Fungsi kuadrat

KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1

Kalian tentu pernah mempelajari suatu persamaan yaitu: . Bentuk
persamaan diatas merupakan garis lurus. Akan tetapi, tidak semua bentuk persamaan
merupakan garis. Ada yang berbentuk suatu parabola, elips, gelombang, atau yang
lainnya. Sekarang yang akan kita pelajari adalah bentuk parabola. Fungsi apakah
yang mewakili suatu parabola dan bagaimana penerapan dalam kehidupan sehari-
hari? Agar lebih paham, coba kalian perhatikan ilustrasi berikut ini.

Seorang anak melempar sebatang kayu vertical ke atas dengan kecepatan awal
tertentuuntuk mengambil kembali layang-layang yang tersangkut disebuah pohon.
Batang kayu yang ia lemparkan, jika tidak mengenai pohon tersebut maka akan jatuh
ke tanah.

Apakah kalian ingin mengetahui berapa tinggi maksimum yang dapat dicapai
batang kayu tersebut? Dan apakah batang kayu yang ia lemparkan akan dapat
mencapai layang-layang yang berada di pohon tersebut?

Pertanyaan di atas dapat kita selesaikan menggunakan fungsi kuadrat. Fungsi
kuadrat disebut juga fungsi parabola, hal ini disebabkan grafik dari fungsi kuadrat
adalah berbentuk parabola. Bentuk parabola dapat terbuka ke atas, ke bawah, ke kiri,
dank e kanan. Semua ini tergantung dari bentuk fungsi kuadrat itu sendiri. Cirri-ciri
dari fungsi kuadrat adalah memiliki titik tertinggi atau terendah. Kalian dapat
mengetahui nilai dari titik tersebut menggunakan formula tertentu yang tentunya
mempermudah kalian dalam melakuakn perhitungan, sehingga kita tidak perlu secara
menual melakukan nilai dan titik tersebut. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
. Pada kasus ini, fungsi kkuadrat yang digunakan adalah

dengan adalah kecepatan awal kayu, adalah waktu setelah batang kayu
dilemparkan, adalah percepatan grafitasi, dan adalah tinggi yang dicapai batang
kayu saat .

MEMAHAMI KONSEP FUNGSI


Batan kayu yang dilemparkan anak tersebut ke atas, jika tidak mengenai pohon
merupakan salah satu fungsi kuadrat karena batang kayu tersebut dimulai dari
ketinggian 0, kemudian semakin lama semakin tinggi hingga mencapai tinggi
maksimum dan turun kembali sehingga ketinggian batang kayu tersebut menjadi 0.

Tidak sulit, bukan? Selain contoh di atas, masih banyak contoh lain yang
menggunakan fungsi kuadrat dan secara tidak sadar ternyata banyak digunakan
dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya dalam bidang ekonomi, fungsi permintaan
dan penawaran dapat berupa fungsi kuadrat. Jika kalian tertarik mengenai fungsi
kuadrat seperti bagaimana cara menggambarkan fungsi kuadrat, mengetahui nilai
maksimum atau minimum, atau yang lainnya, kalian dapat mempelajarinya lebih
mendalam dalam bab ini.

Tahukah Anda?

Evariste Galois (1811-1832) adalah seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis
yang memberi kontribusi nyata pada teori fungsi, teori persamaan, dan teori
bilangan. Semua pemikirannya berkembang dari minatnya ketika masih sekolah
untuk menunjukan ketidakmungkinan penyelesaian persamaan pengkat enam dengan
radial dan untuk menjelaskan syarat-syarat umum sembarang persamaan suku
banyak agar dapat diselesaikan. Meskipun Galois telah mempublikasikan beberapa
makalah, ketika ia kirimkan karya tulisnya ke Academy of Science pada tahun 1829,
makalahnya dihilangkan oleh Cauckly dan Fauvier. Ia juga ditolak masuk di Ecole
Polytechnique. Setelah ayahnnya bunuh diri, Iaberusaha melupakan pemikiran
matematika sebagai karirnya.



A. Fungsi
Kalian tentu pernah mendengar ungkapan bahwa sebuah fungsi pasti
merupakan relasi, tetapi sebuah relasi belum tentu merupakn fungsi. Mengapa
demikian? Tentu, keduanya memiliki perbedaan walaupun sama-sama
menunjukan hubungan antara dua buah himpunana. Untuk itu, sebelum sampai
pada pembahasan fungsi kuadrat dan gafiknya, ada baiknya kita meningat
kembali pengertian relasi, pemetaan atau fungsi.
1. Relasi
Secara umum relasi atau hubungan antara himpunan A dan himpunan
B didefinisikan sebagai suatu pemasangan atau perkawanan antara anggota-
anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Beberapa cara
untuk menyatakan suatu relasi adalah dengan mengunakan diagram panah,
himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius. Untuk memahami
beberapa cara menyajiakan suatu relasi tersebut, perhatikan contoh berikut:

Contoh:
Diketahui dan R adalah relasi dari himpunan A ke
himpunan B yang dinyatakan himpunan pasangan berurutan
. Nyatakan R dengan diagram panah, kemudian
nyatakan pula R dengan diagram Cartesius.
Jawab:
Diagram panah Diagram Cartesius

B

1 p

2 q r
q
3 r
p
A
A B 0 1 2 3



2. Pemetaan atau Fungsi
Fungsi, atau sering disebut pemetaan, senantiasa melibatkan dua
himpunan. Kita ketahui setiap himpunan tak kosong memiliki elemen atau
anggota atau boleh disebut juga unsur. Fungsi hanya terdefinisi pada dua
himpunan tak kosong. Kata fungsi dalam matematika diperkenalkan oleh
Leibniz (1646-1716) yang digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau
kaitan yang khas antara dua himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan hal
yang istimewa dari suatu relasi antara dua himpunan. Sebuah fungsi f dari A
ke B adalah pemasangan unsur di A ke tepat satu unsur di B.

Contoh:

Misalkan ada lima buah gelas yang sama ukuranya, tingginya masing-masing
12 cm. Kemudian gelas tersebut disusun ke atas, untuk gelas kedua dan
seterusnya hanya sebagian/separo yang dapat masuk ke gelas di bawahnya.
Jika di ukur tinggi keseluruhanya, maka diperoleh:

Banyak Gelas 1 2 3 4 5
Tinggi Tumpukan 12 cm 18 cm 24 cm 30 cm 36 cm

Jika ada 8 gelas, berapa tinggi tumpukannya? Jika tinggi gelas adalah t dan
ada 10 gelas, berapa tinggi tumpukannya?

Tinggi tumpukan merupakan fungsi banyaknya gelas. Peubah
banyaknya gelas berelasi langsung dengan peubah tinggi tumpukan. Jika
tinggi gelas t cm dan banyaknya gelas adalah g, maka sebuah fungsi dapat
dinyatakan sebagi hubungan antara tinggi tumpukan dan banyaknya gelas
yang ditumpuk.

Suatu fungsi dapat kita bayangkan dengan sebuah kinerja mesin, yang
digambarkan sebagai berikut:

Fungsi F
masukan keluaran



Jika memproses sebuah bilangan (masukan), maka akan diperoleh suatu hasil
(keluaran). Sehingga, apabila masukan satu buah bilangan, maka akan
diperoleh satu bilangan tunggal sebagai keluaran. Tetapi, dapat terjadi
beberapa masukan yang berlainan, namun menghasilkan keluaran yang sama.

Untuk mendefinisikan suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B
diperlukan:

a. Suatu himpunan A
b. Suatu himpunan B
c. Aturan yang memasangkan setiap elemen dengan satu elemen
tunggal .

Perhatikan diagram dibawah ini:

A B

1 1

2 2

3 3

Definisi: suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal,
dengan elemen pada B.

Ditulis: dibaca “fungsi f memetakan A ke B”



Apabila memetakan suatu elemen ke suatu dikatakan
bahwa adalah peta dari oleh dinotasikan dan biasa ditulis dengan
, dan diasa disebut prapeta dari .

Himpunan A dinyatakan sebagai daerah asal (domain) fungsi,
himpunan B dinyatakan sebagai daerah kawan (kodomain) fungsi, dan semua
himpunan anggota B yang mempunyai pasangan disebut daerah hasil (range)
fungsi.

Ada beberapa cara penyajian fungsi, diantaranya:

a. Diagram panah
b. , ini menyatakan bahwa fungsi f mempunyai domain D dan
Kodomain K. Untuk selanjutnya jika domain dan kodomain tidak
dinyatakan, itu berarti yang dimaksud adalah himpunan bilangan real
yeng memenuhi fungsi. Misalnya: , dan hanya terdefinisi
dan .
Lambing fungsi tidak harus f. Misalnya:
1) atau
2) atau
c. Penyajian pasangan berurutan
Cara ini efektif hanya jika himpunannya terbatas dan anggotanya diskrit.
d. Grafik kartesius
e. Dalam bentuk aturan-aturan
1) Tambah 1 dan (kemudian) kuadratkan
2) Kuadratkan dan (kemudian) tambah 1
f. Dalam bentuk aljabar:
1) atau yang terakhir ini disebut persamaan
fungsi
2) atau yang terakhir ini disebut persamaan
fungsi
g. Dalam bentuk persamaan:
Eksplisit: misalnya, dengan
Implisit: misalnya,



h. Penyajian parametrik:
Jika sebuah fungsi atau bentuk relasi tertentu disajikan
dalam dua fungsi secara terpisah dalam bentuk dan ,t
dinamakan sebuah parameter.
Contoh:

merupakan bentuk parametrik dari yang diperoleh

dengan menngeliminasi t dari kedua persamaan.
i. Fungsi kuadrat
Perhatikan relasi-relasi yang dinyatakan dengan diagram panah berikut!

