Nel documento sono riportati degli esercizi svolti sul calcolo di autovalori e autovettori di matrici.

1. Esercizio
Calcolare autovalori e autovettori dellamatrice A
A= 6 2
4 4
Verificare i risultatiottenutiutilizzandoladefinizione di autovaloree relativoautovettore
Risoluzione
Calcoloautovalori
Percalcolare gli autovalori occorre
1) calcolare il determinantedellamatrice (A –k I)
2) porre questodeterminanteuguale a0 inmododa ottenere un’equazionenell’incognita k
3) trovare le soluzioni di questaequazione
Det ( A – k I ) =
Det 6 2 - k* 1 0 =
4 4 0 1
Det 6 2 - k 0 =
4 4 0 k
Det 6 -k 2 =
4 4 - k
= (6 – k ) * (4 – k ) – 2 * 4 =
= 24 -6k -4k + k2
- 8 =
= k2
– 10k + 16
Abbiamoottenutol’equazionenell’incognita k
k2
– 10k + 16 = 0
Perrisolverlacalcoliamoil Delta=b2
– 4 a c = (-10)2
–4 * 1 * 16 = 100 – 64 = 36

2. Poiché il Deltaè positivo,l’equazione hadue soluzioni realidistinte;dunque lamatrice hadue autovalori
reali distinti che sono
[ -b+/- sqrt (Delta) ] / [ 2a ] = [ - ( -10 ) +/- sqrt( 36 ) ] / [ 2* 1 ] = [ 10 +/- 6 ] / 2 =
[10 + 6] / 2 = 16 /2 = 8 oppure [10 - 6] / 2 = 4 /2 = 2
Gli autovalori dellamatrice sonodunque 2e 8.
Calcoloautovettori relativi a 2
Gli autovettori sonole soluzioni del sistema ( A– k I ) x = 0 dove:
- A è la matrice di partenza
- I è la matrice Identità
- k è l’autovalore relativo.
In questocasok = 2
Devodunque risolvere il sistema( A – 0 * I ) x = 0
6 2 - 2 * 1 0 x1 = 0
4 4 0 1 x2 0
6 2 - 2 0 x1 = 0
4 4 0 2 x2 0
4 2 x1 = 0
4 2 x2 0
Otteniamodunque il sistema
4 x1 + 2 x2 = 0
4 x1 + 2 x2 = 0
Ricavox2 dallaprimaequazione
4 x1 + 2 x2 = 0
2 x2 = - 4 x1
x2 = - 2 x1

3. Sostituiscoquestauguaglianzanellaseconda equazione
4 x1 + 2 x2 = 0
4 x1 + 2 ( -2x1) = 0
4 x1 - 4 x1 = 0
0 = 0
Otteniamodunque il sistema
x2 = - 2 x1
0 = 0
che ha infinitesoluzioni (tuttequelle conx2 = -2 x1 )
Queste soluzioni sonotutte autovettori relativia2, scegliendoadesempiox1 =1 otteniamol’autovettore
1
-2
Verifica
Devocontrollare che siaverificatalarelazioneA*v= k * v
Dove k è l’autovalore (inquestocaso2) e v unrelativoautovettore (inquestocaso 1 )
-2
6 2 * 1 = 2 * 1
4 4 -2 -2
6 * 1 + 2 * ( -2 ) = 2 * 1
4 * 1 + 4 * ( -2 ) 2 * ( - 2 )
2 = 2
-4 -4
Ok!

4. Calcoloautovettori relativi a 8
Gli autovettori sonole soluzioni del sistema ( A– k I ) x = 0 dove:
- A è la matrice di partenza
- I è la matrice Identità
- k è l’autovalore relativo.
In questocasok = 8
Devodunque risolvere il sistema( A – 0 * I ) x = 0
6 2 - 8 * 1 0 x1 = 0
4 4 0 1 x2 0
6 2 - 8 0 x1 = 0
4 4 0 8 x2 0
-2 2 x1 = 0
4 -4 x2 0
Otteniamodunque il sistema
-2 x1 + 2 x2 = 0
4 x1 - 4 x2 = 0
Ricavox1 dallasecondaequazione
4 x1 - 4 x2 = 0
4 x1 = 4 x2
x1 = x2
Sostituisco questauguaglianzanellaprimaequazionee ottengo
-2 x1 + 2 x2 = 0
-2 (x2) +2 x2 = 0
-2 x2 + 2 x2 = 0
0 = 0
Otteniamodunque il sistema

