Proyectosmatematicos2 eso

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1 Números enteros
ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD...

El año cero
Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo V
y murió a mediados del siglo VI. De origen armenio, fue
abad en un convento de Roma y destacó intelectualmente
en su época, por lo que recibió el encargo, por parte del Papa,
de unificar en el calendario la fecha de celebración de la Pascua
en el mundo cristiano.
Al investigar y fijar las fechas de celebración de las fiestas
de Pascua, que es la festividad más importante de la religión
cristiana, no tomó como referencia la fecha de la fundación
de Roma, sino la del nacimiento de Jesucristo, que él mismo dató
en el año 754 a.u.c. (ab urbe condita) de la fundación de Roma.
Esta fecha y el nacimiento de la era cristiana recibirían
el apoyo definitivo por parte de Carlomagno, más de dos
siglos después, al fechar los documentos oficiales
contabilizando los años desde entonces.
En cuanto a la polémica surgida en torno al año cero,
hay autores que afirman que no existe el año cero
porque, en esa época, en Europa no se tenía conocimiento
del cero. Ciertamente no se conocía el cero a nivel operativo
(como elemento neutro para la suma), pero sí se tenía
constancia de su significado, y así se recoge en escritos
de la época con la palabra latina Nullae, que significa «nada».
Por tanto, lo que realmente no existía no es el cero, como acabamos
de ver, sino los números negativos; de hecho, no se hablará de años
antes de Cristo en el sentido de número negativo hasta el siglo XVII.
Así, en el siglo V, el año anterior al año 1 d.C. no era el año −1,
sino el año 753 a.u.c.
COMPETENCIA LECTORA

El criterio de la ordinalidad de las fechas es plausible
en el sentido de que explica, no solo la inexistencia
del año cero en la era cristiana, sino por qué los árabes
tampoco tienen año cero, aunque en el siglo VIII
ya operaban con el número cero, procedente
de la India, y no sería extraño que lo conocieran
a finales del siglo VII, cuando se instauró
el calendario hegiriano (la Hégira
tuvo lugar en el año 622 d.C.).

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1

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

Pares e impares

RECURSOS PARA EL AULA
La paridad, es decir, el hecho de que un número sea par
(divisible por 2) o impar, aparece en numerosos contextos
de la vida cotidiana.
Uno de ellos es la numeración de las casas en las calles. En una
acera están los números impares, y en la opuesta, los pares.
En la informática tiene también especial relevancia el concepto
de paridad. Los ordenadores trabajan con información
en el sistema binario, es decir, utilizan solo las cifras 1 y 0.
A la hora de guardar la información en la memoria, y para
asegurarse de que lo hacen correctamente, los ordenadores
añaden a cada byte (grupo de 8 bits) el llamado bit de paridad,
que permite comprobar si ese byte es correcto o no.
Si el ordenador usa un método de paridad par, añade un 1
al byte cuando este tiene un número impar de cifras 1.
En otro caso, añade un 0. En el método de paridad impar
funciona al revés: se añade un 1 al byte, si este tiene un número
par de cifras 1, y un 0 en caso contrario. Observa los ejemplos:
Método de paridad par: 11100010 Bit añadido: 0 (hay 4 cifras 1)
10001111 Bit añadido: 1 (hay 5 cifras 1)
Método de paridad impar: 11100010 Bit añadido: 1 (hay 4 cifras 1)
10001111 Bit añadido: 0 (hay 5 cifras 1)
Otro contexto en el que aparece la noción de paridad es en los juegos. Así, por ejemplo, en la ruleta
se puede apostar a que la bola caiga en Par o en Impar.
También existe un juego con monedas llamado «Par o impar». El número de jugadores en este juego suele
ser de dos, cuatro o seis. Cada jugador coge un número de monedas. Por turno cada uno elige «par» o «impar»,
indicando la paridad del número total de monedas que ambos jugadores van a sacar. A una señal,
los jugadores muestran las monedas que guardan en su mano y se anota un punto el jugador que
haya acertado.

Tales de Mileto COMPETENCIA LECTORA

Tales de Mileto fue uno de los siete sabios de Grecia,
además del primer matemático griego que inició
el desarrollo de la Geometría.
Tuvo que soportar durante años las burlas de quienes
pensaban que sus horas de trabajo e investigación eran
inútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento
a sus conocimientos. Sus observaciones meteorológicas,
por ejemplo, le sirvieron para saber que la siguiente
cosecha de aceitunas sería muy abundante. Así, compró
todas las prensas de aceitunas que había en Mileto.
La cosecha fue excelente, y los agricultores tuvieron
que pagarle por utilizar las prensas.

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1 Números enteros
CONTENIDOS PREVIOS

Hay situaciones en las que es necesario utilizar números enteros:
CONVIENE QUE…
– Cuando hablamos de temperaturas bajo cero.
Recuerdes las aplicaciones Así, 4 grados bajo cero se expresa como −4 °C.
de los números enteros.
– Al considerar deudas económicas.
Si debemos 100 €, decimos que nuestro saldo es de −100 €.
PORQUE… – Al referirse a las plantas de un edificio.
Te ayudará a comprender El garaje está en la planta −3 y la terraza está en la planta 5.
sus propiedades y la forma
de realizar las operaciones.

CONVIENE QUE…
Sepas representar números
naturales en la recta numérica. 1 2 3 4 5

PORQUE…
Te servirá como base para
representar los números enteros
en la recta numérica
y para establecer relaciones
de orden entre los números
fraccionarios.

