Solución ecuaciones movimiento aeronave

Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
18 de diciembre de 2022

Introducción
En la Unidad 1 de este curso se determinaron las ecuaciones de movimiento
que describen la dinámica de vuelo de una aeronave de ala ja, mientras que
en la Unidad 2 se planteó como obtener las fuerzas y momentos que intervie-
nen en tales ecuaciones. En esta Unidad se resuelve tal sistema de ecuaciones
con el propósito de conocer principalmente su estabilidad dinámica y, tener
a la postre, el planteamiento de un modelo matemático para aplicar el di-
seño de controlares de vuelo o el desarrollo de simuladores de vuelo para el
entrenamiento de tripulaciones.

Debe reconocerse que el punto de partida en el análisis de un sistema de
control es su representación mediante un modelo matemático, generalmente
como un operador entre entradas y salidas del sistema, o como un conjunto de
ecuaciones diferenciales. El modelo matemático representado por el conjunto
de ecs. diferenciales dado por:

Ecuaciones cinemáticas
φ̇ = p + (q sin φ + r cos φ) tan θ
θ̇ = q cos φ − r sin φ
ψ̇ = (q sin φ + r cos φ)/ cos θ
ẋE = u cos θ cos ψ + v(sin φ sin θ cos ψ − cos φ sin ψ)
+ w(cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ) (1)
ẏE = u cos θ sin ψ + v(sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ)
+ w(cos φ sin θ sin ψ − sin φ cos ψ)
żE = −u sin θ + v sin φ cos θ + w cos φ cos θ
Ecuaciones dinámicas
X − mg sin θ = m(u̇ + qw − rv)
Y + mg cos θ sin φ = m(v̇ + ru − pw)
Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ + pv − qu) (2)
L = Ixxṗ − Ixzṙ + qr(Izz − Iyy) − Izxpq
M = Iyyq̇ + rp(Ixx − Izz) + Izx(p2
− r2
)
N = Izzṙ − Izxṗ + pq(Iyy − Ixx) + Izxqr

son de carácter no lineal, que en palabras de [3], reere que un sistema se dice
que es no lineal si no es posible aplicar el principio de superposición, por lo
que la respuesta de tal sistema a dos entradas no puede calcularse tratando
cada entrada a la vez y sumando los resultados.

Sin embargo, la mayoría de los modelos matemáticos usados tradicionalmen-
te por teóricos y prácticos del control son lineales. De hecho, los modelos
lineales son mucho más manejables que los no lineales, y pueden represen-
tar en forma precisa el comportamiento de sistemas reales en muchos casos
útiles [2]. De este modo, las ecuaciones antes mencionadas serán linealizadas
bajo el fundamento de la Teoría de pequeñas perturbaciones a partir de una
linealización mediante Series de Taylor.

Series de Taylor
Cuando un modelo es muy complejo matemáticamente y se le desea resol-
ver con relativa simplicidad, se puede recurrir a técnicas que permitan su
representación en una forma tal que puedan aplicarse la gran cantidad de
herramientas matemáticas, en el ámbito del algebra, que existen a disposi-
ción. Esta representación implica una escritura mediante series innitas y a
la técnica que permite llegar a tal representación se le conoce como linea-
lización. Las soluciones de esa representación en series innitas son usadas
generalmente para aproximar el valor de la función en un punto deseado con
cierto grado de precisión.

Así, la linealización generalmente consiste en una expansión en series de Tay-
lor de la ecuación de estado (no-lineal) alrededor de un punto de operación
denido ya sea de forma natural por el sistema, o seleccionado arbitraria-
mente para satisfacer alguna necesidad de control.
La expansión en series de Taylor adopta la siguiente estructura:
f(x) =
∞
X
k=0
1
k!
dk
f(x)
dxk
x0
(x − x0)k
(3)

Aplicando la ec.(3) a una función escalar, donde la condición de operación se
elige como x̄, ȳ, se tiene por ejemplo que,
y = f(x)
= f(x̄) +
df
dx
(x − x̄) +
1
2!
df2
dx2
(x − x̄)2
+ · · · +
1
n!
dfn
dxn
(x − x̄)n
(4)
donde las derivadas
df
dx
,
df2
dx2
,...,
dfn
dxn
se evalúan en x = x̄. Si la variación x−x̄
es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en x − x̄.
Así, la ec.(4), se simplica a
y = ȳ + m(x − x̄) (5)
donde
ȳ = f(x̄) y m =
df
dx x=x̄
(6)

Ejemplo 3.1
Linealice la ecuación siguiente:
y(x) = 3x3
− 2x2
+ 2 en el punto de operación x̄ = 2

Ejemplo 3.1
y(x) = 3x3
− 2x2
Solución: Empleando la ec.(5), se desarrollan los pasos siguientes:
1 Se evalúa f(x̄) = ȳ

Ejemplo 3.1
y(x) = 3x3
− 2x2
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18

Ejemplo 3.1
y(x) = 3x3
− 2x2
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
2 Se calcula y evalúa la pendiente m =
df
dx x=x̄

Ejemplo 3.1
y(x) = 3x3
− 2x2
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
df
dx x=x̄
m = 9x2
− 4x
x=2
= 9(2)2
− 4(2) = 28

Ejemplo 3.1
y(x) = 3x3
− 2x2
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
df
dx x=x̄
m = 9x2
− 4x
x=2
= 9(2)2
− 4(2) = 28
3 Se sustituyen los valores de ȳ y de la pendiente m

