El documento presenta los cálculos realizados para una maqueta de un mecanismo de 4 barras de Grashoff. Se proporcionan las medidas de la maqueta y las ecuaciones cinemáticas para determinar las velocidades de cada sólido. Se resuelve el sistema de ecuaciones resultante aplicando el método del jacobiano para obtener las velocidades lineales y angular de cada componente del mecanismo.
1. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL – INGENIERIA MECANICA
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1
LEY DE GRASHOFF
El mecanismo más utilizado es el cuadrilátero articulado por
su facilidad de diseño, versatilidad y construcción.
A1: Manivela 1
12: Balancín 1
2B: Manivela 2
AB: Balancín 2
Las manivelas dan revoluciones completas mientras que los
balancines oscilan entre las dos posiciones extremas.
Comportamiento Cinemático: El mecanismo articulado
contiene estos tres comportamientos
Inversiones Cinemáticas
-Doble Manivela: Cuando el eslabón más cortó es el fijo
-Manivela-Balancín: Cuando es eslabón más corto es la
manivela y cualquiera de los otros 2 eslabones adyacentes es
el fijo.
-Doble Balancín: Cuando el eslabón opuesto al más cortó es el
fijo.
CONSIDERACIONES
Al diseñar un mecanismo de 4 barras es necesario asegurarse
que la manivela de entrada, la que da el movimiento al
mecanismo debe dar el giro completo y para asegurarse se
concluyó que:
“Las sumas del eslabón más largo (L) + eslabón más
pequeño(s) debe ser menor que la suma de los otros dos
eslabones.
l=Eslabón más largo
S=Eslabón más corto
p, q= Los otros dos eslabones
S+l<p+q
Si no satisface la desigualdad, ningún eslabón efectuará una
revolución completa relativa a otra.
Resumen: En el presente documento se presenta los cálculos
realizados a la maqueta solicitada por el ingeniero.
11. PLANTEAMIENTO
Para el planteamiento de la maqueta se propuso realizar un
sistema igual al mecanismo de 4 barras de Grashoft. Este
posee las siguientes medidas:
Sabiendo que la sección AB es fija podemos asumir que el
sistema se reduce a un sistema de 3 barras móviles y una fija,
el mismo queda de la siguiente manera:
Trabajo Grupal – Teoría de Máquinas
Villacís Barba Jorge Sebastián ; Titumaita Tatiana ; Anchundia Toapante Gabriel Jonathan
*Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Mecánica, Quito, Ecuador
2. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL – INGENIERIA MECANICA
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2
Los datos del problema son los siguientes:
𝑥𝐴 = 0, 𝑦𝐴 = 0 , 𝑥𝐵 = 27 , 𝑦𝐵 = 0, 𝑥1 = 0 , 𝑦1 = 9 , 𝑥2
= 38 , 𝑦2 = 16 , 𝜑 = 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Iniciamos la resolución del problema
𝑞 = [𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝜑]
Con n = 5, y con g =1 grado de libertad, necesitamos m=n-g
= 4 ecuaciones.
