MODULO 2022_1_FASE_CERO.pdf

. CPU 2022-I Matemáticas y Razonamiento Matemático
HECTOR GONZALES CCOPACATI
MATEMÁTICAS Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CANAL 01

ÍNDICE
Tema 01
Teoría de exponentes y ecuaciones exponenciales. 03
Regla de tres 62
Tema 02
Productos Notables 10
Porcentajes 69
Tema 03
Factorización 15
Regla de interés 75
Tema 04
Ecuaciones 22
Sucesiones y series 80
Tema 05
Inecuaciones 29
Cuatro operaciones 88
Tema 06
Sistemas de ecuaciones 38
Edades 97
Tema 07
Matrices y determinantes 46
Operadores matemáticos 103
Tema 08
Geometría Analítica 55
Fracciones 109
Bibliografía 114

TEMA 01: TEORÍA DE EXPONENTES Y ECUACIONES
EXPONENCIALES
I. TEORIA DE EXPONENTES
Definición:
Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen
entre ellos, mediante leyes (Hermes, 2015).
La teoría de exponentes estudia las diversas relaciones existentes entre todas las
clases de exponentes, mediante leyes (Ríos, 2009). La teoría de exponentes
ocupa un lugar de mucha importancia en el curso del álgebra.
La teoría de exponentes se basa fundamentalmente en las propiedades de la
Potenciación, por lo tanto, para una mejor comprensión definiremos las
operaciones de potenciación y luego explicaremos cada una de sus propiedades.
POTENCIACIÓN
Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces
como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto
se le denomina potencia.
Sea “a” la base y “n” el exponente, y an
la potencia, se cumple entonces que:
Donde a y n son números reales.
Sus principales leyes son:
1. EXPONENTE CERO
1
0
5
:
Ejemplo
1
0 =
=
x
2. EXPONENTE NEGATIVO
8
1
8
-
x
:
Ejemplo
1
x
m
x
m
x =
=
−
3. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES
22
10
7
5
10
7
5
x
:
Ejemplo x
x
x
x
p
n
m
x
p
x
n
x
m
x =
+
+
=
+
+
=

4. DIVISIÓN DE BASES IGUALES
( ) 15
5
10
5
10
5
10
x
:
Ejemplo x
x
x
x
n
m
x
n
x
m
x
=
+
=
−
−
=
−
−
=
5. MULTIPLICACION DE BASES DIFERENTES
( ) ( ) 2744
343
*
8
3
7
*
3
2
3
7
*
2
:
Ejemplo
*
* =
=
=
= m
y
m
x
m
y
x
6. DIVISON DE BASES DIFERENTES
81
16
4
3
4
2
4
3
2
:
Ejemplo =
=






=








m
y
m
x
m
y
x
7. DIVISIÓN DE FRACCIONES CON EXPONENTE NEGATIVO
16
81
4
2
4
3
4
2
3
4
3
2
:
Ejemplo =
=






=
−












=
−








m
x
y
m
y
x
8. POTENCIA DE UNA POTENCIA
( ) ( ) ( )( )( )
24
1
24
4
3
2
4
3
2
x
:
Ejemplo
x
x
x
mn
x
n
m
x =
−
=
−
=
−






=
9. EXPONENTE FRACCIONARIO
5
4
5 4
:
Ejemplo x
x
n
m
x
n m
x =
=
10. RAIZ DE RAIZ
( )( )( )( ) 120 3
2
5
4
3 3
3 4 5 3
:
Ejemplo x
x
x
mnpq
x
m n p q
x =
=
=
11. RAIZ DE UN PRODUCTO
5
*
2
5 25
*
5 10
5 25
10
:
Ejemplo
* y
x
y
x
y
x
n y
n x
n xy =
=
=
12. RAIZ DE UN COCIENTE
5
2
4 625
416
4
625
16
:
Ejemplo =
=
=
n y
n x
n
y
x

EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Si: 𝑥𝑥
= √4 √23 √642
4
3
, además: 𝑦 = √ √ √2568𝑥+1
2𝑥−3
2𝑥+1
2𝑥+2
Calcule: 𝑦/𝑥
a) 263
b) 262
c) 231
d) 216
e) 24
Solución: 𝑥𝑥
= √4 √23. 8
3
= √4 √23. 23
3
= √4.4 = 4 𝑥 = 2
𝑦 = 256
8𝑥+1
2𝑥+2.2𝑥+1.2𝑥−3
= 256
23𝑥+3
23𝑥
= (28
)8
= 264
Finalmente:
𝑦
𝑥
=
264
2
= 263
2. Dada la expresión: (2𝑥2)4𝑥2
= (√2𝑥)
81−𝑥
Determine la suma de los valores de “x”
a) 1/2 b) -2 c) 3/2 d) -3/2 e) 5/2
Solución: (2𝑥2)4𝑥2
= (√2𝑥)
81−𝑥
((√2𝑥)2
)
4𝑥2
= (√2𝑥)
81−𝑥
2.4𝑥2
= 23(1−𝑥)
2.22𝑥2
= 23(1−𝑥)
21+2𝑥2
= 23(1−𝑥)
1 + 2𝑥2
= 3 − 3𝑥
2𝑥2
+ 3𝑥 − 2 = 0 (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0 𝑥 =
1
2
; 𝑥 = −2 Suma: −
3
2
3. Si:
2
1
5 =

= −b
a
a
b Calcular: R =
1
+
a
b
a
a) 30 b) 32 c) 34 d) 35 e) 33
Solución:
De la condición:
2
1
=
−b
a
2
1
1
=
b
a
2
=
b
a
Desarrollando:
R =
1
+
a
b
a R =
b
ba
a R =
b
a5
R =
5
)
( b
a R = 32
25
=
4. Calcule: E = √[(0,125) √3
3
]
−( √9
3
)
3
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 5

Solución:
E = √[(0,125) √3
3
]
−( √9
3
)
3
=√[
1
8
]
3
1
3.−(3)
2
3
3
= √[8−1]3
1
3.(−3)
2
3
3
= √83
1
3.(3)
2
3
3
= √83
3
= 8
5. Calcule: E = √[(0,125) √2
3
]
−20,6
̅
3
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 5
• 0, 6
̅ =
6
9
=
2
3
E =
√[
1
8
]
2
1
3.(−2)
2
3
3 1 2
3 3
3 3
2 2 2
E 8 8 4
= = =
6. Si: 6
2
4
2
2 2
2
=

=
+ + y
x
y
x
, Calcular:
y
x
2
2 +
A) -4 B) -2 C) 2 D) 0 E) 4
Solución:
De la condición:
6
2 =
+ y
x
6
2
2 =
y
x
Además, sea:
y
x
m 2
2 +
= , elevando al cuadrado
=
+
= 2
2
)
2
2
( y
x
m
y
x 2
2
2
2 + +2( )
2
2 y
x
16
12
4
2
=
+
=
m 4
=
m
7. Reducir: m
E
14
9
3
1
.
9
−






= donde:
1
2
1
4
1
−






−








=
m
A) 4 B) 6 C) 9 D) 1 E) 8
Solución:
16
4
4
1
4
1 2
2
1
2
1
=
=








=








=
−
−






−
m Reemplazando en: 16
14
9
3
1
.
9
−






=
E
2
16 32
16 14
18
3
3
3
.
3 =
=
=
E

II. ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones exponenciales son aquellas que se caracterizan porque la
incógnita se encuentra ubicada en el exponente.
Si el conjunto solución se ha calculado por las transformaciones elementales;
entonces la ecuación será elemental.
1. PRIMER CASO:
Es de la forma: 𝑏𝑥
= 𝑏𝑛
→ 𝑥 = 𝑛 donde: 𝑏 ≠ 0; 𝑏 ≠ 1
Para calcular la incógnita x, se utiliza el siguiente principio:
“A bases iguales se debe tener exponentes iguales”
Ejemplos
1. Hallar “x” en : (33𝑥+2
)
3𝑥−4
=381
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución
(33𝑥+2
)
3𝑥−4
=381
33𝑥+23𝑥−4
= 381
3𝑥+2+𝑥−4
= 34
2𝑥 − 2 = 4 x = 3
2. Hallar el valor de "x" en:
2
1
1
16
=
−
x
x
a) 2-32
b) 2-128
c) 2-2
d) 232
e) 1
Solución
2
1
1
16
=
−
x
x
2
1
16
1
=
x
x
16
1
2
1
16
1
2
1
16
1














=





 x
x
32
1
16
1
2
1
16
1






=






x
x
8
1
.
32
1
.
8
16
1
2
1
16
1






=






x
x
.
256
1
16
1
256
1
16
1






=






x
x

.
256
1
16
1
256
1
16
1






=






x
x 16
1
x =
256
1 128
2−
=
x
3. ¿Cuál es el valor de x?
2
1
2
3
5
16
8
.
4 +
+
−
= x
x
x
a) 11/12 b) 11/4 c) 11/16 d) 13/8 e) 3/2
Solución
2
1
2
3
5
16
8
.
4 +
+
−
= x
x
x )
2
(
4
)
1
2
(
3
)
3
5
(
2
2
2
.
2 +
+
−
= x
x
x
8
4
3
6
6
10
2
2 +
+
+
−
= x
x
x
8
4
3
16 +
=
− x
x 11
12 =
x
12
11
=
x
4. Hallar “x” si :
1
2
8
25
−
−
−
− x
= 5-1
A) 6 B) 7 C) 8 D) 8 E) 9
Solución:
1
8
5
25
1
2
−
−
=
−
−
−x
1
)
8
).(
2
(
5
5
1
2
−
−
=
−
−
−x
1
)
)(
3
(
2
2
1
2
−
−
−
=
−
−
−
x
3
1
2
1
−
=
−
−
x
3
1
1
=
x
9
=
x
5. Determine 4
x sabiendo que: 8
4
1
=
x
x
A) 1/8 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/16 E) 1/32
Solución:
16
1
16
4
.
4
4
4
4
8
16
1
16
1
2
1
2
1
2
1
4
1






=
=






=
=
=
=
x
x
Por tanto, por comparación:
16
1
=
x Finalmente:
2
1
16
1
4
4
=
=
x
6. Determine el valor de x en: √3
6 √3
𝑥
= √3

a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2 e) 3
Solución:
3
1
6
.√3
x
= 3
1
2
1
6
. √3
x
=
1
2
3
𝑥
2 = 3
𝑥
2
= 1 𝑥 = 2
2. SEGUNDO CASO:
Ecuación exponencial de la forma: 𝑚𝑚𝑚...𝑚𝑛
= 𝑛
Esta igualdad se cumple por propiedad. 𝑚 = √𝑛
𝑛
Ejemplo 1: Hallar “x” en:
𝑥𝑥7
= 7
Solución:
Aplicando la propiedad anterior para n = 7
𝑥𝑥7
= 7 𝑃𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑: 𝑥 = √7
7

TEMA 02: PRODUCTOS NOTABLES
DEFINICIÓN
Los productos notables son productos que tienen una misma estructura, un
tanto especial, cuyo resultado puede ser previsible y por tanto no es necesario
desarrollarlos para llegar al mismo.
También los productos notables son productos que cumplen reglas fijas y
cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar
la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de
efectuar la multiplicación correspondiente.
Podemos decir que la utilidad de los productos notables radica en que nos
facilitan algunos procesos matemáticos. Se puede llegar a resultados de
manera más rápida solamente tomando en cuenta sus criterios. Para esto, es
de mucha importancia poder conocer todos los detalles pues, si se aplican de
mala manera, entonces los resultados están comprometidos.
Existen varios productos notables, entre ellos tenemos:
a. Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
Identidades de Legendre
(a+b)2
+ (a – b)2
= 2 (a2
+ b2
)
(a+b)2
- (a – b)2
= 4 ab
(a+b)4
- (a – b)4
= 8 ab(a2
+ b2
)
b. Diferencia de cuadrados
(a + b) (a – b) = a2
– b2
c. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab + bc + ac)
(a + b -c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab - bc – ac )
d. Desarrollo de un binomio al cubo
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b +3 ab2
+ b3
= a3
+ b3
+ 3ab (a + b)
(a - b)3
= a3
- 3a2
b +3 ab2
- b3
= a3
- b3
- 3ab (a - b)
e. Suma y diferencia de cubos
(a + b) (a2
– ab + b2
) = a3
+ b3
(a - b) (a2
+ ab + b2
) = a3
- b3

f. Desarrollo de un trinomio al cubo
(a+b+c)3
= a3
+b3
+c3
+ 3 (a + b) (a + c) (b + c)
= a3
+b3
+c3
+3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc
=a3
+b3
+c3
+3a2
(b+c)+3b2
(a+c)+3c2
(a+b)+6abc
g. Producto de multiplicar binomios con un término común
(x +a ) (x + b) = x2
+ (a +b) x + ab
(x +a) (x + b) (x + c) = x3
+ (a+b+c) x2
+ (ab+ac+bc) x + abc
h. Identidad trinómica (Identidad de Argan´d)
(x2
+ xy +y2
) (x2
– xy + y2
) = x4
+ x2
y2
+ y4
(x2
+ x + 1 ) (x2
– x + 1) = x4
+ x2
+ 1
(x2n
+ xn
yn
+y2n
)(x2n
– xn
yn
+ y2n
)=x4n
+x2n
y2n
+ y4n
i. Identidades adicionales (Identidad de Gauss)
a3
+b3
+c3
–3abc=(a+b+c)(a2
+b2
+c2
- ab -ac -bc)
(a+b)(a+c)(b+c) + abc = (a+b+c) (ab+bc+ac)
j. Igualdades condicionales
• Si : a + b + c = 0; se verifica que:
a2
+ b2
+ c2
= - 2 (ab + ac + bc)
(ab+ ac + bc)2
= a2
b2
+ a2
c2
+ b2
c2
a3
+ b3
+ c3
= 3abc
Además :
(a2
+ b2
+ c2
)2
= 2(a4
+ b4
+ c4
)







