Struktur Aljabar

1. 1
Struktur Aljabar I
TEORI GRUP
MUH. ALFIANSYAH
Email: muhalfiansyah95@yahoo.com
PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2. 2
GRUP
1. Buktikan unsur identitas suatu grup adalah tunggal.
Bukti:
Misalkan G adalah grup
Misalkan 𝑒1 dan 𝑒2 adalah unsur identitas di G
Akan dibuktikan 𝑒1 = 𝑒2
Perhatikan bahwa:
𝑒1 adalah unsur identitas di G dan 𝑒2 ∈ G ⇒ 𝑒1 𝑒2 = 𝑒2 𝑒1 = 𝑒2 … (i)
𝑒2 adalah unsur identitas di G dan 𝑒1 ∈ G ⇒ 𝑒2 𝑒1 = 𝑒1 𝑒2 = 𝑒1 …(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh 𝑒1 = 𝑒2 𝑒1 = 𝑒1 𝑒2 = 𝑒2.
∴ 𝑒1 = 𝑒2, dengan demikian unsur identitas suatu grup adalah tunggal. ∎
Struktur Pembuktian Grup
Misalkan G adalah suatu himpunan
(i) Buktikan G ≠ ∅.
(ii) Buktikan G bersifat tertutup terhadap operasi biner *.
(iii) Buktikan G bersifat assosiatif terhadap operasi biner *.
(iv) Buktikan G memiliki unsur identitas terhada operasi biner *.
(v) Buktikan G memiliki unsur invers terhada operasi biner *.
Catatan
 Jika (i) & (ii) terpenuhi maka disebut Grupoid.
 Jika (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka disebut Semigrup.
 Jika (i), (ii), (iii) & (iv) terpenuhi maka disebut Monoid.

3. 3
2. Buktikan unsur invers suatu grup adalah tunggal.
Bukti:
Misalkan G adalah grup, dan e ∈ G [e=identitas]
Ambil sebarang a ∈ G
Misalkan 𝑏1 dan 𝑏2 invers dari a
Akan dibuktikan 𝑏1 = 𝑏2
Perhatikan bahwa:
𝑏1 adalah invers dari a ⇒ 𝑏1 𝑎 = 𝑎𝑏1 = 𝑒 [e=identitas] … (i)
𝑏2 adalah invers dari a ⇒ 𝑏2 𝑎 = 𝑎𝑏2 = 𝑒 [e=identitas] … (ii)
dari (ii) diperoleh 𝑎𝑏2 = 𝑒 ⇒𝑏1 𝑎𝑏2 = 𝑏1 … iii
dari (i) diperoleh 𝑏1 𝑎 = 𝑒 ⇒ (𝑏1 𝑎)𝑏2 = 𝑏2 … iv
Karena diketahui G grup maka jelas G memenuhi sifat assosiatif sehingga
dari (iii) dan (iv) diperoleh bahwa:
𝑏1 = 𝑏1 𝑎𝑏2 = (𝑏1 𝑎)𝑏2 = 𝑏2
∴ 𝑏1 = 𝑏2, dengan demikian unsur invers suatu grup adalah tunggal. ∎
3. Buktikan invers dari invers suatu anggota dalam grup adalah anggota itu
sendiri.
Bukti:
Misalkan G grup
Ambil sebarang a ∈ G dan ∃ e ∈ G [e=identitas]
Misalkan 𝑎−1
adalah invers dari a ⇒ akan dibuktikan (𝑎−1
)−1
Perhatikan bahwa:
𝑎−1
adalah invers dari a ⇒ 𝑎−1
𝑎 = 𝑎−1
𝑎 = 𝑒
Pandang 𝑎−1
𝑎 = 𝑒
𝑎−1
𝑎 = 𝑒
(𝑎−1
)−1
(𝑎−1
𝑎) = (𝑎−1
)−1
𝑒 [Kedua ruas dikalikan (𝑎−1
)−1
]

4. 4
[(𝑎−1
)−1
(𝑎−1
)]𝑎 = (𝑎−1
)−1
[hukum assosiatif]
𝑒𝑎 = (𝑎−1
)−1
[ (𝑎−1
)−1
(𝑎−1
) = 𝑒]
𝑎 = (𝑎−1
)−1
[𝑒𝑎 = 𝑎]
Pandang 𝑎𝑎−1
= 𝑒
𝑎𝑎−1 = 𝑒
(𝑎−1
𝑎) (𝑎−1
)−1
= 𝑒 (𝑎−1
)−1
[Kedua ruas dikalikan (𝑎−1
)−1
]
𝑎 𝑎−1
𝑎−1 −1
= (𝑎−1
)−1
[hukum assosiatif]
𝑎𝑒 = (𝑎−1
)−1
[ (𝑎−1
)(𝑎−1
)−1
= 𝑒]
𝑎 = (𝑎−1
)−1
[𝑎𝑒 = 𝑎]
∴ Jadi, terbukti bahwa (𝑎−1
)−1
= 𝑎. ∎
4. Buktikan bahwa setiap grup memenuhi hukum pencoretan.
Bukti:
Misalkan G grup
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ G
Akan dibuktikan
(i) 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 ⇒ 𝑏 = 𝑐 [Pencoretan kiri]
(ii) 𝑏𝑎 = 𝑐𝑎 ⇒ 𝑏 = 𝑐 [Pencoretan kanan]
Akan ditunjukkan bagian (i) pandang 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐
𝑎 ∈ 𝐺 ˄ 𝐺 𝑔𝑟𝑢𝑝 ⇒ ∃ 𝑎−1
∈ 𝐺
𝑎𝑏 = 𝑎𝑐
𝑎−1
(𝑎𝑏) = 𝑎−1
(𝑎𝑐) [Kedua ruas dikalikan 𝑎−1
]
(𝑎−1
𝑎)𝑏 = (𝑎−1
𝑎)𝑐 [hukum assosiatif]
𝑒𝑏 = 𝑒𝑐 [ (𝑎−1
)𝑎 = 𝑒]
𝑏 = 𝑐 [e=identitas]

5. 5
Akan ditunjukkan bagian (ii) pandang 𝑏𝑎 = 𝑐𝑎
𝑎 ∈ 𝐺 ˄ 𝐺 𝑔𝑟𝑢𝑝 ⇒ ∃ 𝑎−1
∈ 𝐺
𝑏𝑎 = 𝑐𝑎
(𝑏𝑎)𝑎−1
= (𝑐𝑎)𝑎−1
[Kedua ruas dikalikan 𝑎−1
]
𝑏(𝑎𝑎−1
) = 𝑐(𝑎𝑎−1
) [hukum assosiatif]
𝑏𝑒 = 𝑐𝑒 [ (𝑎−1
)𝑎 = 𝑒]
𝑏 = 𝑐 [e=identitas]
∴ karena i dan ii terbukti Jadi, G memenuhi hukum pencoretan. ∎
5. Jika G adalah grup dan ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, ⇒ (𝑎. 𝑏)−1
= 𝑏−1
𝑎−1
.
Bukti:
Misalkan G adalah grup
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
Karena G grup ⇒ ∃ 𝑒 ∈ 𝐺 [e=identitas]
Akan dibuktikan (𝑎. 𝑏)−1
= 𝑏−1
. 𝑎−1
Hal ini ekuivalen jika ditunjukkan
𝑎𝑏 (𝑏−1
𝑎−1
) = (𝑏−1
𝑎−1
) 𝑎𝑏 = 𝑒
pandang 𝑎𝑏 (𝑏−1
𝑎−1
) = 𝑒
𝑎𝑏 (𝑏−1
𝑎−1
) = [ 𝑎𝑏 (𝑏−1
)] 𝑎−1
[assosiatif]
= [𝑎(𝑏𝑏−1
)] 𝑎−1
[assosiatif]
= (ae) 𝑎−1
[𝑏𝑏−1
= 𝑒]
= 𝑎𝑎−1 [𝑎𝑒 = 𝑎]
= 𝑒 [𝑎𝑎−1
= 𝑒]

6. 6
pandang (𝑏−1
𝑎−1
) 𝑎𝑏 = 𝑒
𝑎𝑏 (𝑏−1
𝑎−1
) = [(𝑏−1
𝑎−1
)𝑎]𝑏 [assosiatif]
= [𝑏−1
(𝑎−1
𝑎)]𝑏 [assosiatif]
= (𝑏−1
𝑒)𝑏 [𝑎𝑎−1
= 𝑒]
= 𝑏𝑏−1
[𝑏−1
𝑒 = 𝑏−1
]
= 𝑒 [𝑏𝑏−1
= 𝑒]
∴ Jadi, terbukti bahwa 𝑎𝑏 (𝑏−1
𝑎−1
) = (𝑏−1
𝑎−1
) 𝑎𝑏 = 𝑒, ini berarti bahwa
(𝑎. 𝑏)−1
= 𝑏−1
. 𝑎−1
. ∎
6. G = himpunan bilangan bulat, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, Periksa apakah G
membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ G … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 maka berlaku 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐺 … (terpenuhi)
(iii) Sifat Assosiatif
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐
=
𝑎 − 𝑏 − 𝑐 … (i)
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐
= 𝑎 − (𝑏 + 𝑐) … (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 ≠ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
Akibatnya G tidak memenuhi sifat assosiatif
∴ jadi, G = himpunan bilangan bulat, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 bukan Grup. ∎

7. 7
7. G=himpunan bilangan bulat, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 Periksa apakah
G membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ G … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 maka berlaku (𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 ) ∈ 𝐺 … (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑐 + 𝑏𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎(𝑏 + 𝑐 + 𝑏𝑐)
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑐 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 ∗ 𝑐
= 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 … (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ 𝐺 ∋ 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑏 + 𝑎 + 𝑏𝑎 = 𝑏
𝑎 1 + 𝑏 = 𝑎 1 + 𝑏 = 𝑏 − 𝑏
𝑎 1 + 𝑏 = 𝑎 1 + 𝑏 = 0
𝑎 = 0
Sehingga 𝑒 = 0 ∈ 𝐺 [e=identitas] … (terpenuhi)

8. 8
(v) Unsur Invers
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑎−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑎−1
∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎−1
= 𝑒
perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 0
𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑏 + 𝑎 + 𝑏𝑎 = 0
𝑎 1 + 𝑏 = 𝑎 1 + 𝑏 = −𝑏
𝑎 = −
𝑏
1+𝑏
∉ G … (tidak memiliki unsur invers)
∴ jadi, G=himpunan bilangan bulat, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 bukan
Grup. ∎
8. G = himpunan bilangan bulat tak negatif, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 Periksa
apakah G membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ G … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 maka berlaku 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐺 … (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
= 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑐
= 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 … (terpenuhi)

9. 9
(iv) Unsur Identitas
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ 𝐺 ∋ 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 = 𝑏
𝑎 = 0
Sehingga 𝑒 = 0 ∈ 𝐺 [e=identitas] … (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑎−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑎−1
∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎−1
= 𝑒
perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 0
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 = 0
𝑎 = −𝑏 ∉ G … (tidak memiliki unsur invers)
∴ jadi, G = himpunan bilangan bulat tak negatif, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
bukan Grup. ∎
9. G=himpunan bilangan rasional ≠ 1, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 Periksa
apakah G membentuk grup? (Soal Quis I)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ G … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 2 ∈ 𝐺 maka
Perhatikan bahwa:
2+b+2b=1
b(1+2)=-1
b= −
1
3

10. 10
perhatikan kembali
jika a=2 dan b=−
1
3
maka diperoleh
a+b+ab=2−
1
3
+(2)(−
1
3
)
=2−
1
3
−
2
3
=2-(
1
3
+
2
3
)
=2 - (
3
3
)
=2-1
=1∉ G … (tidak memenuhi sifat tertutup)
∴ jadi, G=himpunan bilangan rasional ≠ 1, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
bukan Grup. ∎
10. Jika (G,*) grup komutatif, buktikan 𝑎 ∗ 𝑏 𝑛
= 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
, ∀𝑛 ∈ 𝑍, (Z himpunan
bilangan bulat).
Bukti
Misalkan (G,*) grup komutatif
Akan dibuktikan 𝑎𝑏 𝑛
= 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
, ∀𝑛 ∈ 𝑍+
, ditinjau dalam tiga kasus yakni:
(1) Kasus I: n>0
(2) Kasus II: n=0
(3) Kasus III: n<0
Perhatikan bahwa:
(1) Kasus I: n>0 akan dibuktikan menggunakan induksi matematika
(i) Untuk n = 1, maka 𝑎𝑏 1
= 𝑎1
𝑏1
= 𝑎𝑏 (pernyataan benar)
(ii) Asumsikan bahwa 𝑎𝑏 𝑘
= 𝑎 𝑘
𝑏 𝑘
(hipotesis induksi)
Akan ditunjukkan 𝑎𝑏 𝑘+1
(juga benar)
𝑎𝑏 𝑘+1
= 𝑎𝑏 𝑘
. 𝑎𝑏
= 𝑎 𝑘
𝑏 𝑘
. 𝑎𝑏

11. 11
= 𝑎 𝑘
. 𝑎. 𝑏 𝑘
𝑏 [sifat komutatif]
= 𝑎(𝑘+1)
. 𝑏(𝑘+1)
[benar]
Karena (i) dan (ii) dipenuhi maka dapat disimpulkan 𝑎𝑏 𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
, berlaku ∀𝑛 ∈ 𝑍+
(2) Kasus II: n=0
𝑎𝑏 0
= 𝑒 = 𝑒0
. 𝑒0
= 𝑎0
𝑏0
(3) Kasus III: n<0
Jika 𝑛 ∈ 𝐙, maka 𝑎𝑏 𝑛
 𝑎𝑏 −1 −𝑛
 (𝑏−1
. 𝑎−1
)−𝑛
[ 𝑎𝑏 −1
=𝑏−1
. 𝑎−1
]
 𝑏−1 −𝑛
(𝑎−1
)−𝑛
 (𝑎−1
)−𝑛
𝑏−1 −𝑛
[komutatif]
 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
Sehingga 𝑎𝑏 𝑛
= 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
, terbukti ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍
∴ jadi, Jika (G,*) grup komutatif, maka 𝑎 ∗ 𝑏 𝑛
= 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
, ∀𝑛 ∈ 𝑍. ∎
11. Jika G grup dengan unsur identitas e, dan a2 = e, ∀𝑎 ∈ 𝐺, buktikan G
komutatif! (Soal Quis I)
Bukti:
Misalkan (G,*) dan grup berlaku a2 = e
Akan dibuktikan a*b = b*a = e
Karena a2 = e  a * a = e
 a a a-1= ea-1 [kalikan kedua ruas dengan a-1]
 a (a a-1)= ea-1 [assosiatif]
 a e= a-1 [a a-1=e dan ea-1= a-1]
 a= a-1 [ae=a]
Karena diperoleh a= a-1 akibatnya:
(a*b)(a*b) = e  (a*b) = (a*b)-1