Sólido A1: Sólido rígido con dos puntos:
(𝑥1 − 𝑥𝐴)2
+ (𝑦1 − 𝑦𝐴)2
− 𝐿 𝐴1
2
= 0
Sólido 12: Sólido rígido con dos puntos:
(𝑥2 − 𝑥1)2
+ (𝑦2 − 𝑦1)2
− 𝐿12
2
= 0
Sólido A1: Sólido rígido con dos puntos:
(𝑥𝐵 − 𝑥2)2
+ (𝑦𝐵 − 𝑦2)2
− 𝐿 𝐵2
2
= 0
Coordenada relativa 𝜑
(𝑥1 − 𝑥𝐴)(𝑥2 − 𝑥1) + (𝑦1 − 𝑦𝐴)(𝑦2 − 𝑦1)
− 𝐿 𝐴1 𝐿12 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0
Resultando el vector de restricciones
𝜙(𝑞)
=
[
(𝑥1 − 𝑥𝐴)2
+ (𝑦1 − 𝑦𝐴)2
− 𝐿 𝐴1
2
(𝑥2 − 𝑥1)2
+ (𝑦2 − 𝑦1)2
− 𝐿12
2
(𝑥𝐵 − 𝑥2)2
+ (𝑦𝐵 − 𝑦2)2
− 𝐿 𝐵2
2
(𝑥1 − 𝑥𝐴)(𝑥2 − 𝑥1) + (𝑦1 − 𝑦𝐴)(𝑦2 − 𝑦1) − 𝐿 𝐴1 𝐿12 𝑐𝑜𝑠𝜑]
Antes de proceder con el problema necesitamos tener todas
las coordenadas por lo que usando los datos del problema
reemplazamos en la ecuación de coordenada relativa para
obtener el ángulo 𝜑
(𝑥1 − 𝑥𝐴)(𝑥2 − 𝑥1) + (𝑦1 − 𝑦𝐴)(𝑦2 − 𝑦1) −
𝐿 𝐴1 𝐿12 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0
(0 − 0)(𝑥2 − 𝑥1) + (9 − 0)(16 − 9) − 9 ∗ 36 ∗
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0
𝜑 = 39.094º
Por lo que tenemos:
𝑞 =
[
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
𝜑 ]
=
[
0
9
38
16
39.094]
Determinamos el Jacobiano:
𝜙(𝑞)
= [
2(𝑥1 − 𝑥𝐴) 2(𝑦1 − 𝑦𝐴) 0 0 0
−2(𝑥2 − 𝑥1) −2(𝑦2 − 𝑦1) 2(𝑥2 − 𝑥1) 2(𝑦2 − 𝑦1
0
𝑥2 − 2𝑥1 + 𝑥𝐴
0
𝑦2 − 2𝑦1 + 𝑦𝐴
−2(𝑥𝐵 − 𝑥2)
𝑥1 − 𝑥𝐴
−2(𝑦𝐵 − 𝑦2
𝑦1 − 𝑦𝐴
𝜙(𝑞) = [
0 18 0 0 0
−76 −14 76 14 0
38 −2 0 9 23
]
Determinación de velocidades
𝜙(𝑞) = [
0 18 0 0 0
−76 −14 76 14 0
38
0
−2
0
0
0
9
0
23
1
] ∗
[
𝑥1̇
𝑦1̇
𝑥2̇
𝑦2̇
𝜑̇ ]
=
[
0
0
0
0
1]
[
𝑥1̇
𝑦1̇
𝑥2̇
𝑦2̇
𝜑̇ ]
=
[
−3,45
1,78
−5,7
0
1 ]
2. BIBLIOGRAFIA
- Wallace J. Hoop, Mark L. Spearman.(2001). Factory
Physics. Hong Kong: McGraw – Hill.
Trabajo Grupal – Teoría de Máquinas
Villacís Barba Jorge Sebastián ; Titumaita Tatiana ; Anchundia Toapante Gabriel Jonathan
*Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Mecánica, Quito, Ecuador
![ESCUELA POLITECNICA NACIONAL – INGENIERIA MECANICA
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Los datos del problema son los siguientes:
𝑥𝐴 = 0, 𝑦𝐴 = 0 , 𝑥𝐵 = 27 , 𝑦𝐵 = 0, 𝑥1 = 0 , 𝑦1 = 9 , 𝑥2
= 38 , 𝑦2 = 16 , 𝜑 = 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Iniciamos la resolución del problema
𝑞 = [𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝜑]
Con n = 5, y con g =1 grado de libertad, necesitamos m=n-g
= 4 ecuaciones.