Ejemplo 3.1
y(x) = 3x3
− 2x2
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
df
dx x=x̄
m = 9x2
− 4x
x=2
= 9(2)2
− 4(2) = 28
3 Se sustituyen los valores de ȳ y de la pendiente m
y − ȳ = m(x − x̄)
y − 18 = 28(x − 2)
y = 28x − 56 + 18
y = 28x-38

A continuación, considere un sistema no lineal cuya salida y es una función
de dos entradas x1 y x2, tal que:
y = f(x1, x2) (7)
Mediante una expansión en series de Taylor a n de linealizar el sistema, se
tiene:
y = f(x̄1, x̄2) +

∂f
∂x1
(x1 − x̄1) +
∂f
∂x2
(x2 − x̄2)

+
1
2!

∂f2
∂x2
1
(x1 − x̄1) +
∂f2
∂x2
2
(x2 − x̄2)

+
1
3!

∂f3
∂x3
1
(x1 − x̄1) +
∂f3
∂x3
2
(x2 − x̄2)

(8)
+ · · · +
1
n!

∂fn
∂xn
1
(x1 − x̄1) +
∂fn
∂xn
2
(x2 − x̄2)


Donde las derivadas parciales se evalúan en x1 = x̄1, x2 = x̄2.
Si se opera el sistema cerca del punto de equilibrio, es posible no considerar
los términos de orden superior.
Así, el modelo matemático linealizado del sistema no lineal original alrededor
de la condición de operación nominal se obtiene mediante:
y − ȳ =
∂f
∂x1 x1=x̄1,x2=x̄2
(x1 − x̄1) +
∂f
∂x2 x1=x̄1,x2=x̄2
(x2 − x̄2) (9)

Ejemplo 3.2
Linealice la ecuación no lineal z = xy en la región comprendida entre 5
x 7, 10 y 12. Determine el error si la ecuación linealizada se utiliza
para calcular el valor de z cuando x = 5 y = 10.

Ejemplo 3.2
Solución: Empleando la ec.(9) y dado que la región considerada está entre
5 x 7, 10 y 12, se seleccionan x̄ = 6, ȳ = 11 como puntos de
operación. Así,
1 Se evalúa f(x̄, ȳ) = z̄

Ejemplo 3.2
operación. Así,
z̄ = 6 · 11 = 66
2 Se calculan y evalúan las pendientes
m1 =
∂f
∂x1
x1 = x̄1
x2 = x̄2
, m2 =
∂f
∂x2
x1 = x̄1
x2 = x̄2

Ejemplo 3.2
operación. Así,
z̄ = 6 · 11 = 66
2 Se calculan y evalúan las pendientes
m1 =
∂f
∂x1
x1 = x̄1
x2 = x̄2
, m2 =
∂f
∂x2
x1 = x̄1
x2 = x̄2
m1 =
∂f(xy)
∂x1
x1 = x̄1
x2 = x̄2
= ȳ = 11, m2 =
∂f(xy)
∂x2
x1 = x̄1
x2 = x̄2
= x̄ = 6
3 Se sustituyen los valores de z̄ y de las pendientes m1 y m2 en la ec.(9)

z − z̄ = m1(x − x̄) + m2(y − ȳ)
z − 66 = 11(x − 6) + 6(y − 11)
z = 11x − 66 + 6y − 66 + 66
z = 11x+6y-66 (10)
Cuando x = 5, y = 10, el valor de z dado por la ec. linealizada está dado
por:
z = 11(5) + 6(10) − 66
z = 55 + 60 − 66 = 49
Mientras que el valor exacto de z es z = xy = 50. El error es 50 − 49 = 1 y
el porcentaje de error es 2 %.

Breve introducción al Espacio de Estados
En la teoría de control clásica, el diseño de los sistemas de control de reali-
mentación se logra utilizando la técnica del lugar de las raíces y los métodos
de Bode desarrollados por Evans y Bode, respectivamente. Estas técnicas son
muy útiles para diseñar muchos sistemas de control prácticos. Sin embargo,
el diseño de un sistema de control utilizando cualquiera de las técnicas es
esencialmente por ensayo y error.

Breve introducción al Espacio de Estados
En la teoría de control clásica, el diseño de los sistemas de control de reali-
mentación se logra utilizando la técnica del lugar de las raíces y los métodos
de Bode desarrollados por Evans y Bode, respectivamente. Estas técnicas son
muy útiles para diseñar muchos sistemas de control prácticos. Sin embargo,
el diseño de un sistema de control utilizando cualquiera de las técnicas es
esencialmente por ensayo y error.
Con el rápido desarrollo de las computadoras, ha evolucionado un nuevo en-
foque para el diseño de sistemas de control. Este nuevo enfoque, comúnmente
llamado teoría de control moderna, permite un enfoque más sistemático para
el diseño de sistemas de control.