Primero se resuelven las 25 − 4 ⋅ 3 : 6 − 2 + 12 : 3 + 6 =
CONVIENE QUE…
→
multiplicaciones y las divisiones,
→

de izquierda a derecha. = 25 − 12 : 6 − 2 + 4 + 6 =
LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS

Conozcas la jerarquía
→

de las operaciones.
Después, se realizan las sumas = 25 − 2 − 2 + 4 + 6 =
y las restas en el mismo orden. = 23 − 2 + 4 + 6 = 21 + 4 + 6 =
PORQUE…
= 25 + 6 = 31
Tendrás que aplicarla
en las operaciones combinadas
con números enteros.

El MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos números naturales es el menor de sus
CONVIENE QUE… múltiplos comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comunes
Sepas calcular el m.c.m. y no comunes elevados al mayor exponente.
y el m.c.d. de números naturales. m.c.m. (24, 36) = m.c.m. (23 ⋅ 3, 22 ⋅ 32) = 23 ⋅ 32 = 72
El MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos números naturales es el mayor de sus
PORQUE…
divisores comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comunes
Lo necesitarás para calcularlos elevados al menor exponente.
cuando los números son enteros. m.c.d. (24, 36) = m.c.d. (23 ⋅ 3, 22 ⋅ 32) = 22 ⋅ 3 = 12


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1

NOTACIÓN MATEMÁTICA

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

» Indica el conjunto de los números Cuando queremos indicar el conjunto de todos
enteros. los números enteros lo designamos por ».
a Indica un número entero que puede El signo de los números enteros se debe colocar
ser positivo o negativo. pegado al número, sin dejar espacios en blanco.
+a Indica un número entero positivo.


⏐a ⏐ Asigna a cada número el mismo El valor absoluto de un número es
número prescindiendo del signo. el mismo número prescindiendo del signo.
Op (a ) Asigna a cada número el mismo ⏐3 ⏐ = 3 ⏐−3 ⏐ = 3
número cambiándole de signo.
El opuesto de un número es el mismo número
cambiado de signo.
Op (3) = −3 Op (−3) = 3


Regla de los signos. Proporciona el signo que Para multiplicar o dividir dos números enteros,
tendrá el resultado de multiplicar o dividir se multiplican o dividen prescindiendo del signo.
dos números enteros. Después, se pone el signo que corresponde según
la regla de los signos.
Factores Resultado
(−3) ⋅ (+5) = −15 (+12) : (−3) = −4

+ + +
+ − − (+3) ⋅ (+5) = +15 (−8) : (−2) = +4
− + −
− − +

an = a ⋅ a ⋅ …⋅ a
n
Indican la expresión Los puntos suspensivos entre los dos signos
de una potencia de multiplicación significan que a se
a =a⋅a⋅…⋅a
n
14243 en forma de producto. multiplica n veces.
n veces

a Indica la raíz cuadrada Bajo el símbolo de la raíz se puede poner
de un número. cualquier operación entre números.
a +b Indica la raíz cuadrada de una suma.


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1 Números enteros
EN LA VIDA COTIDIANA... Rascacielos

En este proyecto pretendemos que aprendas a:
• Conocer algunos de los rascacielos más altos del mundo y trabajar las aproximaciones.
• Utilizar la divisibilidad y los números enteros en contextos reales.

1 Los diez rascacielos más altos del mundo
Desde los primeros tiempos de la historia, el ser hu- La acción terrorista contra las Torres Gemelas, que en
mano ha querido construir edificios tan altos que casi el momento del atentado ocupaban (con 411 metros
llegasen a tocar el cielo. Los rascacielos, como las de- de altura) el tercer puesto entre los edificios más altos
más estructuras arquitectónicas, han tenido un largo del mundo, así como otros problemas asociados a es-
período de evolución. Avances tecnológicos como la tos edificios, han suscitado un movimiento de reflexión
invención del primer elevador con freno de emergen- sobre su conveniencia.
cia por Elisha Otis, hacia 1850, y el uso del acero en
Algunos de los rascacielos más altos del mundo son:
las estructuras de las construcciones, hicieron posible
que los edificios se elevasen cada vez más. Nombre País Altura (m)
En 1910, el edificio Metropolitan Life llegó a tener Torres Petronas Malasia 452
50 pisos de altura, algo insólito hasta entonces. Dos Torre Sears EE UU 436
décadas más tarde se levantaba el Empire State con Jim Mao Building China 421
sus 102 pisos. Plaza Rakyat Malasia 382
Empire State Building EE UU 369
Tuntex & Chein Taiwan 347
Amoco EE UU 346
Centro John Hancock EE UU 343
Shung Hing Square China 325
Plaza CITIC China 322

RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.
COMPETENCIA MATEMÁTICA

a) Redondea a las centenas las alturas de todos los
rascacielos de la tabla. ¿Qué error cometes en ca-
da uno de los casos?
b) Redondea las alturas a las decenas. ¿Qué error co-
metes ahora con cada aproximación?
c) Trunca a las centenas y, después, a las decenas
las alturas de todos los rascacielos de la tabla.
¿Qué error cometes en cada uno de los casos?
d) Halla la suma de las alturas de los diez rascacielos.
Después, obtén el error cometido al estimar esa
suma redondeando a las centenas y a las decenas.
e) Calcula el error en la estimación de la suma si, en
vez de redondear, truncas a las centenas y a las
decenas.
f) Estima cuántos rascacielos haría falta colocar, uno
La evolución de las concepciones arquitectónicas y la encima del otro, para conseguir 1 km de altura.
aplicación de soluciones tecnológicas han ido permi- Redondea el divisor a las centenas.
tiendo levantar edificios cada vez más altos.


