Teoria de calculo vectorial.

1. Recta
Representaciónde unsegmentode recta.
En geometríaeuclidiana, la recta o la línea recta se extiende en una misma dirección por
tanto tiene una sola dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está
compuesta de infinitos segmentos. Dicha recta también se puede describir como un
sucesión continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, es decir, no
posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados
conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las
características de otros elementos similares. Uno ejemplo de las dificultades de la
definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomia
que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos. Así, es posible elaborar
definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre
los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del
tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es
denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la
recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado
"término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta
corta al eje vertical en el plano.
Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la
recta
Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,1 establece varias definiciones
relacionadas con la línea y la línea recta:
 Una línea esuna longitud sinanchura(LibroI,definición2).
 Los extremosde unalíneasonpuntos(LibroI, definición3).
 Una línea rectaes aquellaque yace porigual respectode lospuntosque estánenella
(LibroI, definición4).

2. Características de la recta La recta se prolonga
indefinidamente en ambos sentidos.
 En geometríaeuclidiana,ladistanciamáscorta entre dospuntoses la línearecta.
 La rectapuede definirse comoel conjuntode puntossituadosalolargo de la intersección
de dos planos.
Semirrecta
Haz de rayos.
Se le llama semirrectanota 1 a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al
ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los
puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir
del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.
Semirrecta opuesta
La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define
la primera.56
 Cada semirrectasolotiene unasemirectaopuesta.
 Una semirrectay susemirrectaopuestatienenel mismoorigen.

3. Ecuación de la recta en el plano
Tres líneasrectas — Las líneasrojay azul poseenlamismapendiente(m) que eneste ejemploes
½, mientrasque laslíneasrojay verde interceptanal eje yenel mismopunto,porloque poseen
idénticovalorde ordenadaal origen(b) que eneste ejemploesel puntox=0,y=1.
En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general
definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien
funciones que especifican dichas coordenadas.
Pendiente y ordenada al origen
Dada una recta mediante un punto, , y una pendiente :
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación
punto-pendiente):
Donde es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisasX.

4. Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene una pendiente de
:
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b),
podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, :
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la
pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos .
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica
Recta que corta el eje ordenado en y la abscisa en .
.
Ecuación general de la recta
Es la expresión Ax + By + C = 0,10 -A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada
en el origen en el caso de B diferente de cero. Datos suficientes para representar cualquier
recta en el plano cartesiano XOY.
Ecuación normal de la recta (primera forma)

5. La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse):
Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega
ω es el ángulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de ordenadas.11
Si en lugar del ángulo de la normal ω se emplea el ángulo de la recta α, entre la recta y el
eje de las ordenadas:
Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo alfa α
es el ángulo entre la recta y la parte positiva del eje de ordenadas, cuya tangente expresa el
valor de la pendiente de la recta.
Ecuación normal de la recta (segunda forma)
Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.
Rectas que pasan por un punto
Rectasque pasanpor el punto:(2,4).

6. Para determinar las rectas del plano que pasan por el punto se usa la
ecuación
Dondemtomacualquiervalorreal.
Recta que pasa por dos puntos
Si pasa por dos puntos y , la ecuación de la recta puede expresarse como:
Rectas notables
Rectasperpendiculares.
 La ecuaciónde unarecta vertical responde alaecuacióngeneral (constante).
 La ecuaciónde unarecta horizontal responde alaecuacióngeneral (constante).
 Una recta trigonoidal que pase porel origenO (0, 0), cumplirálacondición b = 0, siendosu
ecuación: .
 Recta secante
 Recta tangente
 Dos rectascualesquiera:

7. seránparalelassi ysolosi .Además,seráncoincidentescuando:
seránperpendiculares si ysolosi ,es decir:
Rectas en el plano como espacio vectorial y afín
Mediante dos puntos del plano afín[
Dado dos puntos en el plano, P y Q, sobre una recta, se puede describir cada punto de ésta
es decir toda la recta mediante la ecuación:
donde puedetomarcualquiervalor.
Ejemplo
Dados y , entonces la recta son los puntos tales que
y .
Mediante un punto y un vector
Dado un punto y un vector en el plano, Py , queda totalmente definida una recta mediante
la ecuación:
Donde puede tomarcualquiervalor.
Ejemplo
Dados y (llamado vector director), entonces la recta son los
puntos tales que y .
Rectas notablesLa ecuación de una recta vertical poseería un vector director del tipo
.
 La ecuaciónde unarecta horizontal poseeríaunvectordirectordel tipo .
 Una recta por el origen,esunarecta que pasa por el origende coordenadascon
.
 Dadas dosrectas cualesquiera