12. 12
Berdasarkan teorema yang menyatakan jika G grup dan a,b ∈ G, berlaku
(𝑎𝑏)−1
= 𝑏−1
. 𝑎−1
Sehingga:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑏 −1
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏−1
. 𝑎−1
Karena 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏−1
∗ 𝑎−1
, maka 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
∴ jadi, jika G grup dan a2 = e. ∀ 𝑎 ∈ 𝐺, maka G komutatif. ∎
12. Misalkan 𝐴 𝛼 =
cos 𝛼 −sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
; 𝛼 ∈ ℝ Buktikan 𝐴 𝛼 dengan operasi
perkalian matriks membentuk grup. Apakah komutatif? (Soal Quis I)
Bukti:
Akan dibuktikan (𝐴 𝛼 ,×) merupakan grup
(i) Tidak Kosong
𝐴 𝛼 ≠ ∅ sebab ∃ 𝐴30° = cos 30°
−sin 30°
sin 30°
cos 30° ; 30 ∈ ℝ
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝐴 𝛽 , 𝐴 𝛾 ∈ 𝐴 𝛼 berlaku 𝐴 𝛽 𝑥 𝐴 𝛾 ∈ 𝐴 𝛼
Ambil sebarang 𝐴 𝛽, 𝐴 𝛾 ∈ 𝐴 𝛼
Perhatikan bahwa
𝐴 𝛽 𝑥 𝐴 𝛾 =
cos 𝛽 − sin 𝛽
sin 𝛽 cos 𝛽
×
cos 𝛾 − sin 𝛾
sin 𝛾 cos 𝛾
=
cos 𝛽 cos 𝛾 − sin 𝛽 sin 𝛾 − cos 𝛽 sin 𝛾 + sin 𝛽 cos 𝛾
sin 𝛽 cos 𝛾 + cos 𝛽 sin 𝛾 − sin 𝛽 sin 𝛾 + cos 𝛽 cos 𝛾
=
cos(𝛽 + 𝛾) − sin(𝛽 + 𝛾)
sin(𝛽 + 𝛾) cos(𝛽 + 𝛾)
=
cos 𝜇 − sin 𝜇
sin 𝜇 cos 𝜇
∈ 𝐴 𝜇 … (terpenuhi)
Catatan: (𝜇 = 𝛽 + 𝛾, 𝜇 ∈ ℝ)

13. 13
(iii) Sifat asosiatif
∀𝐴 𝛽 , 𝐴 𝛾 , 𝐴 𝜇 ∈ 𝐴 𝛼 berlaku 𝐴 𝛽 ∗ 𝐴 𝛾 ∗ 𝐴 𝜇 = (𝐴 𝛽 ∗ 𝐴 𝛾 ) ∗ 𝐴 𝜇
Jelas terpenuhi, sebab matriks 2x2 memenuhi sifat assosiatif.
(iv) Unsur Identitas
∀𝐴 𝛽 ∈ 𝐴 𝛼 ∃𝑒 ∈ 𝐴 𝛼 ∋ 𝑒 ∗ 𝐴 𝛽 = 𝐴 𝛽 ∗ 𝑒 = 𝐴 𝛽
Unsur identitas pada matriks yaitu
𝑒 =
1 0
0 1
⇒ 𝑒 =
cos 0 − sin 0
sin 0 cos 0
Akan dibuktikan: 𝐴 𝛽 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝐴 𝛽 = 𝐴 𝛽
Perhatikan bahwa:
cos 𝛽 − sin 𝛽
sin 𝛽 cos 𝛽
cos 0 − sin 0
sin 0 cos 0
=
cos 0 − sin 0
sin 0 cos 0
cos 𝛽 − sin 𝛽
sin 𝛽 cos 𝛽
=
cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
cos(𝛽 + 0) − sin(𝛽 + 0)
sin(𝛽 + 0) cos(𝛽 + 0)
=
cos(𝛽 + 0) − sin(𝛽 + 0)
sin(𝛽 + 0) cos(𝛽 + 0)
=
cos 𝛽 − sin 𝛽
sin 𝛽 cos 𝛽
… (terpenuhi)
(v) unsur invers
∀𝐴 𝛽 ∈ 𝐴 𝛼 ∃𝐴 𝛽
−1
∈ 𝐴 𝛼 ∋ 𝐴 𝛽 × 𝐴 𝛽
−1
= 𝐴 𝛽
−1
× 𝐴 𝛽 = 𝑒
𝐴 𝛽
−1
=
1
det⁡(𝐴 𝛽 )
𝑎𝑑𝑗 𝐴 𝛽
det⁡(𝐴 𝛽 ) = cos 𝛽 cos 𝛽 − − sin 𝛽 sin 𝛽
= cos2
𝛽 + sin2
𝛽
= 1
𝐴 𝛽
−1
=
1
1
cos 𝛽 − sin 𝛽
sin 𝛽 cos 𝛽
=
cos 𝛽 sin 𝛽
− sin 𝛽 cos 𝛽
∈ 𝐴 𝛽
Akan dibuktikan 𝐴 𝛽 × 𝐴 𝛽
−1
= 𝐴 𝛽
−1
× 𝐴 𝛽 = 𝑒

14. 14
Perhatikan bahwa:
cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
×
cos 𝛼 sin 𝛼
−sin 𝛼 cos 𝛼
=
cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
×
cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
=
cos 0 − sin 0
sin 0 cos 0
⇒ cos2
𝛼 + sin2
𝛼 − sin 𝛼 cos 𝛼 + sin 𝛼 cos 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼 − sin 𝛼 cos 𝛼 cos2
𝛼 + sin2
𝛼
= cos2
𝛼 + sin2
𝛼 − sin 𝛼 cos 𝛼 + sin 𝛼 cos 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼 − sin 𝛼 cos 𝛼 cos2
𝛼 + sin2
𝛼
=
cos 0 − sin 0
sin 0 cos 0
⇒
1 0
0 1
=
1 0
0 1
=
cos 0 − sin 0
sin 0 cos 0
… (terpenuhi)
∴ jadi, 𝐴 𝛼 merupakan grup.
Akan dibuktikan 𝐴 𝛼 merupakan grup komutatif
∀𝐴 𝛽 , 𝐴 𝛾 ∈ 𝐴 𝛼 , berlaku 𝐴 𝛽 𝑥 𝐴 𝛾 = 𝐴 𝛾 𝑥 𝐴 𝛽 ∈ 𝐴 𝛼
Perhatikan bahwa:
𝐴 𝛽 𝑥 𝐴 𝛾 = 𝐴 𝛾 𝑥 𝐴 𝛽
cos 𝛽 − sin 𝛽
sin 𝛽 cos 𝛽
×
cos 𝛾 − sin 𝛾
sin 𝛾 cos 𝛾
=
cos 𝛾 − sin 𝛾
sin 𝛾 cos 𝛾
×
cos 𝛽 − sin 𝛽
sin 𝛽 cos 𝛽
⇒
cos 𝛽 cos 𝛾 − sin 𝛽 sin 𝛾 − cos 𝛽 sin 𝛾 − sin 𝛽 cos 𝛾)
sin 𝛽 cos 𝛾 + cos 𝛽 sin 𝛾 − sin 𝛽 sin 𝛾 + cos 𝛽 cos 𝛾
=
cos 𝛾 cos 𝛽 − sin 𝛾 sin 𝛽 − sin 𝛾 cos 𝛽 − sin 𝛾 cos 𝛽
sin 𝛾 cos 𝛽 − cos 𝛾 sin 𝛽 − sin 𝛾 sin 𝛽 + cos 𝛾 cos 𝛽
⇒
cos(𝛽 + 𝛾) − sin(𝛽 + 𝛾)
sin(𝛽 + 𝛾) cos(𝛽 + 𝛾)
=
cos(𝛾 + 𝛽) − sin(𝛾 + 𝛽)
sin(𝛾 + 𝛽) cos(𝛾 + 𝛽)
⇒
cos(𝛽 + 𝛾) − sin(𝛽 + 𝛾)
sin(𝛽 + 𝛾) cos(𝛽 + 𝛾)
=
cos(𝛽 + 𝛾) − sin(𝛽 + 𝛾)
sin(𝛽 + 𝛾) cos(𝛽 + 𝛾)
[Sifat komutatif penjumlahan]
⇒
cos 𝜇 − sin 𝜇
sin 𝜇 cos 𝜇
=
cos 𝜇 − sin 𝜇
sin 𝜇 cos 𝜇
[𝜇 = 𝛽 + 𝛾, 𝜇 ∈ ℝ] … (terpenuhi)
∴ jadi, 𝐴 𝛼 merupakan grup komutatif. ∎

15. 15
13. Misalkan 𝐺 = 𝑎 + 𝑏 2; 𝛼, 𝑏 ∈ 𝑄} Buktikan G grup terhadap operasi
penjumlahan, Apakah G komutatif?
Bukti:
Akan dibuktikan G membentuk grup
(i) Tidak Kosong
G ≠ ∅ sebab ∃ 2 + 4 2; 2,4 ∈ 𝑄} ∈ G … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺
Pandang x= 𝑎1 + 𝑏1 2; 𝑎1, 𝑏1 ∈ 𝑄}
y= 𝑎2 + 𝑏2 2; 𝑎2, 𝑏2 ∈ 𝑄}
perhatikan bahwa
x*y = (𝑎1 + 𝑏1 2) ∗ (𝑎2 + 𝑏2 2)
=(𝑎1 + 𝑏1 2) + (𝑎2 + 𝑏2 2)
=(𝑎1 + 𝑎2) + (𝑏1 2 + 𝑏2 2)
=(𝑎1 + 𝑎2) + (𝑏1 + 𝑏2) 2
Catatan:
[𝑎1 ∈ 𝑄 ˄𝑎2 ∈ 𝑄 ⇒ (𝑎1 + 𝑎2) ∈ 𝑄 misalkan (𝑎1 + 𝑎2) = 𝑎3 ∈ 𝑄
𝑏1 ∈ 𝑄 ˄𝑏2 ∈ 𝑄 ⇒ (𝑏1 + 𝑏2) ∈ 𝑄 misalkan (𝑏1 + 𝑏2) = 𝑏3 ∈ 𝑄]
= 𝑎3 + 𝑏3 2 [ 𝑎3, 𝑏3 ∈ 𝑄]
= 𝑎3 + 𝑏3 2 ∈ 𝐺
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺
Pandang x= 𝑎1 + 𝑏1 2; 𝑎1, 𝑏1 ∈ 𝑄}
y= 𝑎2 + 𝑏2 2; 𝑎2, 𝑏2 ∈ 𝑄}
z= 𝑎3 + 𝑏3 2; 𝑎3, 𝑏3 ∈ 𝑄}

16. 16
Perhatikan bahwa:
𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑎1 + 𝑏1 2 ∗ { 𝑎2 + 𝑏2 2 ∗ (𝑎3 + 𝑏3 2)}
= 𝑎1 + 𝑏1 2 ∗ { 𝑎2 + 𝑏2 2 + (𝑎3 + 𝑏3 2)}
= 𝑎1 + 𝑏1 2 + { 𝑎2 + 𝑏2 2 + (𝑎3 + 𝑏3 2)}
= 𝑎1 + 𝑏1 2 + { 𝑎2 + 𝑎3 + (𝑏2 2 + 𝑏3 2)}
= 𝑎1 + 𝑏1 2 + { 𝑎2 + 𝑎3 + (𝑏2 + 𝑏3) 2}
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + {(𝑏1 + 𝑏2) 2 + 𝑏3 2}
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑏1 + 𝑏2 2 + (𝑎3 + 𝑏3 2)
= { 𝑎1 + 𝑏1 2 ∗ 𝑎2 + 𝑏2 2 } + (𝑎3 + 𝑏3 2)
= 𝑎1 + 𝑏1 2 ∗ 𝑎2 + 𝑏2 2 ∗ (𝑎3 + 𝑏3 2)
= 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 … (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
∀𝑥 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ 𝐺 ∋ 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺
Pandang x= 𝑎1 + 𝑏1 2; 𝑎1, 𝑏1 ∈ 𝑄}
y= 𝑎2 + 𝑏2 2; 𝑎2, 𝑏2 ∈ 𝑄}
Perhatikan bahwa:
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝑦
(𝑎1 + 𝑏1 2) ∗ 𝑎2 + 𝑏2 2 = 𝑎2 + 𝑏2 2 ∗ (𝑎1 + 𝑏1 2) = 𝑎2 + 𝑏2 2
(𝑎1 + 𝑏1 2) + 𝑎2 + 𝑏2 2 = 𝑎2 + 𝑏2 2 + (𝑎1 + 𝑏1 2) = 𝑎2 + 𝑏2 2
⇒(𝑎1 + 𝑏1 2) = 𝑎1 + 𝑏1 2 = 𝑎2 + 𝑏2 2 − 𝑎2 + 𝑏2 2
⇒(𝑎1 + 𝑏1 2) = 𝑎1 + 𝑏1 2 = 𝑎2−𝑎2) + (𝑏2 − 𝑏2) 2
⇒ (𝑎1 + 𝑏1 2) = 𝑎1 + 𝑏1 2 = 0 + 0 2
⇒ 𝑥 = {0 + 0 2 ; 0 ∈ 𝑄} ∈ 𝐺
Sehingga 𝑒 = {0 + 0 2 ; 0 ∈ 𝑄} ∈ 𝐺 [e=identitas] … (terpenuhi)

17. 17
(v) Unsur Invers
∀𝑥 ∈ 𝐺 ∃𝑥−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑥−1
∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑥−1
= 𝑒
Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐺
Pandang x= 𝑎1 + 𝑏1 2; 𝑎1, 𝑏1 ∈ 𝑄}
perhatikan bahwa:
𝑥−1
∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑥−1
= 𝑒
⇒ 𝑥−1
∗ (𝑎1 + 𝑏1 2) = 𝑎1 + 𝑏1 2 ∗ 𝑥−1
= 0 + 0 2
⇒ 𝑥−1
∗ (𝑎1 + 𝑏1 2) = 𝑎1 + 𝑏1 2 ∗ 𝑥−1
= 0
⇒ 𝑥−1
= 0 − 𝑎1 + 𝑏1 2
⇒ 𝑥−1
= − 𝑎1 + 𝑏1 2
⇒ 𝑥−1
= −𝑎1 − 𝑏1 2 [−𝑎1, −𝑏1 ∈ 𝑄]
⇒ 𝑥−1
= {−𝑎1 − 𝑏1 2} ∈ 𝐺 … terpenuhi
∴ jadi, 𝐺 = 𝑎 + 𝑏 2; 𝛼, 𝑏 ∈ 𝑄} merupakan Grup.
Akan dibuktikan 𝐺 = 𝑎 + 𝑏 2; 𝛼, 𝑏 ∈ 𝑄} merupakan grup komutatif
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺
Pandang x= 𝑎1 + 𝑏1 2; 𝑎1, 𝑏1 ∈ 𝑄}
y= 𝑎2 + 𝑏2 2; 𝑎2, 𝑏2 ∈ 𝑄}
perhatikan bahwa
x*y = (𝑎1 + 𝑏1 2) ∗ (𝑎2 + 𝑏2 2)
=(𝑎1 + 𝑏1 2) + (𝑎2 + 𝑏2 2)
=(𝑎1 + 𝑎2) + (𝑏1 2 + 𝑏2 2)
=(𝑎2 + 𝑎1) + (𝑏2 + 𝑏1) 2
=(𝑎2 + 𝑎1) + (𝑏2 2 + 𝑏1 2)
= 𝑎2 + 𝑏2 2 +(𝑎1 + 𝑏1 2)
=𝑦 ∗ 𝑥 … (terbukti) ∴ jadi, 𝐺 merupakan grup komutatif. ∎