Modelado en el Espacio de Estado
El enfoque de espacio de estados para el análisis y diseño de sistemas de
control es un método en el dominio del tiempo.
La aplicación de técnicas de variables de estado para controlar problemas se
denomina teoría de control moderna. Las ecuaciones de estado son simple-
mente ecuaciones diferenciales de primer orden que gobiernan la dinámica
del sistema que se analiza.
ẋ = Ax+ Bη (11)
La salida del sistema se expresa en términos de estado y entradas de control
de la manera siguiente:
y = Cx+ Dη (12)

Los vectores de estado, control y salida se denen de la manera siguiente:
x =





x1(t)
x2(t)
.
.
.
xn(t)





Vector de estado(n × 1) (13)
η =





δ1(t)
δ2(t)
.
.
.
δn(t)





Vector de control o entrada (p × 1) (14)
y =





y1(t)
y2(t)
.
.
.
yn(t)





Vector de salida (q × 1) (15)

Las matrices A, B, C y D se denen de la siguiente manera:
A =






a11 a12 . . . a1n
a21
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann






Matriz de la planta(n × n) (16)
B =






b11 b12 . . . b1p
b21
.
.
.
.
.
.
bn1 bn2 . . . bnp






Matriz de entrada o de control (n × p)
(17)

C =






c11 c12 . . . c1p
c21
.
.
.
.
.
.
cq1 bn2 . . . cqn






(q × n) (18)
D =






d11 d12 . . . d1p
d21
.
.
.
.
.
.
dq1 dn2 . . . dqp






(q × p) (19)

Suponga que el sistema físico que se está modelando se puede describir me-
diante una ecuación diferencial de n-ésimo orden:
dn
c(t)
dtn
+ a1
dn−1
c(t)
dtn−1
+ a2
dn−2
c(t)
dtn−2
+ . . . + an−1
dc(t)
dt
+ anc(t) = r(t) (20)
donde: c(t) y r(t) son las variables de entrada y salida, respectivamente Esta
ecuación diferencial se puede reducir a un conjunto de ecuaciones diferenciales
de primer orden deniendo las variables de estado de la manera siguiente:
x1(t) = c(t)
x2(t) =
dc(t)
dt
.
.
. (21)
xn(t) =
dn−1
c(t)
dtn−1

Las ecuaciones de estado ahora se pueden escribir como
ẋ1(t) = x2(t)
ẋ2(t) = x3(t)
.
.
. (22)
ẋn(t) = −anx1(t) − an−1x2(t) − . . . − a1xn(t) + r(t)
Al reescribir la ecuación en la forma de vector de estado se obtiene
ẋ = Ax+ Bη (23)

donde
A =









0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 1 0 0 0 1
−an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4 . . . −a1









(24)
B =









0
0
0
0
.
.
.
1









(25)

y la ecuación de salida es
y = Cx (26)
donde
C = [1 0 0 . . . 0] (27)

PROBLEMA DE EJEMPLO 1
Reescriba las siguientes ecuaciones diferenciales en forma de espacio de
estados
d2
c1
dt2
+ 5
dc1
dt
+ 4c2 = r1
dc2
dt
+
dc1
dt
+ c1 + 3c2 = r2

PROBLEMA DE EJEMPLO 1
Reescriba las siguientes ecuaciones diferenciales en forma de espacio de
estados
d2
c1
dt2
+ 5
dc1
dt
+ 4c2 = r1
dc2
dt
+
dc1
dt
+ c1 + 3c2 = r2
Solución: Sea:
x1 = c1
x2 = ċ1
x3 = c2
Así,
ẋ2 + 5x2 + 4x3 = r1
ẋ3 + x2 + x1 + 3x3 = r2

Linealización de las ecs. de movimiento
Las ecs. presentadas por el sistema de ecuaciones de (2) son no lineales y com-
plicadas para aplicar técnicas de análisis dinámico y control. A menudo son
más complicadas de lo necesario para realizar un análisis de una buena canti-
dad de regímenes de vuelo. A este respecto, se puede recurrir a la aplicación
de la Teoría de pequeñas perturbaciones, que no es más que una linealización
de las ecuaciones no lineales del sistema (2). La teoría de pequeñas perturba-
ciones considera que la trayectoria de la aeronave en una condición de vuelo
en equilibrio sufre solo pequeñas desviaciones de su movimiento.

Como se ha mencionado, esta linealización tiene su fundamento en una ex-
pansión mediante series de Taylor. De esta linealización se consideran que
las perturbaciones, en forma de entradas, son tan pequeñas que permiten
que los términos de ordenes superiores a uno se puedan ignorar debido a su
aportación numérica tan insignicante. Así, cada una de las variables en las
ecuaciones de movimiento son reemplazadas por un valor de referencia más
una perturbación, tal que:

u = u0 + ∆u v = v0 + ∆v w = w0 + ∆w
p = p0 + ∆p q = q0 + ∆q r = r0 + ∆r
φ = φ0 + ∆φ θ = θ0 + ∆θ ψ = ψ0 + ∆ψ (28)
X = X0 + ∆X Y = Y0 + ∆Y Z = Z0 + ∆Z
L = L0 + ∆L M = M0 + ∆M N = N0 + ∆N
δa = δa0 + ∆δa δe = δe0 + ∆δe δr = δr0 + ∆δr
δt = δt0 + ∆δt

Para la linealización se asume que la aeronave vuela en vuelo estable y equili-
brado, lo que no aporta aceleraciones ni cambios bruscos de orientación como
lo sería el vuelo de una maniobra de barril o un desplome. Esta consideración
conduce a que los ángulos de alabeo, deslizamiento y guiñada sean cero, por
lo que:
v0 = p0 = q0 = r0 = φ0 = ψ0 = 0

Introduciendo la notación de pequeñas perturbaciones, dada por (28), en las
ecs.(2) se obtienen las ecuaciones de movimiento linealizadas. Nótese que en
las ecs.(2) se encuentra representado de forma explícita el vector de fuerza
externa debida a la gravedad, de manera que los efectos de fuerza y momento
que producen los vectores de términos aerodinámicos, propulsivos y de control
se encuentran contenidos todavía en los términos X, Y, Z, L, M y N. Estos
serán representados de manera explícita más adelante.

