Matemática financiera _ Anualidades _ Oflores

1. 4
ANUALIDADES
GENNYS AZAEL LORENZO
Matemático. Magister en Economía. Especialidad en
Econometría. Especialidad en Técnicas Actuariales. MBA en
Administración y Dirección de Empresas. MBA en Alta Dirección.
Mas de 10 años de experiencia en el área actuarial.

2. lujos de
F
P
U niformes
agos
=
ANUALIDAD

3. ES UNA SUCESIÓN DE
PAGOS (FLUJOS DE
EFECTIVO) DE UNA
CANTIDAD FIJA A
INTERVALOS IGUALES DE
TIEMPO.
ANUALIDAD

4. • Intervalo de pago: Es el tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de la anualidad.
• Plazo de la anualidad: es el tiempo contado desde el principio del primer intervalo de
pago hasta el final del ultimo intervalo de pago.
• Renta anual: La suma de todos los pagos hechos en un año.
• Anualidad cierta: es una anualidad en la cual los pagos inician y terminan en fechas
fijas. Una serie predeterminada de pagos periódicos forma una anualidad cierta.
• Anualidad contingente: es aquella en la cual el plazo depende de algún suceso cuya
realización no puede fijarse. Los pagos periódicos de primas en el seguro de vida
terminan al ocurrir la muerte del asegurado.
• Anualidad cierta ordinaria: es aquella en la cual los pagos son efectuados al final de
cada intervalo de pago, es decir, que el primer pago se realiza al final del primer
intervalo de pago y así sucesivamente.
ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS

5. Pago Pago Pago Pago
1 2 3 n
Período de pago
Plazo de la anualidad
Renta
Renta anual: suma de pagos efectuados en un año
ILUSTRACION CONCEPTUAL:

6. • RENTA MENSUAL DE UNA CASA
• CUOTA FIJA MENSUAL DE TELÉFONO
• CUOTA MENSUAL DE LA UNIVERSIDAD
• CUOTA MENSUAL DEL SERVICIO DE CABLE O NETFLIX
• CUOTA SEMANAL DE UNA COOPERATIVA
• DEPÓSITOS MENSUALES AL FONDO DE JUBILACIÓN
EJEMPLOS DE ANUALIDADES:

7. CLASIFICACIÓN
DE LAS
ANUALIDADES

8. Tipo de anualidad Definición
CIERTA Se conocen las fechas de inicio y fin
del plazo de los pagos
ANTICIPADA Los pagos se hacen al inicio de cada
periodo
ORDINARIA O
VENCIDA
Los pagos se hacen al final de cada
periodo
SIMPLES El intervalo de pago y el periodo de
pagos de interés coinciden
GENERAL Los intervalos y los periodos de
capitalización de los intereses no son
iguales

9. ANUALIDADES SIMPLES
ANUALIDADES GENERALES

10. ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
Mi esposa
compró una
lavadora
automática de
7.5 kilos y
empezaremos
a pagarla hasta
dentro de un
mes.
¡Te felicito!,
nosotros nos
cambiaremos de
casa y por suerte
no nos pidieron 3
meses de
anticipo, sino
solamente el
mes anticipado.

11. ANUALIDAD INMEDIATA
ANUALIDAD DIFERIDA
En Anthony la línea
blanca estaba en
descuento, pero los
pagos empiezan
seguido.
Suerte que en la
SIRENA estaba la
ropa en descuento y
empieza a pagar
hasta dentro de n
meses.

12. Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
EJEMPLOS GRAFICOS DE ANUALIDADES:

13. Anualidad de 5 periodos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10
Anualidad diferida
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10
EJEMPLOS GRAFICOS DE ANUALIDADES:

14. Anualidad perpetua
0 1 2 3 4 5
10 10 10 10 10
Anualidad perpetua diferida
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 10 10 10
EJEMPLOS GRAFICOS DE ANUALIDADES:

15. Calcular el monto de una inversión
cuando se hacen depósitos
periódicos de una misma cantidad.
Si tomamos prestado $160,000 para
remodelación, ¿cuánto me descontarán
a la quincena?
Calcular el pago periódico de una deuda.
EL CONOCIMIENTO DE LAS ANUALIDADES PERMITIRÁ…