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1
Las Torres Petronas, que puedes ver en la fotografía in- HAZ ESTAS ACTIVIDADES.
ferior, tienen 88 pisos sobre el suelo, 5 pisos bajo tierra
a) En una mañana, en las Torres Petronas, todos los
y cuentan con 76 ascensores, incluyendo 29 de ellos
ascensores de alta velocidad han subido llenos
de alta velocidad en cada torre. Cada uno de estos as-
desde la planta baja. Halla cuántas personas los
censores puede transportar a 26 personas. La Torre
utilizaron en total, si el número de personas fue

Sears, de Chicago, consta de 108 pisos sobre el suelo y
mayor de 45.000 y menor de 46.000.
3 pisos bajo tierra, y tiene un total de 104 ascensores.
b) Si colocásemos, apiladas una encima de otra, co-
pias de las Torres Petronas y de la Torre Sears,
hasta obtener dos edificios con la misma altura,
¿cuántas copias de cada una necesitaríamos?
c) Partiendo del piso más bajo de cada uno de los dos
edificios, subimos 20 pisos, bajamos 23, volvemos a
subir 70 y bajamos 48. ¿En qué piso estaremos en
cada uno de los casos?
d) Supongamos que la velocidad de los ascensores
sea de 2 pisos por segundo. ¿Cuánto tardaríamos
en subir desde el piso 0 al piso más alto de cada
edificio? ¿Y en subir desde el piso más bajo?
e) Hemos tardado 30 segundos en llegar al piso 12.
¿De qué planta hemos partido en cada uno de los
edificios?

2 Proyectos para el futuro
Existen en la actualidad proyectos para construir edifi- Este proyecto, en el que figuran muchos especialistas
cios aún más altos. Entre los que han tenido mayor pu- españoles, pretende dar un salto cualitativo en la cons-
blicidad y significación en los últimos años está el Pro- trucción, impulsando el uso de técnicas totalmente
yecto Torre Biónica, elaborado por Cervera & Pioz and distintas a las actuales.
Partners. Las novedosas técnicas, basadas en la imitación de los
principios de flexibilidad y adaptabilidad de las estruc-
turas biológicas, permitirían ajustar la altura, capaci-
dad y uso de la torre a las diferentes condiciones eco-

nómicas, medioambientales y sociales de la ciudad
donde se construya.
La altura de la Torre Biónica será de 1.228 m (con
300 plantas), tendrá una capacidad máxima para
100.000 personas, y en ella habrá 368 ascensores de
desplazamiento vertical y horizontal.

REALIZA LAS ACTIVIDADES.
a) ¿Cuántos metros de altura tendría cada planta de
la Torre Biónica? Haz una estimación redondeando
el dividendo.
b) ¿Cuántas copias de las Torres Petronas necesitaría-
mos apilar, una sobre otra, para alcanzar la altura
de la Torre Biónica? Calcula el resultado exacto y el
resultado redondeando a las centenas, y halla el error
cometido.


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1 Números enteros
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Buscar regularidades

Estrategia La estrategia de buscar regularidades consiste en tratar de averiguar,
dados los primeros elementos de una secuencia, cuál es su regla de formación,
y así poder hallar los siguientes elementos de la secuencia.

PROBLEMA RESUELTO
Un caminante encuentra en el desierto la serie de montones
de piedras que se muestra en la figura. Tras observarlos
un rato, se da cuenta de cómo se ha formado la secuencia.
¿Sabrías deducir cuántas piedras tendría el siguiente montón?
¿Y el siguiente a este?

Planteamiento y resolución

Comenzamos por hacer un listado del número de piedras de cada montón para intentar hallar
algún patrón o regla de formación:

Montón 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º
Piedras 1 1 2 3 5 8

Si observas la secuencia, te darás cuenta de que el número de piedras de cada montón es igual
a la suma de las piedras de los dos montones anteriores a él:
2=1+1 3=1+2 5=2+3 8=3+5
Por tanto, el siguiente montón tendrá: 5 + 8 = 13 piedras y el siguiente a este tendrá: 8 + 13 = 21 piedras.
APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS

Esta serie de números, donde cada uno es igual a la suma de los dos anteriores a él, se llama serie
de Fibonacci, en honor a un matemático italiano del Renacimiento.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1 En la figura aparecen los cuatro primeros 2 Los números del interior de los cuadrados
números triangulares (aquellos que pueden se forman a partir de los que les rodean
colocarse formando un triángulo). ¿Sabrías siguiendo la misma regla (solo se usan
decir cuál es el quinto número triangular? las operaciones básicas). Completa el interior
¿Y el sexto? ¿Y el décimo número triangular? del último cuadrado.

3 1
−2 5 4 9 1 −9

−3 2
1 3 6 10 6 7 4 8 −4


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1

MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR

PRÁCTICA EXCEL

Entrada al Programa:
Menú → →
Una vez que el programa se ejecuta, en el monitor verás la pantalla del
margen.
Es un libro de trabajo formado por 3 hojas: Hoja1, Hoja2 y Hoja3, aunque
puede haber hasta 256 hojas en un libro.
Pantalla inicial de EXCEL Libro → Carpeta que puede contener hojas, gráficos, macros, etc.
Hoja → Pizarra «ordenada» en celdas (cada celda está ordenada por su fila
y columna), que contienen datos numéricos, texto, etc.
Celda → Contiene dos informaciones:
• El formato de la celda: consiste en el tipo de dato que puede conte-
ner: numérico, de texto, lógico, fechas, etc.
• El contenido.
Observa en el margen una hoja que tiene escrita la palabra «Matemáticas»
en la celda B3 (columna B, fila 3); el contenido de la celda es la palabra
«Matemáticas» y el formato es el tipo Texto.
Parte de una hoja
El Programa EXCEL trabaja con estas dos informaciones por separado; por
ejemplo, puedes borrar el contenido de una celda y mantener el formato,
o copiar el formato de una celda a otra, sin copiar el contenido.
Cuando se sale del programa, se indica el nombre del archivo. La extensión
la da el mismo programa y es .xls.

