El documento presenta información sobre las ecuaciones paramétricas y el álgebra vectorial. Explica que las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas o superficies mediante valores de una variable llamada parámetro. También describe las generalidades del álgebra vectorial, como el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices y transformaciones lineales. Finalmente, ofrece ejemplos de curvas representadas mediante ecuaciones paramétricas como la circunferencia.

1. Profesor:
Pedro Beltrán
Bachiller:
Castellano, Paola
C.I. 30.516.711
Bna- Edo. Anzoátegui

2. Introducción
Las ecuaciones paramétricas son el tema base, las cuales son
sistemas de ecuaciones paramétricas que permiten representar
curvas o superficies mediante valores en un intervalo de
números reales mediante la variable que lleva como nombre
parámetro, considerando cada coordenada de un punto como
una función dependiente del parámetro. Acerca de este tema
hablaremos sobre las generalidades del algebra vectorial las
cuales son las que se encargan de estudiar los sistemas de
ecuaciones lineales, vectores, matrices y sus transformaciones
lineales.

3. GENERALIDADES DEL ALGEBRA VECORIAL
El algebra vectorial es una rama de la matemática
encargada de estudiar sistema de ecuaciones líneas,
matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales este tipo de descripción es
el resultado de la representación geométrica porque
utiliza un sistema de coordenadas.
Otra área que ha adoptado el algebra es la física, ya
que a través de esta se ha logrado desarrollar el
estudio de fenómenos físicos, describiéndolos
mediante el uso de vectores esto ha hecho posible
una mejor comprensión del universo.

4. FUNDAMENTOS
Él algebra vectorial se origino del estudio de los
cuaterniones (extensión de los números reales)
1, i, j, y k, así como también de la geometría
cartesiana promovida oír gibbs y heaviside,
quienes se dieron cuenta de que los vectores
servirían de instrumentos para representar varios
fenómenos físicos, el algebra vectorial es
estudiado a través de tres fundamentos
•GEOMETRICAMENTE:
Los vectores son representados
por rectas que tienen una
orientación, y las operaciones
como suma, resta, y
multiplicación por números
reales son definiciones a través
de métodos geométricos
•ANALITICAMENTE:
La descripción de los vectores y sus
operaciones se realizaban con
números llamados componentes. Este
tipo de descripción es resultado de
una representación geométrica
porque se utiliza un sistema de
coordenadas.

5. •AXIOMATICAMENTE:
Se hace la descripción de
los vectores,
independientemente del
sistema de coordenadas o
de cualquier tipo de
representación geométrica
.
El estudio de figuras en el
espacio e hace a través de su
representación en un sistema
de referencia, que puede ser
en una o mas dimensiones
entre los principales
sistemas se encuentran:
FUNDAMENTOS

6. •SISTEMA
UNIDIMENCIONAL:
Se trata de una recta donde
un punto (O) representa el
origen y otro punto (P)
determina la escala (longitud)
y el sentido de esta.
•SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES:
Están compuestas por dos rectas
perpendiculares llamadas eje X y eje Y
que pasan de un punto (O) origen; de
esta forma el plano queda dividido en
cuatro regiones llamadas cuadrantes.
En este caso el punto (P) en el plano es
dado por la distancia que existe entre
los ejes P.

7. •SISTEMA TRIDIMENCIONAL RECTANGULAR:
Formado por res rectas perpendiculares (X, Y, Z,) que
tiene como origen, un punto O en el espacio
Se forman tres planos coordenados xy, xz, y yz; el
espacio quedara dividido en ocho regiones llamadas
octantes.
La referencia de un punto P del espacio es dada por la
distancia que existe entre los planos y P.