18. 18
14. Misalkan 𝑀 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
: 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ
Buktikan M dengan perkalian matriks membentuk grup, Apakah M
komutatif?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ≠ ∅ sebab ∃
1 0
0 1
: 1 ≠ 0; 0, 1 ∈ ℝ ∈ M … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐺 berlaku 𝑋 ∗ 𝑌 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐺
Pandang 𝑋 =
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
: 𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1 ≠ 0; 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑑1 ∈ ℝ
𝑌 =
𝑎2 𝑏2
𝑐2 𝑑2
: 𝑎2 𝑑2 − 𝑏2 𝑐2 ≠ 0; 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2, 𝑑2 ∈ ℝ
perhatikan bahwa
X*Y=
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
∗
𝑎2 𝑏2
𝑐2 𝑑2
=
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
𝑎2 𝑏2
𝑐2 𝑑2
digunakan teorema 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑩 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝐝𝐞𝐭⁡(𝑩)
diketahui det⁡(𝑋) ≠ 0 dan det⁡(𝑌) ≠ 0 maka
det 𝑋𝑌 = det⁡(𝑋)det⁡(𝑌) ≠ 0 … (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐺 berlaku 𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍 = 𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍
Jelas terpenuhi sebab matriks 2x2 bersifat assosiatif
(iv) Unsur Identitas
∀𝑋 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ 𝐺 ∋ 𝑒 ∗ 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝑒 = 𝑋
Ambil sebarang 𝑋 ∈ 𝐺
Pandang 𝑋 =
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
: 𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1 ≠ 0; 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑑1 ∈ ℝ

19. 19
Unsur identitas pada matriks yaitu 𝑒 =
1 0
0 1
Akan ditunjukkan 𝑒 ∗ 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝑒 = 𝑋
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
1 0
0 1
=
1 0
0 1
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
=
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
… (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
∀𝑋 ∈ 𝐺 ∃𝑋−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑋−1
∗ 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝑋−1
= 𝑒
Ambil sebarang 𝑋 ∈ 𝐺
Pandang 𝑋 =
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
: 𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1 ≠ 0; 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑑1 ∈ ℝ
𝑋−1
=
1
det⁡(𝑋)
𝑎𝑑𝑗 𝑋
𝑋−1
=
1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑑1 −𝑏1
−𝑐1 𝑎1
=
𝑑1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
−𝑏1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
−𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
∈ 𝑋
Catatan: det (𝑋−1
) =
𝑑1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
−
−𝑏1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
−𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
=
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
≠ 0
Akan dibuktikan 𝑋−1
∗ 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝑋−1
= 𝑒
Perhatikan bahwa:
𝑑1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
−𝑏1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
−𝑐1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
𝑎1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
=
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
𝑑1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
−𝑏1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
−𝑐1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
𝑎1
𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1
=
1 0
0 1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑏1 𝑑1−𝑏1 𝑑1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑐1−𝑎1 𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
=
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑏1−𝑎1 𝑏1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑐1 𝑑1−𝑐1 𝑑1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
𝑎1 𝑑1−𝑏1 𝑐1
=
1 0
0 1
… (terpenuhi)
∴ jadi, 𝑀 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
: 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ merupakan grup.
Akan dibuktikan apakah M merupakan grup komutatif:

20. 20
Contoh penyangkal:
Ambil sebarang 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐺
Pandang 𝑋 =
1 0
2 1
: 1 ≠ 0; 1,0,2 ∈ ℝ
𝑌 =
1 2
0 1
: 1 ≠ 0; 1,0,2 ∈ ℝ
𝑋𝑌 =
1 0
2 1
1 2
0 1
=
1 2
2 5
… (i)
𝑌𝑋 =
1 2
0 1
1 0
2 1
=
5 2
2 1
… (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa 𝑋𝑌 ≠ 𝑌𝑋,
∴ jadi, 𝑀 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
: 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ bukan grup komutatif. ∎
15. Misalkan ℤ himpunan bilangan bulat dengan operasi * yang didefenisikan
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 1 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ . apakah (G,*) membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ G … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 maka berlaku (𝑎 + 𝑏 + 1 ) ∈ 𝐺 … (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑐 + 1
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 1 + 1
= 𝑎 + 𝑏 + 1 + 𝑐 + 1
= 𝑎 + 𝑏 + 1 ∗ 𝑐
= 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 … (terpenuhi)

21. 21
(iv) Unsur Identitas
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ 𝐺 ∋ 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏
𝑎 + 𝑏 + 1 = 𝑏 + 𝑎 + 1 = 𝑏
𝑎 = 𝑎 = 𝑏 − (𝑏 + 1)
𝑎 = −1 ∈ 𝐺
Sehingga 𝑒 = 1 ∈ 𝐺 [e=identitas] … (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑎−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑎−1
∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎−1
= 𝑒
perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = −1
𝑎 + 𝑏 + 1 = 𝑏 + 𝑎 + 1 = −1
𝑎 = 𝑎 = −1 − (𝑏 + 1)
𝑎 = −2 + 𝑏 ∈ G … (terpenuhi)
∴ jadi, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 1 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ merupakan grup. ∎
16. Misalkan ℚ{1} dengan operasi * yang didefenisikan 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 −
𝑎𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℚ{1}. Apakah ℚ{1},*) membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
ℚ{1} ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ G … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ ℚ{1}
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 maka berlaku 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 ∈ ℚ{1} …
(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ{1} berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐

22. 22
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ{1}
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑐 − 𝑏𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑏𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
= 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑐 − 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
= 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑐 − 𝑐 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏
= 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 ∗ 𝑐
= 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 … (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ ℚ{1} ∋ 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 = 𝑏 + 𝑎 − 𝑎𝑏 = 𝑏
⇒ 𝑎 − 𝑎𝑏 = 𝑎 − 𝑎𝑏 = 𝑏 − 𝑏
⇒ 𝑎(1 − 𝑏) = 𝑎(1 − 𝑏) = 0
⇒ 𝑎 = 𝑎 = 0
⇒ 𝑎 = 0 ∈ ℚ{1}
Sehingga 𝑒 = 0 ∈ 𝐺 [e=identitas] … (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
∀𝑎 ∈ ℚ{1} ∃𝑎−1
∈ ℚ{1} ∋ 𝑎−1
∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎−1
= 𝑒
perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 = 𝑏 + 𝑎 − 𝑏𝑎 = 0
⇒ 𝑎 − 𝑎𝑏 = 𝑎 − 𝑎𝑏 = −𝑏
⇒ 𝑎 1 − 𝑏 = 𝑎 1 − 𝑏 = −𝑏
⇒ 𝑎 =
−𝑏
1−𝑏
∈ ℚ{1} … (terpenuhi)
∴ jadi, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℚ{1} merupakan grup. ∎

23. 23
17. Misalkan G grup dengan e unsur identitas di G dengan 𝑦−1
𝑥−1
𝑦𝑥 = 𝑒,
buktikan G merupakan grup komutatif! (Soal UTS)
Bukti:
Misalkan G grup dan 𝑒 ∈ 𝐺, [e=identitas]
Akan dibuktikan G komutatif dengan cara menunjukkan 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
Perhatikan bahwa:
𝑦−1
𝑥−1
𝑦𝑥 = 𝑒 ⇒ 𝑦−1
𝑥−1
𝑦𝑥 = 𝑒 [e=identitas]
⇒ (𝑦−1
𝑥−1
)(𝑦𝑥) = 𝑒 [assosiatif]
⇒ (𝑥𝑦)−1
(𝑦𝑥) = 𝑒 [(𝑥𝑦)−1
= 𝑦−1
𝑥−1
, sifat grup]
⇒ (𝑥𝑦)(𝑥𝑦)−1
(𝑦𝑥) = 𝑥𝑦 𝑒 [kalikan kedua ruas dengan 𝑥𝑦 ]
⇒ { 𝑥𝑦 𝑥𝑦 −1
}(𝑦𝑥) = 𝑥𝑦 [assosiatif, 𝑥𝑦 𝑒 = 𝑥𝑦]
⇒ 𝑒(𝑦𝑥) = 𝑥𝑦 [ 𝑥𝑦 𝑥𝑦 −1
= 𝑒]
⇒ 𝑦𝑥 = 𝑥𝑦 [𝑒(𝑦𝑥) = 𝑦𝑥]
∴ jadi, grup G dengan 𝑦−1
𝑥−1
𝑦𝑥 = 𝑒 [e=identitas] merupakan grup
komutatif. ∎
18. Misalkan M adalah himpunan matriks real 2x2 yang tak singular,
didefenisikan operasi M adalah 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴𝐽𝐵, ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀, dengan
𝐽 =
1 0
0 −1
, periksa apakah (M,*) membentuk grup? (Soal UTS)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
M ≠ ∅ sebab ∃
1 0
0 1
: 0, 1 ∈ ℝ ∈ M … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑀 berlaku 𝑋 ∗ 𝑌 ∈ 𝑀
Ambil sebarang 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑀
Pandang 𝑋 =
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
: 𝑎1 𝑑1 − 𝑏1 𝑐1 ∈ ℝ; 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑑1 ∈ ℝ

24. 24
𝑌 =
𝑎2 𝑏2
𝑐2 𝑑2
: 𝑎2 𝑑2 − 𝑏2 𝑐2 ∈ ℝ; 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2, 𝑑2 ∈ ℝ
perhatikan bahwa
X*Y=
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
∗
𝑎2 𝑏2
𝑐2 𝑑2
=
𝑎1 𝑏1
𝑐1 𝑑1
1 0
0 1
𝑎2 𝑏2
𝑐2 𝑑2
digunakan teorema 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑩 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝐝𝐞𝐭⁡(𝑩)
diketahui det⁡(𝑋) ∈ ℝ, det⁡(𝑌) ∈ ℝ serta det 𝐽 = −1 ∈ ℝ maka
det 𝑋𝐽𝑌 = det⁡(𝑋) det 𝐽 det⁡(𝑌) ∈ ℝ … (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐺 berlaku 𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍 = 𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍
Ambil sebarang 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝑀
Perhatikan bahwa:
𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍 = 𝑋 ∗ (𝑌𝐽𝑍)
= 𝑋𝐽(𝑌𝐽𝑍)
= (𝑋𝐽𝑌)𝐽𝑍
= (𝑋 ∗ 𝑌)𝐽𝑍
= 𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍 … (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
∀𝑋 ∈ 𝐺 ∃𝐸 ∈ 𝐺 ∋ 𝐸 ∗ 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝐸 = 𝑋
Ambil sebarang 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑋 ∗ 𝑌 = 𝑋 ⇒ 𝑋𝐽𝑌 = 𝑋
⇒ (𝑋𝐽)−1
𝑋𝐽𝑌 = (𝑋𝐽)−1
𝑋 [Kalikan (𝑋𝐽)−1
pada kedua ruas]
⇒ { 𝑋𝐽 −1
(𝑋𝐽)}𝑌 = (𝑋𝐽)−1
𝑋 [assosiatif]
⇒ 𝑌 = 𝐽−1
𝑋−1
𝑋 [ 𝑋𝐽 −1
𝑋𝐽 = 𝐸
𝐸 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠 serta (𝑋𝐽)−1
= 𝐽−1
𝑋−1
]
⇒ 𝑌 = 𝐽−1
(𝑋−1
𝑋) [assosiatif]

25. 25
⇒ 𝑌 = 𝐽−1
E [𝑋−1
𝑋 = 𝐸 𝐸 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠 ]
⇒ 𝑌 = 𝐽−1
[𝐽−1
E=𝐽−1
]
⇒ 𝑌 = 𝐽−1
= 𝐽
Perhatikan 𝐽−1
= 𝐽:
Dketahui: 𝐽 =
1 0
0 −1
𝐽−1
=
1
det⁡(𝐽)
𝑎𝑑𝑗𝐽
=
1
−1
−1 0
0 1
=
1 0
0 −1
= 𝐽
Sehingga unsur identitasnya adalah 𝐽−1
= 𝐽 …(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
∀𝑋 ∈ 𝐺 ∃𝑋−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑋−1
∗ 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝑋−1
= 𝐸
Ambil sebarang 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑋 ∗ 𝑌 = 𝐽 ⇒ 𝑋𝐽𝑌 = 𝐽
⇒ (𝑋𝐽)𝑌 = 𝐽 [Assosiatif]
⇒ (𝑋𝐽)−1
(𝑋𝐽)𝑌 = (𝑋𝐽)−1
𝐽 [kalikan (𝑋𝐽)−1
kedua ruas]
⇒ { 𝑋𝐽 −1
(𝑋𝐽)}𝑌 = 𝐽−1
𝑋−1
𝐽 [Assosiatif, (𝑋𝐽)−1
= 𝐽−1
𝑋−1
]
⇒ 𝐸𝑌 = 𝐽−1
𝑋−1
𝐽 [ 𝑋𝐽 −1
𝑋𝐽 = 𝐸]
[𝐸 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠]
⇒ 𝑌 = 𝐽−1
𝑋−1
𝐽 [𝐸𝑌 = 𝑌] …(terpenuhi)
∴ jadi, M dengan defenisi 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴𝐽𝐵, ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀, dengan 𝐽 =
1 0
0 −1
merupakan grup. ∎

26. 26
19. Misalkan ℚ+
himpunan bilangan rasional positif dengan defenisi operasi
𝑎 ∗ 𝑏 =
𝑎𝑏
2
, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℚ+
, apakah (ℚ+
,∗) membentuk grup, jika tidak berikan
contoh penyangkal! (Soal UTS)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
ℚ+
≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ ℚ+
… (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ+
berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ ℚ+
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ+
maka berlaku
𝑎𝑏
2
∈ ℚ+
… (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗
𝑏𝑐
2
=
𝑎
𝑏𝑐
2
2
=
𝑎𝑏𝑐
2
2
=
𝑎𝑏
2
𝑐
2
=
𝑎𝑏
2
∗ 𝑐
= 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 … (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ 𝐺 ∋ 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏

27. 27
𝑎𝑏
2
=
𝑏𝑎
2
= 𝑏
𝑎𝑏 = 𝑎𝑏 = 2𝑏
𝑎 =
2𝑏
𝑏
𝑎 = 2
Sehingga 𝑒 = 2 ∈ ℚ+
[e=identitas] … (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑎−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑎−1
∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎−1
= 𝑒
perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 2
𝑎𝑏
2
=
𝑏𝑎
2
= 2
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 4
𝑎 =
𝑏
4
∈ ℚ+
… (terpenuhi)
∴ jadi, ℚ+
himpunan bilangan rasional positif dengan defenisi operasi
𝑎 ∗ 𝑏 =
𝑎𝑏
2
, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℚ+
adalah Grup. ∎
20. Misalkan 𝐺 = ℤ 𝑥 ℤ = {(𝑎, 𝑏) ∣ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ} didefenisikan operasi biner * pada
G, yaitu ∀ 𝑎, 𝑏 , (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐺 berlaku 𝑎, 𝑏 ∗ 𝑐, 𝑑 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑), Apakah G
merupakan grup terhadap operasi *?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
𝐺 ≠ ∅ sebab ∃ {(1, 2) ∣ 1,2 ∈ ℤ} ∈ 𝐺 … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 , (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐺 maka berlaku (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) ∈ 𝐺 …
(terpenuhi)

28. 28
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺
Pandang: 𝑥 = 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
𝑦 = 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐺
𝑧 = 𝑒, 𝑓 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ { 𝑐, 𝑑 ∗ 𝑒, 𝑓 }
= 𝑥 ∗ (𝑐 + 𝑒, 𝑑 + 𝑓)
= (𝑎, 𝑏) ∗ (𝑐 + 𝑒, 𝑑 + 𝑓)
= (𝑎 + 𝑐 + 𝑒, 𝑏 + 𝑑 + 𝑓)
= 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 ∗ (𝑒, 𝑓)
= 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 ∗ 𝑧
= 𝑎, 𝑏 ∗ 𝑐, 𝑑 ∗ 𝑧
= 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 … (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
∀𝑥 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ 𝐺 ∋ 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝐺
Pandang: 𝑥 = 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
𝑦 = 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝑦
𝑎, 𝑏 ∗ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ∗ 𝑎, 𝑏 = (𝑐, 𝑑)
𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑎, 𝑑 + 𝑏 = (𝑐 , 𝑑)
𝑎, 𝑏 = 𝑎, 𝑏 = (0,0)
𝑥 = (0,0)
Sehingga 𝑒 = (0,0) ∈ 𝐺 [e=identitas] … (terpenuhi)

29. 29
(v) Unsur Invers
∀𝑥 ∈ 𝐺 ∃𝑥−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑥−1
∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑥−1
= 𝑒
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝐺
Pandang: 𝑥 = 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
𝑦 = 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝑒
𝑎, 𝑏 ∗ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ∗ 𝑎, 𝑏 = (0,0)
𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑎, 𝑑 + 𝑏 = (0 ,0)
𝑎, 𝑏 = 𝑎, 𝑏 = (−𝑐, −𝑑)
𝑥 = (−𝑐, −𝑑) ∈ 𝐺 … (terpenuhi)
∴ jadi, 𝐺 adalah Grup. ∎
21. Misalkan G = {-1, 1}. Tunjukan bahwa G adalah suatu grup abel terhadap
perkalian biasa (G, ×).
Bukti:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, ×) sebagai berikut:
x 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
(i) Tidak Kosong
𝐺 ≠ ∅ sebab ∃ 1 ∈ 𝐺 … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺
Perhatikan tebel diatas G tertutup terhadap operasi perkalian biasa
sebab:
-1 × -1 = 1 ∈ G -1 × 1 = -1 ∈ G
1 × -1 = -1 ∈ G 1 × 1 = 1 ∈ G

30. 30
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺
𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑦 × 𝑧)
= 𝑥 × 𝑦 × 𝑧
= (𝑥 × 𝑦) × 𝑧
= 𝑥 × 𝑦 ∗ 𝑧
= 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 … (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
∀𝑥 ∈ 𝐺 ∃𝑒 ∈ 𝐺 ∋ 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺
Perhatikan bahwa:
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝑥
𝑥 × 𝑦 = 𝑦 × 𝑥 = 𝑥
𝑦 = 𝑦 = 1
Sehingga 𝑒 = 1 ∈ 𝐺 [e=identitas] … (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
∀𝑥 ∈ 𝐺 ∃𝑥−1
∈ 𝐺 ∋ 𝑥−1
∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑥−1
= 𝑒
Perhatikan kembali tebel diatas (1) adalah invers di G sebab:
Ambil 1 ∈ 𝐺 Diketahui 𝑒 = 1 maka
1 × 1 = 1
Perhatikan kembali tebel diatas (-1) adalah invers di G sebab:
Ambil −1 ∈ 𝐺 Diketahui 𝑒 = 1 maka
−1 × (−1) = 1
⧉ Sehingga 1, −1 ∈ 𝐺 masing-masing invers di G … (terpenuhi)
∴ jadi, G = {-1, 1} merupakan grup terhadap (G, ×). ∎
***

31. 31
GRUP SIKLIK
∀𝑎 ∈ 𝐺, 𝑜 𝑎 ≠ ~
∀𝑎 ∈ 𝐺, 𝑎 ≠ 𝑒, 𝑜 𝑎 = ~
∃ 𝑏 ≠ 𝑒, ∋ 𝑜 𝑏 ≠ ~
Tingkat & Orde
Defenisi Pangkat: Misalkan G grup dan 𝑎 ∈ 𝐺, didefenisikan 𝑎1
=
𝑎; 𝑎 𝑛+1
= an
= a . ■
Order dari anggota grup: misalkan 𝐺 grup, 𝑎 ∈ 𝐺 dan 𝑒 unsur identitas di
𝐺. jika 𝑃 = {𝑛 ∈ 𝑁; 𝑎 𝑛
= 𝑒} ≠ ∅, maka tingkat (order) dari a adalah
minimum {n∈ 𝑁; an
= 𝑒}. ■
Notasi 𝑜 𝑎 = 𝑛; 𝑜 𝑒 = 1. ■
Catatan:
1. Order dari 𝑎 ∈ 𝐺 adalah bilangan bulat positif terkecil m sehingga
𝑎 𝑚
= 𝑒, e adalah identitas di G
2. Jika m bilangan bulat positif sehingga 𝑎 𝑚
= 𝑒 dinotasikan 𝑜 𝑎 = 𝑚
3. Jika tidak terdapat m bilangan bulat positif terkecil sedemikian
sehingga 𝑎 𝑚
= 𝑒, maka 𝑜 𝑚 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 0 𝑚 = ~
4. Untuk G grup sebarang dan e identitas di G, mempunyai order satu
𝑜 𝑒 = 1.
Suatu grup G disebut:
 Periodik (berkala)
 Aperiodik
 Campuran
∃ 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑜 𝑎 = ~ dan

32. 32
1. Misalkan 𝐺 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} dengan 𝑖 menyatakan imaginer, tunjukkan bahwa
(𝐺, 𝑥) merupakan periodik, 𝑖2
= −1.
Bukti:
𝐺 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} dengan identitas 𝑒 = 1
1 𝑛
= 1 ⟹ 11
= 1 ⟹ 𝑜 1 = 1
(−1) 𝑛
= 1 ⟹ (−1)2
= 1 ⟹ 𝑜 −1 = 2
𝑖 𝑛
= 1 ⟹ 𝑖4
= 1 ⟹ 𝑜 𝑖 = 4
(−𝑖) 𝑛
= 1 ⟹ (−𝑖)4
= 1 ⟹ 𝑜 −𝑖 = 4
∴ Jadi, 𝑜 𝑎 ≠ ~ sehingga merupakan grup periodik . ∎
2. (Q{0}, ×) adalah grup dengan identitas 1, tunjukkan (Q{0}, ×) merupakan
grup campuran!
Bukti:
Diketahui unsur identitas dari (Q{0}, ×) adalah 𝑒 = 1
Grup Siklik
Defenisi Siklik: Misalkan G adalah grup, dan ℤ = {x | x bilangan bulat}. G
disebut grup siklik jika ada g ∈ G sedemikian sehingga G = {gn | n ∈ ℤ}.
Elemen g pada G disebut generator dari grup siklik tersebut. ■
Defenisi Grup Siklik Terhadap Perkalian: Grup (G, .) disebut siklik, ∃ 𝑎 ∈ 𝐺
∋ G ={an | n ∈ ℤ }. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. ■
Defenisi Grup Siklik Terhadap Penjumlahan: Grup (G, +) disebut siklik,
∃ 𝑎 ∈ 𝐺 ∋ G ={na | n ∈ ℤ }. Elemen a disebut generator dari grup siklik
tersebut. ■
Dalam hal 𝑎 ∈ 𝐺 yang membentuk grup siklik G, a disebut generator/
monogenic dari G dan ditulis 𝑎 . ■

33. 33
Untuk menunjukkan (Q{0}, ×) merupakan grup campuran maka perlu
ditunjukkan dua syarat dipenuhi yaitu sebagai berikut:
a. ∃ 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑜 𝑎 = ~ dan
Ambil 2 ∈ (Q{0}, ×) ⟹ 2 𝑛
= 1 ⟹ 20
= 1 ⟹ 𝑜 2 = ~
b. ∃ 𝑏 ≠ 𝑒, ∋ 𝑜 𝑏 ≠ ~
Ambil −1 ∈ (Q{0}, ×) ⟹ (−1) 𝑛
= 1 ⟹ (−1)2
= 1 ⟹ 𝑜 −1 = 2
∴ Jadi, (Q{0}, ×) merupakan grup campuran . ∎
3. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif tunjukkan grup (Q+,×)
merupakan grup aperiodik.
Bukti:
Misalkan grup (Q+,×), unsur identitasnya adalah 1
∀𝑚 ∈ 𝐐+
dengan 𝑚 ≠ 1
⋮
(2) 𝑛
= 1 ⟹ 20
= 1 ⟹ 𝑜 2 = ~
⋮
(𝑚) 𝑛
= 1 ⟹ 𝑚0
= 1 ⟹ 𝑜 𝑚 = ~
∴ Jadi, (Q+,×) merupakan grup aperiodik . ∎
4. Misalkan M(ℝ) =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ , pandang M2 ℝ = {x; x ∈
M ℝ , x ≠ 0 membentuk grup dengan (M2 ℝ ,×). Tunjukkan (M2 ℝ ,×)
adalah grup campuran!
Bukti:
Unsur identitas dari (M2 ℝ ,×) =
1 0
0 1
Ambil sebarang A2 ℝ ∈ M2 ℝ
Pandang (A2 ℝ ,×) =
−1 0
0 −1
Perhatikan bahwa:

34. 34
(A2 ℝ ) 𝑛
=
1 0
0 1
⟹ (A2 ℝ )2
=
−1 0
0 −1
−1 0
0 −1
=
1 0
0 1
⟹ 𝑜 A2 ℝ = 2
Ambil sebarang B2 ℝ ∈ M2 ℝ
Pandang (B2 ℝ ,×) =
2 0
0 2
Perhatikan bahwa:
(B2 ℝ ) 𝑛
=
1 0
0 1
⟹ ∄(B2 ℝ ) 𝑛
=
1 0
0 1
⟹ 𝑜 B2 ℝ = ~
∴ Jadi, (M2 ℝ , ×) merupakan grup campuran . ∎
5. Misalkan G himpunan bilangan bulat modulo empat yaitu G = {0, 1, 2, 3},
pandang grup (G, +4), tunjukkan G merupakan grup siklik!
Bukti:
Misalkan (G, +4) adalah grup
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik
Perhatikan bahwa:
a. 0 = {𝑛 0 ; 𝑛 ∈ ℤ},
0 ∈ 𝐺
0 = {0}
b. 1 = {𝑛 1 ; 𝑛 ∈ ℤ},
1 ∈ 𝐺
1+41 = 0.4 + 2 = 2 atau 2 𝑚𝑜𝑑 4 = 2 ∈ 𝐺
1+41+41 = 0.4 + 3 = 3 atau 3 𝑚𝑜𝑑 4 = 3 ∈ 𝐺
1+41+41+41 = 1.4 + 0 = 0 atau 4 𝑚𝑜𝑑 4 = 0 ∈ 𝐺
1 = {0, 1, 2, 3}
c. 2 = {𝑛 2 ; 𝑛 ∈ ℤ},
2 ∈ 𝐺
2+42 = 1.4 + 0 = 0 atau 4 𝑚𝑜𝑑 4 = 0 ∈ 𝐺
2 = {0, 2}

35. 35
d. 3 = {𝑛 3 ; 𝑛 ∈ ℤ},
3 ∈ 𝐺
3+43 = 1.4 + 2 = 2 atau 6 𝑚𝑜𝑑 4 = 2 ∈ 𝐺
3+43+43 = 2.4 + 1 = 1 atau 9 𝑚𝑜𝑑 4 = 3 ∈ 𝐺
3+43+43+43 = 3.4 + 0 = 0 atau 12 𝑚𝑜𝑑 4 = 0 ∈ 𝐺
3 = {0, 1, 2, 3}
∴ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator 1 = 3 = {0, 1, 2, 3} . ∎
6. Diketahui matriks 𝑀 =
1 0
0 1
,
−1 0
0 −1
,
0 1
−1 0
,
0 −1
1 0
, (𝑀,×)
adalah sebuah grup, apakah M merupakan grup siklik?
Bukti:
Diketahui (𝑀,×) adalah sebuah grup
Misalkan
𝐴 =
1 0
0 1
, 𝐵 =
−1 0
0 −1
, 𝐶 =
0 1
−1 0
𝑑𝑎𝑛 𝐷 =
0 −1
1 0
Perhatikan tabel dibawah ini:
× A B C D
A A B C D
B B A D C
C C D B A
D D C A B
Dari tabel diperoleh bahwa identitas di M yaitu A
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik, Perhatikan bahwa:
a. 𝐴 = { 𝐴 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
𝐴 ∈ 𝑀
𝐴 = {A}
b. 𝐵 = { 𝐵 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
𝐵 ∈ 𝑀