 +
+
2
2
2
2
c
b
a







 +
+
3
3
3
3
c
b
a =
5
5
5
5
c
b
a +
+







 +
+
2
2
2
2
c
b
a







 +
+
5
5
5
5
c
b
a =
7
7
7
7
c
b
a +
+
• Si: a2
+ b2
+ c2
= ab + ac + bc  a = b = c
• Si: 2
=
+
x
y
y
x
 x = y
• Si:
y
x
4
y
1
x
1
+
=
+  x = y
• Si: a3
+ b3
+ c3
= 3abc
 a = b = c ó
 a + b + c = 0

1. Determine el valor de: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, si se sabe que son números positivos y cumplen
las siguientes igualdades:
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 7 − 𝑎2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 8 − 𝑏2
𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 10 – 𝑐2
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
Solución: Sumando se tiene: 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2bc = 25 − 𝑎2
– b 2
– c 2
𝑎2
+ b 2
+ c 2
+ 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2bc = 25
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 25 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 5
2. Si: 𝑎2𝑚
+ 𝑎−2𝑚
= 51 Hallar: 𝑎𝑚
− 𝑎−𝑚
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10
Solución: Elevando al cuadrado: 𝑎𝑚
− 𝑎−𝑚
(𝑎𝑚
− 𝑎−𝑚
)2
= (𝑎𝑚
−
1
𝑎𝑚)2
= (𝑎𝑚)2
− 2𝑎𝑚 1
𝑎𝑚 + (
1
𝑎𝑚)2
𝑎2𝑚
−2 +
1
𝑎2𝑚 = 51 – 2 (𝑎𝑚
− 𝑎−𝑚
)2
= 49 𝑎𝑚
− 𝑎−𝑚
= √49 = 7
3. Si se sabe que: m2
=2n2
-2mn determine el valor de: [
m
n
+ 1]
2
a) 1/3 b) 1 c) 2 d) 3/2 e) 3
Solución: [
m
n
+ 1]
2
= [
m+n
n
]
2
= [
(m+n)2
n2
] = [
m2+2mn+n2
n2
]
De la condición se tiene: m2
=2n2
-2mn, y se reemplaza en la ecuación anterior:
[
2n2−2mn+2mn+n2
n2
]=[
3n2
n2
] = 3
4. Calcular el valor numérico:
( )( )( )
8 4 2
8 1 2 1 2 1 2 1 3
+ + + +
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución:
El valor numérico de: )
1
2
(
3 2
−
= , reemplazando en la raíz:
8 2
2
4
8
)
1
2
)(
1
2
)(
1
2
)(
1
2
(
1 −
+
+
+
+ =
8 4
4
8
)
1
2
)(
1
2
)(
1
2
(
1 −
+
+
+
8 8
8
)
1
2
)(
1
2
(
1 −
+
+ =
8 16
1
2
1 −
+ = 4

5. Si:
3
3
3
2
3
2 −
+
+
=
x Calcular: 16
3
3
+
−
= x
x
E
a) 12 b) 15 c) 13 d) 20 e) 22
Solución:
x3
= 3
2 + + 3
2 − +3 (
3
3
3
2
.
3
2 −
+ )( 3
3
3
2
3
2 −
+
+ )
x3
= 4 + 3 3
− +3 .
)
3
2
)(
3
2
(
3
−
+ )(x)
x3
= 4 +3 .
3
4
3
− )(x)
x3
= 4 +3x Reemplazando en E E= 4 + 3x – 3x +16 = 20
6. Si: a2 – 5a - 1 = 0 Calcular: 2
2
a
1
a
E +
=
a) 23 b) 25 c) 27 d) 30 e) 1
Solución: 2
2
1
a
a
E
+
=
De la condición se tiene: (a2
– 1)2
= (5a)2
a4
– 2a2
+ 1 = 25a2
Despejando: a4
+ 1 = 27a2
Reemplazando en: E = 27
7. Si: a + b = 5, ab = 6, Hallar: a3
+ b3
A) 30 B) 31 C) 32 D) 34 E) 35
Solución:
Elevando al cubo: (a + b)3 = 53 a3 + b3 + 3ab(a+b) = 125
Despejando: a3 + b3 = 125 - 3ab(a+b)
a3 + b3 = 125 – 3.6.5 = 35
8. Si: a + b = 6 ; a2
+b2
= 30. Calcular el valor de: 𝐸 =
𝑎2
𝑏
+
𝑏2
𝑎
a) 36 b) 52 c) 38 d) 54. e) 27
Solución: 𝐸 =
𝑎3+𝑏3
𝑎𝑏
Elevando al cuadrado: a2
+ 2ab + b2
= 36 2ab = 36 – (a2
+ b2
) ab = 3
Elevando al cubo: a3
+ b3
+ 3ab(a+b) = 216 a3
+ b3
= 216 - 54 = 162
Finalmente: E = 162/3 = 54

9. Sabiendo que: 2
3
7
5 −
+
−
=
a
3
2
5
7 +
−
=
b
3
3
2 −
=
c
Calcular el equivalente de:
)
)(
(
)
)(
(
2
2
2
3
3
3
abc
c
b
a
ac
bc
ab
c
b
a
Q
+
+
+
+
+
+
=
A) 3/2 B) 1/4 C) 2/3 D) -2/3 E) -3/2
Solución:
Al operar los datos se observa que a + b + c = 0, por lo tanto, con las
equivalencias condicionales tenemos:
2
3
)
(
2
)
(
3
−
=
+
+
−
+
+
=
abc
ac
bc
ab
ac
bc
ab
abc
Q

TEMA 03: FACTORIZACIÓN
CONCEPTO
Se entiende por factorización a la expresión algebraica utilizada para encontrar
dos o más factores, teniendo en cuenta que cuyo producto debe ser igual a la
expresión dada.
La factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión
matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio,
etc.) en forma de producto
La factorización es el proceso de presentar una expresión matemática o un
número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los
elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto.
Observe el siguiente diagrama:
En esencia, la Factorización es la transformación de un polinomio en un
producto indicado de factores primos. En la figura: (x + 4) y (x – 1) son factores
primos.
Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre
si dan como resultado la primera expresión (Infante, 2012).
Una expresión queda completamente factorizada cuando se la representa como
el producto de la mayor cantidad posible de factores de "primer grado" o "factores
lineales".
Cuando realizamos las multiplicaciones:
1. 2x(x2
– 3x + 2) = 2x3
– 6x2
+ 4x
2. (x + 7)(x + 5) = x2
+ 12x + 35
vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha
son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso
de la multiplicación.
METODOS DE FACTORIZACION:
1. FACTOR COMÚN
a) Factor común monomio: es el monomio que está contenido en todos
los términos del polinomio considerado. El factor común se extrae de
cada término, elevado a su menor exponente.

16 Matemática DOCENTE: Ing. Héctor Gonzales C.
Ejemplo: factorizar 7
4
5
2
4
3
7
5
4 y
x
y
x
y
x +
−
Se observa: )
( 4
2
y
x como factor común.
Luego factorizando tenemos:
)
7
5
4
( 3
2
4
2
y
x
y
x
y
x +
−
b) Factor común polinomio: cuando existe un polinomio contenido en
todos los términos del polinomio considerado.
Ejemplo 01: Factorizar 2x(n – 1) – 3y(n – 1)
=(n – 1)(2x-3y)
Ejemplo 02: Factorizar (x + 1)(x – 2) + 3y(x – 2)
=(x – 2)(x+1+3y)
2. FACTORIZACIÓN POR AGRUPACION DE TERMINOS
Se agrupan los términos de 2 en 2, de 3 en 3, etc. considerando alguna
característica común.
Ejemplo 01: Factorizar = bd
bc
ad
ac +
+
+ se agrupan
= )
(
)
( bd
bc
ad
ac +
+
+ Se extrae factor común
= )
(
)
( d
c
b
d
c
a +
+
+
= )
)(
( d
c
b
a +
+
Ejemplo 02: Factorizar
2 2 2 3 2
a x ax 2a y 2axy x 2x y
− − + + −
= x(a2+x2-ax) + 2y(ax-a2-x2)
= x(a2+ x2-ax) - 2y(-ax+a2+x2)
= (a2+ x2-ax)(x-2y)
3. FACTORIZACION POR IDENTIDADES (PRODUCTOS NOTABLES)
a) Trinomio cuadrado perfecto: el trinomio cuadrado perfecto es el
desarrollo de un binomio al cuadrado: A2 2AB + B2 = (A  B)2
Ejemplo 01: Factorizar 4a2 + 12a + 9
= (2a + 3)2
Ejemplo 02: Factorizar 16 + 40x2 + 25x4
= (4 + 5x2)2
b) Diferencia de cuadrados: A2 – B2 = (A + B) (A – B)
Ejemplo: factorizar
)
4
3
)(
4
3
(
16
9
)
4
(
)
3
(
16
9
2
2
2
2
+
−
=
−
−
=
−
x
x
x
x
x

c) Suma o Diferencia de cubos: A3 B3 = (A  B) (A2  AB + B2)
Ejemplo: factorizar
)
4
6
9
)(
2
3
(
8
27
)
2
(
)
3
(
8
27
2
3
3
3
3
+
+
−
=
−
−
=
−
n
n
n
n
n
n
d) Suma o diferencia de dos potencias iguales:
Se debe tener en cuenta:
1. Ambos términos deben tener el mismo exponente
2. Se saca la raíz de cada término
3. Se empieza a disminuir el primer término y el segundo empieza a
aumentar.
Ejemplos:
)
( )
)
( )
m
es
m
de
a
qu
raíz
La
es
de
a
qu
raíz
La
m
m
m
m
m
m
b
es
b
de
séptima
raíz
La
a
es
a
de
séptima
raíz
La
b
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
=
=
+
+
+
+
−
=
−
=
=
+
−
+
−
+
−
+
=
+






5
int
2
32
int
4
3
2
2
2
2
3
2
4
2
2
5
32
*
7
7
6
5
4
2
3
3
2
4
5
6
7
7
*
4. FACTORIZACION POR EL METODO DEL ASPA
a) Aspa simple: Se utiliza para factorizar expresiones trinomios o
aquella que adopten esa forma: AX2m + BXmYn + CY2n
Ejemplo: Factorizar: 2
3
2
+
+ x
x
2
3
2
+
+ x
x
x 2 → 2x
x 1 → x
3x → T. central
Luego: )
1
)(
2
(
2
3
2
+
+
=
+
+ x
x
x
x

b) Aspa doble: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
Ejemplo: Factorizar: 2
8
7
6
13
6
)
;
( 2
2
+
+
+
+
+
= y
x
y
xy
x
y
x
P
3x 2y 2
2x 3y 1
Entonces la forma factorizada es:
)
1
3
2
)(
2
2
3
( +
+
+
+ y
x
y
x
5. METODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS (REGLA DE RUFFINI)
Con éste método se busca uno o más factores binomios primos.
Ejemplo 01: Factoriza el polinomio P(x)=2x5
-3x3
+4x2
-9x + 6
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a
raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2,
-3, 3, -2, 6,-6.
Vamos probando hasta que encontremos un
valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con
los coeficientes del polinomio cociente hasta
que no podamos continuar, porque lleguemos
a un polinomio irreducible.
La factorización queda:
2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2
(x+2)(2x2
+3)
Ejemplo 02: Factorizar: x3– 6x2+11x – 6
1 -6 11 -6
1 1 -5 6
1 -5 6 0
2 2 -6
1 -3 0
Los factores son: (x-1)(x-2)(x-3)

1. Factorice el polinomio, luego indique la suma de sus factores:
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 𝛼)2
+ (𝑥 + 𝛽)2
− 𝑥2
+ 2𝛼𝛽 − 𝛼2
a) 2𝑥 + 2𝛼 b) 2𝑥 + 2𝛼 + 2𝛽 c) 2𝑥 + 𝛼 − 2𝛽 d) 2𝑥 - 2𝛽 e) 2𝑥 − 2𝛼 – 2𝛽
Solución: 𝑃(𝑥) = 𝑥2
+ 2x𝛼 +𝛼2
+ 𝑥2
+ 2x𝛽 +𝛽2
− 𝑥2
+ 2𝛼𝛽 − 𝛼2
P(x)= 𝑥2
+ 2x𝛼 + 2x𝛽 + 𝛽2
+ 2𝛼𝛽
𝑃(𝑥) = 𝑥2
+ 2x𝛽 + 𝛽2
+ 2x𝛼 + 2𝛼𝛽 = (x + 𝛽)2
+ 2𝛼(x + 𝛽)
𝑃(𝑥) = (x + 𝛽)(x + 𝛽+2𝛼)
Suma: 2x + 2𝛽 + 2𝛼
2. Factorizar: 121x4
– 133x2
y4
+ 36y8
. Luego indique un factor:
a) (11x2
- 6y4
+ xy2
) b) (11x2
- 9y4
+ 6xy2
) c) (11x2
- y4
+ 6xy2
)
d) (x2
- 6y4
+ 3xy2
) e) (11x2
- 6y4
+ 2xy2
)
Solución: (11x2
- 6y4
)2
= 121x4
- 132x2
y4
+ 36y8
Entonces: 121x4
- 132x2
y4
+ 36y8
- x2
y4
= (11x2
- 6y4
)2
– (xy2
)2
= (11x2
- 6y4
+ xy2
)( 11x2
- 6y4
- xy2
)
3. Factorizar: P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) + (x - 1)(x - 2) - (x - 1) + 3 (x - 1) (x -3) e indicar
un factor primo lineal.
A) x+5 B) x+1 C) x+3 D) x+4 E) x+2
Solución:
(x - 1) [(x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 + 3(x - 3)]
(x - 1) (x - 3) [x - 2 + 1 + 3]
(x - 1) (x - 3) (x + 2)
4. Factorizar: P(x) = a3 + a2 + a + 1 + x2 + a2x2 e indicar un factor primo.
A) a+1 B) a2
-1 C) x+3 D) x2
+4 E) a+1+x2
Solución:
a3 + a2 + a + 1 + x2 + a2x2