8. seránparalelassi ysolosi .
seránperpendiculares si ysolosi y son perpendiculares,esdecirsuproductoescalar
escero.
Rectas como producto escalar
Toda recta ya sea de forma implícita, explicita o vectorial se puede expresar como producto
escalar de vectores:
es decir, renombrando las constantes:
 Si por tanto el vector esperpendicularalarecta
y a sus vectoresdirectores,yportantoa todas susparalelas.
Ecuación de la recta en el espacio
Recta determinada mediante un sistema de ecuaciones

9. Sistemade 2 ecuacionesy3 variables.
Recta en el espacio usando un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas:
 Esta ecuaciónequivaleala intersecciónde dos planos enel espacio.
Recta determinada mediante vectores
Recta en el espacio usando un punto, , y un vector, :
 Al vector se le llamavectordirector.
Posiciones relativas entre rectasDos rectas serán paralelas si tiene vectores directores
paralelos.
 Dos rectas serán coincidentessi compartenal menosdospuntosdiferentes.
 Dos rectasse intersecan si nosonparalelasytienenunpuntoencomún.
 Dos rectasserán coplanarias5
si estáncontenidasenalgúnplano.
o Dos rectasson coplanariassi y solosi o biensoncoincidentesobiense intersecan
o biensonparalelas.
 Dos rectasse cruzan notasi no sonparalelasni tienenpuntoscomunes.

10. Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el
sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y
emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

11. Distancia de un punto a una recta
En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta
entre ese punto y un punto de una línea o recta.
Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.
Para una recta D definida por su ecuación reducida y siendo A un punto de
la forma
Obsérvese que
Demostración
La distancia mínima se ubica en la proyección ortogonal del punto M sobre D, es decir el
punto M' de la recta D tal que (MM') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro

12. punto cualquiera B de D, entonces en el triángulo rectángulo MM'B, la hipotenusa MB es
más larga que el cateto MM'. Geométricamente, se construye el punto proyectado M'
deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto M;
luego se mide la longitud MM'.
El puntoM se proyectacomo M' sobre la rectaD.
Para calcular esta distancia, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortogonales -
en la figura. La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por
su ecuación cartesiana y sus coordenadas respectivamente: ;
y
Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una
familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular
podemos tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma
, que puede simplificarse a
Busquemos un vector normal a (es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir
que el producto escalar , y resulta ser (de ahí el interés de la
ecuación cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado
que define una medida algebraica sobre la recta (M'M):
La distancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica:

13. Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se
simplifica así:
En conclusión: La distancia entre M y (D) es:
Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma del
vector y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.
 En el caso que la recta seadada por el ángulo(θ) que hace con el eje de lasabscisasy su
ordenadaal origen(b),lafórmulase simplifica:
D: y = (tanθ) ·x + b se pone enforma cartesiana:(sinθ)·x - (cosθ)·y+ b·cos θ = 0, luego,
sabiendoque el vector esunitario:
Ejemplo:laprimeradiagonal del sistemade referenciacorrespondeaun ángulo y
b = 0. Como , se obtiene:
 En el caso de unarecta definidaporsuecuaciónreducida y= a·x + b; la ecuación
cartesianaesa·x - y + b = 0 y la distanciaa ellaes:
Ejemplo:Tomandoa= 1 y b = 0, se obtiene de nuevoel resultadodel ejemploanterior.

14. Se calcula de la misma manera la distancia de un punto y un plano en el espacio
tridimensional: Si la ecuación del plano es ; y el
punto es , entonces:
Lo anterior se generaliza a los espacios de dimensión finita n, y la distancia entre un punto
y un hiperplano (subespacio de dimensión n-1), añadiendo cuantas variables hagan falta.
Vectorial
En un espacio vectorial ortonormal, si la recta (d ) pasa por B y tiene como vector director
, la distancia entre el punto A y la recta (d) es
donde es el producto vectorial de los vectores y y es la norma del
vector .

15. Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de
ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que
satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación
lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
 5 Enlacesexternos
Introducción
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma
normal como:

16. Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del
sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con
coeficientes con notación matricial:
(1)
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector
columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de
sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama
matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos
independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.
Sistemas lineales reales
En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el
cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son
números reales.
Representación gráfica

17. La intersecciónde dos planos que nosonparaleloscoincidentesesuna recta.
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La
solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las
ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las
líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo
cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto,
las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de
todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán
las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos
problemas no se enfocan desde esta óptica.
Tipos de sistemas lineales
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden
presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
 Sistemacompatible si tiene solución,eneste casoademás puede distinguirseentre:
o Sistemacompatible determinado cuandotiene unaúnicasolución.
o Sistemacompatible indeterminado cuandoadmite unconjuntoinfinitode
soluciones.
 Sistemaincompatible si no tiene solución.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que
se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un
conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas
compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de
una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de

18. vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el
determinante de la matriz es diferente de cero:
Algoritmopara determinarsi un sistema escompatible
Podemos averiguar si un sistema es o no compatible mediante el Teorema de Rouché-
Frobenius que establece que un sistema de ecuaciones lineales es compatible sólo si el
rango de su matriz ampliada coincide con el de su matriz de coeficientes. Supongamos que
el sistema es compatible. Si el valor común de los rangos de las matrices coincide con el
número de variables, el sistema es compatible determinado; en caso contrario, es
compatible indeterminado.
Sistemascompatiblesindeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número
infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es
y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos
de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas,
pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
 En este tipode sistemas,lasolucióngenéricaconsiste enexpresarunao más variables
como funciónmatemáticadel resto.Enlossistemaslinealescompatiblesindeterminados,
al menosunade sus ecuacionesse puede hallarcomocombinaciónlineal delresto,es
decir,eslinealmentedependiente.
 La condiciónnecesariaparaque un sistemaseacompatible indeterminadoesque el
determinantede lamatrizdel sistemaseaceroal igual que el rango de la matrizampliada
y menoral númerode incógnitas(yportantounode sus autovalores será0):
 De hecho,de lasdos condicionesanterioresse desprende,que el conjuntode soluciones
de un sistemacompatible indeterminadoesun subespaciovectorial.Yladimensiónde ese
espaciovectorial coincidiráconlamultiplicidadgeométricadel autovalorcero.
Sistemasincompatibles

19. De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por
ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma
pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor
que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del
sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto
suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:
Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales
Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en
otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su
valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese
instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el
que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que
queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que
posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente
ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para
así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

20. Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo
que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se
igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que
podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones
originales, y se obtiene el valor de la .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar
x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los
casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para
sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones
(generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que
una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se
suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita,
obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es
simple.
Por ejemplo, en el sistema:

21. No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la
incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación
donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la
incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera
de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de si
sustituimos en la primera ecuación es igual a:
Métodográfico[editar]
Rectasque pasanpor el punto:(2,4)
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método
(manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un
espacio de dimensión.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despejalaincógnitaenambasecuaciones.

22. 2. Se construye para cada una de las dosecuacionesde primergradoobteniendolatablade
valorescorrespondientes.
3. Se representangráficamente ambasrectasenlosejescoordenados.
4. En este últimopasohaytres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, lascoordenadasdel puntode corte son losúnicos
valoresde lasincógnitas(x,y)."Sistemacompatible determinado".
2. Si ambas rectas soncoincidentes,el sistematieneinfinitassolucionesque sonlas
respectivascoordenadasde todoslospuntosde esarectaenla que coinciden
ambas.«Sistemacompatibleindeterminado».
3. Si ambas rectas sonparalelas,el sistemanotiene soluciónenlosrealesperosi en
loscomplejos.
Métodode Gauss
El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir
un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera
ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última
ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir
subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.
Eliminación de Gauss-Jordan
Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-Jordan, es un método
aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la
matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener
ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma
fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de
manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.
Regla de Cramer
La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de
determinantes y adjuntos dada por:
Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector
columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

23. La regla de Cramer da la siguiente solución:
Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica
múltiples o sin coincidencia.
Algoritmosnuméricos
La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo numérico usado para una gran cantidad de
casos específicos, aunque posteriormente se han desarrollado algoritmos alternativos
mucho más eficientes. La mayoría de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad
computacional de O(n²) (donde n es el número de ecuaciones del sistema). Algunos de los
métodos más usados son:
 Para losproblemasde laforma Ax = b,donde A esuna matrizde Toeplitz simétrica,se
puede utilizarlarecursiónde Levinson oalgunode losmétodosderivadosde este.Un
métododerivadode larecursiónde Levinsonesla recursiónde Schur,que es
ampliamenteusadoenel campodel procesamientodigitalde señales.
 Para losproblemasde laforma Ax = b,donde A esuna matrizsingularocasi singular,la
matrizA se descompone enel productode tresmatricesenun procesollamado
descomposiciónenvalores singulares.
Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son números racionales, reales
o complejos o más generalmente un cuerpo , la solución puede encontrarse mediante
Regla de Cramer. Para sistemas de muchas ecuaciones la regla de Cramer puede ser
computacionalmente más costosa y suelen usarse otros métodos más "económicos" en
número de operaciones como la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición de
Cholesky. Existen también métodos indirectos (basados en iteraciones) como el método de
Gauss-Seidel.
Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo
puede darse una de las tres siguientes situaciones:
 el sistemanotiene solución(endichocasose dice que el sistemaestásobredeterminado
o que esincompatible)
 el sistematiene unaúnicasolución(elsistemaescompatibledeterminado)

24.  el sistematiene unnúmero infinitode soluciones(el sistemaescompatible
indeterminado).