作図と対称性

1. 2017 10 9

2. 221 = 13 × 17 Gauss 17 2017 10 7 mathpower2017

3. 65537

4. 65537

6. 3 = 2 + 1 5 = 4 + 1 = 2 × 2 + 1 17 = 16 + 1 = 4 × 4 + 1 257 = 256 + 1 = 16 × 16 + 1 65537 = 65536 + 1 = 256 × 256 + 1

7. 4294967297 = 65536 × 65536 + 1 = 641 × 6700417 18446744073709551617 = 4294967296 × 4294967296 + 1 = 274177 × 67280421310721 · · · 65537

11. 120◦

12. 120◦ 60◦

13. 60◦ 60◦ 60◦ 1 1 2

14. A B

15. 1 1 2

16. • • •

22. = = 1 AB

23. • • • •

24. 4 3 3 4

25. • • • • •

27. √ 3

28. x2 + y2 = r2 √ 2 1 1 √ 2

29. √ 5 2 √ 5 3

30. ax2 + bx + c = 0 x = −b ± √ b2 − 4ac 2a a, b, c

31. A = (0, 1), B = (a, b) x(x − a) + (y − 1)(y − b) = 0 y = 0 x2 − ax + b = 0

32. x2 + x − 1 = 0 x = −1 ± √ 5 2 O(0, 0) A(0, 1) B(−1, −1)

33. • • • • • •

34. 1 + √ 5, 1 + 1 + √ 5, . . .

36. 72◦

37. 72◦

38. 72◦ 36◦ 72◦

39. 36◦36◦ 36◦ 72◦

40. O A B C D 36◦36◦ 36◦ 72◦

41. OA : OC = OC : CD OC = x 1 : x = x : 1 − x x2 + x − 1 = 0

42. θ cos θ 1

43. 120◦ 1 − 1 2 cos 120◦ = cos 240◦ = − 1 2

44. cos 120◦ + cos 240◦ = −1

45. cos(θ) = cos(360◦ − θ) cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β

46. cos 72◦ + cos 144◦ = 2 cos 72◦ cos 144◦ 2 cos2 72◦ − 1 = cos 144◦ cos 72◦ +2 cos2 72◦ −1 = 2 cos 72◦ (2 cos2 72◦ −1)

47. 2 cos 72◦ = x 1 2 x + 2 4 x2 − 1 = x( 2 4 x2 − 1) 1 2 x3 − 1 2 x2 − 3 2 x + 1 = 0 x3 − x2 − 3x + 2 = 0 (x − 1)(x2 + x − 1) = 0

48. x2 + x − 1 = 0 x = 2 cos 72◦ , 2 cos 144◦ x = −1 ± √ 5 2 2 cos 72◦ +2 cos 144◦ = −1 + √ 5 2 + −1 − √ 5 2 = −1

49. 2 cos 72◦ + 2 cos 144◦ = −1 cos 72◦ + cos 72◦ + cos 144◦ + cos 144◦ = −1 cos 72◦ + cos 144◦ + cos 216◦ + cos 288◦ = −1

50. cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +· · ·+cos(N−1) 360◦ N = −1 N cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +· · ·+cos N − 1 2 360◦ N = − 1 2

51. x = α, β (x − α)(x − β) = 0 x2 − (α + β)x + αβ = 0

52. x2 − ax + b = 0 x = α, β a = α + β, b = αβ

53. 17

54. α = cos 1 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 β = cos 3 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 + cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17

55. α + β = cos 1 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 + cos 3 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 + cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 = − 1 2

56. αβ = cos 1 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17

58. cos(θ) = cos(360◦ − θ) cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β θ = 360◦ 17 17θ = 360◦

59. cos θ = cos 16θ cos 2θ = cos 15θ cos 3θ = cos 14θ cos 4θ = cos 13θ cos 5θ = cos 12θ cos 6θ = cos 11θ cos 7θ = cos 10θ cos 8θ = cos 9θ

60. ab = cos (1θ) cos (3θ) + cos (1θ) cos (5θ) + cos (1θ) cos (6θ) + cos (1θ) cos (7θ) + cos (2θ) cos (3θ) + cos (2θ) cos (5θ) + cos (2θ) cos (6θ) + cos (2θ) cos (7θ) + cos (4θ) cos (3θ) + cos (4θ) cos (5θ) + cos (4θ) cos (6θ) + cos (4θ) cos (7θ) + cos (8θ) cos (3θ) + cos (8θ) cos (5θ) + cos (8θ) cos (6θ) + cos (8θ) cos (7θ)

61. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (9θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (9θ) + cos (2θ) + cos (10θ) + cos (3θ) + cos (11θ) + cos (5θ) + cos (11θ) + cos (3θ) + cos (13θ) + cos (2θ) + cos (14θ) + cos (1θ) + cos (15θ)}

73. = 1 2 (4 cos (1θ) + 4 cos (2θ) + 4 cos (3θ) + 4 cos (4θ) + 4 cos (5θ) + 4 cos (6θ) + 4 cos (7θ) + 4 cos (8θ)) = −1 α + β = − 1 2 αβ = −1