(a3 + a) + (a2 + 1) + x2 + a2x2
a(a2 + 1) + (a2 + 1) + x2 (1 + a2)
(a2 + 1) (a + 1 + x2)
5. Factorice: M = (a – 1)4
– 3a(a – 2) – 1, luego indique un factor cuadrático.
a) a2 - 2a - 1 b) a2 + 1 c) a2 - 3a - 1 d) a2 +3a - 1 e) a2 + 2a - 9
Solución: Cambio de variable: m = a-1
M = (m)4
– 3(m+1)(m-1) – 1 M = (m)4
– 3(m2
-1) – 1
M = (m)4
– 3m2
+ 3 – 1 M = (m)4
– 3m2
+ 2
M = (m2
– 2)( m2
– 1)
M = ((a-1)2
– 2)((a-1)2
– 1) M = (a2
-2a +1– 2)( a2
-2a+1– 1)
M = (a2
-2a -1)( a2
-2a) M = a(a2
-2a -1)( a-2)
6. Indique uno de los factores del polinomio: 2 2 2
a a b b c c 2bc
+ − + − − +
A) (a-b-c) B) (a+b+c) C) (a-b-c-1) D) (a-b+c+1) E) (ac-b)
Solución:
2 2 2
a a b b c c 2bc
+ − + − − +
Agrupando: a2
– (b-c)2
+ a + b - c
Binomio: (a+b-c)(a-b+c) + (a+b-c)
Factorizando: (a+b-c)(a-b+c+1)
7. Factorizar: P(x) = (x-2)(x-1)(x+2)(x+3)-60 y sumar los factores primos lineales:
A) 2x+3 B) 2x-1 C) 2x+5 D) 2x+1 E) 2x-3
Solución:
P(x) = (x-2)(x-1)(x+2)(x+3)-60 = (x2+x-6)( x2+x-2)-60 m = x2+x
P(x) = (m-6)(m-2)-60 = m2-8m+12-60 = m2-8m-48 = (m-12)(m+4)
P(x) = (x2+x -12)( x2+x +4) =(x+4)(x-3)( x2+x +4)
Suma: x+4+x-3 = 2x + 1
8. Factorizar e indique un factor primo: F(x, y) = 6x2
+ xy – 2y2
+ 18x + 5y + 12;
a) 2x + y – 4 b) 3x + 2y + 3 c) 3x + 2y + 4 d) 2x + y – 1 e) 2x – 3y + 1
Solución:
F(x, y) = 6x2 + xy – 2y2 + 18x + 5y + 12;

3x 2y 3
2x -y 4
Factores: (3x + 2y + 3)(2x – y + 4)
9. Factorizar:
4 2
16x 31x 25
+ + ; señale el producto de los términos de un factor.
a) 60x3
b) 40x3
c) –30x3
d) 30x3
e) –20x3
Solución:
4 2
16x 31x 25
+ + (4x2
+ 5)2
= 16x4
+ 40x2
+ 25
4 2
16x 31x 25
+ + + 9x2
- 9x2
(4x2
+ 5)2
– (3x)2
= (4x2
+5+3x)(4x2
+5-3x)
El producto: 60x3
ó -60x3
10. Factorizar: P(x) = 3x4
– x3
– 23x2
+ 9x – 36; y dar el factor primo de mayor grado.
a) 3x2
– x + 9 b) 3x2
– x – 3 c) 3x2
– x + 4 d) x + 3 e) x – 3
Solución:
Ruffini: P(x) = 3x4–x3–23x2+9x–36
Factores: (x–3)(x+3)(3x2-x+4)
11. Al factorizar: 9a4
+ 2a2
b2
+ b4
; indicar un factor.
a) 3a2
+ 2a + ab b) 3a2
+ 2b2
+ b2
c) 3a2
- 2ab + b2
d) a2
+ 3b2
+ ab e) a2
+ 3b2
– 2ab
Solución: (3a2
+ b2
)2
= 9a4
+ 6a2
b2
+ b4
Se aumenta y se quita: 4a2
b2
9a4
+ 2a2
b2
+ b4
+ 4a2
b2
- 4a2
b2
= (3a2
+ b2
)2
– (2ab)2
Diferencia de cuadrados: = (3a2
+ b2
+ 2ab) (3a2
+ b2
- 2ab)
3 -1 -23 9 -36
3 9 24 3 36
3 8 1 12 0
-3 -9 3 -12
3 -1 4 0

TEMA 04: ECUACIONES
Concepto:
Se llama ecuación a la igualdad matemática que existe entre dos expresiones, ésta se
encuentra conformada por distintos elementos tanto conocidos (datos) como
desconocidos (incógnitas), los cuales guardan relación a través de operaciones
numéricas matemáticas. Los datos por lo general se encuentran representados por
coeficientes, variables, números y constantes, mientras que las incógnitas son señaladas
por letras y representan el valor que se quiere descifrar a través de la ecuación.
Normalmente, la incógnita es x, la incógnita x representa al número (o números), si
existe, que hace que la igualdad sea verdadera. Este número desconocido es
la solución de la ecuación. Al cambiar la x por la solución, la igualdad debe ser cierta.
Una ecuación es una igualdad de dos términos, donde se expresan números y letras.
Estas letras se denominan incógnitas, o también variables, pues no se conoce su valor.
(Ucha, 2009)
En tanto, cuando cualquiera de los valores de las variables de la ecuación cumpla la
igualdad, se denominará a esta situación como solución de ecuación.
Algunas preguntas…
Algunas cuestiones que suelen hacerse son las siguientes:
• ¿Todas las ecuaciones tienen solución?
• ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?
• ¿Cuántos tipos de ecuaciones hay?
• ¿Puede haber más de una incógnita?
Respuestas a las cuestiones:
• No todas las ecuaciones tienen solución. Por ejemplo, la ecuación x + 1 = x – 1 no
tiene ninguna solución.
• Una ecuación puede tener 0 soluciones, 1 solución, 2 soluciones, 3 soluciones, etc. El
número de ecuaciones depende del tipo de ecuación.
• Algunos tipos de ecuaciones son: ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas,
ecuaciones exponenciales, ecuaciones logarítmicas, ecuaciones irracionales, etc.
• Sí puede haber más de una incógnita en una ecuación, pero según el tipo de ecuación
podremos o no resolverla.

23 Matemática y razonamiento DOCENTE: Ing. Héctor Gonzales C.
De acuerdo con sus soluciones pueden ser:
A. Ecuación Posible ó Compatible:
Son aquellas ecuaciones que tienen ó admiten solución y pueden ser:
1.- Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones: Ejemplo.
( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 → C. S. = { 3 ; –2 }
2.- Indeterminadas: Si tienen un número limitado de soluciones: Ejemplo.
→ x – 3 = x – 3
→ 4x2
+ 12x + 9 = 4x2
+ 12x + 9
B. Ecuación imposible, incompatible ó absurda:
Es aquella ecuación que no admite solución, o cuya solución no satisface a la
ecuación: Ejemplo.
1. 2x + 4 = 2x + 7
2. 2
0
x 3
=
−
C. Solución Extraña: Son las soluciones que se introducen o se pierden en una ecuación
al realizar ciertas operaciones.
NOTA: Debe ser norma general en la resolución de este tipo de ecuaciones comprobar
las soluciones obtenidas con el objeto de desechar aquellas que no verifiquen la
ecuación original.
Ejemplo: resolver: 2
x x 21 7
− − =
Resolviendo: x = 5 ; verificando: 2
5 5 21 7
− − = 3 = 7 → Absurda.
I. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Llamadas también ecuaciones lineales tienen la siguiente forma general: ax + b = 0;
Donde:
b
x
a
= −
Discusión de la raíz:
Si: a ≠ 0 y b ≠ 0; la ecuación es determinada y el valor de “x” es único: b
x
a
= − .
Si: a ≠ 0 y b = 0; la ecuación es determinada y la ecuación tiene solución única: x= 0.
Si: a = 0 y b ≠ 0; la solución es incompatible.
Si: a = 0 y b = 0; la ecuación es indeterminada.

Ejemplo:
Resolver:
x a a x 7a
6
2 5 10
+ −
− + =
Multiplicando por (10)
5x + 5a – 60 + 2a – 2x = 7a
3x + 7a = 7a +60
x = 20
II. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la forma general
0
2
=
+
+ c
bx
ax con 0

a
Si en la ecuación ax bx c
2
0
+ + = alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que
es una ecuación incompleta y se pueden resolver directamente:
a) si b c
= = 0 entonces la ecuación queda ax2
0
= y la solución es x = 0
b) si b = 0 entonces la ecuación queda ax c
2
0
+ = ; ejemplo 3 12 0
2
x − = ; 3 12
2
x = ;
x2 12
3
4
= = ; x =  = 
4 2
c) si c = 0 entonces la ecuación queda x bx
2
0
+ = ; Ejemplo 3 12 0
2
x x
− = se saca
factor común x; ( )
x x
3 12 0
− = ; primer factor cero x = 0
segundo factor cero 3 12 0
x − = ; 3 12
x = ; x = =
12
3
4; x = 4
RESOLUCION DE UNA ECUACION CUADRATICA
1.- Por factorización: La ecuación se factoriza y cada uno de los factores se iguala a cero.
Ejm. x2
– x – 12 = 0
Factorizando; ( x – 4 ) ( x + 3) = 0
x = 4  x = –3 C. S. = {–3 ; 4}
2.- Por fórmula general: (Baskara)
2
b b 4ac
x
2a
−  −
=
Dónde: b2
– 4ac es el discriminante de la ecuación cuadrática y denotamos por: 
2
b 4ac
 = −
Estudio de las raíces de una Ecuación de 2º grado: Las raíces de la ecuación de
segundo grado dependen de la cantidad subradical. (discriminante)

Casos que se presentan:
Si:  > 0 Las raíces son reales y diferentes.
Si:  = 0 Las raíces son reales e iguales.
Si:  < 0 Las raíces son complejas y conjugadas.
Ejemplo: x x
2
3 2 0
− + = en esta ecuación a b c
= = − =
1 3 2
, , y aplicando la fórmula
( ) ( )
x =
− −  − −  

=
 −
=

=
3 3 4 1 2
2 1
3 9 8
2
3 1
2
2
PROPIEDADES DE LAS RAICES CUADRATICAS
x = 2
x = 1
3 1
2
2
2
1
−
= =
2
2
4
2
1
3
=
=
+

1. El valor de “x” que verifica la ecuación:
𝑥
2
−3
√7+√3
+√3 = √7
a) 14 b) 13 c) 12 d) 10 e) 8
Solución:
𝑥
2
−3
√7+√3
= √7 − √3
𝑥
2
− 3 = (√7 − √3)(√7 + √3)
𝑥
2
− 3 = (√7)2
− (√3)2
𝑥
2
− 3 = 4
x = 14
2. Resolver:
5𝑥−16
6
= −
𝑥+8
12
+
𝑥+1
3
a) 4 b) -1 c) 2/5 d) 4/5 e) 3/7
Solución:
12(5𝑥−16)
6
= −
12(𝑥+8)
12
+
12(𝑥+1)
3
Multiplicando por: 12
10𝑥 − 32 = −(𝑥 + 8) + 4𝑥 + 4
10𝑥 − 32 = −𝑥 − 8 + 4𝑥 + 4
10x = 3x − 4 + 32
7x = 28 x = 4
3. Resolver:
18
3
3
4
20
3
4
10
35
15 −
+
=
−
+
− x
x
x
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Solución:
Simplificamos
6
1
5
3
4
2
7
3 −
+
=
−
+
− x
x
x
m.c.m (2, 3, 6) = 6
6
1
.
6
5
.
6
3
4
.
6
2
7
3
.
6
−
+
=
−
+
− x
x
x
Multiplicamos los dos miembros por 6
1
30
)
4
·(
2
)
7
3
·(
3 −
+
=
−
+
− x
x
x Operamos, y se tiene: x = 7

4. Al expresar la ecuación 0
2
17
5
2
=
+
− x
x en la forma 0
)
( 2
2
=
+
+ b
a
x , los valores de a y b
son, respectivamente:
A) 1 y -5 B) 5/2 y 5 C) 7/2 y 3/2 D) -5/2 y 3/2 E) 5/2 y 9/4
0
2
17
5
2
=
+
− x
x 0
4
25
2
17
)
( 2
2
5
=
−
+
−
x
Resolviendo
0
4
25
34
)
(
0
4
25
2
17
)
( 2
2
5
2
2
5
=
−
+
−
=
−
+
− x
x
0
2
3
)
(
0
4
9
)
(
2
2
2
5
2
2
5
=






+
−
=
+
−
x
x
Luego, a = -5/2 y b = 3/2
5. Hallar la suma de las raíces de la ecuación: 3x2
- 9x - 16 = 0
A) 3 B) 6 C) 2 D) 1 E) -2
Solución:
Aplicar la propiedad x1+ x2 =
a
b
−
para este caso a = 3 y b =-9
Entonces tenemos x, + x2 =
3
9
= 3
6. Hallar "2m" para que la ecuación:
( ) 2
m 1 x 2mx m 3 0
+ − + − = tenga 2 raíces iguales:
A) 1 B) –3 C) 3 D) –2 E) 2
Para que tenga raíces iguales, su discriminante es cero, entonces:
0
4
2
=
−
= ac
b
D Entonces: 0
)
3
)(
1
(
4
)
2
( 2
=
−
+
−
− m
m
m
Desarrollando: 0
)
3
2
(
4
4 2
2
=
−
−
− m
m
m 12
8 −
=
m
2
3
−
=
m
7. Si: 1 2
x x
 son raíces de: 3x2
+ 5x – 1 = 2 + x, el valor de: (x1+1)-1
+ ( x2+1)-1
es:
A) -1/2 B) 1/4 C) -1/4 D) 1/2 E) 2
Solución:
Desarrollando: (x1+1)-1
+ ( x2+1)-1
=