PRÁCTICA
Abre un libro nuevo. La información que da EXCEL como ayuda es muy
completa y permite obtener una visión genérica de qué es una hoja de
cálculo y cómo se puede utilizar. Pulsa en el botón (ayuda), de la barra
de menús, o pulsa directamente en la tecla F1 . En la ventana que sale, pul-

NUEVAS TECNOLOGÍAS
sa sobre y escribe, por ejemplo, tipos de formato y observarás que
sale otra ventana de ayuda. A través de este tipo de desarrollo, el programa
te proporcionará formas de uso o sugerencias sobre un tema determinado.
Ayuda del programa

EJERCICIOS
1 Busca información sobre estos conceptos 2 Busca información al respecto.
básicos utilizando el auxiliar de Office, Fórmulas | Cálculos rápidos en una hoja de cálculo
y contesta a las siguientes cuestiones.
a) ¿Qué es una fórmula?
Hoja de cálculo | Libros y hojas de trabajo
b) ¿Cómo se crea una fórmula?
a) ¿Qué es un libro de trabajo? 3 Busca información al respecto.
b) ¿Y una etiqueta de hoja? Barra de herramientas | Mostrar u ocultar
a) ¿Qué es una barra de herramientas flotante?
b) ¿Cómo se oculta?


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PRÁCTICA EXCEL
Abre el Programa EXCEL y observa, en la parte superior de la pantalla,
las barras de herramientas que existen para acceder a los diferentes menús:
Comandos de Edición

• Contiene los comandos más importantes para realizar operaciones
con la hoja o con los datos de la hoja.
• Para acceder a las opciones que ofrece, pulsa sobre la opción con el
botón de la izquierda del ratón o pulsa simultáneamente en la tecla
ALT y la tecla subrayada en la opción (A para Archivo, E para
Edición, etc.).
• Cada una de estas opciones da lugar, a su vez, a una serie de coman-
dos; por ejemplo, con ALT + E se despliegan los comandos de Edición
(para las opciones de eliminar, buscar, etc.), y con CTRL + F, los de
Formato (que permite cambiar el formato de celdas, filas, etc.).
Comandos de Formato
En el menú → encontramos herramientas, alguna
de las cuales se puede activar en la barra correspondiente (obsérvalo en el
margen).
Una barra que siempre está activada o visible es la barra Estándar.

Esta barra contiene comandos, entre otros, de la barra Archivo. Cada uno
de los iconos de la barra Estándar es un comando diferente. Para saber la
función de cada comando, acércate con el Apuntador, , y observa el ró-
tulo que aparece debajo del icono con su descripción. Hazlo con el octavo
icono, , y te indicará Vista preliminar, tal como puedes ver en el margen.
La barra Formato contiene formatos de control del tipo de letra, el estilo, Barras de herramientas
el tamaño, la alineación del texto, etc.
NUEVAS TECNOLOGÍAS

La barra de fórmulas permite introducir y ver fórmulas en las celdas.

→
La barra de estado, situada al final de la hoja, señala, como puedes ver
en el margen, la acción que se está ejecutando cuando se introduce una Barra de estado
fórmula.

EJERCICIOS
1 Introduce en la celda B1 tu nombre y apellidos 3 Guarda el libro, para registrar los datos
en letra arial, negrita y de tamaño 12. introducidos en la hoja, en tu carpeta personal
con el siguiente nombre: Excel_Unidad0.
2 Crea una carpeta personal con tu nombre en
el disco duro del ordenador o en un disquete.


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1


Hoja Unidad 01_1a PRÁCTICA EXCEL

Abre un libro de trabajo EXCEL y, cuando acabes la Práctica, guárdalo en tu
carpeta personal con el nombre NUMEROS_2.

PRÁCTICA 1 (ejercicio 71, pág. 35)
Pulsa sobre la pestaña con el botón derecho del ratón y escribe el
nombre Unidad01_1a (obsérvalo al margen). Indica los rótulos: a, b, a ⋅ b
Contenido y b ⋅ a en las celdas A1 a D1.
1. Con el botón izquierdo del ratón, selecciona las columnas de la A a la D
y centra los datos con el botón correspondiente. Introduce los números
que hay en la hoja: −4, −6, +6, −8...
2. Escribe esta fórmula en la celda C2: =A2*B2 . Observa que aparece el
producto en la celda.
3. Escribe ahora en D2 la fórmula: =B2*A2 .
a) Sitúate en la celda C2 y activa →
(o pulsa en el botón o las teclas CTRL + C).
b) Selecciona con el ratón las celdas C3 a C5 y activa →
(o pulsa en el botón o las teclas CTRL-V).
Hoja Unidad 01_2a Lo que se ha copiado ha sido la referencia de la celda C2, y no su con-
tenido: sitúate en la celda C3 y observa que la fórmula que aparece es
A3*B3 y en C4 sale A4*B4, etc.
4. Copia la fórmula de D2 en las celdas D3, D4 y D5.
5. Comprobarás que la operación de multiplicar es conmutativa, observando
el contenido de las celdas de las dos últimas columnas. Copia los resul-
tados en tu cuaderno.