8. MAGNITUDES
Una magnitud es la cantidad física que puede
ser contada o medida a través de un vapor
numérico, como en el caso de algunos
fenómenos físicos sin embargo, muchas veces
es necesario poder descubrir esos fenómenos
con otros factores que no sean numéricos . Por
eso las magnitudes son clasificadas en dos
tipos :
•MAGNITUD ESCALAR:
Son aquellas cantidades que se
definen y representan de forma
numérica; es decir, de un modulo
junto con una unidad de medida
por ejemplo;
A)tiempo:5 segundos
B)masa:10kg
C)volumen:40ml
D)temperatura: 40C
•MAGNITUD VECTORIAL:
Son aquellas cantidades que son definidas y
representadas por un modulo junto con una
unidad, así como también por un sentido y
dirección ejemplo:
A)Velocidad (5i-3j) ms
B)aceleracion:13ms;S 45 E
C)fuerza: 280N, 120
D)peso: -40 j kg-f

9. VECTORES
Son representaciones graficas de
una magnitud vectorial; es decir,
son segmentos de recta en los que
su extremo final es la punta de una
flecha. Se determinan por su
modulo o longitud del segmento, su
sentido que es indicado por la punta
de la flecha y su dirección de
acuerdo con la recta a la que
pertenezca. El origen se conoce
como el punto de aplicación.
Sus elementos son:
•Módulo: distancia que
desde el origen hasta el
extremo de un vector. Se
representa por un numero
real junto con una unidad .
•Dirección: medida del
ángulo que existe entre el
eje x y el vector.
También se utilizan los
puntos cardinales.
•Sentido: dado por la flecha
ubicada en el extremo del
vector, indicado hacia donde
se dirige este.

10. CLASIFICACION DE LOS
VECTORES:
•VECTOR FIJO:
Es aquel cuyo punto de
aplicación (origen) es fijo; es
decir, que se mantiene ligado a
un punto del espacio por lo que
no puede desplazarse en este.
•VECTOR LIBRE:
Puede moverse
libremente en el espacio
porque su origen se
traslada a cualquier
punto sin cambiar su
modulo, sentido o
dirección.•VECTOR
DESLIZANTE:
Es aquel que puede
trasladar su origen a lo
largo de su línea de acción
sin cambiar su modulo,
sentido o dirección.

11. Los vectores se suman siguiendo la
regla del paralelogramo para sumar
vectores fijos, tiene que ser
concurrente en un punto o tener el
mismo origen para sumar dos vectores
libres vasta recorrer dos representantes
con origen en el mismo punto.

12. ECUACIONES PARAMETRICAS:
En matemáticas, un sistema de ecuaciones
paramétricas permite representar una curva o
superficie en el plano o en el espacio, mediante
valores que recorren un intervalo de numero
reales, mediante una variable, llamada
parámetro, considerado cada coordenada de un
punto como una función dependiente del
parámetro.
Un ejemplo simple de la
cinemática, en cuanto se usan
un parámetro de tiempo (t)
para determinar la posición y
la velocidad de un móvil .

13. DESCRICION
Es el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos
variables (dependiendo de donde se utiliza dos o tres
dimensiones respectivas) son consideradas como variables
independiente, con el valor de esta siendo equivalente a la
imagen de la función cuando los restantes valores son sus
parámetros así por ejemplo la expresión de un punto
cualquiera (x,y)equivalente a la expresión (x,f(x))

14. Esta representación tiene la imitación de requerir que la
curva sea una función de x en y es decir de que todos los
valores z tengan un solo valor y (y solamente uno )
correspondiente en y no todas las curvas cumplen con dicha
condición para poder trabajar en la misma como si se tratara
de una función lo que se hace es elegir un dominio y una
imagen diferente donde la misma si sea función
En algunos casos, ayuda a derivar la
simplificación y la integración en vez
del caso y=f(x) o de z =F(x,y) un caso
paradigmático la representación de la
cicloide por ecuaciones paramétricas

15. CURVAS NOTABLES
CIRCUNFERENCIA:
Una circunferencia con centro en el
origen de coordenadas y radio r
verifica que
X2 +Y2=r2
Ecuación paramétricas
de la circunferencia
goniometrica, la
variable t es el Angulo y
sus puntos son (x, y)
=(cost, sint)