74. α, β x2 + 1 2 x − 1 = 0 α β

75. γ = cos 1 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 = cos (1θ) + cos (4θ) δ = cos 2 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 = cos (2θ) + cos (8θ) γ + δ, γδ

76. γ + δ = cos (1θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (8θ) = α

77. γδ = (cos (1θ) + cos (4θ))(cos (2θ) + cos (3θ)) = cos (1θ) cos (2θ) + cos (4θ) cos (2θ) + cos (1θ) cos (3θ) + cos (4θ) cos (3θ) = 1 2 (cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ) + cos (6θ) + cos (7θ) + cos (9θ) + cos (4θ) + cos (12θ)) = 1 2 (cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ) + cos (6θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (5θ))

78. γ + δ = α γδ = − 1 4 γ, δ x2 − αx − 1 4 = 0

79. γ = cos 1 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 δ = cos 2 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17

80. cos 1 · 360◦ 17 cos 4 · 360◦ 17 = 1 2 (cos 3 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 )

81. ϵ = cos 3 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 = cos (3θ) + cos (5θ) ζ = cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17 = cos (6θ) + cos (7θ) ϵ + ζ, ϵζ

82. ϵ + ζ = cos (3θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (7θ) = β

83. ϵζ = (cos (3θ) + cos (5θ))(cos (6θ) + cos (7θ)) = cos (3θ) cos (6θ) + cos (5θ) cos (6θ) + cos (3θ) cos (7θ) + cos (5θ) cos (7θ) = 1 2 (cos (9θ) + cos (3θ) + cos (11θ) + cos (1θ) + cos (10θ) + cos (4θ) + cos (12θ) + cos (2θ)) = 1 2 (cos (8θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (4θ) + cos (5θ) + cos (2θ))

84. ϵ + ζ = β ϵζ = − 1 4 ϵ, ζ x2 − βx − 1 4 = 0

85. 1. x2 + 1 2 x − 1 = 0 x = α, β 2. x2 − αx − 1 4 = 0 x = γ, δ

86. 3. x2 − βx − 1 4 = 0 x = ϵ, ζ 4. x2 − γx + 1 2 ϵ = 0 x = cos 360◦ 17

88. cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +· · ·+cos(N−1) 360◦ N = −1 N cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +· · ·+cos N − 1 2 360◦ N = − 1 2

89. cos 1 · 360◦ 7 + cos 2 · 360◦ 7 + cos 3 · 360◦ 7 = − 1 2

90. cos 2 · 360◦ 7 = 2 cos 1 · 360◦ 7 2 − 1 3 cos 3 · 360◦ 7 = 4 cos 1 · 360◦ 7 3 − 3 cos 1 · 360◦ 7

91. cos 1 · 360◦ 7 + 2 cos 1 · 360◦ 7 2 − 1 + 4 cos 1 · 360◦ 7 3 − 3 cos 1 · 360◦ 7 = − 1 2

92. cos 1 · 360◦ 7 4x3 + 2x2 − 2x − 1 2 = 0

93. 4x3 +2x2 −2x− 1 2 = (ax2 +bx+c)(dx+e)+fx+g fx + g = 0

95. eiθ = cos θ + i sin θ ei360◦ = cos 360◦ + i sin 360◦ = 1 eiα eiβ = eiα+iβ (eiθ )n = eniθ

96. (ei 360◦ 3 )3 = (e3i 360◦ 3 ) = 1 x3 = 1 x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) = 0

97. x = ei 360◦ 3 , e2i 360◦ 3 x2 + x + 1 = 0

98. (ei 360◦ 5 )5 = (e5i 360◦ 5 ) = 1 x5 = 1 x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 x = ei 360◦ 5 , e2i 360◦ 5 , e3i 360◦ 5 , e4i 360◦ 5 x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

99. (ei 360◦ 7 )7 = (e7i 360◦ 7 ) = 1 x7 = 1 x7 −1 = (x−1)(x6 +x5 +x4 +x3 +x2 +x+1) = 0 x =ei 360◦ 7 , e2i 360◦ 7 , e3i 360◦ 7 e4i 360◦ 7 , e5i 360◦ 7 , e6i 360◦ 7 x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

102. −b + √ b2 − 4ac 2 , −b − √ b2 − 4ac 2

103. x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

104. ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 e2i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e4i 360◦ 5

105. e3i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e6i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 e4i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e8i 360◦ 5 = e3i 360◦ 5

106. ei 360◦ 5 ei 360◦ 5 , e2i 360◦ 5 , e3i 360◦ 5 , e4i 360◦ 5 4 x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 4

107. ei 360◦ 5 + e4i 360◦ 5 4 e2i 360◦ 5 + e3i 360◦ 5

108. x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

109. ei 360◦ 7 e2i 360◦ 7 6

110. ei 360◦ 7 + e6i 360◦ 7 e2i 360◦ 7 + e5i 360◦ 7 , e3i 360◦ 7 + e4i 360◦ 7

111. p 1 p − 1 p − 1 k p − 1/k

112. p − 1 2 p p − 1 = 2n

113. Fermat

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