+1
1
1
x
+ 







+1
1
2
x 







+
+
+
+
+
+
=
1
1
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
La ecuación: 3x2 + 4x – 3 = 0
Obteniendo: 2
1x
x = 1
3
3
−
=
−
2
1 x
x + =
3
4
− , entonces reemplazamos:













+
−
+
−
+
−
=
1
3
4
1
2
3
4












−
−
=
3
4
3
2








=
2
1
8. Hallar la ecuación cuyas raíces son:
9. La ecuación cuadrática: 𝑥2
− (𝑚 + 3)x + (
𝑚
2
)
2
+ 1 = 0, tiene C.S. {𝑎, 𝑎 + 1}.
Calcular el valor de m.
a) -5/3 b) -6/7 c) -2/3 d) 2/5 e) 4/3
Solución: Suma de raíces: 2𝑎 + 1 = 𝑚 + 3 𝑚 = 2𝑎 − 2 (1)
Productos de raíces: 𝑎2
+ 𝑎 =
𝑚2
4
+ 1 𝑚2
= 4𝑎2
+ 4𝑎 − 4 (2)
(1) en (2): (2𝑎 − 2)2
= 4𝑎2
+ 4𝑎 − 4 4𝑎2
− 8𝑎 + 4 = 4𝑎2
+ 4𝑎 − 4
-12𝑎 = −8 a = 2/3 𝑚 = 2(
2
3
) − 2 𝑚 = −2/3

TEMA 05: INECUACIONES
Concepto:
Es la desigualdad existente entre dos expresiones algebraicas, conectadas a través
de los signos: mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o
igual que ≥, en la que figuran uno o varios valores desconocidos llamadas incógnitas,
además de ciertos datos conocidos.
La desigualdad existente entre las dos expresiones algebraicas sólo se verifica, o
más bien, solo es verdadera para determinados valores de la incógnita.
La solución de una inecuación formulada, significa determinar mediante ciertos
procedimientos, el valor que la satisfaga.
Si formulamos la inecuación algebraica siguiente, podremos notar en ella los
elementos señalados anteriormente. Veamos:
9x − 12 < 24
Como se puede visualizar en el ejemplo, en la inecuación existen dos miembros. Está
presente el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha. En este caso la
inecuación está conectada a través del siglo menor que. El coeficiente 9 y los
números 12 y 24 son los datos conocidos.
Operando con inecuaciones
Antes de resolver inecuaciones, conviene indicar las siguientes propiedades:
• Cuando un valor que está sumando pasa a otro lado de la inecuación,
se le pone un signo menos.
• Si un valor que está restando pasa al otro lado de la inecuación se le pone un
signo más.
• Cuando un valor que está dividiendo pasa a otro lado de la inecuación,
multiplicará a todo lo que haya en el otro lado.
• Si un valor está multiplicando pasa al otro lado de la inecuación, entonces
pasará dividiendo a todo lo que haya en la otra parte.
Es indiferente, pasar de lado izquierdo a derecho o de derecho a izquierdo de la
inecuación. Lo importante es no olvidar los cambios de signo. Además, no importa
hacia qué lado despejemos las incógnitas.
Solución de una inecuación
La solución es similar al que usamos para resolver ecuaciones, la solución de una
inecuación es el valor o conjunto de valores que puede tomar la incógnita x para que
se cumpla la inecuación. Recordemos que en una inecuación podemos:

• sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la inecuación;
• multiplicar o dividir ambos miembros de la inecuación por un mismo número
distinto de cero, pero si este número es negativo, debemos invertir el signo
de desigualdad.
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES:
1.- a > b y m  R  a  m > b  m
2.- a > b y m > 0  a.m > b.m
y
a
b >
b
m
3.- a > b y m<0  a.m< b.m
y
a
m <
b
m
4.- a > b y m # impar R
+

m m
m m
a b y a b
 
5.- a > b y m # par R
+

m m
m m
a b y a b
  a; b R
+
 
6.-
1 1
a b
a b
  
7.-
x y
b 1 b b x y
 →   
8.-
x y
a b 1 b b x y
  →   
Intervalos
Es aquel subconjunto de los números reales definiéndoseles como aquel conjunto de
valores comprendido entre dos límites, llamado límite superior o supremo y límite
inferior o ínfimo.
• Clases de Intervalos
a.- INTERVALO ABIERTO: Se caracteriza porque es un intervalo en el cual no se considera a los
extremos se representa:   ó
x  a , b  a < x < b
b.- INTERVALO CERRADO: Es aquel intervalo en el cual se considera a los extremos y se
representa  
x  [a,b]  a  x  b
x
-∞ +∞
a b
x
-∞ +∞
a b

Tipos de inecuaciones
a) Inecuaciones de primer grado
Forma general: ax + b > 0 ó ax + b < 0
Para resolver una ecuación lineal se transforma para todos los términos que
contiene a la variable “x” al primer miembro y las constantes al segundo miembro
y luego en la recta numérica se identifica el intervalo al cual pertenece la variable.
Ejemplo 1: Resolver la siguiente inecuación:
Ejemplo 2: Resolver (x + 3)(x - 1) < (x - 1)2
+ 3x
Solución:
Efectuando las operaciones indicadas: x 2
+ 2x - 3 < x 2
- 2x + 1 + 3x
Suprimiendo x 2
en ambos miembros y transponiendo:
2x + 2x - 3x < 1 + 3
x < 4
S=( )  
,4 x R / x<4
− = 
b. Inecuación de segundo grado
Forma general: ax2
+ bx + c  0 ; ax2
+ bx + c  
Ejemplo 01: Resolver:
2
5 6 0
x x
+ + 
Factorizando e igualando cada factor a cero se obtiene los puntos “críticos”:
x = -3, x = -2, llevando a una recta real y colocando signos ( +,-,+) de
derecha a izquierda.
La solución estará dada por la zona positiva ya que tiene el sentido (>).
( ) ( )
, 3 2,
G
S = − −  − +

Ejemplo 02: Resolver
c) Inecuaciones racionales
Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el
denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado
mayor a 2. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método
analítico o el método gráfico.
Ejemplo: Dada la siguiente inecuación
2
2
3 10
0
2
x x
x x
+ −

+ −
halle el conjunto solución.
Solución:
Factorizando los polinomios dados:
( )( )
2
3 10 5 2
x x x x
+ − = + − ,
( )( )
2
2 2 1
x x x x
+ − = + −
Las raíces que anulan el numerador son 5
x = − y 2
x = , y las que anulan el
denominador son 2
x = − y 1
x = , las cuales se ubican sobre la recta real.
Gráficamente:
( ) ( )
G
S 5, 2 1,2
= − − 

SISTEMA DE INECUACIONES
Es aquel conjunto de inecuaciones que se verifican o satisfacen para los mismos
conjuntos soluciones de sus incógnitas (valores comunes a todos).
Ejemplo: Resolver: {
3 +
𝑥−3
6
>
𝑥+5
3
−
7
3
2 +
𝑥−5
2
≥
𝑥+4
3
− 5
Solución: Se procede a resolver cada inecuación por separado y luego se
intersecan los resultados.
Con la (1): damos MCM = 6, y efectuamos: 18 + x – 3 > 2 ( x + 5 ) – 2 ( 7)
De donde: x < 19
Con la (2): damos MCM = 6 y efectuamos: 12 + 3 ( x – 5 )  2 ( x + 4 ) – 6 ( 5 )
De donde: x  -19
Intersectando ambos resultados:
x−19;19

1. Determine el valor de “m” en la siguiente inecuación:
𝑥−4
3
+
𝑥
𝑚
< 1 +
𝑥
2
Si el conjunto solución es: C.S <−∞; 10>
a) 2 b) 4/3 c) 5/2 d) 7/4 e) 10
Solución: Multiplicando por 6𝑚: 2𝑚(𝑥 − 4) + 6𝑥 < 6𝑚 + 3𝑚𝑥
2𝑚𝑥 − 8𝑚 + 6𝑥 − 3𝑚𝑥 < 6𝑚
𝑥(6 − 𝑚) < 14𝑚 𝑥 <
14𝑚
6−𝑚
14𝑚
6−𝑚
= 10 14𝑚 = 60 − 10𝑚 6𝑚 = 15 𝑚 = 5/2
2. Resolver:
6
3
2
1
2
4
5
2
3
3
3
+
+

−
+
− x
x
x
A) 
5
/
17
,

− B) 6
/
39
, −

− C) 
39
,

− D) 
32
,
17 E)
Solución:
6
3
2
1
2
4
5
2
3
3
3
+
+

−
+
− x
x
x
39
6
12
12
27
18
6
6
12
15
6
12
12

+

−
+
+

−
+
−
x
x
x
x
x
x
Despejando: 6
/
39

x
3. Resolver:
3
2
2
1
2
6
2
3
5
1
2
+
+

−
+
− x
x
x
A) 
17
,

− B) 17
, −

− C) 
15
,

− D) 
32
,
17 E) 

+
− ,
17
Solución:
3
2
2
1
2
6
2
3
5
1
2
+
+

−
+
− x
x
x
35
30
16
27
20
15
30
10
15
6
12
+

−
+
+

−
+
−
x
x
x
x
x
Despejando: 17
−

x


+
,
6
/
39

4. Resolver: a
x
a
b
b
x
b
a
7
5
)
2
3
(
7
5
)
2
3
(
+
−

+
−
(a < b)
a) <-; 7] b) <-; 5] c) [5; +> d) [7; +> e) [5; 7]
Solución: a
x
a
b
b
x
b
a
7
5
)
2
3
(
7
5
)
2
3
(
+
−

+
−
a
ax
bx
b
bx
ax 35
2
3
35
2
3 +
−

+
−
)
(
35
)
(
2
)
(
3 b
a
b
a
x
x
b
a −
+

−
+
−
35
2
3 
+ x
x
7

x
5. Resolver:
6. Halle la suma de todos los números enteros que satisfacen la siguiente inecuación:
4x2
- 3x ≤ 2x -1
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
Solución: 2
4x 3x 2x 1 0
− − + 
2
4x 5x 1 0
− + 
4x - 1
x - 1
( )( )
4x 1 x 1 0
− −  Puntos críticos:
1
x ;1
4
 
 
 
 La suma de todos los números enteros: 1
1
4x 1 0 x
4
x 1 0 x 1
− = → =
− = → =
- - +
1
4
1

7. Resolver 1
3
2
+

−
x
x
x
a) ] - , -3/2 ]  ] 3, +  [ b) [–6, 1
− c) ]-3/2 , 3 ]
d) –, –7/18 e) ] -2 , -1/3 ]  ] 0, +  [
Solución:
0
)
1
(
3
2

+
−
−
x
x
x
0
3
)
3
2
( 2
2

−
−
−
−
x
x
x
x
0
3
3
2

−
+
x
x
P.C. 2
/
3
;
3 −
=
= x
x
Ley de los signos: ] - , -3/2 ]  ] 3, +  [
8. Si: x ϵ 3,7 además:
1
a
< 12
x 1
−
<
1
b
; indicar el valor de “a . b”
a) 1
12
b) 12 c) 1
4
d) 1
2
e) 1
3
Solución: x ϵ 3,7 7
3 
 x 6
1
2 
−
 x
2
1
1
1
6
1

−

x
6
1
1
1
12
2
1
1

−

x 6
1
;
2
1
=
= b
a
12
1
=
ab
9. Si se tiene la inecuación : 0
2 

− x , a que intervalo pertenece la expresión:
2
4
2
3
x
−
A)  
0
,
4
− B)  
2
,
0 − C)  
3
,
0 D)  
4
,
0 − E)






2
3
,
0
Se tiene: 0
2 

− x Elevando al cuadrado
4
0 2

 x Multiplicando por (-1)
0
4 2

−

− x Sumando 4
4
4
0 2

−
 x Sacando raíz cuadrada
2
4
0 2

−
 x Multiplicando por 3/2
3
4
2
3
0 2

−
 x Respuesta E.
10. Dar el conjunto solución:
x 1
x 4
−
+
x 3
x 2
−

−
a) 4,2
− b) 7
4,2 ,
2

−  


c) 7
,
2




d) 4,
− + e) [–4,2]

Solución:
x 1
x 4
−
+
x 3
x 2
−

−
0
)
2
)(
4
(
)
12
(
2
3 2
2

−
+
−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
0
)
2
)(
4
(
14
4

−
+
+
−
x
x
x
0
)
2
)(
4
(
14
4

−
+
−
x
x
x
P.C. 2
;
4
;
2
/
7 =
−
=
= x
x
x Ley de los signos: 7
4,2 ,
2

−  


11. Resolver:
13
7
6 =
+

+b
a
12. Resolver:
2 3
)
0016
,
0
(
+ +
x x
>
5 1
4
)
2
,
0
(
− +
x x
a) x  –62/17, –2  5, +
b) x  –62, –3  4, +
c) x  –15, –6  3, +
d) x  –1/5, 3  5, +
e) x  –62, –6  2, +
Solución:
2 3
)
0016
,
0
(
+ +
x x
>
5 1
4
)
2
,
0
(
− +
x x 5
1
4
2
3
5
1
625
1 −
+
+
+

x
x
x
x
5
1
4
2
3
.
4
5
1
5
1 −
+
+
+

x
x
x
x
5
1
4
2
12
4
−
+

+
+
x
x
x
x
0
)
5
)(
2
(
)
2
8
4
(
60
12
20
4 2
2

−
+
+
+
+
−
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
0
)
5
)(
2
(
62
17

−
+
+
x
x
x
P.C. 5
;
2
;
17
/
62 =
−
=
−
= x
x
x Ley de los signos: –62/17, –2  5, +

TEMA 06: SISTEMA DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos
o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que
son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones
se intersectan.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, existen diversos métodos como por
ejemplo:
* Método de Sustitución.
* Método de Reducción.
* Método de Igualación.
* Método Matricial.
* Método de Cramer (Determinantes).
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
De una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas en función de la otra y el
resultado se sustituye en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una sola
incógnita. El valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las
ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
Solución:
1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la
incógnita que tenga el coeficiente más bajo
2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada

MÉTODO DE IGUALACIÓN
De las ecuaciones del sistema se despeja el valor de la misma incógnita en función
de la otra y se igualan ambos resultados, obteniéndose una ecuación con una
incógnita. El valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las
ecuaciones del sistema para determinar el valor de la otra incógnita.
Solución:
1. Despejamos, la incógnita de la primera y de la segunda ecuación:
2. Igualamos las expresiones:
3. Resolvemos la ecuación:
4. Sustituimos el valor de y, en cualquiera de las 2 ecuaciones (en cualquiera
de las 2, el resultado debe ser el mismo):
MÉTODO DE REDUCCIÓN
Consiste en buscar que la incógnita a eliminar tenga el mismo coeficiente, para lo
cual se multiplica cada ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita en la otra,
sumando o restando las dos ecuaciones obtenidas, según tengan los coeficientes de
las incógnitas a eliminar signos contrarios o iguales.