Con el proposito de ejemplicar la deducción de las ecuaciones linealizadas
se toma la primera ecuación del conjunto (2), dada por:
X − mg sin θ = m(u̇ + qw − rv)
Que queda denida mediante:
X0 + ∆X − mg sin(θ0 + ∆θ)
= m

d
dt
(u0 + ∆u) + (q0 + ∆q)(w0 + ∆w) − (r0 + ∆r)(v0 + ∆v)

(29)
Introduciendo los términos que son cero en la ec. (29), ésta se reduce a:
X0 + ∆X − mg sin(θ0 + ∆θ) = m(∆u̇ + w0∆q) (30)

Empleando la identidad trigonométrica siguiente:
sin(θ0 + ∆θ) = sin θ0 cos ∆θ + cos θ0 sin ∆θ = sin θ0 + ∆θ cos θ0 (31)
y sustituyéndola en la ec. (30), se tiene:
X0 + ∆X − mg(sin θ0 + ∆θ cos θ0) = m(∆u̇ + w0∆q) (32)

Empleando la identidad trigonométrica siguiente:
sin(θ0 + ∆θ) = sin θ0 cos ∆θ + cos θ0 sin ∆θ = sin θ0 + ∆θ cos θ0 (31)
y sustituyéndola en la ec. (30), se tiene:
X0 + ∆X − mg(sin θ0 + ∆θ cos θ0) = m(∆u̇ + w0∆q) (32)
Si se considera que los valores de las condiciones iniciales sea cero, se tiene
la ecuación que representa únicamente la dinámica de la aeronave debida a
pequeñas perturbaciones [1], esto es:
∆X − mg(sin θ0 + ∆θ cos θ0) = m(∆u̇ + w0∆q) (33)

Realizando el mismo procedimiento para el resto de las ecuaciones denidas
en (2), se tiene:
∆X − mg(sin θ0 + ∆θ cos θ0) = m(∆u̇ + w0∆q)
∆Y + mg∆φ cos θ0 = m(∆v̇ − w0∆p + u0∆r)
∆Z + mg(cos θ0 − ∆θ sin θ0) = m(∆ẇ − u0∆q) (34)
∆L = Ixx∆ṗ − Ixz∆ṙ
∆M = Iyy∆q̇
∆N = Izz∆ṙ − Ixz∆ṗ

La fuerza gravitatoria no produce momentos sí el análisis se realiza en el
centro de gravedad de la aeronave, así ∆Lg = ∆Mg = ∆Ng = 0, por lo
que ∆L, ∆M, y ∆N contienen únicamente los términos provocados por los
vectores de fuerzas aerodinámicas, propulsivas y de control.

Términos aerodinámicos
La expansión en series de Taylor de los términos aerodinámicos, de acuerdo
con la ec.(9), si se omiten los términos de orden superior, así como aque-
llos que tienen poca contribución numérica en el resultado, está expresada
mediante [1]:
Xa = X̄a +
∂X
∂u
∆u +
∂X
∂v
∆v +
∂X
∂w
∆w +
∂X
∂p
∆p +
∂X
∂q
∆q +
∂X
∂r
∆r +
∂X
∂ẇ
∆ẇ
Ya = Ȳa +
∂Y
∂u
∆u +
∂Y
∂v
∆v +
∂Y
∂w
∆w +
∂Y
∂p
∆p +
∂Y
∂q
∆q +
∂Y
∂r
∆r +
∂Y
∂ẇ
∆ẇ
.
.
. =
.
.
.
.
.
. (35)
Na = N̄a +
∂N
∂u
∆u +
∂N
∂v
∆v +
∂N
∂w
∆w +
∂N
∂p
∆p +
∂N
∂q
∆q +
∂N
∂r
∆r +
∂N
∂ẇ
∆ẇ
donde resulta claro que:
∆u = u − ū, ∆v = v − v̄, · · · , ∆ẇ = ẇ − ˙
w̄ y
m1 =
∂X
∂u
u = ū
v = v̄
.
.
.
ẇ = ˙
w̄
, m2 =
∂X
∂v
u = ū
u = ū
.
.
.
ẇ = ˙
w̄
, · · · , m7 =
∂X
∂v
u = ū
u = ū
.
.
.
ẇ = ˙
w̄

Términos de control
La expansión en series de Taylor de los términos de control quedan expresados
mediante:
Xc =
∂X
∂δa
∆δa +
∂X
∂δe
∆δe +
∂X
∂δr
∆δr
Yc =
∂Y
∂δa
∆δa +
∂Y
∂δe
∆δe +
∂Y
∂δr
∆δr
Zc =
∂Z
∂δa
∆δa +
∂Z
∂δe
∆δe +
∂Z
∂δr
∆δr (36)
Lc =
∂L
∂δa
∆δa +
∂L
∂δe
∆δe +
∂L
∂δr
∆δr
Mc =
∂M
∂δa
∆δa +
∂M
∂δe
∆δe +
∂M
∂δr
∆δr
Nc =
∂N
∂δa
∆δa +
∂N
∂δe
∆δe +
∂N
∂δr
∆δr
Los valores L̄c, M̄c y N̄c son igual a cero, debido a que se ha establecido que
la aeronave se encuentra en vuelo recto y nivelado.