16. Representación paramétricas de una curva
La representación paramétrica de una curva es un espacio ndimensional
consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable
independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un
numero real y que los puntos del espacio ndimensional este
representado por n coordenadas reales )
Es común resumir las
ecuaciones paramétricas
de una curva en una
sola ecuación vectorial Donde ei representa el vector unitario
correspondiente a la coordenada i-ésima por
ejemplo la función paramétricas de un circulo
unitario con centro en el origen son x = cos t,
y sen t. podemos reunir estas ecuaciones
como una sola ecuaciones la fama

17. PROPIEDADES DE UN VECTOR:
•Vector equivalente:
son aquellos vectores libres que
tienen módulos iguales dirección
y (o estas son paralelas) y sentido
que un vector fijo
•Vector equivalente:
ocurre cuando dos vectores
tienen la misma dirección (o
son paralelas), el mismo
sentido y a pesar de tener
diferentes módulos y puntos
de aplicación estos provocan
efectos iguales
•Igualdad de vector:
Estos tiene igual modulo, dirección
y sentido aun cuando sus puntos de
partida son diferentes, lo que
permite que un vector paralelo se
traslade a si mismo sin afectarlo

18. •Vector unitario:
Es aquel en el que el modulo de igual a la unidad (1).
Este se obtiene al dividir el vector por su modulo y es
utilizado para determinar la dirección y sentido de un
vector bien sea en un plano o en el espacio utilizando los
vectores base o unitarios normalizados, que son :
•Vector nulo:
Es aquel cuyo modulo es igual
a 0; es decir, su punto de origen
y extremo coinciden en un
mismo punto

19. OPERACIONES CON VECTORES
•SUMA Y RESTA:
La suma y resta de vectores es considerada
una sola operación algebraica porque la resta
puede ser escrita como una suma; por
ejemplo, la resta de los vectores A y E puede
expresarse como:
•Método grafico:
utilizado cuando un vector poseen un
modulo, sentido y dirección. Para ellos se
traza líneas que forman una figura que
posteriormente ayuda a determinar la
resultante entre los mas conocidos se
destacan los siguiente :

20. •Método del Paralelograma:
Para hacer la suma y resta de dos
vectores se elige un punto en
común sobre el eje de
coordenadas que representa un
punto de origen de los vectores
manteniendo su modulo, sentido
y dirección
•Método triangular:
En este método los vectores se
colocan uno a continuación de
otro, manteniendo sus módulos
sentido y dirección. El vector
resultante será la unión del origen
del primer vector con el extremo
del segundo vector

21. EJEMPLOS:
Dibuje la curva definida por las ecuaciones
parametricas:
Valores de X-t2 y
Y- t+ 1 para
algunos valores
seleccionados de t
Curva representada por
las ejecuciones
paramétricas X=r2 y Y
=t +1

22. Grafique las curvas parametricas:
Las ecuaciones X=cos t y Y = sen t
describen el movimiento sobre la
circunferencia X3+Y2=1 La flecha indica
la dirección en la que aumenta t

23. La posición P(x, y) de una particularidad que se mueve en
el plano xy esta dada por las ecuaciones y el intervalo del
parametro siguiente:
Identifique la trayectoria trazada por la particularidad y
describa el movimiento
Describen el movimiento de una
particularidad que traza la mitad
derecha de la parbola y=X
La partícula recorre la mitad de
la parábola. La coordenada x de
la partícula nunca es negativa

24. En el álgebra vectorial se originó del estudio de los
cuaterniones 1, i, j, y k, así como también de la geometría
cartesiana. En matemática la longitud de arco es la medida de
la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal.
Las ecuaciones parametricas que nos permiten
representar una curva o superficie en el espacio, mediante
valores que recorren un intervalo de números reales,
mediante una variable , llamada parámetro, considerando
cada coordenada de un punto como una función
dependiente del parámetro
CONCLUSION

25. BIBLIOGRAFIA
Dirección: http://www.mat.ucm.es/~cruizb/MMI/Apuntes-
i/Apuntes-16/Ap-Integral-18.pdf
Direccion:
https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DOdg
Direccion : https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-
bc/bc-advanced-functions-new/bc-9-1/v/parametric-
equations-1
Direccion.
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A
9trica
Direccion:
https://www.fisicalab.com/apartado/ecuaciones-
parametricas-recta