Solución:
1. Eliminamos la x multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda por −3
2. A la ecuación de arriba, le sumamos la ecuación de abajo y resolvemos la
ecuación.
3. Sustituimos el valor de y en cualquiera de las 2 ecuaciones iniciales, en este
caso la segunda.
REGLA DE CRAMER
Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de
Cramer son los siguientes:
1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la
primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera
incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda
incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las
entradas de los términos independientes de las ecuaciones.
2. Calcular el determinante de A.
3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:
a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos
independientes;
b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el
valor de la primera incógnita;
c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas
columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo:
Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos
incógnitas:
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.
El primer paso, es hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de
ecuaciones lineales:
El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:
Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
De acuerdo a las soluciones se clasifican en:
(a) Compatibles: Cuando el sistema tiene soluciones. Pueden ser:
a1) Determinados. - Si el número de soluciones es limitado.
a2) Indeterminados. - Si el número de soluciones es ilimitado.
(b) Incompatibles: Cuando el sistema no tiene ninguna solución. En general:
1) Son sistemas determinados: cuando tienen igual número de ecuaciones que
de incógnitas.
2) Son sistemas indeterminados: cuando tienen más incógnitas que ecuaciones.
3) Imposibles: cuando tienen más ecuaciones que incógnitas.

1. Si el sistema no tiene solución, determinar m.
{
(2 + 𝑚)𝑥 + 4𝑦 = 8
(1 + 2𝑚)𝑥 + 5𝑦 = 7
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución: {
5(2 + 𝑚)𝑥 + 20𝑦 = 40
4(1 + 2𝑚)𝑥 + 20𝑦 = 28
10 + 5m = 4 + 8m 3m = 6 m = 2
2. Resuelva el sistema y hallar “x + y”:
)
2
.....(
12
3
)
5
(
3
)
1
.....(
3
3
)
1
(
2
=
+
−
+
−
=
−
+
x
y
x
y
x
A) 3 B) -2 C) 5 D) 7 E) -7
Solución:
12
3
)
5
(
3
3
3
)
1
(
2
=
+
−
+
−
=
−
+
x
y
x
y
x
12
3
3
15
3
9
3
2
2
=
+
−
+
−
=
−
+
x
y
x
y
x
3
3
6
11
3
2
−
=
−
−
=
−
y
x
y
x
5
15
3
2
,
8
4
=
−
=
−
=
=
y
y
x
donde
x
Finalmente: x + y = 7
3. Desarrolle el sistema:
4
y
x
5
y
x
3
3
4
y
x
1
y
x
1
−
=
−
−
+
=
−
+
+
A) 3 y 2 B) 3 y 1 C) 2 y 4 D) 2 y 1 E) -1 y -2
Solución:
4
y
x
5
y
x
3
3
4
y
x
1
y
x
1
−
=
−
−
+
=
−
+
+
4
3
4
−
=
−
=
+
b
a
b
a
5
3
4
4
−
=
−
=
+
b
a
b
a
5
3
3
3
3
/
1
1
8
=
=
=
a
b
b 8
Entonces:
1
3
1
=
−
=
=
+
y
x
y
x
1
1
a
1
3
=
−
=
+
y
x
y
x
1
2
4
2
=
=
=
y
x
x

4. Resuelva:
x + y = ab + b2
....(I) ay = bx ....(II)
A) a ; b B) ab ; b C) a2
; b D) ab; b2
E) a ; b2
Solución:
De la ecuación (II): se despeja y = bx/a
Reemplazando en (I) 2
b
ab
a
bx
x +
=
+ )
( b
a
ab
a
bx
ax
+
=
+
)
(
)
(
b
a
b
a
b
a
x
+
=
+
b
a
x
= ab
x = 2
/
)
( b
a
ab
b
y =
=
5. Si el sistema tiene infinitas soluciones, Indicar el valor de:
3
n
m
E
−
=
mx + ny = 3
3x + 2y = 1
a) 3 b) 9 c) 1 d) -1 e) -3
Solución:
Se tratan de la misma recta, entonces: mx + ny = 3…(I) 9x + 6y = 3…(II)
m=9; n=6 1
3
6
9
=
−
=
E
6. En el sistema, el valor de ( x + y ) es:
2 4
2 5
x
y
=
+
. . . (I)
8
6x 10
y
− = . . . (II)
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Solución:
y
xy
y
x
10
8
6
8
4
10
=
−
+
=
y
xy
xy
y
10
8
6
8
4
10
=
−
+
=
8
10
6
8
10
4
=
−
−
=
−
y
xy
y
xy
32
40
24
48
60
24
=
−
−
=
−
y
xy
y
xy
8
4
.
10
4
.
.
4
:
4
80
20
−
=
−
=
=
x
Ahora
y
y
6
2
32
16
8
40
16
=
+
=
=
−
=
−
y
x
x
x
x

7. Resolver el sistema



=
−
=
+
II
y
x
I
y
x
...
3
4
...
12
2
Solución:
De I despejamos x: x = 12 – 2y
Este resultado lo reemplazamos en II:
Este valor se reemplaza en # 1 o en #2 y obtenemos el valor de “x”:
x + 2(5) = 12 x = 12 – 10 x = 2
8. Al resolver el siguiente sistema: {
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 … … … (𝐼)
5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 … … . . (𝐼𝐼)
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −2 … … … (𝐼𝐼𝐼)
El valor de M = x + y + z es:
A) 28 B) 26 C) 25 D) 20 E) 15
Solución:
De (I)+(II). 7x + z = 4
De 2(I)-(III): 3x + z = 8
=> 4x = −4 x = −1 y z = 11
Reemplazando en (I) 2(−1) + y − 11 = 3 => y = 16
Finalmente: M = -1 + 16 + 11 = 26
9. Dado el sistema, hallar( x . y )
1 1 1
15
2 X Y 2 X Y
− =
− +
. . . (I)
15 x y
+ +15 x y
− = 8
2 2
x y
− . . . (II)
a) 17 b) 240 c) 68 d) 136 e) 150
Solución: Dividiendo a (II) por: 30 2 2
x y
− se tiene:
1 1 1
15
2 X Y 2 X Y
− =
− +
. . . (I)
15
4
2
1
2
1
=
+
+
− Y
X
Y
X
. . (II)
3
1
1
=
−Y
X
Reemplazando se tiene: 5
=
+Y
X 9
;
25 =
−
=
+ Y
X
Y
X
8
;
17 =
= Y
X Finalmente: 136
. =
Y
X
4(12 – 2y) – y = 3 48 – 8y – y = 3 48 – 3 = 8y + y
45 = 9y 5 = y

9 Resuelva:

TEMA 07: MATRICES Y DETERMINANTES
1. MATRICES
Una matriz es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas
por letras), en columnas y filas, de forma rectangular.
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o
entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una
de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas
verticales de la matriz. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina
matriz m x n. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas. A ,
B , C
Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así,
designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda
columna de la matriz A.
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.
También se dice que una matriz es un arreglo rectangular de números (reales o
complejos), llamados elementos dispuestos en m líneas horizontales, llamadas filas
y en n líneas verticales llamadas columnas; de la forma:
mxn
2. MATRICES IGUALES
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y cuando los
elementos que ocupan los mismos lugares son iguales.
Las siguientes matrices no son iguales
1 0
1 2 3
2 5
0 5 6
3 6
A B
 
−
   
= =
   
   
−
 
Orden 2x3 Orden 3x2
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
....
....
....
.........................
.........................
....
n
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 

3. MATRIZ FILA - es una matriz de orden 1 x n :
( )
11 12 13 1
... n
A a a a a
=
4. MATRIZ COLUMNA .- es una matriz de orden m x 1 :
11
21
31
1
m
a
a
A a
a
 
 
 
 
=
 
 
 
 
5. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la que k = 1
B=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
............................
0 0 0 1 n xn
 
 
 
 
 
 
 
 
= I
6. MATRIZ NULA- es la matriz que tiene todos sus elementos nulos
0 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
 
 
 
7. MATRIZ TRASPUESTA .- es la matriz que se obtiene de la matriz A
intercambiando las filas por columnas se denota A t
Ejemplo Si
1 5
1 3 2
entonces A 3 6
5 6 7
2 7
t
A
 
−
   
= = −
   
−
   
−
 
8. MATRIZ SIMETRICA .- es toda matriz tal que A = At
A =
1 0 1 1 0 1
0 2 4 , 0 2 4
1 4 3 1 4 3
t
A
   
   
=
   
   
   
Por lo tanto la matriz A es simétrica.
9. MATRIZ ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal que A = - At
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
t t
A A A A
− −
     
=  =  − = =
     
−
     
Por lo tanto la matriz A es anti simétrica.

10. OPERACIONES CON MATRICES
a. SUMA O DIFERENCIA DE MATRICES: para dos matrices, A y B, de
la misma dimensión, m n
 , la suma de ambas, A B
+ , o la diferencia
A-B es la matriz de la misma dimensión, m n
 , dada por la suma o
diferencia de sus términos correlativos: cij = aij + bij ó cij = aij - bij
Ejemplo: Si
3 2 1 9 8 6 6 6 7
entonces A+B=
4 7 5 7 1 2 11 8 7
A y B
− − −
     
= =
     
− − −
     
b. MULTIPLICACION DE MATRICES
• Producto por un escalar: o producto por un número real, k. Para multiplicar
por un número una matriz de cualquier dimensión,
( )
ij
A a
=
de dimensión
m n
 , se multiplican todos y cada uno de los elementos de la matriz por
dicho número
Sean
1 2 1 2 4 2
k 2 ; A k A
3 5 0 6 10 0
− −
   
= =   =
   
   
• Producto de dos matrices: la multiplicación de dos matrices, se obtiene
multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de
la segunda matriz y sumando los resultados obtenidos.
Nota: para que dos matrices se puedan multiplicar entre si la primera ha de
tener el mismo número de columnas que filas tiene la segunda.
Ejemplos: sean
2,3 3,2
1 0
1 2 3
A y B 1 2
3 2 1
3 4
 
   
= = −
   
   
−
 
, el producto A B
 será:
( ) ( )
( ) ( )
1 0
1 1 2 1 3 3 1 0 2 2 3 4
1 2 3 8 8
1 2
3 1 2 1 1 3 3 0 2 2 1 4
3 2 1 4 8
3 4
 
 +  − +   +  +  −
  −
   
 
 − = =
 
   
   +  − +   +  + 
   
 
 
−
 
.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
En el ámbito de la matemática, determinante es una expresión obtenida a partir de
la aplicación de los elementos de una matriz cuadrada según ciertas reglas. Puede
decirse que el determinante es una forma multilineal alternada (Pérez y Merino,
2012).
De la misma manera, dentro del ámbito matemático, no podemos pasar por alto la
existencia de lo que se conoce como adjunto de un determinante. Este podemos
decir que es el menor complementario que aquel posee y se necesita, para poder
calcularlo, el hacer uso de distintas funciones que se basan en el uso de los
símbolos + y -.
Para una base de datos, un determinante es un atributo del cual depende
funcionalmente otro atributo. Este segundo atributo, por lo tanto, no tiene sentido
sin la presencia del primero.
El determinante de una matriz es un escalar (un número), obtenido a partir de los
elementos de una matriz por operaciones especificadas, y que es característico de
la matriz. Los determinantes están definidos solamente para matrices cuadradas.
El determinante de una matriz 2  2 .