A B A B

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

(a) (b)

Dari kedua relasi di atas, mana yang merupakan fungsi!
Secara umum, suatu relasi dari A ke B dinamakan pemetaan atau fungsi,
jika setiap anggota A mempunyai tepat satu anggota B. dalam hal ini, A
disebut sebagai domain fungsi, B sebagai kodomain fungsi, dan himpunan
semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range fungsi.
Gambar (b) merupakan fungsi, sehingga dapat kita peroleh:
Domain =A={1,2,3}
Kodomain =B={1,2,3}
Range ={2,3}
Bentuk umum fungsi kuadrat yaitu , dimana
dan dan sering disajikan dalam bentuk grafik.



Contoh:

8

1 2 4 6

Latihan 1:
1. Diketahui himpunan . Manakah yang merupakn relasi dan
mana yang merupakn fungsi, jelaskan!
a.
b.
c.
2. Tentukan rumus fungsi f yang ditentukan oleh aturan sebagai berikut ini:
a. Kuadratkan, kemudian kurangi dengan dua kalinya
b. Kuadratkan, tambahkan dengan tiga. Kemudian kalikan dengan empat
c. Kurangi dengan tiga, kuadratkan. Kemudian tarik akar kuadratnya
3. Tentukanlah range fungsi jika diketahui domain fungsi , dan
kodomain fungsi sebagai berikut:
a. ; dan
b. ; dan
c. ; dan
d. ; dan
4. Jika f(x) adalah fungsi kuadrat, maka fungsi apakah g(x) jika g(x)=f(x+p)-
f(x). Jelaskan!
5. Diketahui fungsi pada R yang didefinisikan dengan:



Gambar sketsa grafik tersebut!
6. Fungsi didefinisikan oleh , . Tentukan range untuk
domain . Tunjukan fungsi itu dalam koordinat Cartesius.
7. Fungus f memetakan setiap bilangan asli ganjil ke-2, dan bilangan asli
genap ke-2. Tentukan:
a. Peta bagi 5 dan 8
b. Domain f
c. Range f
8. Suatu fungsi t memetakan setiap bilangan asli kepada sisinya apabila
bilanga itu dibagi dengan 3.
a. Tentukan .
b. Tentukan range bagi t jika domiannya
9. Tanngki bengsin sebuah truk dapat memuat 80 liter bensin. Dalam jangka
tempuh 5 km truk itu menghabiskan bensin 1 liter. Jika tangki diisi penuh
dan jangka tempuh truk n km, .
a. Dengan menggunakan tanda fungsi , nyatakan p memetakan n ke
bilangan liter bensin yang tersisa dalam tangki setelah n km.
b. Tentukan nilai p di 80, 300, 400, dan 450
c. Jelaskan jawabanmu untuk dan
d. Tentukan range p
10. Upah seorang buruh di suatu perkebunan adalah Rp. 200.000,- sebulan,
dan tiap tahun upahnya bertambah 10%.
a. Berapa upahnya setelah n tahun.
b. Dengan menggunakan tanda fungsi , nyatakan h memetakan n ke
upah buruh setelah n tahun.
c. Tentukan range bagi h dalam dalam bentuk pangkat, jika domainnya

11. Suatu fungsi p memetakan setiap bilangan bulat kepada sisanya apabila
bilangan itu dibagi 5.
a. Tentukan nilai dari dan



b. Tentukan range bagi p jika domainnya
12. Tentukan domain untuk setiap fungsi berikut ini.
a.

b.

c.

d.
13. Diketahui fungsi .
a. Tentukan peta bagi -3
b. Tentukan nilai f di
c. Unsur-unsur domain manakah yang mempunyai peta 37?
d. Tentukan unsur domain yang mempunyai peta/kawan -15? Jelaskan
jawabanmu.
14. Diketahui dan dengan rumus
. Tentukan dan , kemudian
tentukan rumus daerah hasil f. jelaskan dengan gambar
15. Fungsi h didefinisikan sebagai: .
a. Tentukan range untuk
b. Tentukan unsur domain t yang mepunyai peta 256-1
c. Jika , tentukan nilai
d. Jika domain h adalah bilangan real. Tentukan rangenya dan jelaskan
jawabanmu

B. Macam-macam Fungsi
1. Fungsi Aljabar Sederhana
Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah
himpunan semua bilangan real (R). untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal
beberapa fungsi khusus, antara lain sebagai berikut.
a. Fungsi Konstan
Fungsi konstan merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur di
domain ke satu nilai yang sama atau konstan, yang dinyatakan dengan



dan C konstan. Ini berarti fungsi f memetakan setiap bilangan
real dengan C.
Grafik fungsi konstan dengan adalah garis lurus yang
sejajar sumbu X untuk dan berimpir dengan sumbu X apabila
.