Términos de propulsión
El control de la fuerza de empuje está dada en la aeronave por la variación
de la palanca de aceleración denotada por δt, de manera que sus derivadas
de control sobre cada una de las funciones son:
Xt =
∂X
∂δt
∆δt
Yt =
∂Y
∂δt
∆δt (37)
.
.
.
.
.
.
Nt =
∂N
∂δt
∆δt

Al sustituir cada uno de las contribuciones de fuerzas y momentos externos,
que son a saber, los producidos por efectos aerodinámicos, efectos de control
y efectos propulsivos, en las ecuaciones dinámicas linealizadas dadas por (34),
se tiene:
m(∆u̇ + w0∆q) = X̄a +
∂X
∂u
∆u +
∂X
∂v
∆v +
∂X
∂w
∆w +
∂X
∂p
∆p +
∂X
∂q
∆q
+
∂X
∂r
∆r +
∂X
∂ẇ
∆ẇ − mg sin θ0 − mg∆θ cos θ0 +
∂X
∂δa
∆δa
+
∂X
∂δe
∆δe +
∂X
∂δr
∆δr +
∂X
∂δt
∆δt
(38)

m(∆v̇ − w0∆p + u0∆r) = Ȳa +
∂Y
∂u
∆u +
∂Y
∂v
∆v +
∂Y
∂w
∆w +
∂Y
∂p
∆p +
∂Y
∂q
∆q
+
∂Y
∂r
∆r +
∂Y
∂ẇ
∆ẇ + mg∆φ cos θ0 +
∂Y
∂δa
∆δa
+
∂Y
∂δe
∆δe +
∂Y
∂δr
∆δr +
∂Y
∂δt
∆δt
(39)
m(∆ẇ − u0∆q) = Z̄a +
∂Z
∂u
∆u +
∂Z
∂v
∆v +
∂Z
∂w
∆w +
∂Z
∂p
∆p +
∂Z
∂q
∆q
+
∂Z
∂r
∆r +
∂Z
∂ẇ
∆ẇ + mg(cos θ0 − ∆θ sin θ0) +
∂Z
∂δa
∆δa
+
∂Z
∂δe
∆δe +
∂Z
∂δr
∆δr +
∂Z
∂δt
∆δt
(40)

Ixx∆ṗ − Ixz∆ṙ = L̄a +
∂L
∂u
∆u +
∂L
∂v
∆v +
∂L
∂w
∆w +
∂L
∂p
∆p +
∂L
∂q
∆q
+
∂L
∂r
∆r +
∂L
∂ẇ
∆ẇ +
∂L
∂δa
∆δa +
∂L
∂δe
∆δe +
∂L
∂δr
∆δr +
∂L
∂δt
∆δt
(41)
Iyy∆q̇ = M̄a +
∂M
∂u
∆u +
∂M
∂v
∆v +
∂M
∂w
∆w +
∂M
∂p
∆p +
∂M
∂q
∆q
+
∂M
∂r
∆r +
∂M
∂ẇ
∆ẇ +
∂M
∂δa
∆δa +
∂M
∂δe
∆δe +
∂M
∂δr
∆δr +
∂M
∂δt
δt
(42)
Izz∆ṙ − Ixz∆ṗ = N̄a +
∂N
∂u
∆u +
∂N
∂v
∆v +
∂N
∂w
∆w +
∂N
∂p
∆p +
∂N
∂q
∆q
+
∂N
∂r
∆r +
∂N
∂ẇ
∆ẇ +
∂N
∂δa
∆δa +
∂N
∂δe
∆δe +
∂N
∂δr
∆δr +
∂N
∂δt
∆δt
(43)

Ecuaciones de movimiento desacopladas
Ecuaciones de movimiento longitudinal Un movimiento longitudinal
desacoplado es el movimiento que tiene lugar como respuesta ante una per-
turbación que se maniesta sobre el plano longitudinal de simetría de la
aereonave. El movimiento involucra la fuerza axial X, la fuerza normal Z y
el momento de cabeceo M.
Como el movimiento lateral-direccional no está presente, las variables parti-
cipantes en tal movimiento son nulas, eso es v, p y r así como sus derivadas
son todas cero. De esta forma, el conjunto de ecuaciones dadas por (38)-(43),
se reduce a:

m∆u̇ −
∂X
∂u
∆u −
∂X
∂w
∆w −

∂X
∂q
− mw0

∆q −
∂X
∂ẇ
∆ẇ + mg∆θ cos θ0
=
∂X
∂δe
∆δe +
∂X
∂δt
∆δt
(44)

m −
∂Z
∂ẇ

∆ẇ −
∂Z
∂u
∆u −
∂Z
∂w
∆w −

∂Z
∂q
+ mu0

∆q + mg∆θ sin θ0
=
∂Z
∂δe
∆δe +
∂Z
∂δt
∆δt
(45)
Iyy∆q̇ −
∂M
∂u
∆u −
∂M
∂w
∆w −
∂M
∂q
∆q −
∂M
∂ẇ
∆ẇ
=
∂M
∂δe
∆δe +
∂M
∂δt
∆δt
(46)