36. 36
𝐵2
= 𝐴 ∈ 𝑀 [Perhatikan tabel]
𝐵 = {A, B}
c. 𝐶 = { 𝐶 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
𝐶 ∈ 𝑀
𝐶2
= 𝐵 ∈ 𝑀 [Perhatikan tabel]
𝐶3
= (𝐶2
) 𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷 ∈ 𝑀 [Perhatikan tabel]
𝐶4
= (𝐶3
) 𝐶 = 𝐷𝐶 = 𝐴 ∈ 𝑀 [Telah diperoleh 𝐶3
= 𝐷, perhatikan
tabel]
𝐶 = {A, B, C, D}
d. 𝐷 = { 𝐷 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
𝐷 ∈ 𝑀
𝐷2
= 𝐵 ∈ 𝑀 [Perhatikan tabel]
𝐷3
= (𝐷2
) 𝐷 = 𝐵𝐷 = 𝐶 ∈ 𝑀 [Perhatikan tabel]
𝐷4
= (𝐷3
) 𝐷 = 𝐶𝐷 = 𝐴 ∈ 𝑀 [Telah diperoleh 𝐶3
= 𝐷, perhatikan
tabel]
𝐷 = {A, B, C, D}
∴ Jadi, jadi M merupakan grup siklik dengan generator 𝐶 = 𝐷 =
{A, B, C, D} . ∎
7. Misalkan G himpunan bilangan bulat modulo empat yaitu G =
{0, 1, 2, 3, 4, 5}, pandang grup (G, +6), tunjukkan G merupakan grup siklik!
Bukti:
Misalkan (G, +6) adalah grup
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik
Perhatikan bahwa:
a. 0 = {𝑛 0 ; 𝑛 ∈ ℤ},
0 ∈ 𝐺
0 = {0}

37. 37
b. 1 = {𝑛 1 ; 𝑛 ∈ ℤ},
1 ∈ 𝐺
1+61 = 0.6 + 2 = 2 atau 2 𝑚𝑜𝑑 6 = 2 ∈ 𝐺
1+61+61 = 0.6 + 3 = 3 atau 3 𝑚𝑜𝑑 6 = 3 ∈ 𝐺
1+61+61+61 = 0.6 + 4 = 4 atau 4 𝑚𝑜𝑑 6 = 4 ∈ 𝐺
1+61+61+61+61 = 0.6 + 5 = 5 atau 5 𝑚𝑜𝑑 6 = 5 ∈ 𝐺
1+61+61+61+61+61 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 𝑚𝑜𝑑 6 = 0 ∈ 𝐺
1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
c. 2 = {𝑛 2 ; 𝑛 ∈ ℤ},
2 ∈ 𝐺
2+62 = 0.6 + 4 = 4 atau 4 𝑚𝑜𝑑 6 = 4 ∈ 𝐺
2+62+62 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 𝑚𝑜𝑑 6 = 0 ∈ 𝐺
2 = {0, 2, 4}
d. 3 = {𝑛 3 ; 𝑛 ∈ ℤ},
3 ∈ 𝐺
3+63 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 𝑚𝑜𝑑 6 = 0 ∈ 𝐺
3 = {0, 3}
e. 4 = {𝑛 4 ; 𝑛 ∈ ℤ},
4 ∈ 𝐺
4+64 = 1.6 + 2 = 2 atau 8 𝑚𝑜𝑑 6 = 2 ∈ 𝐺
4+64+64 = 2.6 + 0 = 0 atau 12 𝑚𝑜𝑑 6 = 0 ∈ 𝐺
2 = {0, 2, 4}
f. 5 = {𝑛 5 ; 𝑛 ∈ ℤ},
5 ∈ 𝐺
5+65 = 1.6 + 4 = 4 atau 10 𝑚𝑜𝑑 6 = 4 ∈ 𝐺
5+65+65 = 2.6 + 3 = 3 atau 15 𝑚𝑜𝑑 6 = 3 ∈ 𝐺
5+65+65+65 = 3.6 + 2 = 2 atau 20 𝑚𝑜𝑑 6 = 2 ∈ 𝐺
5+65+65+65+65 = 4.6 + 1 = 1 atau 24 𝑚𝑜𝑑 6 = 1 ∈ 𝐺

38. 38
5+65+65+65+65+65 = 5.6 + 0 = 0 atau 30 𝑚𝑜𝑑 6 = 0 ∈ 𝐺
5+65+65+65+65+65+65 = 5.6 + 5 = 5 atau 35 𝑚𝑜𝑑 6 = 5 ∈ 𝐺
5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
∴ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator 1 = 5 = {0, 1, 2, 3} . ∎
8. 𝐺 = −1,1 , (𝐺,×) adalah grup, tunjukkan G membentuk grup siklik!
Bukti:
a. 1 = { 1 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
= { … , 1 −2
, 1 −1
, 1 0
, 1 1
, … }
= {1}
b. −1 = { −1 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
= { … , −1 −2
, −1 −1
, −1 0
, −1 1
, … }
= {1, −1}
∴ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator −1 = {−1,1} . ∎
9. Misalkan bilangan bulat membentuk grup dibawah operasi penjumlahan.
Buktikan bilangan bulat dengan operasi jumlah membentuk grup siklik!
Bukti:
Misalkan (ℤ, +) adalah grup
Akan ditunjukkan (ℤ, +) membentuk grup siklik. Perhatikan bahwa:
a. 1 = {𝑛(1); 𝑛 ∈ ℤ}
= { … , −2 1 , −1 1 , 0 1 , 1 1 , 2(1), … }
= { … , −2, −1, 0, 1, 2 … }
b. −1 = {𝑛(−1); 𝑛 ∈ ℤ}
= { … , −2 −1 , −1 −1 , 0 −1 , 1 −1 , 2(−1), … }
= { … , −2, −1, 0, 1, 2 … }
∴ Jadi, (ℤ, +) merupakan grup siklik dengan generator 1 = −1 = ℤ . ∎

39. 39
10. Misalkan 𝐺 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} i bilangan imaginer, tunjukkan (G, x) membentuk
grup. Apakah G juga siklik
Bukti:
Misalkan (G, x) adalah grup
Akan ditunjukkan (G, x) membentuk grup siklik. Perhatikan bahwa:
a. 1 = {(1) 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
= { … , (1)−1
, (1)0
, (1)1
, … }
= {1}
b. −1 = {(−1) 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
= { … , (−1)−1
, (−1)0
, (−1)1
, … }
= {−1, 1}
c. 𝑖 = {(𝑖) 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
= { … , (𝑖)0
, (𝑖)1
, (𝑖)2
, (𝑖)3
… }
= {1, 𝑖, −1, −𝑖}
Catatan: 𝑖2
= −1
𝑖3
= 𝑖2
𝑖 = −1 𝑖 = −𝑖
d. −𝑖 = {(−𝑖) 𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ}
= { … , (−𝑖)0
, (−𝑖)1
, (−𝑖)2
, (−𝑖)3
, … }
= {1, −𝑖, −1, 𝑖}
Catatan: 𝑖2
= −1
(−𝑖)3
= −𝑖 2
−𝑖 = { −1 𝑖}2
= { −1 −1 }𝑖 = 𝑖
∴ Jadi, (𝐺,×) merupakan grup siklik dengan generator 𝑖 = −𝑖 =
{1, −1, 𝑖, −𝑖} . ∎
11. Misalkan 𝐺 =< 1 > grup siklik dan 𝑡 𝑎 = 𝑛. Buktikan bahwa 𝑎 𝑚
generator
dari G untuk 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛, jika dan hanya jika m dan n relatif prima?
Bukti:
Misalkan 𝐺 =< 1 > grup siklik dan 𝑡 𝑎 = 𝑛

40. 40
Digunakan teorema 𝑚, 𝑛 = 1 ⟺ ∃𝑥, 𝑦 ∈ ℤ ∋ 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 1
⟹) bukti dari arah kiri ke kanan
𝑎 𝑚
generator dari G untuk 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛, ⟹m dan n relatif prima
Karena 𝑎 generator dari G dan dan 𝑜 𝑎 = 𝑛 maka 𝑎 𝑛
= 𝑒,
Diketahui 𝑎 𝑚
generator dari G dan 𝑎 ∈ 𝐺 maka
𝑎 𝑚 𝑥
= 𝑎 ⟹ 𝑎 𝑚𝑥
= 𝑎 [teorema 𝑎 𝑝 𝑞
= 𝑎 𝑝𝑞
]
⟹ 𝑎 𝑚𝑥
𝑎−1
= 𝑎𝑎−1
[masing-masing dikali 𝑎−1
]
⟹ 𝑎 𝑚𝑥 −1
= 𝑎0
[𝑎𝑎−1
= 𝑎0
]
⟹ 𝑎 𝑚𝑥 −1
= 𝑒 [𝑎0
= 𝑒]
⟹ 𝑎 𝑚𝑥 −1
= 𝑎 𝑛
[𝑎 𝑛
= 𝑒]
Karena 𝑚𝑥 − 1 kelipatan dari n yaitu order dari 𝑎 misalkan 𝑛𝑦
sedemikian sehingga 𝑚𝑥 − 1 = 𝑛𝑦 ⟹ 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 1 (terbukti relatif
prima)
⟸) bukti dari arah kanan ke kiri
𝑚 dan 𝑛 relatif prima ⟹ 𝑎 𝑚
generator dari G untuk 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛
Diketahui m dan n relatif prima maka dari teorema diperoleh
𝑚, 𝑛 = 1 ⟹ ∃𝑥, 𝑦 ∈ ℤ ∋ 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 1 sehingga:
𝑎 𝑚 𝑥
= 𝑎 𝑚𝑥
= 𝑎 𝑛𝑦 −1
= 𝑎𝑎−𝑛𝑦
= 𝑎(𝑎 𝑛
)−𝑦
= 𝑎(𝑒)−𝑦
= 𝑎
Artinya a dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari 𝑎 𝑚
dan
karena a sebagai generator dari G, maka setiap elemen G dapat
dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari 𝑎 𝑚
akibatnya 𝐺 = 𝑎 𝑚
∴ Jadi, 𝑎 𝑚
generator dari G untuk 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛, jika dan hanya jika m dan n
relatif prima . ∎

41. 41
12. Buktikan bahwa jika G grup siklik terhingga dengan generator a maka
𝑜 𝐺 = 𝑡 𝑎 (𝑜 𝐺 = orde grup G, yaitu banyaknya anggota yang berada di
G.
Bukti:
Misalkan G grup hingga dan 𝑜 𝐺 = 𝑛
𝑎 ∈ 𝐺 dan 𝑡 𝑎 = 𝑛 yaitu 𝑎 𝑛
= 𝑒
Dibentuk 𝐴 = {𝑎, 𝑎2
, … , 𝑎 𝑛
= 𝑒}
Jelas elemen di A tidak ada yang sama, sebab jika ada yang sama sebut
𝑎 𝑝
= 𝑎 𝑞
dengan 0 < 𝑝 < 𝑞 < 𝑛 ⟹ 𝑎 𝑞−𝑝
= 𝑒 dengan 0 < 𝑝 − 𝑞 < 𝑛 hal ini
tidak mungkin terjadi sebab 𝑡 𝑎 = 𝑛; 𝑛 ∈ ℤ+
𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 ∋ 𝑎 𝑛
= 𝑒 ⟹ 𝑡 𝑎 =
𝑛
∴ jadi, G grup siklik terhingga dengan generator a maka 𝑜 𝐺 = 𝑡 𝑎 . ∎
13. Buktikan bahwa jika G grup terhingga berorde n dan ada 𝑎𝜖𝐺 dengan t(a) =
n, maka G siklik.
Bukti:
Misalkan G grup terhingga dan 𝑜 𝐺 = 𝑛
𝑎𝜖𝐺 dengan t(a) = n yaitu 𝑎 𝑛
= 𝑒,
Misalkan dibentuk subgrup dari G yaitu 𝐴 = {𝑎, 𝑎2
, 𝑎3
, … 𝑎 𝑛
= 𝑒}.
Elemen dari A tidak ada yang sama sebab jika ada yang sama, Misalnya
𝑎 𝑡
= 𝑎 𝑟
dengan 0 < 𝑟 < 𝑡 < 𝑛 maka
𝑎 𝑡−𝑟
= 𝑒 dengan 0 < 𝑡 − 𝑟 < 𝑛. Hal ini tidak mungkin,
sebab 𝑡 𝑎 = 𝑛; 𝑛 ∈ ℤ+
𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 ∋ 𝑎 𝑛
= 𝑒 ⟹ 𝑡 𝑎 = 𝑛
karena A sub grup dari G dan 𝑜 𝐺 = 𝑛, maka G = A. A adalah suatu grup
siklik dengan generator a, maka demikian pula G.
∴ jadi, G grup terhingga berorde n dan ada 𝑎𝜖𝐺 dengan t(a) = n, maka G
siklik. ∎

42. 42
14. Berapa banyakkah generator yang terdapat pada grup siklik berorde 10?
Bukti:
Untuk mencari banyaknya generator maka dapat digunakan teorema pada
soal no.11, Karena grup siklik mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif
mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif yang kurang dari 10 dan
saling prima dengan 10 adalah 1, 3, 7, 9, maka generator-generator dari
grup Siklik yang berorde 10 adalah 𝑎1
, 𝑎3
, 𝑎7
, 𝑎9
∴ banyaknya generator adalah 4. ∎
15. Buktikan Jika a suatu anggota grup G dengan o(a) = n dan e unsur identitas di G:
𝑎 𝑘
= 𝑒  𝑘 kelipatan dari n.
Bukti:
Misal 𝑎 ∈ 𝐺, G grup, 𝑒 identitas di G dan 𝑜 𝑎 = 𝑛
⟹) bukti dari arah kiri ke kanan
Akan ditunjukkan
𝑎 𝑘
= 𝑒 ⟹ 𝑘 kelipatan dari n
perhatikan bahwa:
𝑜 𝑎 = 𝑛 dan 𝑘 ∈ ℤ+
∋ 𝑎 𝑘
= 𝑒 akibatnya 𝑘 ≥ 𝑛
Kasus I: 𝑘 = 𝑛 ⟹ 𝑗𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑛 ∣ 𝑘
Kasus II: 𝑘 > 𝑛
Berdasarkan algoritma pembagian ∃𝑏, 𝑟 ∈ ℤ+
∋ 𝑘 = 𝑛𝑏 + 𝑟; 0 ≤ 𝑟 < 𝑛
Perhatikan bahwa:
𝑎 𝑘
= 𝑎 𝑛𝑏 +𝑟
[ 𝑘 = 𝑛𝑏 + 𝑟]
= 𝑎 𝑛𝑏
𝑎 𝑟
[teorema 𝑎 𝑝+𝑞
= 𝑎 𝑝
𝑎 𝑞
]
= (𝑎 𝑛
) 𝑏
𝑎 𝑟
[teorema 𝑎 𝑝𝑞
= (𝑎 𝑝
) 𝑞
]
= (𝑒) 𝑏
𝑎 𝑟
[𝑎 𝑛
= 𝑒]
= 𝑒 𝑎 𝑟
[(𝑒) 𝑏
= 𝑒]
= 𝑎 𝑟
[ 𝑒 𝑎 𝑟
= 𝑎 𝑟
]

