EDO

1. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
a) Encontrar la solución general a la siguiente ecuación:
Lo primero que hay que hacer es cambiar , luego separar las variables para que en cada lado
quede sólo un tipo, para finalmente integrar.
Ahora aplicamos integrar a ambos lados, obteniendo:
∫ ∫
∫
Si sustituimos , podemos resolver fácilmente la integral del lado derecho.
∫
( )
( )
b) Encontrar la solución particular a la ecuación anterior, cuándo ( )
En este caso, cómo ya tenemos la solución general lo único que debemos hacer es evaluar el 0 en
nuestra solución general, para obtener la solución particular.
( )
( )
Entonces la solución particular cuándo ( ) es:
( )
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

2. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
c) Encontrar la solución particular a la siguiente ecuación, si ( ) :
Primero debemos separar las variables para poder integrar:
Integramos a ambos lados:
∫ ∫
Sustituimos , en la integral del lado derecho:
( ) ∫
( )
Usamos fracciones parciales en la integral de la derecha y obtenemos:
( ) ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Ahora a toda la expresión le aplicamos la función exponencial para liberar la variable y:
( ) ( )
( )
( )
La última expresión es la solución general a la ecuación, ahora debemos encontrar la solución
particular cuándo ( )
( )
⇒
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3. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
Entonces la solución particular cuándo ( ) finalmente es:
Algunos modelos de aplicación
Para la resolución de algunos problemas de aplicación es necesario conocer ciertos modelos para
poder llegar a al solución.
Modelo de crecimiento/decrecimiento exponencial:
Si una población (P=P(t)) crece a una tasa que es proporcional al tamaño de dicha población,
entonces el modelo es:
Modelo de crecimiento/decrecimiento logístico:
Si una población (P=P(t)) crece a una tasa que es proporcional al producto del tamaño de dicha
población con la diferencia entre el tamaño máximo M de individuos posibles de la población y el
tamaño de dicha población, entonces el modelo es:
( )
Costo/Ingreso marginal:
El costo marginal es la razón de cambio del costo total (C) con respecto a una cantidad q, el modelo
es de la siguiente manera
( )
El costo marginal es la razón de cambio del ingreso total recibido (R) con respecto a una cantidad q,
el modelo es de la siguiente manera
( )
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4. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
Ley de enfriamiento de Newton:
La razón de cambio de la temperatura T = T(t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es
proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura A del medio
ambiente, el modelo de esta situación es el siguiente:
( )
d) Según un estudio, una noticia importante se difunde en una población adulta de 1000
personas a una tasa proporcional al número de personas que no han escuchado la noticia.
Si y = f(t) representa el número de personas que han escuchado la noticia t días después
de que esta se ha producido. Plantear la ecuación diferencial que modela la situación, y
encontrar la solución particular cuándo y(0)=0; y además y(1)=100.
Primero debemos plantear la ecuación (El máximo de población es 1000), con la variable y como el
número de personas que escucharon la noticia, entonces la ecuación queda planteada por:
( )
Ahora separamos las variables e integramos:
( )
∫ ∫
( )
( )
Aplicamos exponencial a toda la expresión, y obtenemos:
( )
Ahora usamos las condiciones iniciales para modelar completamente la solución:
( ) ⇒
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5. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
Ahora nos queda usar la última condición y(1)=100, obteniendo:
( )
( )
La solución particular a nuestro problema finalmente es:
e) Un objeto demora 40 minutos para enfriarse de 30°C a 24°C, en un lugar que se mantiene a
20°C.
a) ¿Cuál es la temperatura del objeto 15 minutos después de que fue de 30°C?
b) ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que el objeto se enfríe hasta 21°C?
Primero debemos plantear la ecuación según el modelo de enfriamiento de Newton, con A=20°C
( )
Ahora separamos e integramos:
∫ ∫
( )
Sabemos que demora 40 minutos enfriarse de 30°C a 24°C, o sea T(0)=30 y T(40)=24 entonces
remplazamos:
( ) ⇒ ⇒
( ) ⇒
( ) ( )⇒
Entonces el modelo queda configurado por:
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6. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
Ahora podemos responder la pregunta a), en la cuál hay que evaluar T(15):
( )
⇒ ( )
De la misma manera podemos responder b), pero esta vez despejando t en T(t)=21:
( )
( )
( ) ( ) ⇒
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