Ecuaciones de movimiento lateral-direccional
El movimiento lateral-dierccional desacoplado involucra movimiento de ala-
beo, giñada y desplazamiento transversal. La dinámica, es por tanto, descrita
por la fuerza Y , y los momentos de alabeo L y guiñada N. Al no existir mo-
vimiento longitudinal, las variables u, w y q así como sus derivadas son cero.
De esta forma, el conjunto de ecuaciones dadas por (38)-(43), se reduce a:
m∆v̇ −
∂Y
∂v
∆v −

∂Y
∂p
+ mw0

∆p −

∂Y
∂r
− mu0

∆r − mg∆φ cos θ0
=
∂Y
∂δa
∆δa +
∂Y
∂δr
∆δr
(47)
Ixx∆ṗ − Ixz∆ṙ −
∂L
∂v
∆v −
∂L
∂p
∆p −
∂L
∂r
∆r =
∂L
∂δa
∆δa +
∂L
∂δr
∆δr (48)
Izz∆ṙ − Ixz∆ṗ −
∂N
∂v
∆v −
∂N
∂p
∆p −
∂N
∂r
∆r =
∂N
∂δa
∆δa +
∂N
∂δr
∆δr (49)

Respuesta de la aeronave mediante funciones de transferencia
El conjunto de ecuaciones de movimiento obtenidas y representadas por las
ecs. (44-49) son ecuaciones diferenciales, que pueden ser resueltas por di-
ferentes métodos. Uno de ellos es presentado en esta sección y consiste en
transformarlo en ecuaciones algebraicas. Para convertir las ecuaciones dife-
renciales a ecuaciones algebraicas se recurre al método de transformadas de
Laplace en el dominio s.

Respuesta de la aeronave mediante funciones de transferencia
El conjunto de ecuaciones de movimiento obtenidas y representadas por las
ecs. (44-49) son ecuaciones diferenciales, que pueden ser resueltas por di-
ferentes métodos. Uno de ellos es presentado en esta sección y consiste en
transformarlo en ecuaciones algebraicas. Para convertir las ecuaciones dife-
renciales a ecuaciones algebraicas se recurre al método de transformadas de
Laplace en el dominio s. Posteriormente, mediante un tratamiento mate-
mático, las ecuaciones algebraicas se pueden combinar para representar el
comportamiento dinámico de la aeronave. Este comportamiento dinámico
responde a las múltiples entradas de la aeronave (δa, δe, δr, δt). Al cociente
entre las respuestas de la aeronave y las entradas, es decir los comandos de
vuelo, se conoce como función de transferencia.

Todas las funciones de transferencia son escritas como la relación de dos
polinomios en el operador s de Laplace. Las funciones de transferencia propias
tienen al polinomio numerador al menos de un grado menor que el polinomio
denominador. Para representar una función de transferencia se emplea la
notación siguiente:
θ(s)
δe(s)
=
Nθ
δe
∆(s)
(50)

Todas las funciones de transferencia son escritas como la relación de dos
polinomios en el operador s de Laplace. Las funciones de transferencia propias
tienen al polinomio numerador al menos de un grado menor que el polinomio
denominador. Para representar una función de transferencia se emplea la
notación siguiente:
θ(s)
δe(s)
=
Nθ
δe
∆(s)
(50)
La representación de una función de transferencia dada por ec(50) indica la
respuesta de cabeceo ante la entrada del elevador.
donde:
Nθ
δe
: Polinomio del numerador en s que relaciona la respuesta en cabeceo de
la aeronave en función del elevador δe(s).
∆(s): Polinomio del denominador en s, el cual es común a todas las funciones
de transferencia de la dinámica longitudinal. Este término se conoce como el
polinomio característico y cuando se iguala a cero se convierte en la ecuación
característica.

Funciones de transferencia de la dinámica longitudinal
Recordando que la transformada de Laplace para expresiones diferenciales
tales como ẋ(t) y ẍ(t) están dadas por:
L{ẋ(t)} = sX(s) − x(0)

L{ẋ(t)} = sX(s) − x(0)
L{ẍ(t)} = s2
X(s) − sx(0) − ẋ(0)

L{ẋ(t)} = sX(s) − x(0)
L{ẍ(t)} = s2
X(s) − sx(0) − ẋ(0)
donde x(0) y ẋ(0) son condiciones iniciales en t = 0.

L{ẋ(t)} = sX(s) − x(0)
L{ẍ(t)} = s2
X(s) − sx(0) − ẋ(0)
donde x(0) y ẋ(0) son condiciones iniciales en t = 0. Transformando el conjun-
to de ecs. (44)-(46) en el dominio de s, considerando las condiciones iniciales
0, se tiene:

ms −
∂X
∂u

∆U(s) −

∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s

∆W(s)−

∂X
∂q
− mw0

s − mg cos θ0

∆Θ(s) =
∂X
∂δe
∆δe(s) +
∂X
∂δt
∆δt(s)
(51)

−
∂Z
∂u
∆U(s) +

m −
∂Z
∂ẇ

s −
∂Z
∂w

∆W(s)−

∂Z
∂q
+ mu0

s − mg sin θ0

∆Θ(s) =
∂Z
∂δe
∆δe(s) +
∂Z
∂δt
∆δt(s)
(52)
−
∂M
∂u
∆U(s) −

∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s

∆W(s) +

Iyys2
−
∂M
∂q
s

∆Θ(s)
=
∂M
∂δe
δe(s) +
∂M
∂δt
δt(s)
(53)