Sólido A1: Sólido rígido con dos puntos:
(𝑥1 − 𝑥𝐴)2
+ (𝑦1 − 𝑦𝐴)2
− 𝐿 𝐴1
2
= 0
Sólido 12: Sólido rígido con dos puntos:
(𝑥2 − 𝑥1)2
+ (𝑦2 − 𝑦1)2
− 𝐿12
2
= 0
Sólido A1: Sólido rígido con dos puntos:
(𝑥𝐵 − 𝑥2)2
+ (𝑦𝐵 − 𝑦2)2
− 𝐿 𝐵2
2
= 0
Coordenada relativa 𝜑
(𝑥1 − 𝑥𝐴)(𝑥2 − 𝑥1) + (𝑦1 − 𝑦𝐴)(𝑦2 − 𝑦1)
− 𝐿 𝐴1 𝐿12 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0
Resultando el vector de restricciones
𝜙(𝑞)
=
[
(𝑥1 − 𝑥𝐴)2
+ (𝑦1 − 𝑦𝐴)2
− 𝐿 𝐴1
2
(𝑥2 − 𝑥1)2
+ (𝑦2 − 𝑦1)2
− 𝐿12
2
(𝑥𝐵 − 𝑥2)2
+ (𝑦𝐵 − 𝑦2)2
− 𝐿 𝐵2
2
(𝑥1 − 𝑥𝐴)(𝑥2 − 𝑥1) + (𝑦1 − 𝑦𝐴)(𝑦2 − 𝑦1) − 𝐿 𝐴1 𝐿12 𝑐𝑜𝑠𝜑]
Antes de proceder con el problema necesitamos tener todas
las coordenadas por lo que usando los datos del problema
reemplazamos en la ecuación de coordenada relativa para
obtener el ángulo 𝜑
(𝑥1 − 𝑥𝐴)(𝑥2 − 𝑥1) + (𝑦1 − 𝑦𝐴)(𝑦2 − 𝑦1) −
𝐿 𝐴1 𝐿12 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0
(0 − 0)(𝑥2 − 𝑥1) + (9 − 0)(16 − 9) − 9 ∗ 36 ∗
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0
𝜑 = 39.094º
Por lo que tenemos:
𝑞 =
[
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
𝜑 ]
=
[
0
9
38
16
39.094]
Determinamos el Jacobiano:
𝜙(𝑞)
= [
2(𝑥1 − 𝑥𝐴) 2(𝑦1 − 𝑦𝐴) 0 0 0
−2(𝑥2 − 𝑥1) −2(𝑦2 − 𝑦1) 2(𝑥2 − 𝑥1) 2(𝑦2 − 𝑦1
0
𝑥2 − 2𝑥1 + 𝑥𝐴
0
𝑦2 − 2𝑦1 + 𝑦𝐴
−2(𝑥𝐵 − 𝑥2)
𝑥1 − 𝑥𝐴
−2(𝑦𝐵 − 𝑦2
𝑦1 − 𝑦𝐴
𝜙(𝑞) = [
0 18 0 0 0
−76 −14 76 14 0
38 −2 0 9 23
]
Determinación de velocidades
𝜙(𝑞) = [
0 18 0 0 0
−76 −14 76 14 0
38
0
−2
0
0
0
9
0
23
1
] ∗
[
𝑥1̇
𝑦1̇
𝑥2̇
𝑦2̇
𝜑̇ ]
=
[
0
0
0
0
1]
[
𝑥1̇
𝑦1̇
𝑥2̇
𝑦2̇
𝜑̇ ]
=
[
−3,45
1,78
−5,7
0
1 ]
2. BIBLIOGRAFIA
- Wallace J. Hoop, Mark L. Spearman.(2001). Factory
Physics. Hong Kong: McGraw – Hill.
Trabajo Grupal – Teoría de Máquinas
Villacís Barba Jorge Sebastián ; Titumaita Tatiana ; Anchundia Toapante Gabriel Jonathan
*Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Mecánica, Quito, Ecuador](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)