Abre una nueva hoja con el nombre Unidad01_2a.
Función Potencia

NUEVAS TECNOLOGÍAS
1. Escribe en las celdas A1, B1 y C1 las palabras BASE, EXPONENTE
y POTENCIA. Después, escribe en las celdas A2 y A3 los números 4 y 5.
2. En la celda C2 escribe la fórmula siguiente: =POTENCIA(A2;B2) .
Observa que aparece en la celda la potencia A2B2.
3. Escribe el resto de bases y exponentes del ejercicio y copia la fórmula
de la celda C2 en el resto de celdas.

EJERCICIOS
1 De manera análoga a la Práctica 1 haz 3 Guarda el libro para registrar los datos introducidos
el ejercicio 62 para averiguar si las operaciones en las hojas Unidad01_1a y Unidad01_2a,
de sumar y restar son o no conmutativas. mediante → NUMEROS_2
en tu carpeta personal.
2 Sin crear una nueva hoja, y continuando
con las celdas de la hoja Unidad01_2a,
haz el ejercicio 84 de la página 36.


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2 Fracciones

Alejandro Magno
La vida de Alejandro Magno ha sido evocada por escritores
y poetas desde la antigüedad hasta nuestros días.
Su historia dio paso a la leyenda, y podemos encontrar
multitud de biografías, anécdotas, curiosidades…
que tienen como hilo conductor la vida de este personaje
histórico.
En esta ocasión nos ocuparemos de sus conquistas
militares mediante la falange macedonia.
La organización de la falange y su estrategia de combate
son logros de Filipo II, el padre de Alejandro.
Filipo, a partir de la falange tebana, organizó la falange
macedonia, modificando su estructura: agrupó
a los soldados en cuadros independientes de 16 filas
y 16 columnas, llamados syntagmas. Estos syntagmas,
en número de 64, se disponían en dos alas de 32 syntagmas
cada una, que podían llegar a operar de forma independiente.
La falange macedonia presentaba así un frente homogéneo,
y apoyada por la caballería, constituyó un cuerpo de ejército
casi invencible hasta la aparición de la legión romana.
COMPETENCIA LECTORA


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2


El papiro Rhind y las fracciones

El papiro Rhind fue escrito por el escriba Ahmes;
por ello, se conoce también como papiro Ahmes.
Este papiro mide unos 6 metros de largo
y 33 centímetros de ancho. Está escrito en hierático y
proporciona información sobre cuestiones aritméticas
básicas: fracciones, cálculo de áreas, volúmenes,
progresiones, repartos proporcionales, regla de tres,
ecuaciones lineales y trigonometría básica.
El papiro Rhind muestra que en el antiguo Egipto,
en el año 4000 a.C., se trabajaba únicamente
con fracciones unitarias, es decir, aquellas con
1 1 1
el numerador 1, por ejemplo, , y .
2 3 4
Los egipcios tenían un método para descomponer
una fracción unitaria en suma de dos fracciones
unitarias de distinto denominador.
El procedimiento se expresa del modo siguiente.
El papiro Rhind es un documento muy antiguo
que nos informa de los conocimientos matemáticos 1 1 1
= +
de los egipcios. El papiro fue encontrado en n n +1 n (n + 1)
las ruinas de un antiguo edificio de Tebas (Egipto) 1
De esta forma, la fracción unitaria , mediante este
y, posteriormente, lo compró en la ciudad de Luxor 2
método, se descompone así:
el egiptólogo escocés Henry Rhind, cuando viajó
a Egipto. A la muerte de Rhind, el papiro fue a parar 1 1 1 1 1
= + = +
al Museo Británico, donde se encuentra actualmente. 2 3 2⋅3 3 6

Galileo Evolución de la imprenta

COMPETENCIA LECTORA
Galileo Galilei nació en Pisa Desde la antigua
en 1564, y aunque prensa movida
estudió Medicina en a mano, inventada
la universidad, decidió por Gutenberg
inclinarse por las aproximadamente en
Matemáticas. A los 25 años el año 1440, hasta
fue nombrado profesor de las veloces rotativas
Matemáticas en la de los periódicos,
Universidad de Pisa, las máquinas de imprimir han sufrido
donde comenzó a investigar innumerables modificaciones y se perfeccionan
sobre la mecánica y el constantemente.
movimiento de los cuerpos. Actualmente, los ordenadores nos permiten
Su contribución más interesante fue establecer escribir un texto de una forma fácil y rápida,
el vínculo entre la Física y las Matemáticas. utilizando el tipo de letra y el tamaño
Murió en 1642, el mismo año del nacimiento que nos interese en cada momento.
de Newton, a quien dejó el camino abierto para El tamaño de las letras se mide en puntos.
la consolidación de la Mecánica. Un punto equivale a 3/8 de milímetro.


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2 Fracciones
CONTENIDOS PREVIOS

Los términos de una fracción son el NUMERADOR y el DENOMINADOR.
CONVIENE QUE…
Numerador F
Recuerdes lo que es una fracción 3
⎯→ Se lee: tres octavos.
y cuáles son sus términos. F 8
Denominador

El denominador indica las partes iguales en las que se divide la unidad.
PORQUE… El numerador indica las partes que se toman de la unidad.
Lo necesitarás como punto
de partida para ampliar tus
conocimientos.

Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas.
CONVIENE QUE… Las dividimos en tantas partes iguales como indique el denominador,
Sepas llevar a cabo y después, se marcan las partes que señale el numerador.
la representación
de fracciones con gráficos.
5
6
PORQUE…
Te ayudará a comprender algunas
propiedades de las fracciones.

CONVIENE QUE…
Sepas identificar cuándo una
fracción es menor, mayor o igual

que la unidad.

3 8 10
PORQUE… <1 =1 >1
8 8 8
Te servirá para clasificar Numerador < Denominador Numerador = Denominador Numerador > Denominador
las fracciones.