A =
a11 a12
a21 a22





 está dado por det

A = A = a11a22 −a12a21
EJEMPLO 1
Si

A =
3 −6
4 1





 entonces

A =
3 −6
4 1
= 3− −24
( )= 27
EJEMPLO 2
Si

A =
−1 −0
6 10





 entonces

A =
−1 0
6 10
= −10−0 = −10
Análogamente, el determinante de una matriz 3 3,

A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33










está dado por

A = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a32a21 −a13a22a31 −a23a32a11 −a33a21a12

EJEMPLO
Evalúe el determinante de la matriz

A =
3 0 −2
6 −8 1
0 3 4










A = −96+0− 36− 0+9+0
( )= −141
o bien, desarrollando en términos de la primera fila,

A = 3
−8 1
3 4
+0−2
6 −8
0 3
= 3 −32− 3
( )−2 18−0
( )= −105− 36= −141
Efectuando el desarrollo en función de la segunda columna,

A = 0−8
3 −2
0 4
− 3
3 −2
6 1
= 0−8 12−0
( )− 3 3+12
( )= −96− 45= −141

1. Si: R – P = Q, calcular “x+y”, donde: 





=
x
P
5
4
4
, 




 −
=
4
1
7
y
Q 





+
+
−
=
1
5
3
1
y
y
y
R
A) 14 B) 18 C) 21 D) 30 E) 108
Solución:
• 11 = y – 1 y = 12
• x + 4 = y + 1 x = 12 – 4 +1
x = 9 Finalmente: 9 + 12 = 21
2. Hallar la matriz “Q” en la ecuación:
2 1 2 5
2 1 4 0
Q
− −
   
=
   
−
   
y calcular La suma de
sus elementos:
A) -2 B) 0 C) 1 D) 3 E) 5
Solución:





−






1
2
1
2
d
c
b
a
=






−
−
0
4
5
2






+
+
−
+
+
−
d
c
d
c
b
a
b
a
2
2
2
2
=






−
−
0
4
5
2
Desarrollando las ecuaciones:
5
2
2
2
=
+
−
=
+
−
b
a
b
a
Despejando se tiene: b = 2 a = 3
Desarrollando las ecuaciones:
0
4
2
2
=
+
−
=
+
−
d
c
d
c
Despejando se tiene: d = -1 c = 1
Finalmente: a + b + c + d = 2 + 3 – 1 + 1 = 5
3. Dada la matriz: 𝐴 = (
3 0
0 −2
), además I representa la matriz identidad. hallar la
determinante de la matriz E si: 𝐸 = 𝐴2
− 3𝐴 + 𝐼.
a) 11 b) 19 c) 30 d) 189 e) 209
Solución:
𝐴2
= (
3 0
0 −2
) (
3 0
0 −2
) = (
9 0
0 4
) Reemplazando en la ecuación:
𝐴2
− 3𝐴 + 𝐼 = (
9 0
0 4
) − (
9 0
0 −6
) + (
1 0
0 1
) = (
1 0
0 11
)
La determinante de E es: 1(11) = 11

4. Si: A = 





4
3
2
1
; B = 





9
5
5
3
, hallar la matriz “X” que resuelve la ecuación:
AX = B. Dar como respuesta la suma de sus elementos.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Solución: [
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
3𝑎 + 4𝑐 3𝑏 + 4𝑑
]= 





9
5
5
3
• a = 3 - 2c 3a + 4c = 5 reemplazando
9 – 6c + 4c = 5 c = 2 y a = -1
• b = 5 – 2d 3b + 4d = 9 reemplazando
15 – 6d + 4d = 9 d = 3 y b = -1
Finalmente: la suma 2 -1 -1 + 3 =3
5. Dadas las matrices:
6. Dada la matriz: A=






−
−
2
/
1
2
/
3
1
2 . Hallar la traza de la matriz inversa:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución:
)
1
(
4
3
2
1
1
0
0
1
3
2
0
2
1
1
3
0
1
2
0
0
1
1
3
1
2 1
1
2
2
1
1
. −





 −
−





−
=
−






−
−
−






−
−
=
+






−
−






−
−
=
F
F
F
F
F
A












=
4
3
2
1
1
0
0
1
1
.
A Traza A-1
= 1+4=5

7. Dada la matriz A= (
2 2
2 4
) , Calcular la suma de los elementos de A-1
A) 5/2 B) 1/2 C) 2/3 D) 10 E) 3/2
Solución:
Método GAUSS (
2 2
2 4
|
1 0
0 1
) (F2 – F1)/2 (
2 2
0 1
|
1 0
−
1
2
1
2
) (F1 – 2F2)/2
(
1 0
0 1
|
1 −
1
2
−
1
2
1
2
)
Entonces: A-1
=
2
1
2
1
2
1
1
−
−
Entonces la suma es: 1 - 1/2 = ½
8. Resuelve el siguiente sistema matricial y indique la matriz B:
2A + 3B = [
4 8
7 11
]
5A − 2B = [
10 1
8 18
]
A) (
0 1
0 2
) B) (
1 1
1 2
) C) (
2 1
2 2
) D) (
0 2
1 1
) E) (
1 1
2 2
)
Solución:
9. Si la matriz: 4 3
ij x
B b
 
=   definida por:
2 2
2 2
, : 4
, : 4
ij
i j si i j
b
i j si i j
 + + 
= 
− + 

Calcule la suma de los elementos de la segunda columna:
A) – 22 B) – 12 C) 11 D) – 10 E) 22
Solución:
Desarrollando a12 =(1)2
+ (2)2
= 1 + 4 = 5
a22 =22
– (2)2
= 0
a32 =(3)2
- (2)2
= 9 - 4 = 5
a42 =42
– (2)2
= 12
Suma = 22

10. Sean las matrices:
3 0 1
1 4 1
2 2 1
A
 
 
= −
 
 
 
,
6 2 4
2 4 0
1 5 3
B
 
 
= −
 
 
− −
 
y ( ) 2
t
C BA A
= + .
Hallar la suma de los elementos de la segunda fila de la matriz C.
A) 23 B) 17 C) 39 D) 25 E) 16
Solución:
Multiplicando se obtiene:










−
−
=
5
7
9
7
9
13
9
1
19
.B
A Su transpuesta es:










−
−
=
5
7
9
7
9
1
9
13
19
)
.
( T
B
A
Calculando:










−
=
2
4
4
2
8
2
2
0
6
2A Finalmente:










−
−
−
=
+
=
7
3
13
9
17
1
11
13
25
2
)
( A
AB
C T
Finalmente la suma de la 2da fila = -1 + 17 + 9 = 25
11. Dada la matriz: B =
5
7
1
4
2
3
5
3
−
−
+
−
−
x
x
, si B= 100 ¿Cuál es el valor de x?
a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1
Solución:
100
)
45
28
7
10
(
)
12
3
105
10
( 2
=
+
−
−
−
−
−
−
−
= x
x
x
x
B
0
252
35
7 2
=
−
+ x
x
4
;
9 =
−
= x
x
12. Hallar el valor de x:

TEMA 08: GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. GEOMETRIA ANALITICA
La geometría analítica es una rama de las matemáticas que estudia con profundidad las
figuras, sus distancias, sus áreas, puntos de intersección, ángulos de inclinación, puntos de
división, volúmenes, etc. Es un estudio más profundo para saber con detalle todos los datos
que tienen las figuras geométricas.
La geometría analítica consiste en el estudio de las características, medidas y propiedades
de las figuras geométricas mediante expresiones algebraicas de fórmulas y números
usando conjunto de ejes y coordenadas. (Significados.com, consultado 2019)
La geometría analítica fue creada por el matemático y filósofo francés René Descartes
(1596-1650) y el matemático francés Pierre Fermat (1601-1665) a principios del siglo XVII
que permite representar figuras geométricas mediante funciones, fórmulas o expresiones
matemáticas.
Actualmente, la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones, más allá de
las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para
la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.
Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
• Dado el lugar geométrico de un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
• Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar
geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.
2. CONCEPTOS BÁSICOS:
• Eje de las ordenadas es el nombre genérico del eje ´y´.
• Eje de las abscisas es el nombre genérico del eje ´x´.
• Recta: Lugar geométrico de los puntos que equidistan en su forma mínima entre sí.
• Incentro: Punto donde se cruzan las medianas y forman la circunferencia inscritas o
interior a un triángulo.
• Circuncentro: Punto donde se cruzan las mediatrices y forman la circunferencia
circunscrita o exterior a un triángulo.
• Baricentro: Lugar donde se cruzan las alturas.
• Bisectriz: Recta que separa en dos partes iguales un ángulo partiendo del vértice de
las rectas que lo delimita.

3. LA RECTA
La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única
dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a
la izquierda o a la derecha).
4. FÓRMULAS DE RECTAS:
• Distancia entre dos puntos ( ) ( )2
1
2
2
1
2 y
y
x
x
d −
+
−
= .
• Punto medio 




 +
+
2
,
2
2
1
2
1 y
y
x
x
Pm
• Pendiente o 
Tan
1
2
1
2
x
x
y
y
m
−
−
=
• Angulo entre dos rectas o ley de las tangentes.
1
2
1
2
1 m
m
m
m
TanA
+
−
=
• Distancia entre un punto y una recta
2
2
b
a
c
by
ax
d
+
+
+
=
• Para obtener la ecuación de la recta según sus componentes:
✓ Con un punto y la pendiente: ( )
1
1 x
x
m
y
y −
=
− donde (x1, y1) son el punto
y m la pendiente, estas pueden ser mediatriz o alturas.
✓ *Con dos puntos:
1
2
1
2
1
1
x
x
y
y
x
x
y
y
−
−
=
−
−
donde (x1, y1) y (x2, y2) son los puntos que
definen el segmento de recta estas pueden ser medianas.
Se acomodan según el modelo general de las rectas buscando que la variable “x”
siempre sea positiva y que no existan fracciones en la expresión.
• Formas de presentar la ecuación de la recta:
✓ General: 0
=
+
+ c
by
ax donde a, b y c son coeficientes que pertenecen a los
números Reales donde
b
a
m
−
= y ordenada al origen es 




 −
b
c
,
0
✓ Ordinaria (simplificada): y = mx + b donde el coeficiente m de ‘’x’’
es la pendiente y él termino independiente ‘’b’’ es la ordenada al origen.
✓ Simétrica: 1
=
+
b
y
a
x
donde a es la abscisa al origen y b la ordenada al
origen (a, 0) y (0, b)

• Algunas rectas especiales:
✓ Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si y solo si, ambas tienen la misma
pendiente.
✓ Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si ambas forman 90º
además debe cumplir con
1
2
1
m
m
−
=

1. Calcular el área del triángulo que forman las rectas r: -3x+4y+12=0 y s: 3x+y-
27=0 con el eje de las abscisas.
a) 3 u2 b) 5 u2 c) 15/4 u2 d) 15/2 u2
e) 10 u2
Solución: los puntos de intersección: 𝑟: 𝑠𝑖 𝑦 = 0; 𝑥 = 4 s: 𝑠𝑖 𝑦 = 0; 𝑥 = 9
𝑟 𝑦 𝑠:
3𝑥−12
4
= 27 − 3𝑥; 3𝑥 − 12 = 108 − 12𝑥; 𝑥 = 8; 𝑦 = 3
Área: 𝐴 =
1
2
|
4 0
9 0
8 3
4 0
| =
1
2
(27 − 12) =
15
2
2. Halla el valor de “m” si la distancia entre A(m, 2) y B(−1, −2) es 5.
A) 3 y -5 B) 2 y -4 C) -2 y 4 D) -3 y -6 E) 3 y 5
Solución:
16
1
2
25
)
2
2
(
)
1
(
5
)
2
2
(
)
1
(
2
2
2
2
2
2
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
m
m
m
m
d
2
4
0
)
2
)(
4
(
0
8
2
2
=
−
=
=
−
+
=
−
+
m
m
m
m
m
m
3. La recta r: 3x+ny-7=0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s:
mx+2y-13=0. Calcula m y n.
a) 5 b) -5 c) 4 d) 7 e) -4
Solución:
2
13
2
:
3
,
1
:
;
0
7
)
2
(
)
3
(
3
: +
−
=
=
−
=
=
−
+ x
m
y
s
a
pararela
es
y
m
n
r
n
r r
6
;
2
3 −
=
−
= m
m
5
6
1 =
+
−
=
+ n
m
4. Dados el punto P(k, 1) y la recta r: 3x − 4y + 1 = 0, halla el valor de k
para que la distancia de P a r sea 3.
a) 6 b) 4 c) 8 d) 10 e) 2
Solución: Distancia:
2
2
4
3
1
)
1
(
4
)
(
3
3
+
+
−
=
k
5
3
)
(
3
3
−
=
k
6
);
(
3
/
18 =
= k
k

5. Una recta pasa por el punto A(7;8) y es paralela a la recta que pasa por C(-2;2)
y D(3;-4). Hallar su ecuación.
A) 5x – y + 24 = 0
B) 6x + 5y - 82 =0
C) 6x + 3y - 4 =0
D) 5x + 3y – 1 =0
E) x + 3y – 62 =0
Solución:
• y - 2 = - 4 – 2 (x + 2) 5(y – 2) = - 6x – 12 m = -6/5
3 + 2
• y – 8 = (-6/5)(x – 7) 5y - 40 = - 6x + 42 6x + 5y – 82 = 0
6. Hallar el área del triángulo formado por las rectas:
4
:
1 +
−
= x
y
L 3
2
3
:
2 +
= x
y
L x
Eje
L :
3
a) 54/5 2
b) 11,5 2 c) 24/5 2 d) 21/5 2 e) 6,5 2
Solución:
los puntos de intersección: 𝐿1 𝑦 𝐿3: 𝑠𝑖 𝑦 = 0; 𝑥 = 4 𝐿3 𝑦 𝐿2:𝑠𝑖 𝑦 = 0; 𝑥 = −2
𝐿1 𝑦 𝐿2: −2𝑥 + 8 = 3𝑥 + 6; 5𝑥 = 2; 𝑥 =
2
5
; 𝑦 =
18
5
Área: 𝐴 =
1
2
|
|
4 0
2
5
18
5
−2 0
4 0
|
|
𝐴 =
1
2
(
72
5
+
36
5
) =
108
10
= 54/5 Respuesta A.
7. Calcula la distancia entre las rectas r y s, si r: x + 3y +1 = 0 y s: x + 3y − 2 = 0.
A)
10
10
5 B)
10
5
3 C)
10
3 D)
10
10
3 E) 3
SOLUCION
Un punto del punto s es (-1, 1)
Entonces la distancia es:
10
1
3
1 +
+
−
=
d
10
10
3
10
10
.
10
3
=
=
d
8. Hallar la distancia del punto de intersección de las rectas x-3y+4=0, 5x-y+6=0 a
la recta 3x-4y-3=0
A) -2 B) 2 C) 4 D) 6 E) 3
Solución:

El punto de intersección:
x = -4 + 3y, reemplazando en: 5(-4 + 3y) – y = -6
Despejando y: -20 + 15y – y = -6
14y =14; y = 1; x = -1
La distancia: d=
|(3.−1)+(−4.1)+(−3)|
√9+16
=
10
5
= 2
9. En la figura determine el área de la región sombreada:
a) 6 u2
b) 8 u2
c) 10 u2
d) 11 u2
e) 12 u2
Solución:
Vértices: A (0, 0) B (2, 2) C (2, 5) D (0, 9)
Área: 𝐴 =
1
2 |
|
0 0
2 2
2 5
0 9
0 0
|
| 𝐴 =
1
2
(10 + 18 − 4) =
24
2
= 12

RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO

TEMA 01: REGLA DE TRES
DEFINICIÓN:
La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente
problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa. Para hacer una regla
de tres simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una
tercera magnitud. A partir de estos, averiguaremos el cuarto término de la
proporcionalidad (Del Amo, 2015).
En otras palabras, una regla de tres es una operación que se desarrolla para
conocer el valor del cuarto término de una proporción a partir de los valores de los
otros términos.
También se dicen que Las reglas de tres son operaciones (multiplicación y división)
que relacionan varias magnitudes y en las que se genera una ECUACIÓN porque
es necesario hallar un valor desconocido llamado incógnita.
Si la relación es de dos magnitudes, la regla de tres se denomina SIMPLE.
Si la relación es de tres o más magnitudes, la regla de tres se denomina
COMPUESTA.
En las Reglas de Tres hay una sola incógnita mientras que en los Repartos
Proporcionales hay más de una.
Dependiendo del tipo de relación entre las magnitudes, las reglas de tres se
clasifican en DIRECTAS, INVERSAS y MIXTAS
REGLA DE TRES SIMPLE
Pueden ser directas o inversas.
Será directa cuando, dentro de esa proporcionalidad, a un mayor valor de A le
corresponda también un mayor valor de B (o a un menor valor de A le corresponda
un menor valor de B), y será inversa, cuando a un mayor valor de A le corresponda
un menor valor de B (o a un menor valor de A le corresponda un mayor valor de B).
En el primer caso tenemos una regla de tres simple directa, y en el segundo caso
una regla de tres simple inversa.