Las ecuaciones (51)-(53), se pueden reescribir mediante una estructura ma-
tricial, tal que:












ms −
∂X
∂u
−

∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s

−

∂X
∂q
− mw0

s + mg cos θ0
−
∂Z
∂u

m −
∂Z
∂ẇ

s −
∂Z
∂w

∂Z
∂q
+ mu0

s − mg sin θ0
−
∂M
∂u
−

∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s

Iyys2
−
∂M
∂q
s
























∆U(s)
∆W(s)
∆Θ(s)












=











∂X
∂δe
∂X
∂δt
∂Z
∂δe
∂Z
∂δt
∂M
∂δe
∂M
∂δt




















∆δe(s)
∆δt(s)









(54)

Manteniendo un mando jo a n de aplicar el concepto de función de trans-
ferencia a la ec.(54), en este caso el mando de aceleración, es decir ∆δt = 0,
se tiene que:












ms −
∂X
∂u
−

∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s

−

∂X
∂q
− mw0

s + mg cos θ0
−
∂Z
∂u

m −
∂Z
∂ẇ

s −
∂Z
∂w
−

∂Z
∂q
+ mu0

s + mg sin θ0
−
∂M
∂u
−

∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s

Iyys2
−
∂M
∂q
s

























∆U(s)
∆δe(s)
∆W(s)
∆δe(s)
∆Θ(s)
∆δe(s)













=











∂X
∂δe
∂Z
∂δe
∂M
∂δe











(55)

La solución de la ec.(48) puede ser resuelta mediante la Regla de Cramer, lo
que conduce a tener que:
∆U(s)
∆δe(s)
=
Nu
δe
∆(s)
,
∆W(s)
∆δe(s)
=
Nw
δe
∆(s)
y
∆Q(s)
∆δe(s)
=
Nq
δe
∆(s)
= s
Nθ
δe
∆(s)
(56)

∆U(s)
∆δe(s)
=
Nu
δe
∆(s)
,
∆W(s)
∆δe(s)
=
Nw
δe
∆(s)
y
∆Q(s)
∆δe(s)
=
Nq
δe
∆(s)
= s
Nθ
δe
∆(s)
(56)
dado que: θ̇(t) = q(t) de donde resulta que sΘ(s) = Q(s).

Así, los polinomios del numerador de las relaciones dadas por (56) están
dados por:
Nu
δe
(s) =














∂X(s)
δe(s)
−

∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s

−

∂X
∂q
− mw0

s + mg cos θ0
∂Z(s)
δe(s)

m −
∂Z
∂ẇ

s −
∂Z
∂w
−

∂Z
∂q
+ mu0

s + mg sin θ0
∂M(s)
δe(s)
−

∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s

Iyys2
−
∂M
∂q
s














(57)

Nw
δe
(s) =












ms −
∂X
∂u
∂X(s)
∂δe(s)
−

∂X
∂q
− mw0

s + mg cos θ0
−
∂Z
∂u
∂Z(s)
∂δe(s)

∂Z
∂q
+ mu0

s − mg sin θ0
−
∂M
∂u
∂M(s)
∂δe(s)
Iyys2
−
∂M
∂q
s












(58)

Nθ
δe
(s) =












ms −
∂X
∂u
−

∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s

∂X(s)
∂δe(s)
−
∂Z
∂u

m −
∂Z
∂ẇ

s −
∂Z
∂w
∂Z(s)
∂δe(s)
−
∂M
∂u
−

∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s

∂M(s)
∂δe(s)












(59)

Mientras que el común denominador es:
∆(s) =












ms −
∂X
∂u
−

∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s

−

∂X
∂q
− mw0

s + mg cos θ0
−
∂Z
∂u

m −
∂Z
∂ẇ

s −
∂Z
∂w
−

∂Z
∂q
+ mu0

s + mg sin θ0
−
∂M
∂u
−

∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s

Iyys2
−
∂M
∂q
s












(60)

El denominador, dado por la ec.(60), puede ser factorizado en dos pares de
polinomios que contienen a su vez un par de raíces cada uno. A estas raices
o soluciones se les conoce como polos. Cada polinomio describe un modo de
estabilidad longitudinal. Los factores que aparecen en cada ecuación se pue-
den escribir mediante s2
+ 2ξωns + ω2
n = 0, lo cual representa el polinomio
característico que describe un movimiento armónico amortiguado. La estabi-
lidad de cada modo está determinada por la relación de amortiguamiento ξ
y de la frecuencia natural ωn.
El modo de oscilación más bajo se conoce como modo fugoide mientras que
el modo de oscilación de frecuencia más alta se conoce como oscilación de
cabeceo de periodo corto. Para que la aeronave sea dinámicamente estable
completamente, ambas relaciones de amortiguamiento de ambos polinomios
deber tener parte real negativa.












ms −
∂Y
∂v

−
∂Y
∂p
+ mw0

s − mg cos θ0 −

∂Y
∂r
− mu0

s
−
∂L
∂v
Ixxs2
−
∂L
∂p
s −Ixzs2
−
∂L
∂r
s
−
∂N
∂v
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s Izzs2
−
∂N
∂r
s























∆V (s)
∆Φ(s)
∆Ψ(s)












