Persamaan Diferensial

1. @noboru26 ; www.facebook.com/noboru26 ; www.noboru26.blogspot.com ;
www.noboru26.wordpress.com (Picture credited to Luigi Lucarelli – loaduniverse@gmail.com)
Nouvel Raka
Persamaan Diferensial (P.D) Linear Orde 2 Nonhomogen
Bentuk Umum:
( 1)
( 1) 2 1 0 ( )n n
n na y a y a y a y a y r x

      
Di sebelah kiri memuat persamaan diferensial biasa orde ke-n sementara yang berada di ruas
sebelah kana kita sebut sebagai ( )r x . Nah, kita harus mencari penyelesaian di kedua ruas,
penyelesaian sebelah kiri disebut yh sementara ( )r x (yang berada di sebelah kanan) disebut
yp.
Penyelesaian Umum (P.U) dari P.D di atas adalah ...
Metode Tak Tentu
Menggunakan Tabel Aturan Dasar
Perhatikan pada tabel berikut ( )r x bisa dalam empat bentuk yang berbeda yang menjadikan
penyelesaiannya pun berbeda.
Contoh Soal:
Tentukan Penyelesaian Umum (P.U) dari P.D linear berikut!
1. 3 2
4 12 16 6y y x x x   
2. 4 5 65cos(2 )y y y x   
Jawab:
1. 3 2
4 12 16 6y y x x x    ⇛ Ruas kiri sebagai yh dan ruas kanan sebagai ( )r x .
Nah, jadi kita cari penyelesaian yh terlebih dahulu menggunakan cara penyelesaian P.D
biasa orde ke-2 dengan koefisien konstant homogen (materi awal).
Well, if you forget how to solve the basic deferential equation, you don’t need to go back to
the first page. Nih, saya tulis lagi P.U-nya.
yh ( )r x
( )r x yp
ax
e ax
ke
n
x
1
1 1 0
n n
n nk x k x k x k
   
sinbx cos sinA bx B bx
cosbx cos sinA bx B bx
y yh yp 

2. @noboru26 ; www.facebook.com/noboru26 ; www.noboru26.blogspot.com ;
www.noboru26.wordpress.com (Picture credited to Luigi Lucarelli – loaduniverse@gmail.com)
Nouvel Raka
i) 4 0y y  ⇛ disamadengankan 0 untuk dicari penyelesaiannya.
2
4 0m   ⇛ bentuknya diubah sehingga variabel y -nya hilang, agar bisa dicari akarnya.
2
4m   ⇛ konstanta 4 pindah ruas.
4m    ⇛ tanda kuadrat pindah ruas menjadi akar. Ini merupakan bentuk kompleks.
4.( 1)m   
2m i  ⇛ 4 2 dan 1 i  (artinya imajiner).
Karena akar-akar P.D tersebut merupakan bilangan kompleks (memuat bilangan
imajiner), maka penyelesaiannya pakai yang nomor (3), yaitu:
Perhatikan hasil dari pencarian akar-akar P.D tersebut:
2m i  ⇛  = bilangan di depan tanda  sementara  = bilangan setelah tanda  .
Maka 0
1 2( cos2 sin 2 )x
yh e C x C x  . Karena
0
1e  , penyelesaiannyamenjadi:
⇛ disimpan dulu untuk dipakai nanti.
ii) Sekarang kita lihat ( )r x -nya!
3 2
( ) 12 16 6r x x x x   ⇛ perhatikan bentuk ( )r x -nya adalah n
x .
Berarti yp yang kita pakai adalah 3 2
Ax Bx Cx D   karena n tertingginya 3.
3 2
yp Ax Bx Cx D   
⇓ diturunkan
Di depan  kosong, maka 0 
Setelah  ada angka 2, maka 0 
Persamaan Diferensial Biasa Orde ke-2 Koefisien Konstan Homogen
Bentuk Penyelesaian Umum (P.U) P.D jika akar-akarnya sebagai berikut:
(1) Kedua akar berbeda 1 2m m maka P.U ⇛ 1 2
1 2
m x m x
y C e C e 
(2) Kedua akar sama 1 2m m m  , maka P.U ⇛ 1 2( )mx
y e C C x 
(3) Kedua akar merupakan akar-akar kompleks maka P.U ⇛ 1 2( cos sin )x
y e C x C x
  