Contoh:
Fungsi

Y

3

X
-2 5

b. Fungsi Identitas
Fungsi identitas merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur di
domain ke dirinya sendiri. Fungsi yang didefinisikan sebagai
disebut fungsi identitas.
Grafik fungsi identitas adalah garis lurus yang melalui .

Contoh:

Y

4
3
2

X
0 2 3 4



c. Fungsi Modulus
Fungsi modulus merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur di
domain kesuatu nilai positif atau nol. Nilai mutlak (modulus) suatu
bilangan real didefinisikan sebagai:

Misalnya:
Fungsi disebut fungsi modulus jika

Contoh:
Grafik fungsi f yang didefinisikan oleh adalah:

Y

3

X
3





d. Fungsi Linier
Fungsi linier merupakan suatu fungsi yang peubah bebasnya paling tinggi
berpangkat satu. Fungsi yang didefinisikan ,
dan konstan dengan syarat disebut dengan fungsi linier.



Contoh 1:
Diketahui fungsi . Tentukan:
1) Nilai-nilai fungsi tersebut untuk
2) Titik-titik dan gambarkan

Jawab:

1) Diketahui
Untuk
Untuk
Unutk
Untuk
Untuk
Untuk
Untuk

2) Dari a) diperoleh titik-titik (-3,-10), (-2,-7), (-1,-4), (0,-1), (1,2), (2,5),
dan (3,8). Jika titik-titik tersebut digambarkan dalam grafik, maka
diperoleh:
8

5

2

-3 -2 -1 0
1 2 3
-1

-4

-7

-10



Contoh 2:
Diketahui fungsi . Tentukan daerah asal
fungsi f. kemudian lukiskan grafik fungsi f dan tentukan daerah
hasilnya.
Jawab:
Diketahui, daerah asal fungsi adalah
. Untuk melukiskan grafik fungsi , dengan
, dilakukan langkah-langkah berikut.
Langkah 1:
Menentukan dua titik .
Untuk , nilai
Untuk , nilai
Oleh karena itu, diperoleh dua titik yaitu, (-4,-2) dan (10,12)
Langkah 2:
Menggambarkan dua titik tersebut pada bidang Cartesius.
Langkah 3:
Menggambarkan garis lurus dengan menghubungkan dua titk tersebut.
Dari langkah 1, 2, dan 3 diperoleh grafik sebagai berikut.

Y
12

2

-4 2
10 X

-2



Dari grafik tersebut, diperoleh daerah hasil fungsi
adalah .

2. Fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang mempunyai peubah bebas
berpangkat paling tinggi dua. Fungsi yang didefinisikan
, dengan dan .

Contoh 1:
Diketahui dari suatu fungsi dengan
. Tentukan:
a. dan prapeta dari 5
b. Buat grafik dan tentukan daerah hasil dari fungsi
c. Jelaskan bahwa suatu fungsi

Jawab:

a.







Praperta dari 5



prapeta dari 5 adalah -2 atau 2



b. Grafik Fungsi

Y

Daerah hasil

X
Daerah Asal

Titik balik (0,1)

Jadi daerah hasil dari fungsi adalah

c. Karena suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu x)
dipasangkan secara tunggal maka merupakn fungsi.

Contoh 2:

Tentukan nilai-nilai untuk .
Kemudian tentukan titik-titik .

Jawab:

Diketahui

Untuk

Untuk

Untuk



Untuk

Untuk

Untuk

Untuk

Jadi, diperoleh titik-titik .

Latihan soal:

1. Gambarlah grafik fungsi konstan, jika diketahui:
a.
b.
c.
2. Gambarlah grafik fungsi modulus berikut:
a.
b.
c.
3. Diketahui fungsi
a. Tentukan nilai-nilai fungsi tersebut untuk

b. Tentukan dan gambarkan titik-titik
c. Hubungkan titik-titk tersebut
4. Tentukan daerah asal fungsi f. Kemudian, lukiskan grafik fungsi f dan
tentukan daerah hasilnya. Jika diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut.
a.
b.
c.
d.
5. Gambarlah grafik fungsi-funngsi berikut ini
a.



b.
c.
d.
e.

f.

g.

h.

i.

j.
k.
l.
6. Jelaskan pendapat Anda tentang kurva parabola untuk .
7. Gambarlah tiap kurva parabola di bawah ini,kemudian jelaskan
pendapatmu tentang hubungan dengan kurva
a)
b)
c)
d)
e)


Fungsi kuadrat

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (9)

Ähnlich wie Fungsi kuadrat

Ähnlich wie Fungsi kuadrat (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

Fungsi kuadrat