16. R/ = F Renta o Pago periódico
i = j/m Tasa de interés por período
n = Número de pagos
S = VF Monto de la anualidad
A = VP Valor actual o valor
presente de la anualidad
VARIABLES QUE SE UTILIZARÁN:

17. Considere un flujo
(R) (anualidad)
por MONTOS
IGUALES que se
paga AL FINAL
DE TODOS LOS
AÑOS por un
período de tiempo
n a una tasa i
0 1 2 3 n-1 n
R1 R1 R1 R1 R1
Año:
Flujos
Actualizados:
R1
(1+i)
R1
(1+i)2
R1
(1+i)3
R1
(1+i)n-1
R1
(1+i)n
VALOR ACTUAL

18. El Valor Actual de esa
anualidad (F1) que implica
la suma de todos esos flujos
ACTUALIZADOS AL
MOMENTO 0 se define
como:







 n
i
R
i
R
i
R
VA
)
1
(
1
*
1
...
)
1
(
1
*
1
)
1
(
1
*
1 2
0 1 2 3 n-1 n
R1 R1 R1 R1 R1
Año:
Flujos
Actualizados:
R1
(1+i)
R1
(1+i)2
R1
(1+i)3
R1
(1+i)n-1
R1
(1+i)n
𝑨 = 𝑹
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
VALOR ACTUAL

19. Suponga que usted pagó cuotas mensuales de RD$250,000 por la
compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1%
mensual. ¿Cuál fue el valor del préstamo?
Datos: R=250,000; i=1%=0.01; n=24 meses
VALOR ACTUAL
𝑨 = 𝑹
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
= 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏)−𝟐𝟒
𝟎. 𝟎𝟏
= 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟏 − (𝟏. 𝟎𝟏)−𝟐𝟒
𝟎. 𝟎𝟏
= 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟏 − 𝟎. 𝟕𝟖𝟕𝟓
𝟎. 𝟎𝟏
= 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟎. 𝟐𝟏𝟐𝟓
𝟎. 𝟎𝟏
= 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟏. 𝟐𝟓𝟎 = 𝟓, 𝟑𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎

20. Una fábrica de Hilos está en apuros financieros con sus proveedores, por
lo que decide realizar un préstamo a una institución financiera y conviene
con el gerente del banco en saldar la deuda mediante pagos de $1,500 al
final de cada mes durante un año. Si el banco carga una tasa de interés
del 18% con capitalización mensual, ¿cuánto prestó a la fábrica?
Datos: R=1500; J=18%---i=J/12=18/12; n=12
26
.
361
,
16
12
18
.
0
12
18
.
0
1
1
1500
12























P
VALOR ACTUAL
P= 1500
1− 1+0.015 −12
0.015
=
1500
1− 1.015 −12
0.015
= 1500
1−0.8364
0.015
=
1500
0.1636
0.015
= 1500 10.9067 =
𝟏𝟔, 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟓

21. Una pareja de recién casados desea rentar una casa con pago mensual
de $1,450. Pero como tienen algo de dinero ahorrado y no desean
tener cada mes el pendiente de la renta, entonces convienen con el
dueño en pagar por adelantado los 12 meses del año. Si se aplica un
interés del 9.5% capitalizable mensualmente, ¿cuál es el valor de los 12
pagos actuales?
66
.
667
,
16
450
,
1
12
095
.
12
095
.
1
1
450
,
1
11
























P
VALOR ACTUAL

22. ¿Qué cantidad hay que depositar hoy para poder efectuar retiros
trimestrales de $500 a partir de los 9 meses de la inversión, el número
de retiros será de 6 y la tasa de inversión es del 12% capitalizable
trimestralmente?
11
.
553
,
2
4
12
.
0
1
4
12
.
0
4
12
.
0
1
1
500
2
6






























P
VALOR ACTUAL

23.         1
2
2
1
1
...
1
1












n
n
i
R
i
R
i
R
i
R
R
VF
Punto de
acumulación
El Valor Futuro de una
anualidad (F1) que
implica la suma de
TODOS LOS FLUJOS
LLEVADOS AL
PERIODO N y se define
como:
𝑺 = 𝑹
(𝟏 + 𝒊)𝒏
−𝟏
𝒊
VALOR FUTURO
𝑨 = 𝑹
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊

24. Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la AFP
será de RD$20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad
mensual de 0,5%. ¿Cuál será el monto que tendrá su fondo al
momento de jubilar?
Datos: R=20,000; t=30 años; n=t*12=30*12=360 meses; i=0.5%
VALOR FUTURO
𝑺 = 𝑹
(𝟏 + 𝒊)𝒏
−𝟏
𝒊
= 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 𝟑𝟔𝟎
− 𝟏
𝟎. 𝟎𝟎𝟓
= 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟏. 𝟎𝟎𝟓 𝟑𝟔𝟎
− 𝟏
𝟎. 𝟎𝟎𝟓
= 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟔. 𝟎𝟐𝟐𝟔 − 𝟏
𝟎. 𝟎𝟎𝟓
= 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟓. 𝟎𝟐𝟐𝟔
𝟎. 𝟎𝟎𝟓
= 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟏, 𝟎𝟎𝟒. 𝟓𝟏𝟓𝟎 = 𝟐𝟎, 𝟎𝟗𝟎, 𝟑𝟎𝟎. 𝟖𝟓

25. El señor Juan hace depósitos de $100 al final de cada mes durante un año
en una cuenta de inversiones que paga el 13% capitalizable
mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado al término del año?
Datos: R=100; n=12 meses; J=13%; i=J/12=13%/12
15
.
274
,
1
12
13
.
0
1
12
13
.
0
1
100
12






















VF
VALOR FUTURO

26. Un señor hace depósitos de $ 100 al final de cada mes durante un año en
una cuenta a plazo fijo que paga el 13% capitalizable mensualmente.
¿Cuál será el monto acumulado al término del año, pero sin incluir el
último depósito (12vo. pago)?
15
.
174
,
1
12
13
.
0
1
12
13
.
0
1
12
13
.
0
1
100
11





























VF
VALOR FUTURO

27. 15
.
174
,
1
100
12
13
.
0
1
12
13
.
0
1
100
12























VF
Se hace la suposición de que son 12 pagos, por lo que se calcula el
valor acumulado de los 12 pagos. A la cantidad obtenida se le resta
el pago número 12.
VALOR FUTURO: OTRA FORMA

28. Fernando desea que su hijo pueda disponer de cierta cantidad de dinero
dentro de dos años y para ello va a efectuar depósitos de $150 al final de
cada mes en una cuenta de inversiones que paga el 2% mensual. Si
efectúa depósitos solamente durante el primer año, ¿cuál será el monto
acumulado a los dos años?
    47
.
551
,
2
02
.
0
1
02
.
0
1
02
.
0
1
150
12
12







 


VF
VALOR FUTURO

29. Se deposita al final de cada tres meses y durante 2 años la cantidad
de $350 con una tasa de interés del 13% con capitalización trimestral
en el primer año, y durante el segundo año la tasa cambia al 13.5%,
¿cuál será el monto de las inversión al final del plazo?

















































4
135
.
0
1
4
135
.
0
1
350
4
135
.
0
1
4
135
.
0
1
4
135
.
0
1
350
4
4
4
VF VF = 3,150.91
VALOR FUTURO

30. Suponga usted comprará una casa que vale hoy RD$20,000,000 y
solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180
meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual. ¿Cuál deberá ser el
valor del dividendo mensual ?
Si:
Entonces:
Así: 771
.
168
)
005
,
1
(
1
005
,
0
*
000
.
000
.
20 180


 
R
𝑹 = 𝑨
𝒊
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝑨 = 𝑹
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
𝑺 = 𝑹
(𝟏 + 𝒊)𝒏
−𝟏
𝒊
Si: Entonces: 𝑹 = 𝑺
𝒊
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
RENTA

