La presentazione descrive come calcolare il rango di una matrice, il suo legame con il concetto di determinante e, tramite il teorema di Rouché-Capelli, lo studio della risolvibilità di un sistema lineare.

1. Rango di una
matrice e teorema
di Rouché Capelli

2. Definizione rango
 Data una matrice A di dimensione n x m, il rango di A è il
numero di righe diverse da zero che si ottengono dopo che ad A
è applicato l’algoritmo di eliminazione di Gauss.
Esempio: qual è il rango della matrice?
A= 1 3 2
1 2 0
0 0 -1
2 0 -2

3. Esempio calcolo del rango
Applichiamo l’algoritmo di eliminazione di Gauss
1 3 2
1 2 0
0 0 -1
2 0 -2
Sostituisco alla seconda riga il risultato della differenza tra essa e la prima
riga. Ottengo così la matrice
1 3 2
0 -1 -2
0 0 -1
2 0 -2

4. Esempio calcolo del rango
Sostituisco alla quarta riga il risultato della differenza tra essa e il doppio
della prima riga.
1 3 2
0 -1 -2
0 0 -1
0 -6 -6
Moltiplichiamo la seconda riga per -1
1 3 2
0 1 2
0 0 -1
0 -6 -6

5. Esempio calcolo del rango
Sostituisco la quarta riga con la somma tra essa e sei volte la seconda
1 3 2
0 -1 -2
0 0 -1
0 0 6
Moltiplichiamo la terza riga per -1
1 3 2
0 -1 -2
0 0 1
0 0 6

6. Esempio calcolo del rango
Sostituisco la quarta riga con la differenza tra essa e sei volte la terza
1 3 2
0 -1 -2
0 0 1
0 0 0
Ora che l’eliminazione di Gauss è terminata possiamo contare il
numero di righe diverse da zero.
1 3 2
0 -1 -2
0 0 1 Il rango della matrice è 3
0 0 0

7. Rango e determinante
Come visto nella definizione, il rango è definito per tutte le matrici, anche
quelle rettangolari, per le quali non posso calcolare il determinante.
Nel caso in cui la matrice sia quadrata abbiamo comunque uno strumento in
più per calcolare il rango, come mostrato da questo teorema.
Teorema
Per una matrice quadrata A con dimensione n x n
Rango(A) = n se e solo se Determinante ( A ) != 0

8. Esempio
Calcolare il rango di A
A = 1 3 2
0 -1 -2
0 2 -1
Poiché A è una matrice quadrata 3x3, posso calcolare il determinante
partendo, ad esempio, dalla prima colonna.
Det(A) = 1 * Det -1 -2 = 1 * [(-1)(-1) – (2)*(-2)] = 5
2 -1
Poiché A è una matrice 3x3 con determinante diverso da zero, per il teorema
precedente il suo rango è 3

9. Esempio
Calcolare il rango della matrice
A = 1 3 2
0 -1 -2
0 2 4
Poiché A è una matrice quadrata 3x3, posso calcolare il determinante partendo
dalla prima colonna.
Det(A) = 1 * Det -1 -2 = 1 * [(-1)(4) – (2)*(-2)] = 0
2 -1
Poiché A è una matrice 3x3 con determinante uguale a zero, per il teorema
precedente posso concludere che il rango non è 3. Non so ancora se è 0,1 o 2.

10. Esempio
Per calcolare il rango posso applicare allora l’eliminazione di Gauss
A = 1 3 2
0 -1 -2
0 2 4
Moltiplico la seconda riga per -1
1 3 2
0 1 2
0 2 4

11. Esempio
Sottraggo alla terza riga il doppio della seconda
1 3 2
0 1 2
0 0 0
Nella matrice finale ho due righe diverso da zero, quindi il rango è 2
1 3 2
0 1 2
0 0 0

12. Determinanti delle sottomatrici
Una matrice ha rango zero soltanto se è la matrice formata da tutti zero.
Nell’esercizio precedente, dunque, A poteva avere rango 1 oppure rango 2.
Quando ci troviamo in questa situazione possiamo applicare un’altra
strategia, oltre all’eliminazione di Gauss.
Per verificare che il rango di A sia 2 possiamo calcolare il determinante di
una sottomatrice 2x2:
 se è uguale a zero non possiamo fare affermazioni. A questo punto
possiamo tentare con un’altra sottomatrice 2x2 oppure procedere con
l’algoritmo standard dell’eliminazione di Gauss;
 se è diverso da zero possiamo concludere immediatamente che il rango è
2.

13. Esempio
Torniamo all’esercizio precedente
A = 1 3 2
0 -1 -2
0 2 4
Poiché il determinante di A è zero il rango di A non può essere tre.
Poiché A non è la matrice con tutti zero, il rango di A non può essere zero.
Applichiamo la strategia precedente. Considero la sottomatrice 2x2 evidenziata
In giallo
1 3 2
A = 0 -1 -2 Il determinante è 1*(-1) – 3 * 0 = -1 e quindi il rango
0 2 4 della matrice A di partenza è 2.

14. Teorema di Rouché - Capelli
Il calcolo del rango ci dà un importante strumento per valutare la risolvibilità
di un sistema lineare.
Teorema di Rouchè - Capelli
Dato un sistema lineare, considero
 A la matrice con i soli coefficienti associati alle variabili
 B la matrice con i coefficienti associati alle variabili a cui aggiungo la colonna
dei termini noti
Il sistema ha soluzione se e solo se il rango di A è uguale al rango di B

15. Esempio
Il sistema seguente ha soluzioni?
x1 + 3x2 + 2x3 = 3
x1 + 2x2 = 0
–x3 = 0
2x1 –2x3 = 0
Considero le matrici A e B
A = 1 3 2 B = 1 3 2 3
1 2 0 1 2 0 0
0 0 -1 0 0 -1 0
2 0 -2 2 0 -2 0

16. Esempio
A è la matrice che abbiamo studiato all’inizio della presentazione, utilizzando
l’eliminazione di Gauss si vede che il suo rango è 3.
B è una matrice quadrata, posso calcolare dunque il determinante
Det 1 3 2 3 = calcolo sulla quarta colonna =
1 2 0 0
0 0 -1 0
2 0 -2 0
calcolo sulla seconda riga
= ( -3 ) * Det 1 2 0 = ( -3 ) * (- (-1) ) * Det 1 2 =
0 0 -1 2 0
2 0 -2

17. Esempio
= (-3) * 1 * [ 1 * 0 – 2 * 2 ] = (- 3 ) * ( - 4) = 12
B è una matrice 4 x 4 con determinante diverso da 0, il suo rango è dunque 4.
Poiché è diverso dal rango di A = 3, il sistema di partenza non ha soluzioni.

18. Esercizi
Calcolare il rango delle matrici
A = 2 3 1 B = 1 2 2 1
0 2 4 1 1 2 1
0 1 2 2 4 4 0
Il sistema seguente ha soluzioni?
x1 + x2 - x3 = 0
x1 + 2x2 = 1
x1 + x3 = 0
2x1 – x3 = 0