1. Directa: Cuando las magnitudes comparadas son directamente proporcionales.
Esquema:
1era. Magnitud 2da. Magnitud
Si son magnitudes directamente proporcionales se cumple:
Ejemplo:
Un grifo arroja en 12 minutos 640 litros de agua. ¿Cuántos litros arrojará en 75
minutos?
Resolución:
Minutos # litros
2. Inversa: Cuando las magnitudes comparadas son inversamente proporcionales:
Esquema:
1era. Magnitud 2da. Magnitud
Si son magnitudes inversamente proporcionales se cumple :
Ejemplo:
24 sastres pueden hacer un trabajo en 30 días, ¿Cuántos sastres habrá que
aumentar para hacer dicho trabajo en 20 días?
Resolución
Sastres días
Entonces hay que aumentar 36 - 24 = 12 sastres
REGLA DE TRES COMPUESTA
En ocasiones, el problema planteado puede involucrar más de tres cantidades
conocidas, además de la desconocida. ¿Cómo hacemos en este caso?

Pues una forma rápida de resolver estas situaciones es utilizando una regla de tres
compuesta.
Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres
simples aplicadas sucesivamente.
Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad
directa o inversa, podemos tener distintos casos: que todas las relaciones de
proporcionalidad sean directas, que todas sean inversas, o que se den relaciones
directas e inversas.
Método de las proporciones:
I. Trasladar la información a la hoja de cálculo.
II. Se ubica la magnitud de la incógnita, la cual se compara con c/u de las otras
magnitudes (deberá considerar que las otras magnitudes que no intervienen
permanecen constantes)
III. En caso que la comparación determine que las magnitudes son DP, cambie la
posición de los valores, escribiéndolos como una fracción.
IV. En caso que la comparación determine que las magnitudes son IP, mantenga
la posición original de los valores (en fracción).
La incógnita se determina del siguiente modo:
Ejercicio 1:
50 peones siembran un terreno de 500m2
de superficie en 6 días de 6h/d; entonces,
el número de días que necesitan 20 peones doblemente rápidos para sembrar un
terreno de 800m2
de superficie trabajando 4h/d es:
Resolución:
Ejercicio 2:
5 hornos consumen 30 toneladas de carbón en 20 días; 3 hornos más consumirán
en 25 días una cantidad de carbón igual a:

Resolución:

1. Para pintar una pared circular de 5 metros de radio se utilizaron “x” litros de pintura,
para otra pared circular de 14 metros de diámetro se usó “x + 48” litros de pintura. Si
cada litro costo 12 soles. ¿Cuánto se gastó en suma en las dos obras?
a) S/. 1500 b) S/. 1550 c) S/. 1592 d) S/. 1610 e) S/. 1776
Solución:
litros Área litros soles
x ….. 𝞹(5)2
1 ..…. 12
x+48 ….. 𝞹(7)2
148 …. . x x = 148(12) = 1776 soles
49x = 25x + 1200
24x = 1200 x = 50 litros. Total, litros = 148 litros
2. Un grupo de obreros promete hacer una obra en 25 días, pero cuando ya habían
trabajado 7 días contrataron 6 obreros más con los que terminaron el trabajo 3 días
antes. ¿Cuántos obreros había en el grupo inicialmente?
a) 45 b) 42 c) 38 d) 30 e) 21
Solución: obreros días
x …….. 25
Trabajaron 5 días: x …….. 18 18x = 15x + 90
x+6 ……. 15 3x = 90 x = 30
3. Si 5 varones y 7 mujeres hacen un trabajo en 62 días ¿En cuántos días
realizaran el mismo trabajo 6 varones y 8 mujeres? Sabiendo que el trabajo de
una mujer son los 4/5 del trabajo de un varón?
a) 43 b) 47 c) 53 d) 57 e) 59
Solución: V=varones M=mujeres M =
4
5
V V =
5
4
M
Personas días
43/4M=5V + 7M …… 62
62/4 M=6V + 8M …… x x=
43.62.4
4.62
= 53
4. Si 35 carpinteros se comprometieron en hacer un tablado en 42 días.
¿Cuántos carpinteros de la misma capacidad deberán ser contratados si se
quiere terminar el tablado en 14 días?
A) 80 B) 90 C) 70 D) 110 E) 77

Solución:
35 carpinteros ………….. 42 días.
x …………… 14 días
Proporcionalidad: Inversa x =
35.42
14
= 105
Deberán ser contratados= 105-35 = 70 carpinteros.
5. Un pozo de 8m de diámetro y 18m de profundidad fue hecho por 30 obreros
en 28 días. Se requiere aumentar en 2m el radio del pozo y el trabajo será
hecho por 14 hombres. ¿Cuánto tiempo demorarán?
A) 136 B) 135 C) 133 D) 130 E) 125
Solución:
Mediante una regla de tres compuesta:
Obreros Días Volumen
30........... 28........... π·42
·18
14............ x ............. π·62
·18
Despejando x
x = (30·28·π·62
·18)/(14·π·42
·18)
x = 135 días
Respuesta: Los obreros se demoran 135 días.
6. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar una obra en 12 días.
Al cabo de 8 días, solo ha hecho los 3/5 de la obra. ¿Con cuántos hombres
tendrá que reforzarse la cuadrilla para terminar la obra en el plazo previsto?
A) 5 B) 10 C) 8 D) 20 E) 12
15 hombres -------- 1 obra ---------- 12 días
15 + x --------2/5 obra --------- 4 días
15 -------- 3/5 obra --------- 8 días
15+𝑥
𝑥
=
2
5
3
5
(
8
4
) Despejando x = 5
7. Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 20 días. Luego de 5 días,
5 obreros se retiran. ¿Cuánto demorarán los obreros restantes en terminar la
obra?
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100
Solución:

Hay que tener en cuenta que además de las magnitudes "obreros-días",
también hay que tener en cuenta la magnitud obra, entonces
Nº de obreros Nº días Obra
30 ........................ 5 .................. 1/4
25 ........................ x .................. 3/4
Aplicando la regla práctica
x = 5·30/25·(3/4)/(1/4)
x = 18 días
Respuesta: Los obreros restantes demoran 18 días en acabar la obra.
8. Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad.
¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada
uno?
A) 34 horas y 15 minutos B) 37 horas y 50 minutos C) 37 horas y 5 minutos
D) 37 horas y 30 minutos E) 34 horas y 30 minutos
GRIFOS HORAS DEPOSITOS VOLUMEN
6 grifos -------- 10 horas --------- 1 depósito ------- 400 m³
4 grifos --------- x horas -------- 2 depósitos -------500 m³
x=
6.2.10.500
4.1.400
x= 37.5 horas
9. Seis Ingenieros y tres asistentes pueden realizar una obra en 24 días
trabajando 8 horas por día. Si al cabo de 6 días, se incrementan en 2 el número
de ingenieros y en 5 el número de asistentes y se decide reducir en 2 horas la
jornada diaria. ¿Cuántos días antes culminarán dicha obra, si el rendimiento
de cada ingeniero es el doble de cada asistente?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución:
personas días h/d
1in=2as 6in+3as ….. 24 …. 8
6in+3as= 15as …. 18 …… 8 x =
15.18.8
24.6
= 15
8in+8as= 24as …. x ……. 6
culminan con 3 días de anticipación.

TEMA 02: PORCENTAJES
DEFINICIÓN
Según el diccionario de la Real Academia Española (RAE), define que el porcentaje
es la cantidad que, de manera proporcional, refiere a una parte del total o al grado de
rendimiento útil que 100 unidades de una determinada cosa tienen en condiciones
normales.
En matemática, se denomina porcentaje, o tanto por ciento, a una porción proporcional
del número 100, por lo tanto puede expresarse como fracción. Si decimos 50 % (este
es el símbolo que representa el porcentaje) significa la mitad de cien; el 100 % es el
total.
Cuando queremos calcular determinado porcentaje de un número, multiplicamos el
porcentaje que necesitamos por el número, y luego lo dividimos por cien. Por ejemplo
el 25 % de 70, sería 70 x 25=1.750, y a ese resultado lo dividimos por 100, lo que nos
da: 17,50. En la calculadora pondríamos 70 x 25 %.
Si se desea convertir fracciones a porcentajes, lo que hace más fácil comprender el
número en lo cotidiano, primero debemos dividir el numerador por el denominador, y
luego a ese resultado se lo multiplica por 100. Si se quiere convertir un porcentaje en
fracción, se coloca el número porcentual como numerador y al número 100 como
denominador. Como vemos toda fracción o número decimal puede expresarse en
porcentajes, y viceversa.
• RELACION PARTE – TODO
Para expresar que tanto por ciento representa una cantidad (Parte) respecto de otra
(Todo).
%=
𝑙𝑜/𝑞𝑢𝑒/ℎ𝑎𝑐𝑒/𝑑𝑒/𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑙𝑜/𝑞𝑢𝑒/ℎ𝑎𝑐𝑒/𝑑𝑒/𝑡𝑜𝑑𝑜
𝑥 100%
Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento de 0,2 es 0,04?
%=
0.04
0.2
𝑥100% = 200

Tanto por ciento expresado en fracción:
Un número racional en tanto por ciento:
• AUMENTOSY DESCUENTOS
Dos aumentos sucesivos de A1% y A2% equivalen a un aumento único
de:
%
100
A
x
A
A
A
Au 2
1
2
1 







+
+
=
Dos descuentos sucesivos de D1% y D2% equivalen a un único descuento
de:
%
100
D
x
D
D
D
Du 2
1
2
1 







−
+
=
Ejemplo 1:Dos descuentos sucesivos del 30% y 12%. ¿Aqué descuento único
equivalen?
Solución: 𝐷𝑢 = (30 + 12 −
(30)(12)
100
) % Du = 38,4%
Ejemplo 2: A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos del 10% y
20%?
Solución: 𝐴𝑢 = (10 + 20 +
(10)(20)
100
) % Au = 32%

Para más de dos descuentos sucesivos se aplica la siguiente fórmula:
𝐷𝑢 = (
(100 − 𝐷1)(100 − 𝐷2) … . .
100𝑛−1
− 100) %
Para más de dos aumentos sucesivos se aplica la siguiente fórmula:
𝐴𝑢 = (
(100 + 𝐴1)(100 + 𝐴2) … . .
100𝑛−1
− 100) %

PROBLEMAS DESARROLLADOS
1. Si se incrementa el sueldo de Juan en 21%, le alcanza para comprar 22 camisetas.
¿Cuántas camisetas podría comprar si el incremento del sueldo fuese de 43%?
a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30
Solución: sueldo = 200k
(21%) sueldo = 242k precio camiseta = 242k/22 = 11k
(43%) sueldo = 286k numero de camisetas = 286k/11k = 26 camisetas.
2. Un litro de mezcla formado de 15% de alcohol y 85% de agua pesa 990 gramos.
Sabiendo que el litro de agua pesa 1 kilogramo, se pide calcular el peso de un litro
de mezcla que contiene 60% de alcohol y 40% de agua.
a) 952 gramos b) 956 gramos c) 960 gramos d) 962 gramos e) 974 gramos
Solución: Alcohol Agua Alcohol Agua
Volumen: 1000 ml 150ml 850ml Volumen: 1000 ml 600ml 400ml
peso: 990 g 140 g 850 g peso: 960 g 560 g 400 g
3. Si de una lata de aceite saco el 60% delo que no saco y de lo que saco devuelvo el 70%
de lo que no devuelvo, resulta que ahora hay 53 litros en la lata. ¿Cuántos litros no
devolví?
a) 16 b) 20 c) 18 d) 24 e) 15
solución:
s = 6k ns = 10k d = 7y nd = 10y obs. 6k = 17y
En la lata queda: 10k + 7y = 10(17/6)y + 7y = (212/6)y = 53 y = 3/2
Finalmente, lo que no devuelvo: 10(3/2) = 15 litros
4. Si un cuadrado de 400 m2 de área se reduce a 49 m2, ¿En qué porcentaje disminuye el
perímetro?
a) 40 % b) 45 % c) 50 % d) 60 % e) 65 %
Solución:
A1 = 400 m2, tiene lado L = 20 m Perímetro P = 80
A2 = 49 m2
, tiene lado L = 7 Perímetro P = 28
Disminuye en 80 – 28 = 52 En porcentaje: (52/80)x100 =65%
devuelvo no devuelvo
saca no saca