43. 43
Diperoleh 𝑎 𝑘
= 𝑎 𝑟
= 𝑒 padahal 0 ≤ 𝑟 < 𝑛 dan 𝑜 𝑎 = 𝑛 maka haruslah
𝑟 = 0 sedemikian sehingga diperoleh 𝑘 = 𝑛𝑏. Jadi, 𝑛 ∣ 𝑘
⟸) bukti dari arah kanan ke kiri
𝑘 kelipatan dari 𝑛 ⟹ 𝑎 𝑘
= 𝑒
𝑘, 𝑛 ∈ ℤ+
∧ 𝑛 ∣ 𝑘 ⟹ ∃𝑏 ∈ ℤ+
∋ 𝑘 = 𝑛𝑏
𝑎 𝑘
= 𝑎 𝑛𝑏
[𝑘 = 𝑛𝑏]
= (𝑎 𝑛
) 𝑏
[teorema 𝑎 𝑝𝑞
= (𝑎 𝑝
) 𝑞
]
= (𝑒) 𝑏
[𝑎 𝑛
= 𝑒]
= 𝑒 [(𝑒) 𝑏
= 𝑒]
∴ 𝑎 𝑘
= 𝑒  𝑘 kelipatan dari n. ∎
16. Jika G grup siklik maka G abelian.
Bukti:
Misalkan G grup siklik.
Karena G siklik maka 𝐺 =< 𝑎 > untuk suatu 𝑎 ∈ 𝐺.
Misalkan 𝐺 = 𝑎 𝑘
k ∈ ℤ
Akan ditunjukkan bahwa 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺.
Ambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐺.
Karena x, y dalam G maka
𝑥 = 𝑎 𝑚
dan 𝑦 = 𝑎 𝑛
; Untuk suatu 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, sehingga
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
dan
𝑦𝑥 = 𝑎 𝑛
𝑎 𝑚
[𝑥 = 𝑎 𝑚
dan 𝑦 = 𝑎 𝑛
]
= 𝑎 𝑛+𝑚
[𝑎 𝑛
𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛+𝑚
]
= 𝑎 𝑚+𝑛
[sifat komutatif ℤ dibawah operasi penjumlahan]
= 𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
[𝑎 𝑚+𝑛
= 𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
]
= 𝑥𝑦 [𝑥 = 𝑎 𝑚
dan 𝑦 = 𝑎 𝑛
]
∴ Terbukti G grup abelian. ∎
***

44. 44
KOMPLEKS & SUBGRUP
17. Jika 𝑋, 𝑌 𝑑𝑎𝑛 𝑍 kompleks dari grup G maka 𝑋𝑌 𝑍 = 𝑋(𝑌𝑍)
Bukti :
Untuk membuktikan 𝑋𝑌 𝑍 = 𝑋 𝑌𝑍 harus dibuktikan 𝑋𝑌 𝑍 ⊆ 𝑋 𝑌𝑍 &
𝑋𝑌 𝑍 ⊇ 𝑋 𝑌𝑍
⟹) Akan dibuktikan 𝑋𝑌 𝑍 ⊆ 𝑋 𝑌𝑍
Ambil 𝑝 ∈ XY Z , berarti 𝑝 = 𝑥𝑦 𝑧 dengan 𝑥 ∈ X, 𝑦 ∈ Y, 𝑧 ∈
Z dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ G.
karena 𝑋, 𝑌 𝑑𝑎𝑛 𝑍 kompleks dari grup G, sehingga dipenuhi sifat
asosiatif yaitu : 𝑠 = 𝑥𝑦 𝑧 = 𝑥 𝑦𝑧 ∈ 𝑋 𝑌𝑍 .
Diperoleh ∀𝑠 ∈ 𝑋𝑌 𝑍 ⇒ 𝑠 ∈ 𝑋 𝑌𝑍
Jadi 𝑋𝑌 𝑍 ⊆ 𝑋(𝑌𝑍) … (i)
Pendahuluan
∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup ⟹ H Kompleks dari 𝐺 . ■
Misalkan M dan N kompleks dari grup (G,*) maka hasil kali kompleks MN
adalah himpunan m*n dengan 𝑚 ∈ 𝑀 dan 𝑛 ∈ 𝑁. Secara matematis
dinotasikan : 𝑀𝑁 = {𝑚 ∗ 𝑛 ∣ 𝑚 ∈ 𝑀 dan 𝑛 ∈ 𝑁}. ■
Jika M kompleks dari grup G maka 𝑀−1
= {𝑚−1
∣ 𝑚 ∈ 𝑀}. ■
∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H subgrup dari G, apabila H membentuk gerup
dibawah operasi yang sama di dalam G. ■
Grup yang memiliki elemen lebih dari satu dijamin memiliki minimal dua
subgrup yaitu G sendiri dan {e}, e adalah unsur identitas di G.
⧉ G dan {e} disebut subgrup trivial atau subgrup improper.
⧉ Jika ada H subgrup dari G dan H ≠ G dan H ≠ {e} maka H disebut
subgrup proper. ■
Subgrup biasa disimbolkan dengan " ≤ ". ■

45. 45
⇐) Akan dibuktikan 𝑋𝑌 𝑍 ⊇ 𝑋(𝑌𝑍) ≅ 𝑋(𝑌𝑍) ⊆ 𝑋𝑌 𝑍
Ambil 𝑝 ∈ X(YZ), berarti 𝑡 = 𝑥 𝑦𝑧 dengan 𝑥 ∈ X, 𝑦 ∈ Y, 𝑧 ∈
Z dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ G.
karena 𝑋, 𝑌 𝑑𝑎𝑛 𝑍 kompleks dari grup G, sehingga dipenuhi sifat
asosiatif yaitu : 𝑠 = 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 ∈ (𝑋𝑌)𝑍.
Diperoleh ∀𝑡 ∈ 𝑋 𝑌𝑍 ⇒ 𝑡 ∈ (𝑋𝑌)𝑍
Jadi 𝑋(𝑌𝑍) ⊆ 𝑋𝑌 𝑍 … (ii)
∴ Dari i dan ii dapat disimpulkan bahwa 𝑋𝑌 𝑍 = 𝑋(𝑌𝑍) . ∎
2. Misalkan ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup dan 𝑒 ∈ 𝐺 [e=identitas]. himpunan H
merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat :
a. 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝐻
b. 𝑎 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎−1
∈ 𝐻
Bukti :
⟹) bukti dari kiri ke kanan
a. 𝐻 grup (sebab 𝐻 subgrup dari G) maka 𝐻 mmnuhi sifat tertutup di
bawah operasi dalam G.
b. Ambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐻
Karena 𝐻 grup maka 𝑎 mempunyai invers 𝑎′
dalam 𝐻,
Berdasarkan sifat ketunggalan dari suatu invers maka 𝑎′
= 𝑎−1
yaitu invers dari 𝑎 dalam G.
⇐) bukti dari kanan ke kiri
Akan dibuktikan bahwa jika H memenuhi sifat:
a. ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺
b. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝐻
c. ∀𝑎 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎−1
∈ 𝐻, maka H merupakan grup

46. 46
Syarat a sampai c merupakan tiga syarat supaya suatu himpunan
merupakan grup. Syarat lain yang harus dipenuhi adalah
(i) Hukum assosiatif
Karena (ab) c = a (bc) untuk semua anggota dalam G maka tentu
saja juga berlaku untuk semua anggota dalam S ⊆ G.
(ii) Unsur Identitas
Diketahui 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑎−1
∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑎−1
= 𝑒 ∈ 𝐻 [e=identitas]
∴ jadi, dapat disimpulkan 𝐻 ≤ 𝐺. ∎
3. Misalkan H kompleks tidak kosong dari grup G. H merupakan subgrup dari G
jika dan hanya jika untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐻, 𝑏 ∈ 𝐻 menyebabkan 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻.
Bukti:
Misalkan ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup
⟹) bukti dari kiri ke kanan
Diketahui 𝐻 subgrup dari G sehingga 𝐻 juga merupakan grup terhadap
operasi yang berlaku di G
Akan ditunjukkan ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻,berlaku 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻, perhatikan:
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, karena 𝐻 grup maka terdapat 𝑏−1
∈ 𝐻
sehingga 𝑎, 𝑏−1
∈ 𝐻 dan 𝐻 memenuhi sifat tertutup maka 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻
⇐) bukti dari kanan ke kiri
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 berlaku 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻 Akan ditunjukkan H subgrup yakni H
merupakan grup, perhatikan bahwa :
Ambil sebarang 𝑚 ∈ 𝐻 maka 𝑚𝑚−1
∈ 𝐻 (diketahui)
𝑚𝑚−1
= 𝑒 maka 𝑒 ∈ 𝐻 [e=identitas] … (*1)
𝑒, 𝑚 ∈ 𝐻 maka 𝑒𝑚−1
= 𝑚−1
∈ 𝐻 (diketahui) … (*2)
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, karena 𝐻 grup maka terdapat 𝑏−1
∈ 𝐻,
jika 𝑎 𝑏−1
∈ 𝐻 maka 𝑎 (𝑏−1
)−1
∈ 𝐻

47. 47
Karena 𝑎 (𝑏−1
)−1
= 𝑎𝑏 ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝐻, jadi dapat disimpulkan bahwa H
memenuhi sifat tertutup ... (*3)
Jelas bahwa H mempunyai sifat asosiatif karena H ⊆G maka ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐻
pasti 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 dan G adalah grup maka berlaku 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 … (*4)
 Dari (*1), (*2),(*3), dan (*4) terbukti H merupakan grup yang
berarti H subgrup dari G.
4. Tunjukkan bahwa 𝑄{0 , 𝑥) merupakan subgrup dari (R{0),x)
Bukti:
a) Akan ditunjukkan (R{0),x) membentuk grup.
Perhatikan bahwa:
(i) Tidak Kosong
R{0} ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ R{0} … (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
∀ 𝑎, 𝑏, ∈ R{0} berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ R{0}
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ R{0} maka berlaku 𝑎 × 𝑏 ∈ R{0}…
(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R{0} berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R{0}
Perhatikan bahwa:
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 × 𝑐
= 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)
= (𝑎 × 𝑏) × 𝑐
= 𝑎 × 𝑏 ∗ 𝑐
= 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 … (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
∀𝑎 ∈ R{0} ∃𝑒 ∈ R{0} ∋ 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎

48. 48
Perhatikan bahwa:
𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎 = 𝑏
𝑎 = 𝑎 =
𝑏
𝑏
; 𝑏 ∈ R{0}
𝑎 = 1
Sehingga 𝑒 = 1 ∈ R{0} [e=identitas] … (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
∀𝑎 ∈ R{0} ∃𝑎−1
∈ R{0} ∋ 𝑎−1
∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎−1
= 𝑒
perhatikan bahwa:
𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎 = 1
𝑎 = 𝑎 =
1
𝑏
; 𝑏 ∈ R{0}
𝑎 =
1
𝑏
∈ R{0} … (tidak memiliki unsur invers)
∴ jadi, (R{0),x) membentuk grup.
b) Untuk membuktikan 𝑄{0 , 𝑥) merupakan subgrup dari (R{0),x)
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻"
berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
𝑄{0} ≠ ∅
𝑄{0} ⊆ 𝑅{0}
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄{0} ⟹ 𝑥𝑦−1
∈ 𝑄{0}
Perhatikan bahwa:
𝑄{0} ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ Q{0} … (terpenuhi)
𝑄{0} ⊆ 𝑅{0} jelas … (terpenuhi)
Ambil searang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄{0}
Perhatikan bahwa:
𝑥𝑦−1
∈ 𝑄{0} sebab 𝑥 ∈ 𝑄{0} & 𝑦−1
∈ 𝑄{0} … (terpenuhi)
∴ jadi, 𝑄{0 , 𝑥) ≤ (R{0),x). ∎

49. 49
5. Buktikan bahwa (𝒁 𝑚 , +) dengan 𝒁 𝑚 = 𝑘𝑚 ; 𝑘 ∈ 𝒁 merupakan subgrup
dari grup (𝒁, +)!
Bukti:
Diketahui (𝒁, +) membentuk grup
Untuk membuktikan (𝒁 𝑚 , +) merupakan subgrup dari (𝒁, +) digunakan
teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝒁 𝑚 ≠ ∅
Perhatikan bahwa:
𝒁 𝑚 ≠ ∅ sebab ∃ (2𝑚 ; 2 ∈ 𝒁) ∈ 𝒁 𝑚 … (terpenuhi)
b. 𝒁 𝑚 ⊆ 𝒁
Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝒁 𝑚 … (i)
Pandang: 𝑥 = 𝑘1 𝑚; 𝑘1 ∈ 𝒁, 𝑚 ∈ 𝒁
Perhatikan bahwa:
𝑥 = 𝑘1 𝑚; 𝑘1 ∈ 𝒁, 𝑚 ∈ 𝒁
𝑥 = 𝑘1 𝑚 ∈ 𝒁 (memenuhi sifat tertutup sebab diketahui 𝑍 membentuk
grup) … (ii)
Dari (i) dan (ii), sehingga disimpulkan bahwa 𝒁 𝑚 ⊆ 𝒁 … (terpenuhi)
c. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝒁 𝑚 ⟹ 𝑥𝑦−1
∈ 𝒁 𝑚
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒁 𝑚
Pandang:
𝑥 = 𝑘1 𝑚; 𝑘1 ∈ 𝒁
𝑦 = 𝑘2 𝑚; 𝑘2 ∈ 𝒁
perhatikan bahwa:
𝑥𝑦−1
= (𝑘1 𝑚) + (−𝑘2 𝑚)
= 𝑘1 𝑚 − 𝑘2 𝑚 [𝑘1, 𝑘2 ∈ 𝒁]
= (𝑘1 − 𝑘2)𝑚 ∈ 𝒁 𝑚 … (terpenuhi)
∴ jadi, 𝒁 𝑚 ≤ 𝒁. ∎

50. 50
6. 𝑃 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 merupakan grup, buktikan (M,+8) dengan
𝑀 = 0, 2, 4, 6, 8 subgrup dari (P, +8)
Bukti:
Misalkan (P, +8) merupakan grup
Untuk membuktikan (M,+8) merupakan subgrup dari (P, +8) digunakan
teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup higga, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. P grup hingga
𝑃 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 jelas merupakan grup hingga … (terpenuhi)
b. 𝑀 ≠ ∅
𝑀 ≠ ∅ sebab ∃ 2 ∈ 𝑀 … terpenuhi
c. 𝑀 ⊆ 𝑃
𝑀 ⊆ 𝑃 jelas sebab 0, 2, 4, 6, 8 ⊆ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
d. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝑀
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀 akan ditunjukkan 𝑎𝑏 ∈ 𝑀
Karena M adalah subset P yang hingga maka cukup dibuktikan M
tertutup terhadap operasi +8.
Perhatikan tabel dibawah ini:
+8 0 2 4 6
0 0 2 4 6
2 2 4 6 0
4 4 6 0 2
6 6 0 2 4
Dari tabel diatas terlihat bahwa operasi +8 tertutup dalam M …
(terpenuhi)
∴ Jadi, (M, +8) ≤ (P, +8). ∎