5. 0 = 0
x1 = x2
che ha infinitesoluzioni (tuttequelle conx1 = x2 )
Queste soluzioni sonotutte autovettori relativia8, scegliendoadesempiox2 =1 (scelgox2 perché è a
destradell’uguale)otteniamol’autovettore
1
1
Verifica
Devocontrollare che siaverificatalarelazioneA*v= k * v
Dove k è l’autovalore (inquestocaso8) e v unrelativoautovettore (inquestocaso 1 )
1
6 2 * 1 = 8 * 1
4 4 1 1
6 * 1 + 2 * 1 = 8 * 1
4 * 1 + 4 * 1 8 * 1
8 = 8
8 8
Ok!
Esercizio
Verificare che lamatrice A nonha autovalori
A = 5 2
-1 5
Risoluzione
Percalcolare gli autovalori occorre

6. 1) calcolare il determinantedellamatrice (A –k I)
2) porre questodeterminanteuguale a0 inmododa ottenere un’equazionenell’incognitak
3) trovare le soluzioni di questaequazione
Det ( A – k I ) =
Det 5 2 - k* 1 0 =
-1 5 0 1
Det 5 2 - k 0 =
-1 5 0 k
Det 5 -k 2 =
-1 5 - k
= (5 – k ) * (5 – k ) – 2 * ( -1 ) =
= 25 -5k -5k + k2
+2 =
= k2
– 10k + 27
Abbiamoottenutol’equazionenell’incognita k
k2
– 10k + 27 = 0
Perrisolverlacalcoliamoil Delta=b2
– 4 a c = (-10)2
–4 * 1 * 27 = 100 – 108 = - 8
Poiché il Deltaè negativo,l’equazionenonhasoluzioni reali,e dunque lamatrice nonhaautovalori reali
Esercizio
Calcolare gli autovettori dellamatrice
A = 4 -4
-2 2
relativi all’autovalore 0.
Risoluzione
Gli autovettori sonole soluzioni del sistema( A – k I ) x = 0 dove:

7. - A è la matrice di partenza
- I è la matrice Identità
- k è l’autovalore relativo.
In questocasok = 0
Devodunque risolvere il sistema( A – 0 * I ) x = 0
4 -4 - 0 * 1 0 x1 = 0
-2 2 0 1 x2 0
4 -4 - 0 0 x1 = 0
-2 2 0 0 x2 0
4 -4 x1 = 0
-2 2 x2 0
Otteniamodunque il sistema
4 x1 - 4 x2 = 0
-2 x1 + 2 x2 = 0
Ricavox2 dallasecondaequazione
-2 x1 + 2 x2 = 0
2 x2 = 2 x1
x2 = x1
Sostituisco questauguaglianzanellaprimaequazione
4 x1 - 4 x2 = 0
4 x1 - 4 x1 = 0
0 = 0
Otteniamodunque il sistema
0 = 0
x2 = x1
che ha infinitesoluzioni (tuttequelle conx2 = x1 )

8. Queste soluzioni sonotutte autovettori,scegliendoadesempiox1 =1otteniamol’autovettore
1
1
Esercizio
Data la matrice A
A = 4 -4 con autovalori 6e 0.
-2 2
Sappiamoche l’autovalore 6ha autovettore - 2
1
e che l’autovalore 0ha autovettore 1
1
Se V è lamatrice che ha sullaprimacolonnaunautovettore relativoa6 e sullasecondacolonnaun
autovettore relativoa0
V = -2 1
1 1
Mentre D è la matrice diagonale che hasulladiagonale gli autovalori (nellostessoordine sceltoperle
colonne di V)
D = 6 0
0 0
Verificare che vale larelazione V-1
A V = D dove A è la matrice di partenza.
Risoluzione
Calcoliamopreliminarmente V-1
Det ( V ) = -2 * 1 – 1* 1 = -2 -1 = -3
V-1
= [ 1 / ( -3 ) ] * 1 -1
T
-1 -2

9. V-1
= [ - 1 / 3 ] * 1 -1
-1 -2
V-1
= -1/3 1/3
1/3 2/3
V-1
A V = D
-1/3 1/3 * 4 - 4 * -2 1 = 6 0
1/3 2/3 -2 2 1 1 0 0
-4/3 - 2/3 4/3 + 2/3 * -2 1 = 6 0
4/3 – 4/3 -4/3 + 4/3 1 1 0 0
-2 2 * -2 1 = 6 0
0 0 1 1 0 0
4 +2 -2 + 2 = 6 0
0 +0 0 + 0 6 0
6 0 = 6 0
0 0 0 0 Ok!