II razred srednje škole

1. KVADRATNA FUNKCIJA
By Nataša Čičić

2. ZADATAK 1.
 Na jednoj plantaži nabrali su 800 t pomorandži.
Trenutna cena je 720 evra po toni. Svake
nedelje se pokvari 16 tona pomorandži, ali cena
po toni poraste za 120 evra. Koji je najpovoljniji
momenat za prodaju?

3. Zadatak 2.
 Treba napraviti prozor zadatog obima i
odredjenog oblika. Kako treba izabrati
dimenzije, tako da prozor propu šta
maximalnu količinu svetlosti?

4. Kako ćemo rešavati 1 zadatak?
Nabrali su 800 t pomorandži. Cena je 720 eura po toni. Svake nedelje
se pokvari 16 tona, ali cena po toni poraste za 120 evra.
tona
X koliko je nedelja proteklo od
berbe
Y novac koji se dobija od prodaje
težina “zdravih” 800 - 16 x
pomorandži
Cena 1 tone posle x 720+120x
nedelja
Zarada y=(800-16x)(720+120x)
Množenjem se dobija y=-1920x2+84480x+576000
 Zanima nas kada je najpovoljniji trenutak za prodaju i kolika je tada zarada
tj. kada će funkcija imati maksimum i kolika je ta maksimalna vrednost

5. Oba zadatka se rešavaju pomoću
kvadratnih funkcija
 Kvadratna funkcija je
realna funkcija zadata
izrazom
f(x) = ax2 + bx + c
a,b,c є R
a#0
Grafik kvadratne funkcije
je parabola.

6. Grafik funkcije y =ax 2
a>0
 Grafik je iznad x ose
(osim jedne tačke-
TEME)
 Simetričan u odnosu
na y osu (parna f-ja)
 Prolazi kroz
koordinatni početak
a=2 a=1 a=1/2

7. Grafik funkcije y =ax 2
a>0 a<0
 Grafik je iznad x ose  Grafik je ispod x ose (osim jedne
(osim jedne tačke - TEME) tačke- TEME)
 Simetričan u odnosu na y osu  Simetričan u odnosu na y osu
(parna f-ja) (parna f-ja)
 Prolazi kroz koordinatni početak  Prolazi kroz koordinatni početak

8. y=ax2+ β
 Ordinata se dobija
tako sto se uveća za
β pa zato ...
 Grafik je parabola
“pomerena” duž y ose
 Teme je tačka
T (0, β )

9. y=ax2+β
 y=ax2
 y=ax2 +1
 y=ax2 +2
 y=ax2 -1

10. Y=a(x-α)2
 Dobija se tako što se parabola y=ax2
translira za α duž x ose udesno ili ulevo.
Y=(x-3)2 Y=(x+3)2

11. Različiti oblici kvadratne funkcije
Y=ax2+bx+c
 kanonički oblik
Y=a(x+b/(2a))2 -(b2 -4ac)/(4a)
 Temenski oblik
y = a(x-α)2 +β α=− b/(2a), β=-(b2 -4ac)/(4a)
Tačka T(α, β) je teme parabole.
 Oblik s nulama:
y = a(x – x1)(x – x2)

12. ISPITIVANJE KVADRATNE
FUNKCIJE
 Domen
je skup svih realnih brojeva za koje izraz ima smisla.
Kod kvadratne funkcije to je R
 Nule
 Presek sa y osom je tačka P (0,c)
 parnost
 Ekstremne vrednosti
 Intervali rasta i opadanja
 Znak

13. Primer
Y=x2-8x+7
 1. domen je R
 2. Nule :
x2-8x+7=0 => x1= 1, x2=7
 Presek sa y osom:
X=0 => y=7
 Teme (4,-9)

14. NULE FUNKCIJE
 su realni koreni
kvadratne jednačine
ax2+bx+c=0
X1,2=-b± b2-4ac
2a
Geometrijsko tumačenje
Nule su tačke u kojima
grafik seče x osu.

15. Kanonični oblik funkcije
 Y=ax2+bx+c
 Y=a(x2+(b/a)x)+c
 Y=a(x2+(b/a)x+b2/4a2-b2/4a2)+c
 Y=a(x+(b/2a)) 2+c-b2/4a
 Y=a(x+b/(2a))2 -(b2-4ac)/(4a)

16. EKSTREMNE VREDNOSTI
 U temenu
T (-b/(2a), (4ac-b2)/4a)  a najmanju
kvadratna funkcija dostiže
kada je a>0
najveću vrednost kad je
a<0,

17. INTERVALI RASTA I
OPADANJA
a>0 a<0
teme
teme

18. parnost
 Funkcija je PARNA ako
f(-x)=f(x) za svako x iz domena
 Funkcija je NEPARNA ako
f(-x)=-f(x) za svako x iz domena
Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na y
osu
Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na
koordinatni početak

19. Znak
 Funkcija je pozitivna za one vrednosti x za
koje je f(x)>0, a negativna ako je f(x) <0.
 U delu u kojem je funkcija pozitivna grafik
je iznad x ose.
 U delu u kojem je funkcija negativna grafik
je ispod x ose.
+++++
------

20. znak
++++ - - - - - - +++++++
-
Grafik je
ispod x ose
Funkcija je
negativna

21. znak
Grafik je
iznad x ose
------ + + + + - - - - -
Funkcija je
pozitivna

22. Različiti grafici
D>0 dve nule D>0 dve nule
grafik seče x osu u 2 tačke grafik seče x osu u 2 tačke
a>0 grafik je okrenut a<0 grafik je okrenut
otvorom na gore otvorom na dole
D=b 2 -4ac

23. D=0 jedna nula D=0 jedna nula
a>0 grafik je a<0 grafik je
okrenut otvorom na gore okrenut otvorom na dole

24. D<0 nema nule D<0 nema nule
a>0 grafik je a<0 grafik je
okrenut otvorom na okrenut otvorom na
gore dole

26. A šta je sa narandžama?
 y=-1920x2+84480x+576000
 Tražimo vrednost za x za koju će funkcija imati
maximum
 To je u stvari prva koordinata temena ove kvadratne
funkcije
 -b/(2a)=-84480/2*(-1920)=84480/3840=22
 Dakle,ako se narandže prodaju nakon 22 dana biće
ostvarena najveća zarada.
 Ostvarena zarada tada je jednaka maksimalnoj vrednosti
funkcije, a to je druga koordinata temena funkcije
 (4ac-b2)/(4a)=(4*(-1920)*576000-844802)/(4*(-1920)=...