Método para sacar raíces racionales de polinomios.

1. M A T E M Á T I C A S I V B L O Q UE 4
RAÍCES RACIONALES DE
FUNCIONES POLINÓMICAS
Mtra. Norma Toledo García

2. TEOREMA DE LAS RAÍCES RACIONALES
Si 𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 es un polinomio
cuyos coeficientes son enteros y tiene raíces racionales
𝑝
𝑞
entonces 𝑝 es divisor de 𝑎0 y 𝑞 es divisor de 𝑎 𝑛
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 15𝑥2 + 27𝑥 − 10 los divisores de
𝑝: ±1, ±2, ±5, ±10 𝑞: ±1, ±2
Entonces:
𝑝
𝑞
= ±
1
2
, ±1, ±2,
5
2
, ±5, ±10
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3. BÚSQUEDA DE RAÍCES RACIONALES
• Verificar raíces
𝑝
𝑞
de 𝑓 𝑥 = 2𝑥3
− 15𝑥2
+ 27𝑥 − 10
−
1
2
2 − 15 27 − 10
1
2
2 − 15 27 − 10
−1 + 8 −
35
2
1 − 7 10
2 − 16 35 ≠ 0 2 − 14 20 0
Por lo tanto:
−
1
2
no es raíz de 𝑓(𝑥)
1
2
es raíz y 𝑥 −
1
2
es factor
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4. BÚSQUEDA DE RAÍCES RACIONALES
• Por lo tanto 𝑓 𝑥 = 𝑥 −
1
2
(2𝑥2 − 14𝑥 + 20)
Se factoriza el polinomio cuadrático
• 𝑓 𝑥 = 𝑥 −
1
2
(2𝑥 − 4)(𝑥 − 5)
• Las raíces son: 𝑟1 =
1
2
, 𝑟2 = 2, 𝑟3 = 5
• Las tres raíces son racionales
𝑝
𝑞
= ±
1
2
, ±1, ±2,
5
2
, ±5, ±10
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6. REGLA DE DESCARTES
Si 𝑃(𝑥) es un polinomio y 𝑎0 ≠ 0
1) El número de raíces positivas de 𝑃 𝑥 es igual al
número de variaciones de signo de 𝑃 𝑥 o igual
a un número disminuido en un número par.
2) El número de raíces negativas de 𝑃 𝑥 es igual al
número de variaciones de signo de 𝑃 −𝑥 o
igual a un número disminuido en un número par.
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7. APLICACIÓN DE LA REGLA DE
DESCARTES
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 2𝑥4 + 7𝑥3 − 4𝑥2 − 27𝑥 − 18
𝑆𝑜𝑙𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑓 −𝑥 = 2(−𝑥)4
+ 7 −𝑥 3
− 4(−𝑥)2
− 27(−𝑥) − 18
𝑓 −𝑥 = 2𝑥4
− 7𝑥3
− 4𝑥2
+ 27𝑥 − 18
𝑃𝑢𝑒𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑒𝑟 3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑢𝑛𝑎
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8. APLICACIÓN DE LA REGLA DE
DESCARTES
• En conclusión:
Como 𝑓 𝑥 es de 4º grado debe tener 4 raíces que
pueden ser:
 1 raíz positiva y
3 raíces negativas
 1 raíz positiva
1 raíz negativa y
2 raíces complejas
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