
3 7 9 4 3 1 4 2 57 11
.
5 7 8 9 5 1 8 2 37 11
A B
A B
   
= =   −   
× + × × + ×   
= =   − × + × − × + ×   

5. En matemáticas se define el determinante como una forma no lineal
alterna de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades
matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo
aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante o de
volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones
de los sistemas lineales de ecuaciones.
Ejemplo:
1 2 1
4 0 2
1 3 2
0 2 4 2 4 0
1 2 1
3 1 1 2 1 3
1(0 6) 2( 8 2) 1(12 0)
1( 6) 2( 10) 1(12)
det. 26
A =
−
= − +
− −
= − − − − + −
= − − − +
=

6. En matemáticas se define el determinante como una forma no lineal
alterna de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades
matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo
aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante o de
volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones
de los sistemas lineales de ecuaciones.
Ejemplo:
1 2 1
4 0 2
1 3 2
0 2 4 2 4 0
1 2 1
3 1 1 2 1 3
1(0 6) 2( 8 2) 1(12 0)
1( 6) 2( 10) 1(12)
det. 26
A =
−
= − +
− −
= − − − − + −
= − − − +
=