=











∂Y
∂δa
∂Y
∂δr
∂L
∂δa
∂L
∂δr
∂N
∂δa
∂N
∂δr




















∆δa(s)
∆δr(s)









(61)

Manteniendo un mando jo a n de aplicar el concepto de función de trans-
ferencia, en este caso el mando del timón, es decir ∆δr = 0, se tiene que:











ms −
∂Y
∂v
−

∂Y
∂p
+ mw0


∂Y
∂r
− mu0

s
−
∂L
∂v
Ixxs2
−
∂L
∂p
s −Ixzs2
−
∂L
∂r
s
−
∂N
∂v
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s Izzs2
−
∂N
∂r
s
























∆V (s)
∆δa(s)
∆Φ(s)
∆δa(s)
∆Ψ(s)
∆δa(s)













=
(62)

∆V (s)
∆δa(s)
=
Nv
δa
∆(s)
,
∆P(s)
∆δa(s)
=
Np
δa
∆(s)
= s
Nφ
δa
∆(s)
y
∆R(s)
∆δa(s)
=
Nr
δa
∆(s)
= s
Nψ
δa
∆(s)
(63)

dado que: φ̇(t) = p(t) de donde resulta que s Φ(s) = P(s) y ψ̇(t) = r(t), por
tanto, s Ψ(s) = R(s)
Así, los polinomios del numerador de las relaciones dadas por (63) están
dados por:
Nv
δa
(s) =











∂Y
∂δa
−

∂V
∂p
+ mw0


∂Y
∂r
− mu0

s
∂L
∂δa
Ixxs2
−
∂L
∂p
s −Ixzs2
−
∂L
∂r
s
∂N
∂δa
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s Izzs2
−
∂N
∂r
s











(64)

Nφ
δa
(s) =











ms −
∂Y
∂v
∂Y
∂δa
−

∂Y
∂r
− mu0

s
−
∂L
∂v
∂L
∂δa
−Ixzs2
−
∂L
∂r
s
−
∂N
∂v
∂N
∂δa
Izzs2
−
∂N
∂r
s











(65)
Nψ
δa
(s) =











ms −
∂Y
∂v
−

∂Y
∂p
+ mw0

s − mg cos θ0
∂Y
∂δa
−
∂L
∂v
Ixxs2
−
∂L
∂p
s
∂L
∂δa
−
∂N
∂v
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s
∂N
∂δa











(66)

Mientras que el común denominador es:
∆(s) =











ms −
∂Y
∂v
−

∂Y
∂p
+ mw0


∂Y
∂r
− mu0

s
−
∂L
∂v
Ixxs2
−
∂L
∂p
s −Ixzs2
−
∂L
∂r
s
−
∂N
∂v
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s Izzs2
−
∂N
∂r
s











(67)

En aviones convencionales, a partir de la cuártica de estabilidad para la
dinámica lateral-direccional se obtienen los siguientes valores propios:
1 Modo espiral: Real, de módulo muy pequeño, puede ser positivo o
negativo.
2 Modo de convergencia en alabeo: Real, de módulo muy grande.
3 Modo de balanceo holandés: Par de raíces complejas conjugadas,
con parte real negativa y de módulo pequeño.

Ejercicio por espacio de estados
Determine el modo espiral, de convergencia de alabeo, así como el de
balanceo holandés para la aeronave Lockheed C-5A que vuela a 0.6 Mach a
una altitud de 20000 pies en vuelo recto y nivelado, cuyas derivadas de
estabilidad y control son:
yv = −0.106/s lv = −0.007 /m s nv = 0.0023 /m s
yp = 0 lp = −0.988 /s np = −0.0921 /s
yr = −189.586 m/s lr = 0.282 /s nr = −0.203 /s
yφ = 9.8073 m/s2
lφ = 0 nφ = 0
yψ = 0.3768 m/s2
lψ = 0 nψ = 0
yδa = −0.0178 m/s2
lδa = 0.434 /s2
nδa = 0.0343 /s2
yδr = 3.3936 m/s2
lδr = 0.187/s2
nδr = −0.522 /s2

Ejercicio
a) Determinar el modelo longitudinal de la aeronave siguiente en el
sistema cuerpo.
b) Una vez obtenido el modelo, linealizarlo.
c) Obtenga su respuesta natural, así como sus frecuencias naturales y
relaciones de amortiguamiento para los modos de oscilación.
d) Determine si la aeronave es estable.

Los datos de la aeronave son:
S = 0.85m2
c̄ = 0.36m ρ = 0.9667 kg/m3
Iyy = 6.076 Kg − m2
m = 4 kg η = −2o
xR = 0.01m zH = 0.08m k = 1.4
Con:
CL = 0.1419 + 5.29α + 0.1713δe + 4.34
q c̄
2V

CD = 0.02881 + 0.06478α + 0.00497δe + 1.39α2
CM = 0.06644 − 1.198α − 1.032δe − 6.37
qc̄
2V


Bibliografía I
[1] Michael V Cook.
Flight dynamics principles: a linear systems approach to aircraft
stability and control.
Butterworth-Heinemann, 2012.
[2] Hassan K Khalil and Jessy W Grizzle.
Nonlinear systems, volume 3.
Prentice hall Upper Saddle River, NJ, 2002.
[3] Katsuhiko Ogata.
Modern control engineering.
Prentice hall, 2010.

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