31. Suponga usted comprará una casa por lo que pagará un total de
RD$20,000,000 y solicita al banco un crédito, cuya renta será de
168,771. La tasa de interés es de 0.5% mensual. ¿Cuál será el numero
de periodos?
Datos: S=20,000,000; R=168,771; i=0.5%;
n =
Log iS + R − Log R
Log(1 + i)
=
Log 0.005 ∗ 20,000,000 + 168,771 − Log (168,771)
Log(1 + 0.005)
=
Log 268,771 − Log (168,771)
Log(1.005)
= 𝟗𝟑. 𝟑𝟎
PLAZO O TIEMPO

32. Una perpetuidad es una
anualidad cuyo pago se inicia
en una fecha fija y continua
para siempre. Considérese un
flujo (R o anualidad) por
valores iguales que se paga a
perpetuidad, la cual
corresponde a un periodo de
tiempo lo suficientemente
grande para considerar los
flujos finales como poco
relevantes dado que al
descontarlos al año 0 son
insignificantes.
Valor presente o actual (A):
La anualidad o renta (R):
La tasa de interés (i):
𝑹 = 𝑨𝒊
𝒊 =
𝑹
𝑨
𝑨 =
𝑹
𝒊
PERPETUIDAD

33. Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá
una renta vitalicia de RD$50.000 mensuales hasta que muera. La tasa de interés
relevante es de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una “larga
vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100
años). ¿Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener para poder
cubrir dicha obligación?
En rigor, usando la fórmula de valor actual de
una anualidad (no perpetua) se tendría:
Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858
Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803
Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231
Todos muy cercanos a $5 millones
PERPETUIDAD
𝑨 =
R
i
=
50,000
0.01
= 𝟓, 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎

34. Una empresa espera pagar 25,000 cada 6 meses, indefinidamente,
como dividendo de las acciones preferentes. Si el rendimiento es de
6% convertible semestralmente, ¿Cuánto debería estar dispuesto a
pagar un potencial comprador por cada acción?
Datos: R = 25,000; j=6%; i=j/2=6%/2=3% = 0.03
PERPETUIDAD
𝑨 =
R
i
=
R
1 + 𝑖 𝑘 − 1
=
25,000
1 + 0.03 2 − 1
= 𝟒𝟏𝟎, 𝟓𝟎𝟗. 𝟎𝟑

35. Hallar el valor presente de una perpetuidad de 780 pagaderos al final de cada año, suponiendo un
interés de: a) 6% efectivo, b) 6% convertible semestralmente, c) 6% convertible trimestralmente.
a) Datos: A=? R = 780; i=6%=0.06
b) Datos: A=? R = 780; J=6% i=J/2=6%/2=0.03
c) Datos: A=? R = 780; J=6% i=J/4=6%/4=0.015
PERPETUIDAD
𝑨 =
R
i
=
780
0.06
= 𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎
𝑨 =
R
i
=
R
1 + 𝑖 𝑘 − 1
=
780
1 + 0.03 2 − 1
= 𝟏𝟐, 𝟖𝟎𝟕. 𝟖𝟖
𝑨 =
R
i
=
R
1 + 𝑖 𝑘 − 1
=
780
1 + 0.015 4 − 1
= 𝟏𝟐, 𝟕𝟏𝟏. 𝟏𝟑

36. Hallar el pago semestral de una perpetuidad cuyo valor presente es
36,000 suponiendo un interés de 4% convertible semestralmente.
Datos: R = ? A = 36,000 J=4% i=J/2=4%/2=0.02
Datos: R = ? A = 36,000 J=6% i=J/2=6/2=0.03
PERPETUIDAD
Como 𝐴 =
R
i
entonces 𝐑 = 𝐀𝐢 = 36,000 0.02 = 𝟕𝟐𝟎. 𝟎𝟎

37. ORGANIZACIÓN DE TAREAS
Unidad CONTENIDO RECURSOS TAREAS
4. Anualidades Concepto. Clasificación.
Cálculo del monto, valor
actual, pago periódico,
plazo y tasa de interés de
las anualidades ordinarias,
diferidas y perpetuas.
Anualidades generales.
Cálculo de valores.
Ejercicios y problemas de
aplicación.
Presentación unidad 4
matematicas-financieras-
frank-ayres-schaum
Estudiar pag. 80 a 92
Realizar los ejercicios del pag. 86-87
del 11 al 27 y de pag. 93 del 8 al 17.