đề thi , đáp án đề thi vào lớp 10 chuyên toán TPHCM năm 2014-2015 , chuyên toán, đề thi chuyên toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI : TOÁN CHUYÊN
NGÀY THI :22-6-2014
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT
CÂU 1: (2 ĐIỂM)
a) Giải phương trình : 𝑥√2𝑥 − 3 = 3𝑥 − 4
b) Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 & 𝑥𝑦𝑧 ≠ 0
Tính giá trị biểu thức P =
𝑥2
𝑦2+𝑧2−𝑥2 + 𝑦2
𝑧2+𝑥2−𝑦2 + 𝑧2
𝑥2+𝑦2−𝑧2
CÂU 2: (1,5 ĐIỂM)
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 𝑥 + 𝑦 + 1
𝑦
= 9
𝑥
𝑥 + 𝑦 −
4
𝑥
=
4𝑦
𝑥2
CÂU 3: (1,5 ĐIỂM)
Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi D, E lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để
tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất.
CÂU 4 (2 ĐIỂM)
a)Cho x, y là 2 số thực khác 0. Chứng minh rằng :
𝑥2
𝑦2 +
𝑦2
𝑥2 ≥
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
b) Cho a,b là hai số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
𝑎2+3𝑎𝑏+𝑏2
√ 𝑎𝑏(𝑎+𝑏)
CÂU 5 (2 ĐIỂM)
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O)
(A,B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB với OM, I là trung điểm
của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A).
a) Chứng minh HK vuông góc với AI

2. b) Tính số đo góc MKB
CÂU 6 (1 ĐIỂM)
Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình:
2015(𝑥2
+ 𝑦2
) − 2014(2𝑥𝑦 + 1) = 25
 GIẢI 
Câu 1
a) 𝑥√2𝑥 − 3 = 3𝑥 − 4 (Đkxđ: x≥ 𝟑/𝟐)
 𝑥2(2𝑥 − 3) = (3𝑥 − 4)2
 2𝑥3
− 3𝑥2
= 9𝑥2
− 24𝑥 + 16
 2𝑥3
− 12𝑥2
+ 24𝑥 − 16 = 0
 𝑥3
− 16𝑥2
+ 12𝑥 − 8 = 0
 ( 𝑥 − 2)3
= 0 <=> 𝑥 = 2( 𝑛ℎậ𝑛)
Vậy S ={ 2 }
b) Ta có : x + y + z = 0
 (𝑦 + 𝑧)2
= (−𝑥)2
 𝑦2
+ 𝑧2
− 𝑥2
= −2𝑦𝑧
Tương tự : 𝑧2
+ 𝑥2
− 𝑦2
= −2𝑧𝑥 ; 𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑧2
= −2𝑦𝑥
P=
𝑥2
−2𝑦𝑧
+
𝑦2
−2𝑧𝑥
+
𝑧2
−2𝑦𝑥
=
𝑥3+𝑦3+𝑧3
−2𝑥𝑦𝑧
𝑀à
𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
= ( 𝑥 + 𝑦)3
− 3𝑥2
𝑦 − 3𝑥𝑦2
+ 𝑧3
=(−𝑧)3
− 3𝑥𝑦( 𝑥 + 𝑦) + 𝑧3
= 3𝑥𝑦𝑧

3. Do đó P =
3𝑥𝑦𝑧
−2𝑥𝑦𝑧
= −3
2
Câu 2:
(đkxđ : x,y ≠ 0)
𝑥 + 𝑦 +
1
𝑦
=
9
𝑥
(1)
𝑥 + 𝑦 −
4
𝑥
=
4𝑦
𝑥2
(2)
Lấy (1) - (2) ta được :
1
𝑦
+
4
𝑥
=
9
𝑥
−
4𝑦
𝑥2

4𝑦
𝑥2
−
5
𝑋
+
1
𝑦
= 0
 𝑥2
− 5𝑥𝑦 + 4𝑦2
= 0 (giải ∆) 
 𝑥1 = 𝑦 ; 𝑥2 = 4𝑦
Với x=y , thế vào (1) 2x-
8
𝑥
= 0 <=> 𝑥 = 𝑦 = ±2
Với x=4y , thế vào (1) 5x −
5
4𝑦
= 0 <=> 𝑥 = ±
1
2
=> 𝑦 = ±2
Vậy S= {(2; 2) ; (−2; −2) ; (2; 1/2) ; (−2; −1/2)}
Câu 3 :
𝐶 𝑀𝐷𝐸 = 𝑀𝐷 + 𝑀𝐸 + 𝐷𝐸( 𝐵𝑀 + 𝐶𝑀). 𝑠𝑖𝑛60° + 𝐷𝐸
= 𝐵𝐶. 𝑠𝑖𝑛60° + 𝐷𝐸, 𝑚à 𝐵𝐶. 𝑠𝑖𝑛60° 𝑘ℎô𝑛𝑔 đổ𝑖