Si la base es un número entero positivo, la potencia es positiva.
CONVIENE QUE…
55 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3.125
Sepas calcular potencias
de números enteros y operar Si la base es un número entero negativo, la potencia es positiva
con ellas. si el exponente es par, y negativa si el exponente es impar.
(−2)4 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = 16
PORQUE… (−3)5 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = −243
Las potencias de fracciones tienen
las mismas propiedades.


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2


a a
o a/b expresan que de b partes tomamos a.
b Indican una fracción de numerador a b
a/b y denominador b.
a
a a de c expresa la fracción de una cantidad;
de c Indica la fracción de una b
b cantidad c. b su valor es el resultado de multiplicar a por c
y dividir entre b.
3 3 ⋅ 40
de 40 = = 24
5 5


⎛a⎞
n
⎛3⎞
4 4
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3
Indica la potencia de una fracción. ⎜ ⎟
⎝b ⎟
⎜ ⎠⎟ ⎜7⎟
⎝ ⎟
⎠ 7 7 7 7 74

a c c La raíz cuadrada exacta de una fracción
= La fracción es la
b d d es la fracción formada por la raíz exacta
raíz cuadrada exacta de su numerador y de su denominador.
a
de la fracción .
b a a 25 25 5
= → = =
b b 16 16 4
Solo tienen raíz cuadrada exacta
las fracciones cuyo numerador
y denominador son cuadrados
perfectos.
⎛c ⎞
2
a c ⎟ = a
= ↔⎜
⎜ ⎟
⎟
b d ⎜d
⎝ ⎟
⎠ b


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2 Fracciones
EN LA VIDA COTIDIANA... El agua de la Tierra

En este proyecto pretendemos que aprendas a:
• Conocer la superficie y distribución de los océanos y la cantidad de agua disponible, y utilizar
estos datos para resolver problemas con fracciones. • Interpretar un texto y extraer de él los datos
necesarios para resolver problemas con fracciones.

1 Los océanos y los mares en la Tierra
La Tierra tiene forma esférica y está achatada por
los polos. Considerando la Tierra como una esfera, la
longitud de sus círculos máximos (meridiano cero y
ecuador) es aproximadamente de 40.000 kilómetros.
Asimismo, la superficie total de la Tierra es de unos
500 millones de kilómetros cuadrados.

LEE LA INFORMACIÓN, CALCULA Y CONTESTA.
a) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocu-
pan los océanos y mares profundos?
7
Los océanos y mares ocupan los del total de la su- b) ¿Qué fracción de la superficie terrestre constituyen
10 los continentes?
perficie del planeta. Por su parte, los mares profundos

13 c) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan los
ocupan los de esa superficie total. océanos y mares profundos?
50
La fracción de la superficie total ocupada por los océa- d) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan
nos que corresponde a cada uno de ellos es aproxima- los continentes?
damente la siguiente. e) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocu-
1 pa cada uno de los océanos indicados en el texto?
Océano Atlántico.....................................
4 f) ¿Qué superficie ocupa el océano Atlántico en kiló-
1 metros cuadrados?
Océano Pacífico ......................................
2 g) ¿Y el océano Pacífico?
1 h) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupa el
Océano Índico......................................... océano Índico?
5
1 i) ¿Y el océano Ártico?
Océano Ártico ......................................... 3
20 j) Se estima que, en el agua de los océanos, las
4
Por otra parte, el agua de los océanos y mares es sala- partes de los materiales sólidos disueltos son sal.
da y contiene alrededor de 35 gramos de sal disueltos ¿Cuántos gramos de materiales disueltos que no son
en cada litro de agua. sal hay en cada litro de agua?


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2

2 La distribución del agua dulce en la Tierra
El volumen de agua total en el planeta Tierra es de
unos 1.400 millones de kilómetros cúbicos.
97

Los de toda el agua del planeta Tierra es agua
100
salada y el resto es agua dulce.
5
La mayor parte del agua dulce, concretamente los ,
7
la constituyen el hielo y la nieve de los casquetes pola-
res y los glaciares. El resto está formado por el agua
subterránea, el agua de los lagos y ríos y de la atmós-
fera. Los glaciares y los casquetes polares, que son los
mayores almacenes de agua dulce en la Tierra, están
alejados de los grandes núcleos de población humana.
Por eso, son los ríos, los lagos y las aguas superficiales
los que ha utilizado tradicionalmente el ser humano
para proveerse de agua. Pero solo una parte de cada
veinte del agua dulce está en los ríos y lagos o son
aguas superficiales.
Aunque, en términos absolutos, el agua dulce disponi-
ble es suficiente para abastecer a los más de 6.000
millones de habitantes de la Tierra, existe el problema
de que este agua disponible no está equitativamente RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.
distribuida en el planeta.
a) ¿Qué fracción del total de agua de la Tierra consti-
Hoy se calcula que la cantidad mínima de agua para tuye el agua dulce?
cubrir las necesidades básicas de una persona es de
b) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce hay en
50 litros diarios. Y se considera la cantidad de 100 li-
la Tierra aproximadamente?
tros por persona y día como necesaria para un están-
dar de vida aceptable. c) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce repre-
sentan la nieve y el hielo de los casquetes y los
glaciares?
d) ¿Qué fracción del total de agua del planeta repre-
senta el agua en forma de hielo y nieve que hay en

los casquetes y en los glaciares?
e) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce con-
tienen los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas
superficiales?
f) ¿Qué fracción del agua total de la Tierra represen-
tan los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas
superficiales?
g) ¿Cuántos metros cúbicos de agua gastaría la hu-
manidad diariamente, si cada persona usara la
cantidad mínima recomendada para sus necesida-
des básicas?
h) ¿Cuántos metros cúbicos de agua al día gastaría la
humanidad si cada persona usara la cantidad ne-
cesaria para un estándar de vida aceptable?
i) ¿Qué fracción del total de agua dulce disponible en
ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficia-
les supondría cada uno de ambos casos?


