1. matA10 – álgebra
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Monotonia da potenciação
Se a b e n ímpar, então n n
a b Se 0 a b e n par, então 0 n n
a b Se 0a b e n par, então 0n n
a b
Raiz de índice n
Dado um número real a e um número natural n
Se n ímpar, : n
b b a e b é único
Se n par e a
, então : n
b b a
e b é único
0 0n
b b
Ao número real b dá-se o nome de raiz índice n de a e
representa-se por: n
a
Se n ímpar: n n
b a b a
Se n par: e 0n n
b a b b a
0 0n
Propriedades dos radicais
Radicais equivalentes
n nkp pk
a a
, , , 1 e 0n p k n a
Multiplicação de radicais
, 1n n n
a b a b n
Se n é par, então 0 e 0a b
Potência de um radical
; , e 1
p
n pn
a a n p n
Se n é par, então 0a
Divisão de radicais
: , , 0 1
n
n n n
n
a a
a b n b n
bb
Se n é par, então 0 e 0a b
Radical de radical
; , e 1
p npn
a a n p n
Se n é par ou p é par, então 0a
Racionalização de denominadores
n n p
n n np p n p
a a b
b b b
a b ca a b a c
b cb c b c b c
Para racionalizar o denominador de n n
a
b c
, aplica-se a igualdade
1 2 3 2 2 3 2 1
...n n n n n n n n
A B A B A A B A B A B AB B
Potências de expoente racional
1
; 0 e 2n n
a a a n a ; 0, , , 0 e 2
m
n m n
a a m n m n
; 0 e ,p q p q
a a a a p q
: ; 0 e ,p q p q
a a a a p q
; , 0 e
pp p
a b a b a b p : : ; , 0 e
pp p
a b a b a b p
1
; eq
q
a a q
a
0; e ,
qp p q
a a a p q
Operações com polinómios
Adição, subtração e multiplicação de polinómios
Dados dois polinómios A x e B x , tem-se:
A x B x é o polinómio soma de A x com B x
A x B x é o polinómio diferença entre A x e B x
A x B x é o polinómio produto de A x por
O grau de A x B x é igual à soma dos graus de A x e
de B x
Divisão inteira de polinómios
Na divisão inteira de A x por B x , tem-se
A x R x
Q x A x B x Q x R x
B x B x
Onde:
A x é o dividendo; B x é o divisor; Q x é o quociente e
R x é o resto
O grau de R x é inferior ao grau de B x ou 0R x
Regra de Ruffini
Método que simplifica o cálculo do quociente e resto da
divisão inteira de um polinómio P x por x a , com a
Exemplo: Na divisão de 3
2 5 7x x por 2x , temos:
2
2 4 3Q x x x e 13R x
-2 0 5 7
-2 4 -8 6
-2 4 -3 13
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Fatorização de polinómios
Teorema do resto
Dado um polinómio P x e um número real a, o resto da divisão inteira de P x por x a é igual a P a
P x é divisível por x a se só se 0P a
Dado um polinómio P x de grau n e a , tem-se:
0P a P x é divisível por x a
Nesse caso existe Q x de grau 1n tal que P x x a Q x
Número de zeros (raízes) de um polinómio
Se P x é divisível por x a , então diz-se que a é um zero do polinómio P x
Um polinómio de grau n tem, no máximo, n zeros
Multiplicidade da raiz de um polinómio
a é raiz de P x com multiplicidade n, quando n é o maior número natural para o qual P x é divisível por
n
x a
n
P x x a Q x
Fatorização de um polinómio
Dado um polinómio P x de grau n com k raízes distintas 1 2, ,..., ka a a , com multiplicidades 1 2,n ,...,nkn ,
respetivamente, tem-se que 1 2 ... kn n n n e existe um polinómio Q x , sem raízes, tal que
1 2
... kn n n
P x x a x a x a Q x
Nota: Se 1 2 ... kn n n n , então Q x tem grau 0 e é igual ao coeficiente do termo de maior grau
Raízes inteiras de um polinómio
Dado um polinómio P x com coeficientes inteiros, se tiver raízes inteiras, estas são divisores do termo independente (que
tem grau zero) do polinómio P x
Exemplo: Se o polinómio 3 2
2 2P x x x x tem raízes inteiras, então só podem ser 2, 1,1 ou 2
Inequações de grau superior ao primeiro
Para resolver uma inequação do tipo 1
0 1 1... 0n n
n na x a x a x a
fatoriza-se o primeiro membro e estuda-se o sinal dos
seus fatores
Exemplo
23
3 2 0 1 2 0x x x x
x 1 2
2
1x + 0 + + +
2x 0 +
2
1 2x x 0 0 +
1 2,S