1 2cos(2 ) sin(2 )yh C x C x 
1 2( cos sin )x
y e C x C x
  

3. @noboru26 ; www.facebook.com/noboru26 ; www.noboru26.blogspot.com ;
www.noboru26.wordpress.com (Picture credited to Luigi Lucarelli – loaduniverse@gmail.com)
Nouvel Raka
2
3 2y p Ax Bx C   
⇓ diturunkan lagi
6 2y p Ax B  
Nah, pada yp terdapat koefisiean A, B , dan C serta konstanta D yang harus kita cari
nilainya. Kita kembali lagi ke soal:
3 2
4 12 16 6y y x x x   
Sehingga menjadi:
3 2 3 2
6 2 4( ) 12 16 6Ax B Ax Bx Cx D x x x       
⇓ dijabarkan
3 2 3 2
6 2 4 4 4 4 12 16 6Ax B Ax Bx Cx D x x x       
⇓ dikelompokkan kemudian dipasang-pasangkan, hitung nilai koefisiennya.
3 2 3 2
4 4 (6 4 ) (2 4 ) 12 16 6Ax Bx A C x B D x x x       
Baik, kita telah ketahui nilai 3; 4; 6; 2A B C D      yang kemudian kita subtitusikan ke
yp. Setelah itu yp-nya kita gunakan dalam bentuk Penyelesaian Umum (P.U) P.D tersebut:
3 2
3 2
3 4 6 2
yp Ax Bx Cx D
yp x x x
   
   
P.U :
y yh yp 
3 2
1 2cos(2 ) C sin(2 ) 3 4 6 2y C x x x x x      ⇛ Ini penyelesaiannya.
2. 4 5 65cos(2 )y y y x   
Disubsitusi dengan 6 2y p Ax B  
Disubsitusi dengan 3 2
yp Ax Bx Cx D   
4 12
3
A
A

 4 16
4
B
B

 6 4 6
6(3) 4 6
4 24
6
A C
C
C
C
  
  
 
 
Karena tidak punya ‘pasangan’, maka
2 4 0
2(4) 4 0
4 8
2
B D
D
D
D
 
 
 
 
Ingat, tadi kita sudah punya yh yang disimpan
sementara : 1 2cos(2 ) sin(2 )yh C x C x 

4. @noboru26 ; www.facebook.com/noboru26 ; www.noboru26.blogspot.com ;
www.noboru26.wordpress.com (Picture credited to Luigi Lucarelli – loaduniverse@gmail.com)
Nouvel Raka
i) Baik, pertama kita selesaikan yh terlebih dahulu.
4 5 0y y y    ⇛ disamadengankan 0 untuk dicari penyelesaiannya.
2
4 5 0m m   ⇛ Kita ubah variabelnya menjadi bentuk polinom untuk dicari akarnya.
Berdasarkan nilai diskriminannya (D), akar-akarnya merupakan
bilangan kompleks, maka mencarinya dengan melengkapkan kuadrat
atau dengan rumus [ ]abc . Masih ingat?
Dengan melengkapkan kuadrat:
2
4 5 0m m  
2
4 5m m   ⇛ 5 dipindahruaskan ke sebelah kanan menjadi 5 .
2
4 4 5 4m m    
2
( 2) 1m    ⇛ Ruas kiri diubah menjadi bentuk kuadrat
2 1m     ⇛ Kuadrat di ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan menjadi bentuk akar.
2 1m i  ⇛ Ingat, karena 1 i  , maka 1 1 1 1i    
Lantas bagaimana penyelesaiannya?
Sama seperti penyelesaian yh pada nomor 1, karena akar-akarnya adalah bilangan
kompleks maka:
Berdasarkan rumus di atas, maka penyelesaiannya adalah:
2
1 2( cos sin )x
yh e C x C x  ⇛ dikalikan distributif ke dalam kurung.
2 2
1 2cos sinx x
yh e C x e C x  ⇛ Disimpan dulu untuk dipakai nanti.
ii) Sekarang kembali ke soal:
4 5 65cos(2 )y y y x   
yh ( )r x
Kedua ruas ditambah +4
⇛ Mengapa kedua ruas ditambah +4?
Karena agar di ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna maka
harus ditambah +4, dan agar persamaan balance maka ruas kanan
pun harus ditambah +4. Terus, bagaimana bisa dapat +4?
Caranya dengan membagi dua koefisien m yaitu b kemudian
menguadratkannya. Di sini 4b  maka
2 2
4
4
2 2
b   
    