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2 Fracciones
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Hacer un dibujo

Estrategia Una estrategia para resolver los siguientes problemas es hacer un dibujo y mostrar
en él los datos del problema. El dibujo nos ayudará a resolver el problema.

PROBLEMA RESUELTO
1
Una locomotora arrastra tres vagones. La longitud del primer vagón es de la longitud
3
del segundo y la longitud del tercer vagón es igual a la longitud del primero y segundo juntos.
Si la longitud total de los tres vagones es 56 m, ¿cuánto mide cada vagón?

Planteamiento y resolución

Longitud del Longitud del Longitud del
primer vagón segundo vagón tercer vagón

Longitud de los
tres vagones
56 m
1
Longitud del primer vagón: de 56 = 7 m.
8
Calcula la longitud de los otros dos vagones y comprueba la solución.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Jorge ha ido en coche desde el pueblo A 2 Cristina recibe en su tienda un total de
APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS

hasta el pueblo C pasando por B. Ha recorrido 90 camisetas de las tallas pequeña, mediana
un total de 180 km. La distancia entre y grande. El número de camisetas pequeñas
5 2
los pueblos B y C es de la distancia es del número de camisetas medianas,
4 3 4
que hay entre los pueblos A y B. ¿Cuál es y el número de camisetas grandes es
la distancia entre los pueblos A y B ? del número de las medianas. 3
¿Y entre los pueblos B y C ?
a) ¿Cuántas camisetas de cada talla recibe
Cristina?
b) El precio de una camiseta pequeña más
una mediana y una grande es 36 €.
La pequeña cuesta 1/4 menos que
la mediana, y la grande, 1/4 más que
Pueblo A Pueblo B Pueblo C
la mediana. ¿Cuánto cuesta cada camiseta?
3 Una persona paga en dos plazos un televisor
que cuesta 540 €. En el segundo plazo pagó
los 3/7 del dinero que abonó en el primero.
¿Cuánto dinero pagó en cada plazo?


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2


PRÁCTICA EXCEL

Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja
mediante → con nombre: Unidad02_1a.
Prepara un formato especial para operar con fracciones: selecciona toda la
hoja y activa la opción: → y, en la ficha , selec-
ciona la opción Fracción | Hasta 3 dígitos. Fíjate en que EXCEL presenta las
fracciones en formato mixto, es decir, que aunque escribamos 32/5 en una
celda, el programa lo transforma en la fracción 6 2/5).

1. Pon los rótulos de la figura en las celdas A1: I1.
2. Escribe los números del apartado a) en la fila 2.
Trabajo con fracciones 3. Sitúate en la celda I2 y escribe la fórmula: =(A2+B2)−(C2+D2) y ob-
serva el resultado: −2 2/15 → −2 + 2/15 = −28/15.

4. Introduce en cada fila los términos de cada ejercicio: en la fila 3 estarán
los términos del apartado b), y en la columna y introducirás la operación.
La fórmula del apartado c) será =A4−(B4−(C4+D4)−E4)−(F4+G4)−H4 .
5. Copia los resultados en tu cuaderno.

Inserta una nueva hoja Unidad02_2a:
1. Pon los mismos rótulos que en la Práctica 1.
2. Escribe los números del apartado a) en la fila 2.

NUEVAS TECNOLOGÍAS
3. Sitúate en la celda I2 y escribe la fórmula: =A2/(B2−C2) y observa el
resultado: 4.
4. Introduce en cada fila los términos de los ejercicios: en la fila 3 estarán
los del apartado b), y en la celda I3 introducirás la operación. Presta
atención a cómo colocas los paréntesis.
5. Copia los resultados en tu cuaderno.

EJERCICIOS
1 De forma análoga a la Práctica 1, crea una nueva 3 Guarda el libro para registrar los datos
hoja Unidad02_3a y resuelve los ejercicios 50 introducidos en las hojas Unidad02_1a,
y 51 de la página 53. Unidad02_2a y Unidad02_3a, mediante
→ en tu carpeta personal.
2 Haz también el ejercicio 60 de la página 54
de forma análoga a la Práctica 2.


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3 Números decimales

A lomos del viento
Simon Stevin nació en Brujas (Bélgica) en 1548. En su juventud
recorrió buena parte de Europa, lo que era una práctica habitual
entre los eruditos e intelectuales de la época.
Ingeniero y matemático, fue reconocido en su tiempo por los trabajos
de ingeniería militar y fortificación que realizó para su mecenas,
el príncipe de Orange, Maurice de Nassau, durante
las guerras de Flandes.
Ideó sistemas de diques y contradiques que permitían inundar
las tierras bajas y detener el avance de los ejércitos enemigos,
diseñó molinos y barcos… Uno de los inventos que más llamaron
la atención de sus contemporáneos fue un carro que, movido
por la fuerza del viento, podía transportar personas
y mercancías a gran velocidad.
Stevin escribió sus trabajos en lengua vernácula; algunos
historiadores afirman que lo hizo porque quería llegar al mayor
número de personas, y otros sostienen que utilizaba el holandés
porque esa lengua era más precisa para escribir
textos científicos.
Entre sus aportaciones destaca un manual de Matemática
comercial realizado por encargo del Príncipe de Orange,
pero su aportación matemática más relevante es
la definición y las reglas para operar con fracciones
decimales, las cuales derivarían en lo que hoy
conocemos como números decimales.
Simon Stevin murió en La Haya en 1620.
COMPETENCIA LECTORA