4. Do đó chu vi tam giác MDE nhỏ nhất  DE nhỏ nhất
Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM (góc D=góc
E =90° ) nên tam giác ADE cũng nội tiếp đường tròn đường kính
AM, tâm I là trung điểm AM.
Gọi K là trung điểm DE, suy ra IK ⊥ 𝐷𝐸 và góc EIK= góc A
(=1/2 góc DIE )
Mà sin KIE=KE/IE=0,5DE/R ( tâm I) =DE/2R( tâm I)=DE/AM
 DE=AM.sinBAC=AM.sin60∘
Vì sin60∘ không đổi nên DE nhỏ nhất  AM nhỏ nhất  M≡ 𝐻
(H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, mà tg ABC đều,
nên H là trung điểm BC)
Vậy khi M là trung điểm BC thì chu vi tam giác MDE nhỏ nhất.
Câu 4:
a)
𝑥2
𝑦2 +
𝑦2
𝑥2 ≥
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
(x≠ 0; 𝑦 ≠ 0)

𝑥2
𝑦2 +
𝑦2
𝑥2 −
𝑥
𝑦
−
𝑦
𝑥
≥ 0

𝑥4+𝑦4−𝑥3 𝑦−𝑥𝑦3
𝑥2 𝑦2 ≥ 0

( 𝑥−𝑦)(𝑥3−𝑦3)
𝑥2 𝑦2 ≥ 0

( 𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)
𝑥2 𝑦2
≥ 0

5. 
( 𝑥−𝑦)2[(𝑥+
1
2
𝑦)2+
3
4
𝑦2]
𝑥2 𝑦2 ≥ 0 (luôn đúng , ∀𝑥 ≠ 0; 𝑦 ≠ 0)
b)Tìm Min P =
𝑎2+3𝑎𝑏+𝑏2
√ 𝑎𝑏 (𝑎+𝑏)
(a>0 ; b>0)
=
(𝑎+𝑏)2+𝑎𝑏
√ 𝑎𝑏 (𝑎+𝑏)
=
1
4
(𝑎+𝑏)2
+𝑎𝑏+
3
4
(𝑎+𝑏)2
√ 𝑎𝑏 (𝑎+𝑏)
=
1
4
(𝑎+𝑏)2+𝑎𝑏
√ 𝑎𝑏 (𝑎+𝑏)
+
3
4
(𝑎+𝑏)
√ 𝑎𝑏
≥
√
1
4
(𝑎+𝑏)2.𝑎𝑏
2
√ 𝑎𝑏 (𝑎+𝑏)
+
3
4
.2√ 𝑎𝑏
√ 𝑎𝑏
= 1+
3
2
=
5
2
Dấu “=” xảy ra 
1
4
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎𝑏 𝑎 = 𝑏
𝑎 = 𝑏
Vậy Min P = 5/2  a = b
 Cách khác 
𝑃 =
𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 𝑏2
√𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏)
=
(𝑎 + 𝑏)2 + 𝑎𝑏
√ 𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏)
=
𝑎 + 𝑏
√𝑎𝑏
+
√𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
=
3
4
.
𝑎+ 𝑏
√ 𝑎𝑏
+ (
1
4
.
𝑎 + 𝑏
√ 𝑎𝑏
+
√ 𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
) ≥
3
4
.2 +2.√
1
4
=
5
2

6. Câu 5
a) Kẻ đường kính AE của (O), EH cắt (O) tại K’, AK’ cắt EB tại D. Dễ
thấy H là trực tâm tam giác AED nên DH ⊥ AO
=> DH//AM (1)
Ta có góc BDH = EAH = HMB nên tức giác HMDB nội tiếp.
 HM ⊥ MD => DM//AH (2)
Từ (1), (2) suy ra AHDM là hình bình hành.
 AD đi qua trung điểm I của HM
 K’ là giao điểm của AI với (O)
 K’≡ K
 HK ⊥ AI
b) Ta có : góc IAM = góc ABK ( cùng chắn cung AK)
góc AMI = góc OBA (OAMB nội tiếp )
Nên góc IAM + góc AMI = góc ABK + góc OBA
 góc AIH = góc OBK
Mặt khác
Góc AIH + góc KHI = 90∘
Góc OBK + góc KBM = 90∘
Nên góc KHI = góc KBM
 Tứ giác HKMB nội tiếp
 BKM = BHM = 90∘
Câu 6
2015(𝑥2
+ 𝑦2
) − 2014(2𝑥𝑦 + 1) = 25

7.  2014( 𝑥 − 𝑦)2
+ 𝑥2
+ 𝑦2
= 2039
Đặt t = | 𝑥 − 𝑦|, t ∈ N, do x, y nguyên
Xét các trường hợp :
TH1 : t = 0 , tức x = y => phương trình vô nghiệm
TH2 : t = 1 , tức là x – y = ± 1
Với x – y = 1 hay x = y + 1 , phương trình trở thành :
(𝑦 + 1)2
+ 𝑦2
= 25  𝑦2
+ 𝑦 − 12 = 0
 y = 3 hay y = -4
Với y = 3 thì x = 4 ; với y = -4 thì x= -3
Với x – y = -1 hay x = y – 1, phương trình trở thành :
(𝑦 − 1)2
+ 𝑦2
= 25  𝑦2
− 𝑦 − 12 = 0
 y = - 3 hay y = 4
Với y = -3 thì x = -4 ; với y = 4 thì x= 3
TH3: t ≥ 2 , VT > VP => vế trái vô nghiệm
Vậy các cặp thỏa là (4; 3) , (-3; -4) , (-4; -3) , (3; 4)
Cách khác : sử dụng phương pháp biến đổi phương trình về dạng vế
trái là tổng của các bình phương. Vế phải là tổng của các số chính
phương, hoặc cách điều kiện có nghiệp của phương trình bậc hai cũng
có thể giải ra đáp số 