   
Di depan  ada angka 2, maka 2 
Setelah  ada angka 1, maka 1 
1 2( cos sin )x
y e C x C x
  
2 yang merupakan koefisien x adalah nilai b

5. @noboru26 ; www.facebook.com/noboru26 ; www.noboru26.blogspot.com ;
www.noboru26.wordpress.com (Picture credited to Luigi Lucarelli – loaduniverse@gmail.com)
Nouvel Raka
Perhatikan ( )r x -nya berbeda dengan soal sebelumnya, yang ini berbentuk fungsi
cosinus, artinya yp yang kita pakai adalah bentuk cos sinA bx B bx .
cos2 sin 2yp A x B x 
⇓ diturunkan
.( 2sin2 ) .(2cos2 )y p A x B x   
⇓ dirapikan
2 sin 2 2 cos2y p A x B x   
⇓ diturunkan
2 .(2cos2 ) 2 .( 2sin 2 )y p A x B x    
⇓ dirapikan
4 .cos2 4 sin 2y p A x B x   
Nah, pada yp masih terdapat variabel A dan B yang harus dicari nilainya.
Mari kembali ke soal:
4 5 65cos(2 )y y y x   
Hm, ya ini bakal jadi persamaan yang panjang.
( 4 cos2 4sin 2 ) 4( 2 sin 2 2 cos2 ) 5( cos2 sin 2 ) 65cos2A x x A x B x A x B x x       
⇓ dijabarkan
4 cos2 4sin2 8 sin2 8 cos2 5 cos2 5 sin2 65cos2A x x A x B x A x B x x      
⇓ dikelompokkan
( 4 8 5 )cos2 ( 4 8 5 )sin2 65cos2A B A x B A B x x       
Kemudian persamaan linear yang terbentuk dicari penyelesaiannya dengan eliminasi-
subtitusi:
Note:
Masih ingat turunan fungsi trigonometri?
Turunansinax adalah cosa ax
Turunan cosax adalah sina ax
Disubsitusi dengan cos2 sin 2xyp A x B 
8 65
8 0
A B
A B
 
 
8 65
64 0 +
A B
A B
 
 
65 65
1
A
A


Dipasangkan dengan yang sama-sama cos2x
?
Karena tidak punya pasangan maka
disamadengankan 0
Disubsitusi dengan 4 cos2 4 sin 2y p A x B x   
Disubsitusi dengan 2 sin 2 2 cos2y p A x B x   
8 0
8
8(1)
8
A B
B A
B
B
 
  
 
 

6. @noboru26 ; www.facebook.com/noboru26 ; www.noboru26.blogspot.com ;
www.noboru26.wordpress.com (Picture credited to Luigi Lucarelli – loaduniverse@gmail.com)
Nouvel Raka
Karena nilai A dan B sudah kita dapat, maka sekarang kita subtitusikan ke yp.
cos2 sin 2yp A x B x 
cos2 8sin 2yp x x 
Maka P.U nya adalah:
y yh yp 
2 2
1 2cos sin cos2 8sin 2x x
y e C x e C x x x   
3.
Ingat, tadi kita sudah punya yh yang disimpan
sementara : 2 2
1 2cos sinx x
yh e C x e C x 