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3


Números decimales especiales

Aparte de los números decimales exactos y periódicos, existen números
decimales con la particularidad de que tienen infinitas cifras decimales
no periódicas. Es decir, su parte decimal consta de infinitas cifras,
pero en ella no hay ningún grupo que se repita indefinidamente.
Observa los ejemplos:
0,01001000100001000001...
1,223334444222333344444222233333444444...
Algunos de estos números, especialmente importantes, son:

• El número de oro
Se representa por ⌽ y su expresión decimal es:
⌽ = 1,6180339887498948482045868343656...
Desde la antigüedad ha tenido gran importancia por su aplicación
al arte en la famosa proporción áurea. El número áureo está presente
en construcciones como el Partenón, las catedrales...
También aparece en objetos de la vida cotidiana, como el carné
de identidad y las tarjetas de crédito e, incluso, lo podemos encontrar
en seres vivos como el nautilus (en la fotografía) y algunas especies
vegetales.

• El número π
Es la razón de la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.
Su expresión decimal es:
␲ = 3,1415926535897932384626433832795...
Este número está presente en todas las circunferencias y círculos de
la realidad. En las culturas china, egipcia, griega…, se trató de obtener
aproximaciones cada vez más precisas de ␲, por su aplicación
en numerosos campos. Nosotros manejamos como valor de ␲
su aproximación a las centésimas, 3,14.

COMPETENCIA LECTORA
Aryabhata
Aryabhata vivió en el siglo V, aunque tenemos
pocos datos de su vida, salvo que residía en la actual
Patna, ciudad cercana al río Ganges y que fue
en el año 499 cuando escribió su obra en verso
dedicada a las Matemáticas y conocida
con el nombre Aryabhatiya.
Dicha obra consta de cuatro partes: armonías
celestes, elementos de cálculo, del tiempo
y su medición y las esferas. El contenido matemático
está constituido por reglas para hallar raíces
cuadradas y cúbicas, reglas de medición, fórmulas
para el cálculo de los elementos geométricos,
identidades algebraicas sencillas…


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3 Números decimales
CONTENIDOS PREVIOS

El sistema de numeración decimal es posicional. El valor de cada cifra
CONVIENE QUE… depende del lugar que ocupa. Diez unidades de un orden forman una
Repases el sistema de numeración unidad del orden inmediato superior.
decimal y la descomposición
polinómica de un número natural. 2 ⋅ 10.000 = 20.000 ⎯→
2 3 4 1 5 ⎯→ 5 ⋅ 1 = 5

⎯→
3 ⋅ 1.000 = 3.000
⎯→ ⎯→ 1 ⋅ 10 = 10
PORQUE… 4 ⋅ 100 = 400
Estudiaremos los órdenes
23.415 = 2 ⋅ 104 + 3 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 1 ⋅ 10 + 5
menores que la unidad
y te ayudará a comprender
la descomposición polinómica
de un número decimal.

16 ⋅ 100 = 1.600
CONVIENE QUE…
Realices con soltura 160 ⋅ 1.000 = 160.000
la multiplicación y división 1.600 : 100 = 16
de un número natural
por la unidad seguida de ceros. 160.000 : 1.000 = 160

PORQUE…
Lo utilizarás para transformar
números decimales en fracciones
decimales.

TRUNCAMIENTO. Se sustituyen por cero todas las cifras siguientes
CONVIENE QUE… a la del orden considerado.
Sepas hacer aproximaciones REDONDEO. Truncamos el número teniendo en cuenta, además, que si la
de números naturales. cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5,
aumentamos en una unidad esta última.

Truncamiento a las centenas:
PORQUE… →
⎯ 3.400
Las aproximaciones de números ⎯
⎯
⎯ ⎯→ Truncamiento a las decenas:
decimales siguen reglas similares. ⎯ ⎯
⎯⎯ 3.410
3415 ⎯⎯⎯ →
⎯
⎯
⎯ Redondeo a las centenas:
⎯
⎯ 3.400
→
Redondeo a las decenas:
3.420


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3


a Indica cualquier tipo Los puntos suspensivos, en cualquier notación numérica,
de número, incluido indican que hay más elementos además de los escritos.
un número decimal. En el caso de los números decimales, significa que hay
un número ilimitado de cifras decimales.
3,452… Indica un número decimal
en cuya parte decimal, además Los puntos suspensivos se colocan inmediatamente
de las cifras que aparecen detrás de la última cifra, sin dejar espacio en blanco.
(452), hay más cifras
decimales.
4,56777… Indica un número decimal
periódico en cuya parte
decimal la cifra 7 se repite
indefinidamente.

0,3; 0,5; 0,7; … Indica una sucesión Los números decimales se suelen separar por ;
de números decimales. para distinguir dónde termina uno y dónde empieza
el siguiente. Los puntos suspensivos deben ir separados
del último punto y coma por un espacio en blanco.


)
3,4 Indica un número decimal Para indicar que una o varias cifras de la parte decimal
periódico puro en el que se repiten indefinidamente, se pone un arco sobre ellas.
4 se repite indefinidamente.
)
2,4567 Indica un número decimal
periódico mixto en el que
67 se repite indefinidamente.

) 14 El signo =, entre un número decimal periódico
1,5 = Indica que la fracción
9 y su fracción generatriz, indica que ambos son dos
generatriz del número
) 14 expresiones de un mismo número, una decimal
y la otra fraccionaria.
decimal 1,5 es .
9


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