5. En una reunión el 25% son hombres y el resto mujeres, si se retiran el 40% de los
hombres y el 50% de las mujeres. Determinar la relación que hay entre el número de
mujeres y el total.
A) 2/7 B) 5/7 C) 2/5 D) 5/12 E) 4/7
Suponiendo un total de 200 personas
H = 50, R = 20 y Q = 30
M = 150 R = 75 y Q = 75
La relación es: 75/105 = 5/7.
6. ¿A cómo debo vender lo que me costó 630 soles para ganar el 37% del precio de
venta?
A) 850 soles B) 930 soles C) 980 soles D) 1000 soles E) 1200 soles
PV = PC + G
PC = 630
G = 37% PV
Reemplazando se tiene: PV = 630 + 37%PV
63%PV = 630 PV = 1000.
7. En una empresa trabajan 3600 personas. Si el 25% son mujeres, ¿cuántos hombres
deben retirarse para que el porcentaje de mujeres aumente en 15%?
A) 1530 B) 900 C) 1800 D) 1250 E) 1350
Solución:
Total = 3600 Mujeres = 3600(0.25) = 900 Hombres = 2700
900 ..........40%
X ...........60% x = 900.60/40 = 1350 hombres
Entonces deben retirarse =2700 – 1350 = 1350 hombres
8. Si el 20% de A es el 30% de B. ¿Qué porcentaje de la suma es la diferencia?
A) 30% B) 24% C) 20% D) 18% E) 25%
Solución:
Dato: 20%A = 30% B
𝐴
𝐵
=
3
2
=
3𝑘
2𝑘
A+B = 3k + 2k =5k A-B = 3k – 2k = k
Luego de acuerdo al enunciado:
𝐴−𝐵
𝐴+𝐵
.100% =
𝑘
5𝑘
.100% = 20%

9. Se tiene 80 litros de una mezcla que contiene Alcohol y Agua, al 60 % de Alcohol. ¿Qué
cantidad de agua se debe agregar, para obtener una nueva mezcla al 20 % de alcohol?
A) 160 B) 150 C) 180 D) 200 E) 240
Alcohol: 60 % (80) = 48
Agua: 40 % (80) = 32
Alcohol: 20 % = 48
Agua 80 % = x
X = 48.80 X = 192 Por lo tanto debe agregarse 192-32 = 160
20
10. Una camisa cuesta 5 veces lo que una corbata. Si compro ambos artículos, me rebajan
la camisa en 30% y la corbata en 20% y así quedaría beneficiado con una rebaja de S/.
357. ¿Cuál es el precio de la corbata?
A) S/. 200 B) S/. 210 C) S/. 220 D) S/. 240 E) S/. 230
Solución:
Asumiendo precios Precio después de rebaja rebaja
Co = 10k 8k 2k
Ca = 50k 35k 15k
17k ---------- 357 soles
10k ---------- x x = 210 soles Respuesta B.
11. Un lote de pantalones se vende así: el 40% ganando el 20% de su precio de
costo; la mitad del resto ganando el 40% de su precio de costo. Finalmente se
vende el resto con una pérdida del 20%. Si en la venta total se ganó 210 soles.
¿Cuánto costó todo el lote de pantalones?
a) S/.1000 b) S/.1250 c) S/.1500 d) S/.1750 e) S/.2150
Solución: Lote = 10x Pc = 10y C = 100xy
Ingreso: I1 = 4x.(12y) = 48xy
I2 = 3x.(14y) = 42xy
I3 = 3x.(8y) = 24xy
It = 114xy
Ganancia: 14xy = 210 x = 15/y
Costo: C = 100(15) = 1500 soles
80

TEMA 03: REGLA DE INTERÉS
CONCEPTO DE INTERES
El interés es un índice que, a través de un porcentaje, permite expresar la rentabilidad
de los ahorros o el costo de un crédito (Pérez y Gardey, 2009).
CONCEPTO DE INTERES SIMPLE
En cuanto a la definición de interés simple, se trata de los intereses que produce
una inversión en el tiempo gracias al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se
calcula en base al capital principal, la tasa de interés y el periodo o el tiempo de la
inversión (Pérez y Gardey, 2009).
Lo importante a la hora de considerar al interés simple es que los intereses producidos
por el capital en un determinado periodo no se acumulan al mismo para generar los
intereses correspondientes al siguiente periodo.
Esto quiere decir que el interés simple que genere el capital invertido será igual en
todos los periodos de duración de la inversión, siempre que la tasa y el plazo no varíen.
CONCEPTO DE INTERES COMPUESTO
Por su parte, el interés compuesto es el que permite conocer el costo del dinero a lo
largo del tiempo, partiendo de un capital Inicial (CI) . De este modo, puede saberse la
fluctuación de ganancias, inversiones y pérdidas que ha habido entre los diferentes
períodos temporales. Éste se calcula teniendo en cuenta el capital inicial y las
puntuales inversiones de cada período, y, aquí llega el punto en el que se diferencia
absolutamente del interés simple: las ganancias en el compuesto se capitalizan y se
reinvierten o añaden al capital inicial.
CONCEPTOS ELEMENTALES
CAPITAL(C)
Designa un conjunto de bienes o una cantidad de dinero de los que se puede obtener
ingresos en el futuro.

INTERÉS (I)
Es la ganancia que produce el capital durante un cierto tiempo con la condición de que
cien unidades de dinero produzcan una cierta cantidad anual.
Ejemplo:
* Si se depositan $1000 en un banco y, después de ciertotiempo y se retira
en total $1200, significa que se haganado un interés de $200.
TASA DE INTERÉS (i %)
Expresa el tanto por ciento del capital que se paga por la utilización de éste durante un
tiempo.
Ejemplos:
* Una tasa de 12% mensual significa que se gana el 12%del capital por
cada mes.
* Una tasa de 25% bimestral significa que se gana el25% del capital por
cada dos meses.
Observación:
Cuando no se especifique cada cuanto tiempo se aplica la tasa se deberá
considerar tasa anual.
TIEMPO (t)
Intervalo durante el cual se presta o utiliza el capital.
* 1 año <> 12 meses.
* 1 mes comercial <> 30 días
* 1 año comercial <> 360 días
* 1 año común <> 365 días
* 1 año bisiesto <> 366 días
MONTO (M)
Es la suma del capital y el interés generado.
Monto = Capital + Interés
Ejemplo:
Si un capital de 3000 soles, genera un interés de 500 soles, el monto es:
3000 soles + 500 soles = 3500 soles

Fórmula para calcular el interés simple
I = C .i% . t
Cuando la tasa y el tiempo están en las mismas unidades de tiempo.
Ejemplo:
César prestó 4000 soles a Fiorella durante 5 años con una tasa de 2% anual.
Calcule el interés generado.
Resolución:
I = 4000(0.02)(5) = 400
Como la tasa es 2% anual, por cada año que pasa se gana el
2% de S/. 4000 = S/. 80, entonces en 5 años se gana 5 veces
S/. 80 = S/. 400
Observación:
El interés es D.P. al capital, a la tasa y al tiempo

1. El 60% de un capital se impone al 12% anual ¿a cuánto se debe imponer el
resto para que al cabo de un año el monto acumulado sea el 110% del capital?
a) 4 % b) 5 % c) 7 % d) 10 % e) 32 %
Solución: C = 10k C1 = 6k, i =12% C2 = 4k, i = ¿?
6k.(1+0,12) + 4k.(1+x) = 11k x = 7%
2. Doménica deposita en el banco S/.12600 durante 15 meses y los seis primeros
meses la tasa de interés fue de 2 %. ¿Cuál fue la tasa de interés en el resto
del tiempo si al final Doménica obtuvo un interés total de S/.693?
a) 3 % b) 4,5 % c) 5 % d) 6 % e) 8 %
Solución:
Datos:
C = 12600 Interés total = 693
t = 15 meses
En los primeros 6 meses; i = 2 % anual
t1 = 6 meses t2 = 9 meses i =?
I = 12600.
2
1200
.6= 126 soles I = 567 soles
567 = 12600.
𝑟
100
.
3
4
r = 6
3. ¿A qué porcentaje se debe imponer un capital para que en 15 meses produzca
un interés igual al 20 % del monto respectivo?
a) 20 % b) 25 % c) 30% d) 35 % e) 37 %
Solución: C = 10k t = 15 meses I = 0,2M 10k.i.15 = 0,2((10k(1+i.15))
150k.i = 2k+30ik 120i = 2 i = 5/3 % mensual i = 20 % anual
4. ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/.20000 en 1 año, 3 meses y 20 días al
18% anual de interés simple?
A) S/. 4700 B) S/. 2999 C) S/. 4500 D) S/. 6100 E) S/. 4600
Planteo:
1 año, 3 meses y 20 días = 470 dias
I = 20000.(18/36000).470
I = 4700

5. Una empresa vende una máquina al contado en S/.7 000 o en su lugar, con
una cuota inicial de S/.4 000 y un pago de S/.3150 a los 45 días. ¿Cuál es la
tasa semestral de interés simple que cobra la empresa por el saldo que le
pagan a los 45 días?
a) 16 % b) 18 % c) 20 % d) 22 % e) 30 %
Solución: C = 3000; M = 3150; t = 45 días; i = ?
3150 = 3000(1+
𝑥
100
1,5) 3150 = 3000+ 45x 45x = 150
x =
150
45
% mensual x = 20 % semestral
6. Dos capitales diferentes se depositan en el banco, el capital mayor al 4% y el
otro al 6%; luego de 3 años, los montos son iguales. Determinar el capital
mayor, si excede en S/. 300 al otro capital.
A) S/. 5600 B) S/. 5000 C) S/. 5800 D) S/. 5900 E) S/. 5200
Solución: (X + 300).(1+4%.3) = x. (1+6%. 3)
(X + 300).(1,12) = x. (1,18)
336 = 0,06x x = 5600
7. Se deposita S/. 9 000 durante 5 años y se obtuvo un monto superior en S/. 1
350 al que se depositó en 3 años y medio. ¿A qué tasa anual se ha colocado
dicho capital?
A) 5% B) 17,5% C) 10% D) 15% E) 12%
Solución: X + 1350 = 9000 (1 + i5)
X = 9000 (1 + i3.5)
Desarrollando el sistema y despejando i:
9000 (1 + i5) – 1350 = 9000 (1 + i3.5)
9000 + i45000 – 1350 = 9000 + i31500
13500 i = 1350 i = 10%
8. ¿A qué tasa de interés trimestral debe ser colocado un capital para que, en 3
años 4 meses, produzca un interés equivalente a las 2/5 del monto?
a) 20% b) 15% c) 10% d) 8% e) 5%
Solución: Asumiendo M = 1000, entonces: I = 400, C = 600
400 = 600. i . 40
i = 5/3 mensual, i = 5% trimestral

TEMA 04: SUCESIONES Y SERIES
SUCESIÓN
DECONCEPTO.COM menciona que una sucesión es una lista de números es una lista de
números tales que pueden encontrarse uno a uno a través de una regla. Cada uno de los
números que forma la sucesión se conoce como término de la sucesión.
Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10 forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita porque
tiene un último número. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene último
número, se dice que la sucesión es infinita.
Una sucesión es todo conjunto ordenado de elementos (números, letras o figuras), tal que
cada uno ocupa un lugar establecido, por tanto, se puede distinguir el primero, el segundo,
el tercero, etc; acorde con una ley de formación, criterio de ordenamiento o fórmula de
recurrencia.A los elementos de dicho conjunto se les denomina términos de sucesión
➢ Tipos de sucesiones
• Sucesiones aritmética: Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por sumas
o restas de cantidades constantes o variables.
Ejemplo: hallar los términos en las siguientes sucesiones:
a) 1, 5, 9, 13,.....
b) 15, 12, 9, 6,.....
c) 4, 5, 7, 10,....
d) 4, 8, 15, 26,....
• Sucesiones geométricas: Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por
multiplicación o división de cantidades constantes o variables.
Ejemplo: hallar los términos en las siguientes sucesiones
a) 2, 6, 18, 54,....
b) 4, 8, 24, 96,....
• Sucesiones combinadas: Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por la
combinación de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en una
misma sucesión. Ejm:
a) 3, 5, 10, 12, 24,....
b) 2, 6, 4, 12, 10,......

➢ Sucesión Lineal o de 1er grado.
Tn= Ultimo término
T1= Primer término
n = Lugar que ocupa el término enésimo
r = razón
Ejemplo: Dada la serie 5, 9, 13, 17, ....
Hallar: T220
Solución
T(220) =5 + (220-1)4 = 881
➢ Sucesión cuadrática o de segundo grado
Tiene la forma: tn= an2
+ bn + c
Donde a,b y c son constantes
a = r/2; b = m0– a ; c = t0
Ejemplo:
Encontrar el t10 en la siguiente sucesión:
0 ; 6 ; 14 ; 24 ; 36 ; ………
Solución:
Dado que: r = 2, a = 2/2 =1
mo= 4; b = 4-1 = 3
to= c; c = -4
tn= n2+ 3n – 4
t10 = 102+ 3(10) – 4 = 126
SERIE:
Según ECURED.COM, una serie es la suma de los términos de una sucesión numérica y al
resultado de dicha adición se le llama suma o valor de la serie. De acuerdo con esto, si la
sucesión numérica es:
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma aplicada a los términos
de una sucesión matemática. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:
Tn = T1+(n-1) r

Se suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:
• SERIE ARITMETICA
Una serie aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos
sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia
de la serie o simplemente diferencia o incluso "distancia".
El valor de la serie se obtiene mediante la fórmula:
• SERIE GEOMETRICA
Una serie geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo
el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que
se representa por r.
Una serie geométrica es la adición indicada de los términos de una progresión
geométrica.

a1= Primer término de la sucesión
an= término enésimo o último término de la sucesión
r= razón
Sn= suma de términos
n = número de términos

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