integrales dobles y sus aplicaciones

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS,
ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL.
CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
INTEGRANTES:
PAOLA CHATO
LESLY TAIPE
GLADYS YANCHA
JAVIER ZURITA
TEMA:
INTEGRALES DOBLES
MATERIA:
CALCULO INTEGRAL
CURSO:
3° INDUSTRIAL

2. Objetivos
 Investigar las integrales dobles para poder llegar a una
definición la cual tenga coherencia y sobre todo que sea
de fácil interpretación.
 Aprender la resolución de las integrales dobles
identificando sus diferentes propiedades las cuales
estarán comprendidas en cada ejercicio obteniendo así
una respuesta coherente y correcta.
 Realizar ejercicios basándonos en la investigación para
obtener una resolución satisfactoria de los mismos

3. Integrales dobles
Los índices a, b, c y d representan los limites de integración de la
región R.
Si las funciones por las cuales se definen el área esta dada en
función de, el rectángulo representativo del área será vertical por
lo cual el orden de integración será “dy” “dx”.
Si f es continua en una región R del plano xy. Tranzando líneas
paralelas a los ejes, para aproximar R por medio de determinados
rectángulos de área ∆𝐴. La integral de f sobre la región R, esta
dada por el valor común de las dos integrales iteradas.

4. Ejemplos de aplicación
Áreas de figuras planas
Recordando que la integral doble así como el
volumen de un sólido “S” dado sobre una
región y bajo la gráfica de una función “f” se
obtienen por:
En la cual ∫ ∫ dA define el área de un
solido transversal constante, por esta
característica el área se la obtiene al
calcular la base por la altura, dando lo
siguiente:
Ejemplo de aplicación:

5. Volumen de Integrales dobles
El cálculo de volumen de un sólido en el espacio es una de las aplicaciones de las integrales
dobles importantes en el campo de las matemáticas.
Tomemos una región regular D ≤ R2 siendo fr(cte) su frontera.. Además, sea: f: D --- R una
función y positiva. Entonces la integral doble:
Representa el volumen del sólido limitada para la gráfica de la f, el plano z=0 y el cilindro de
generatrices paralelas al eje OZ y directriz fr (D).

6. Calculo del volumen de un solido
Se la obtiene mediante la aplicación de la siguiente formula:
Ejemplo:

8. Otra aplicación de integrales dobles
Dada una función delimitada por un rectángulo Q se llama escalonada si posee una partición P
de Q donde f es constante en todos los subrectángulos abiertos de P.
Una partición de un rectángulo Q = [a,b] × [c,d] es el producto cartesiano P = P1 × P2, la partición
P = P1 × P2 divide a Q en n · m rectángulos abiertos y se denominan subrectángulos de la
partición P o del rectángulo Q. Una función f definida y acotada en un rectángulo Q se llama
escalonada si existe una partición P de Q tal que f es constante en cada uno de los
subrectángulos abiertos de P.
Donde:

9. Ejemplo: Integrar f x, y = 4x3
+ 6xy2
sobre la región comprendida entre R = 1,3 x −2,1

10. [1] R. Bruzual y M. Dominguez , Calculo integral en varias variables:guia de estudio, Caracas :
Univerisdad Central de Venezuela , 2016 .
[2] C. R. S. K. y Zuñiga, Calculo Integral, Lima : Universidad del Pacifico , 2014.
[3] G. M. MONJARA, ««Calculo vectorial,»,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/glenmedimon/cuarto-
parcial/integrales-dobles. [Último acceso: 17 07 2021].
[4] «Ekuatio,» 2015. [En línea]. Available: https://ekuatio.com/integrales-iteradas-dobles-para-calcular- areas-de-
regiones-en-el-plano/. [Último acceso: 17 07 2021].
•Bibliografía