51. 51
7. Dengan operasi perkalian tunjukkan 𝑃2 𝑹 × 𝑄2 𝑹 merupakan subgrup
dari grup (𝑀2 𝑹 ,×) dengan pendefenisian
𝑃2 𝑹 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 1
𝑄2 𝑹 =
𝑒 𝑓
𝑔 𝑕
; 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ ℝ, 𝑒𝑓 − 𝑔𝑕 = −2
Bukti:
Untuk membuktikan 𝑃2 𝑹 × 𝑄2 𝑹 merupakan subgrup dari
(𝑀2 𝑹 , ) digunakan teorema "𝐺 grup , ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 ∅ ≠ 𝐾 ⊆ 𝐺 , HK ≤ G
⟺ 𝐻𝐾 = 𝐾𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝑃2 𝑹 ≠ ∅ & 𝑄2 𝑹 ≠ ∅
Perhatikan bahwa:
𝑃2 𝑹 ≠ ∅ sebab ∃
1 0
2 1
; 1, 0, 2 ∈ ℝ, 1 − 0 = 1 ∈ 𝑃2 𝑹
𝑄2 𝑹 ≠ ∅ sebab ∃
1 2
2 2
; 1, 2 ∈ ℝ, 2 − 4 = −2 ∈ 𝑄2 𝑹
b. 𝑃2 𝑹 ⊆ 𝑀2 𝑹 & 𝑄2 𝑹 ⊆ 𝑀2 𝑹
Perhatikan bahwa:
det (𝑃2 𝑹 ) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 1 ⊆ det (𝑀2 𝑹 ) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ∈ 𝑹
det (𝑄2 𝑹 ) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = −2 ⊆ det (𝑀2 𝑹 ) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ∈ 𝑹
c. 𝑃2 𝑹 𝑄2 𝑹 = 𝑄2 𝑹 𝑃2 𝑹
Perhatikan bahwa:
𝑃2 𝑹 𝑄2 𝑹 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
𝑔 𝑕
digunakan teorema 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑩 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝐝𝐞𝐭⁡(𝑩)
karena diketahui det (𝑃2 𝑹 ) = 1 & det (𝑄2 𝑹 ) = −2 maka
det⁡(𝑃2 𝑹 𝑄2 𝑹 ) = det (𝑃2 𝑹 )det (𝑄2 𝑹 )
= 1 −2
= −2 … (i)

52. 52
𝑄2 𝑹 𝑃2 𝑹 =
𝑒 𝑓
𝑔 𝑕
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
digunakan teorema 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑩 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝐝𝐞𝐭⁡(𝑩)
karena diketahui det (𝑃2 𝑹 ) = 1 & det (𝑄2 𝑹 ) = −2 maka
det⁡( 𝑄2 𝑹 𝑃2 𝑹 ) = det (𝑄2 𝑹 )det (𝑃2 𝑹 )
= −2 1
= −2 … (ii)
Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa 𝑃2 𝑹 𝑄2 𝑹 = 𝑄2 𝑹 𝑃2 𝑹
∴ jadi, 𝑃2 𝑹 × 𝑄2 𝑹 ≤ (𝑀2 𝑹 ,×) . ∎
8. Misalkan (𝑀2 𝑹 ,×) grup
𝑀2 𝑹 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ ∅
𝐻2 𝑹 =
𝑎 𝑏
0 𝑑
; 𝑎, 𝑏, 𝑑 ∈ ℝ, 𝑎𝑑 ≠ ∅
Apakah 𝐻2 𝑹 merupakan subgrup dari 𝑀2 𝑹
Bukti:
Diketahui (𝑀2 𝑹 ,×) membentuk grup
Untuk membuktikan 𝐻2 𝑹 merupakan subgrup dari 𝑀2 𝑹
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝐻2 𝑹 ≠ ∅
Perhatikan bahwa:
𝐻2 𝑹 ≠ ∅ sebab ∃
1 2
0 1
; 1, 0, 2 ∈ ℝ, 1 ≠ 0 ∈ 𝐻2 𝑹
b. 𝐻2 𝑹 ∅ ⊆ 𝑀2 𝑹
perhatikan bahwa:
det (𝐻2 𝑹 ) = 𝑎𝑑 ≠ 0 ⊆ det (𝑀2 𝑹 ) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0
c. ∀ 𝑋2 𝑹 , 𝑌2 𝑹 ∈ 𝐻2 𝑹 ⟹ 𝑋2 𝑹 𝑌2 𝑹
−1
∈ 𝐻2 𝑹
Ambil sebarang 𝑋2 𝑹 , 𝑌2 𝑹 ∈ 𝐻2 𝑹

53. 53
Pandang:
𝑋2 𝑹 =
𝑎 𝑏
0 𝑑
; 𝑎, 𝑏, 𝑑 ∈ 𝑹, 𝑎𝑑 ≠ 0
𝑌2 𝑹 =
𝑒 𝑓
0 𝑕
; 𝑒, 𝑓, h, ∈ 𝑹, 𝑒𝑕 ≠ 0
Invers dari 𝑌2 𝑹 adalah
𝑌2 𝑹
−1
=
1
𝑑𝑒𝑡 𝑌2 𝑹
𝑎𝑑𝑗 𝑌2 𝑹
=
1
𝑒𝑕
𝑕 −𝑓
0 𝑒
ket: 𝑒𝑕 ≠ 0
=
1
𝑒
−𝑓
𝑒𝑕
0
1
𝑕
∈ 𝐻2 𝑹
𝑑𝑒𝑡 𝑌2 𝑹
−1
=
1
𝑒
1
𝑕
=
1
𝑒𝑕
Karena 𝑒𝑕 ≠ 0 akibatnya
1
𝑒𝑕
≠ 0 sehingga 𝑑𝑒𝑡 𝑌2 𝑹
−1
≠ 0
Akan ditunjukkan 𝑋2 𝑹 𝑌2 𝑹
−1
∈ 𝐻2 𝑹
𝑋2 𝑹 𝑌2 𝑹
−1
=
𝑎 𝑏
0 𝑑
1
𝑒
−𝑓
𝑒𝑕
0
1
𝑕
digunakan teorema 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑩 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝐝𝐞𝐭⁡(𝑩)
karena diketahui det (𝑋2 𝑹 ) ≠ 0 & det (𝑌2 𝑹 )−1
≠ 0 maka
𝑑𝑒𝑡 𝑋2 𝑹 𝑌2 𝑹
−1
= 𝑑𝑒𝑡 𝑋2 𝑹 𝑑𝑒𝑡 𝑌2 𝑹
−1
≠ 0
sehingga dapat disimpulkan 𝑋2 𝑹 𝑌2 𝑹
−1
∈ 𝐻2 𝑹
∴ jadi, 𝐻 𝑹 ≤ 𝑀2 𝑹 . ∎
9. Tunjukkan 𝑆 = {3 𝑘
; 𝑘 ∈ 𝒁} merupakan grup bagian dari grup (R, x)!
Bukti:
misalkan (𝑹, ×) membentuk grup

54. 54
Untuk membuktikan 𝑆 merupakan subgrup dari 𝑹
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝑆 ≠ ∅
Perhatikan bahwa:
𝑆 ≠ ∅ sebab ∃(32
; 2 ∈ 𝒁) ∈ 𝑆 … (terpenuhi)
b. 𝑆 ⊆ 𝑹
Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑆
Pandang 𝑥 = 3 𝑘
; 𝑘 ∈ 𝒁
Perhatikan bahwa: 𝑥 = (3 𝑘
; 𝑘 ∈ 𝒁) ∈ 𝑹
𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (3 𝑘
; 𝑘 ∈ 𝒁) ∈ 𝑹 ⟹ 𝑆 ⊆ 𝑹 … (terpenuhi)
c. ∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑆 ⟹ 𝑝𝑞−1
∈ 𝑆
Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑆
Pandang: 𝑝 = (3 𝑚
; 𝑚 ∈ 𝒁) ∈ 𝑺
𝑞 = (3 𝑛
; 𝑛 ∈ 𝒁) ∈ 𝑺
Akan dibuktikan bahwa 𝑝𝑞−1
∈ 𝑆
Perhatikan bahwa:
𝑝𝑞−1
= (3 𝑚
)
1
3 𝑛
= (3 𝑚
) 3−𝑛
= 3 𝑚−𝑛
[𝑚 ∈ 𝒁 ∧ 𝑛 ∈ 𝒁 ⟹ 𝑚 − 𝑛 ∈ 𝒁]
= (3 𝑚−𝑛
) ∈ 𝑺 … (terpenuhi)
∴ jadi, 𝑆 = {3 𝑘
; 𝑘 ∈ 𝒁} ≤ (R, x) . ∎
10. Misalkan 𝐺 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} dengan operasi perkalian maka {𝐺,×}
membentuk grup. Pandang 𝐻 = {1, −1} apakah H subgrup dari G?
Bukti:
Misalkan 𝐺 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} dengan operasi perkalian, {𝐺,×} merupakan grup

55. 55
Untuk membuktikan 𝐻 merupakan subgrup dari G digunakan teorema
“∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup higga, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. G grup hingga
𝐺 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} jelas merupakan grup hingga … (terpenuhi)
b. 𝐻 ≠ ∅
𝐻 ≠ ∅ sebab ∃ 1 ∈ 𝐻 … terpenuhi
c. 𝐻 ⊆ 𝐺
𝐻 ⊆ 𝐺 jelas sebab {1, −1} ⊆ {1, −1, 𝑖, −𝑖}
d. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝑀
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀 akan ditunjukkan 𝑎𝑏 ∈ 𝑀
Karena H adalah subset G yang hingga maka cukup dibuktikan H tertutup
terhadap operasi ×.
Perhatikan tabel dibawah ini:
× 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
Dari tabel diatas terlihat bahwa operasi × tertutup dalam H …
(terpenuhi)
∴ Jadi, (H, ×) ≤ (G, ×). ∎
11. (𝒁, +) merupakan grup, pandang 2𝒁 = {2𝑧; 𝑧 ∈ 𝒁} maka 2𝒁 merupakan
subgrup dari Z!
Bukti:
Misalkan (𝒁, +) merupakan grup
Untuk membuktikan 2𝒁 merupakan subgrup dari Z
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:

56. 56
a. 2𝒁 ≠ ∅
Perhatikan bahwa:
2𝒁 ≠ ∅ sebab ∃(2 1 = 2; 1 ∈ 𝒁) ∈ 𝑆 … (terpenuhi)
b. 2𝒁 ⊆ 𝒁
Ambil sebarang 𝑥 ∈ 2𝒁
Pandang 𝑥 = 2𝑧; 𝑧 ∈ 𝒁
Perhatikan bahwa: 𝑥 = (2𝑧; 𝑧 ∈ 𝒁) ∈ 𝒁 sebab 𝑧 ∈ 𝒁, 2 ∈ 𝒁 ∧ 𝒁 memenuhi
sifat tertutup karena 𝒁 membentuk grup.
𝑥 ∈ 2𝒁 ∧ 𝑥 = 𝑥 = (2𝑧; 𝑧 ∈ 𝒁) ∈ 𝒁 ⟹ 2𝒁 ⊆ 𝒁 … (terpenuhi)
c. ∀𝑝, 𝑞 ∈ 2𝒁 ⟹ 𝑝𝑞−1
∈ 2𝒁
Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 2𝒁
Pandang: 𝑝 = (2𝑧1; 𝑧1 ∈ 𝒁) ∈ 2𝒁
𝑞 = (2𝑧2; 𝑧2 ∈ 𝒁) ∈ 2𝒁
Akan dibuktikan bahwa 𝑝𝑞−1
∈ 2𝒁
Perhatikan bahwa:
𝑝𝑞−1
= 2𝑧1 + −2𝑧2
= 2𝑧1 − 2𝑧2
= 2(𝑧1 − 𝑧2) [𝑧1 ∈ 𝒁 ∧ 𝑧2 ∈ 𝒁 ⟹ 𝑧1 − 𝑧2 ∈ 𝒁]
= 2(𝑧1 − 𝑧2) ∈ 2𝒁 … (terpenuhi)
∴ jadi, 2𝒁 ≤ 𝒁. ∎
12. Misalkan H, K kompleks sebarang dari grup G, Apakah HK = KH?
(jika “ya” tunjukkan, jika “tidak” berikan contoh penyangkal)
Bukti:
𝐻𝐾 ≠ 𝐾𝐻
Contoh penyangkal
Misalkan M adalah himpunan matriks real 2x2 dan (M,*) membentuk grup

57. 57
𝑀 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0
Ambil sebarang 𝑀1, 𝑀2 ∈ M
Pandang:
𝑀1 =
1 0
2 1
; 1,0,2 ∈ ℝ, 1 ≠ 0
𝑀2 =
1 2
0 1
; 1,0,2 ∈ ℝ, 1 ≠ 0
Perhatikan bahwa:
𝑀1 𝑀2 =
1 0
2 1
1 2
0 1
=
1 2
2 5
… (i)
𝑀2 𝑀1 =
1 2
0 1
1 0
2 1
=
5 2
2 1
… (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa 𝑀1 𝑀2 ≠ 𝑀2 𝑀1,
13. Misalkan G grup dan H, K, L masing-masing subset dari H. Buktikan
𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 = 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿, Apakah 𝐻 𝐾 ∩ 𝐿 = 𝐻𝐾 ∩ 𝐻𝐿?
Bukti:
I. 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 = 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿
Untuk membuktikan 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 = 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿 mka akan diperlihatkan
bahwa 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 ⊆ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿 dan 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 ⊇ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿
Akan ditunjukkan 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 ⊆ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿
Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 … (i)
Perhatikan bahwa:
𝑥 ∈ 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 ⟹ 𝑥 = h (k ∨ l) , untuk 𝑕 ∈ 𝐻, 𝑘 ∈ 𝐾 dan 𝑙 ∈ 𝐿
𝑥 = 𝑕 (𝑘 ∨ 𝑙)
𝑥 = 𝑕𝑖 [misalkan (𝑘 ∨ 𝑙) = 𝑖]
𝑥 = 𝑕𝑖 [untuk 𝑕 ∈ 𝐻, 𝑘 ∈ 𝐾 dan 𝑙 ∈ 𝐿]
𝑥 = 𝑕𝑖 [untuk 𝑕𝑖 ∈ 𝐻𝐾 atau 𝑕𝑖 ∈ 𝐻𝐿]
𝑥 ∈ 𝐻𝐾 atau 𝑥 ∈ 𝐻𝐿
𝑥 ∈ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿 … (ii)

58. 58
Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 ⊆ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿 …(iii)
Akan ditunjukkan 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 ⊇ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿
Ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿 … (iv)
𝑦 ∈ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿 ⟹ 𝑦 = 𝑕𝑘 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = 𝑕𝑙, untuk 𝑕 ∈ 𝐻, 𝑘 ∈ 𝐾 dan 𝑙 ∈ 𝐿
𝑦 = 𝑕𝑘 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = 𝑕𝑙
𝑦 = 𝑕(𝑘 ∨ 𝑙)
𝑦 ∈ 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 … (v)
Berdasarkan (iv) dan (v) disimpulkan bahwa 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 ⊇ 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿…(vi)
∴ berdasarkan iii dan vi dapat disimpulkan bahwa 𝐻 𝐾 ∪ 𝐿 = 𝐻𝐾 ∪ 𝐻𝐿
II. Apakah 𝐻 𝐾 ∩ 𝐿 = 𝐻𝐾 ∩ 𝐻𝐿?
𝐻 𝐾 ∩ 𝐿 ≠ 𝐻𝐾 ∩ 𝐻𝐿
Contoh penyangkal:
Misalkan G = {1, -1, i, -i} grup; H,K dan L masing-masing subset dari G
Pandang H = {-1, 1} ⊆ G, K = {1, i} ⊆ G dan L ={-1, i} ⊆ G perhatikan:
K ∩ L = {i}
H (K ∩ L) = {(-1,1),(i)}= {-i,i} … (i)
HK = {(-1, 1), (1, i)} = {-1, 1, -i, i}
HL = {(-1, 1), (-1, i)} = {1, -1, -i, i}
HK ∩ HL = {1, -1, -i, i} … (ii)
∴ berdasarkan i dan ii dapat disimpulkan bahwa H(K ∩ L) ≠ HK ∩ HL. ∎
14. Misalkan 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐻 ≠ ∅ dan G grup. Buktikan H subgrup dari G ⟺ 𝐻𝐻−1
=
𝐻
Bukti:
Misalkan 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐻 ≠ ∅
⟹) akan dibuktikan H subgrup dari G ⟹ 𝐻𝐻−1
= 𝐻
Untuk membuktikan 𝐻𝐻−1
= 𝐻 maka perlu ditunjukkan a) 𝐻𝐻−1
⊆ 𝐻
b) 𝐻𝐻−1
⊇ 𝐻

59. 59
ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐻𝐻−1
… (i)
𝑥 ∈ 𝐻𝐻−1
maka 𝑥 = 𝑎𝑏−1
; untuk suatu 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻
Karena H subgrup G dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 maka 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻 akibatnya 𝑥 ∈ 𝐻 … (ii)
dari (i) dan (ii) disimpulkan 𝐻𝐻−1
⊆ 𝐻 …(iii)
ambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐻 …(iv)
karena H subgrup G, maka ∃𝑒 ∈ 𝐻 [e=identitas]
catatan: 𝑒 ∈ 𝐻 = 𝑒−1
∈ 𝐻−1
[e=identitas]
Sehingga dapat dituliskan 𝑎𝑒−1
= 𝑎 ∈ 𝐻𝐻−1
… (v)
Dari (iv) dan (v) disimpulkan 𝐻 ⊆ 𝐻𝐻−1
atau 𝐻𝐻−1
⊇ 𝐻 … (vi)
∴ dari (iii) dan (vi) disimpulkan bahwa 𝐻𝐻−1
= 𝐻
⟸) akan dibuktikan 𝐻𝐻−1
= 𝐻 ⟹ H subgrup dari G
ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝐻𝐻−1
𝑦 ∈ 𝐻𝐻−1
⟹ 𝑦 = 𝑎𝑏−1
; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻
Diktahui 𝐻𝐻−1
= 𝐻 maka
𝑦 ∈ 𝐻 atau y= 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻
∴ Karena 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻 dan diketahui 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐻 ≠ ∅ ⟹ 𝐻 ≤ 𝐺.
∴ jadi, 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐻 ≠ ∅, H ≤ G ⟺ 𝐻𝐻−1
= 𝐻. ∎
15. Misalkan G grup dan H, K masing-masing komplex dari G.
Buktikan: HK subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH
Bukti:
Misalkan 𝐺 grup , ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 ∅ ≠ 𝐾 ⊆ 𝐺
⟹) akan dibuktikan HK ≤ G ⟹ HK = KH
Untuk membuktikan HK=KH maka perlu ditunjukkan 𝐻𝐾 ⊆ 𝐾𝐻 dan
𝐾𝐻 ⊆ 𝐻𝐾
(i) Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐻𝐾
Diketahui HK ≤ G maka 𝑥 memiliki unsur invers sehingga 𝑥−1
∈ 𝐻𝐾

60. 60
Pandang 𝑥−1
= 𝑕1 𝑘1; untuk suatu 𝑕1 ∈ 𝐻, 𝑘1 ∈ 𝐾
Perhatikan bahwa:
𝑥 = 𝑥−1 −1
[sifat grup]
= 𝑕1 𝑘1
−1
[𝑥−1
= 𝑕1 𝑘1]
= 𝑘1
−1
𝑕1
−1
[ 𝑕1 𝑘1
−1
= 𝑘1
−1
𝑕1
−1
]
= 𝑘1
−1
𝑕1
−1
[diketahui HK ≤ G maka unsur invers jelas
dipenuhi sehingga 𝑘1
−1
∈ 𝐾, 𝑕1
−1
∈ 𝐻]
= 𝑘1
−1
𝑕1
−1
∈ 𝐾𝐻 [memenuhi sifat tertutup sebab HK ≤ G]
∴ 𝑥 ∈ 𝐻𝐾 ⋀ 𝑥 = 𝑘1
−1
𝑕1
−1
∈ 𝐾𝐻 ⟹ 𝐻𝐾 ⊆ 𝐾𝐻
(ii) Ambil sebarang 𝑕2 ∈ 𝐻 dan 𝑘2 ∈ 𝐾
Karena HK ≤ G maka unsur invers jelas dipenuhi sehingga
𝑘1
−1
∈ 𝐾, 𝑕1
−1
∈ 𝐻
Tulis 𝑕1
−1
𝑘1
−1
∈ 𝐻𝐾
Perhatikan bahwa:
𝑘1 𝑕1 ∈ 𝐾𝐻
𝑘1 𝑕1 = 𝑕1
−1
𝑘1
−1 −1
∈ 𝐻𝐾 [sifat grup 𝑥 = 𝑥−1 −1
]
∴ 𝑘1 𝑕1 ∈ 𝐾𝐻 ⋀ 𝑘1 𝑕1 = 𝑕1
−1
𝑘1
−1 −1
∈ 𝐻𝐾 ⟹ 𝐾𝐻 ⊆ 𝐻𝐾
∴ HK ≤ G ⟹ HK = KH. ∎
16. Buktikan: Jika H, K subgrup dari G, maka 𝐻  𝐾 juga subgrup dari G
Bukti:
Misalkan G grup, H ≤ G, K ≤ G
Untuk membuktikan 𝐻  𝐾 ≤ G
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝐻 ∩ 𝐾 ≠ ∅

61. 61
Karena H ≤ G, K ≤ G maka jelas ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 ∅ ≠ 𝐾 ⊆ 𝐺
Sehingga jelas 𝐻 ∩ 𝐾 ≠ ∅ … (terpenuhi)
b. 𝐻 ∩ 𝐾 G
Karena H ≤ G, K ≤ G maka memiliki unsur identitas yang sama di G
Misalkan e adalah unsur identitas tulis 𝑒 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾
karena 𝑒 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝐺 ⟹ 𝐻 ∩ 𝐾 G … (terpenuhi)
c. 𝑥𝑦−1
∈ 𝐻 ∩ 𝐾
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾
karena 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾, maka:
𝑥 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾
𝑦 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾
Perhatikan bahwa:
𝑦 ∈ 𝐻 dan H subgrup G maka ∃ 𝑦−1
∈ 𝐻
𝑦 ∈ 𝐾 dan K subgrup G maka ∃ 𝑦−1
∈ 𝐾
Sehingga
𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦−1
∈ 𝐻 ⟹ 𝑥𝑦−1
∈ 𝐻 … (i)
𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦−1
∈ 𝐾 ⟹ 𝑥𝑦−1
∈ 𝐾 …(ii)
Dari (i) dan (ii) maka 𝑥𝑦−1
∈ 𝐻 ∩ 𝐾 … (terpenuhi)
∴ H ∩ K ≤ G. ∎
17. Buktikan: Teorema 4.9 (Tahmir, S. 2004: 73)
Teorema 4.9: Irisan sebarang keluarga subgrup dari grup G juga merupakan
subgrup dari G.
Bukti:
Misalkan 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3, … masing-masing sebarang keluarga subgrup dari grup
G. Akan dibuktikan 𝐻1 ∩ 𝐻2 ∩ 𝐻3 ∩ …
Misalkan 𝐻𝑖 = 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3, … ; 𝑖 = 1,2,3, ..
Untuk membuktikan 𝐻𝑖 ≤ G

62. 62
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝐻𝑖 ≠ ∅
diketahui G grup sehingga ∃ 𝑒 ∈ 𝐺 dan diketahui H ≤ G maka
𝐻𝑖 ≠ ∅ sebab ∃ 𝑒 ∈ 𝐻𝑖 [e=identitas] … (terpenuhi)
b. 𝐻𝑖  G
𝐻𝑖  G jelas dipenuhi sebab 𝐻𝑖 = 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3, … ; 𝑖 = 1,2,3, .. adalah
himpunan sebarang keluarga subgrup dari G … (terpenuhi)
c. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻𝑖 ⟹ 𝑥𝑦−1
∈ 𝐻𝑖
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻𝑖
𝑥 ∈ 𝐻𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3, ..
𝑦 ∈ 𝐻𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3, ..
Karena 𝐻𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3, .. adalah sebarang keluarga subgrup dari G maka
∃ 𝑦−1
∈ 𝐻𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3, .. [memiliki unsur invers]
Perhatikan bahwa 𝑥 ∈ 𝐻𝑖 & 𝑦−1
∈ 𝐻𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3, .. maka
𝑥𝑦−1
∈ 𝐻𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3, . .. [memenuhi sifat tertutup sebab 𝐻𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3, ..
adalah sebarang keluarga subgrup dari G] … (terpenuhi)
∴ Hi ≤ G ; 𝑖 = 1,2,3, . ... ∎
18. Jika H, K subgrup dari grup H, apakah 𝐻 ∪ 𝐾 juga subgrup dari G?
Bukti:
𝐻 ∪ 𝐾 bukan subgrup dari G
contoh penyangkal
misalkan (𝑍, +) adalah grup dan (2Z, +) dan (3Z, +) adalah subgrup dari G
𝑍, + . akan dibuktikan 2Z atau 3Z subgrup Z
2𝑍 = { … − 2, 0, 2, … }
3𝑍 = { … − 3, 0, 3, … }
2𝑍 ∪ 3𝑍 = … , −3, −2, 0, 2, 3, 4, …

63. 63
Perhatikan bahwa:
4 ∈ 2𝑍 ∪ 3𝑍
3 ∈ 2𝑍 ∪ 3𝑍
4 + 3 = 7 (2𝑍 ∪ 3𝑍)
Sehingga 72𝑍 ∪ 3𝑍 bukan subgrup Z sebab tidak memenuhi sifat tertutup.
∴ Jadi jika H, K subgrup dari grup G, maka 𝐻 ∪ 𝐾 bukan subgrup dari G. ∎
19. Misalkan G grup dan 𝐻 = {𝑎 ∈ 𝐺, 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐺}
Buktikan bahwa H subgrup dari G.
Bukti:
Untuk membuktikan 𝐻 ≤ G
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝐻 ≠ ∅
𝐻 ≠ 0 sebab G adalah grup maka ∃𝑒 ∈ 𝐺, e unsur identitas dari G
∋ 𝑒𝑎 = 𝑎𝑒 = 𝑎 ∈ 𝐻.
b. 𝐻 ⊆ 𝐺
𝑎 ∈ 𝐺, 𝑥 ∈ 𝐺 dan 𝑥𝑎 ∈ 𝐺, sedangkan 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥 ∈ 𝐻, maka 𝐻 𝐺.
c. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑥𝑦−1
∈ 𝐻
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻, maka 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥 dan 𝑦𝑎 = 𝑎𝑦, selanjutnya
perhatikan bahwa:
𝑥𝑦−1
𝑎 = 𝑥𝑦−1
𝑎𝑒 [e=identitas]
= 𝑥𝑦−1
𝑎 𝑦𝑦−1
[e= 𝑦𝑦−1
]
= 𝑥𝑦−1
𝑎𝑦 𝑦−1
[sifat asosiatif]
= 𝑥𝑦−1
𝑦𝑎 𝑦−1
[𝑦𝑎 = 𝑎𝑦]
= 𝑥 𝑦𝑦−1
(𝑎 𝑦−1
) [sifat asosiatif]
= 𝑥𝑒𝑎𝑦−1
[𝑦𝑦−1
= e]
= (𝑥𝑒)𝑎𝑦−1
[sifat asosiatif]

64. 64
= 𝑥𝑎𝑦−1
[𝑥𝑒 = 𝑥]
= 𝑥𝑎 𝑦−1
[sifat asosiatif]
= 𝑎𝑥 𝑦−1
[𝑥𝑎 = 𝑎𝑥]
= 𝑎(𝑥𝑦−1
) [sifat asosiatif]
Sehingga 𝑥𝑦−1
∈ 𝐻
∴ Jadi H adalah subgrup dari G. ∎
20. Jika G grup komutatif dengan unsur identitas e, dan 𝐻 = {𝑎 ∈ 𝐺: 𝑎2
= 𝑒}.
Buktikan H subgrup dari G.
Bukti:
Untuk membuktikan 𝐻 ≤ G
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝐻 ≠ ∅
𝐻 ≠ 0 sebab 𝑎 ∈ 𝐺 ∋ 𝑎2
= 𝑒 ∈ 𝐻 [e=identitas].
b. 𝐻 ⊆ 𝐺
Karena 𝑒 ∈ 𝐺 dan berlaku 𝑎2
= 𝑒 ∈ 𝐻 [e = identitas] maka 𝐻 ⊆ 𝐺
c. ∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑚𝑛−1
∈ 𝐻
Ambil sebarang 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐻
Perhatikan bahwa:
𝑚 ∈ 𝐻; 𝑚2
= 𝑒 ⟹ 𝑚𝑚 = 𝑒
⟹ 𝑚𝑚𝑚−1
= 𝑒𝑚−1
[kalikan kedua ruas 𝑚−1
]
⟹ 𝑚(𝑚𝑚−1
) = 𝑚−1
[sifat assosiatif, 𝑒𝑚−1
= 𝑚−1
]
⟹ 𝑚𝑒 = 𝑚−1
[𝑚𝑚−1
= 𝑒]
⟹ 𝑚 = 𝑚−1
∈ 𝐻 [𝑚𝑒 = 𝑚]
𝑛 ∈ 𝐻; 𝑛2
= 𝑒 ⟹ 𝑛𝑛 = 𝑒
⟹ 𝑛𝑛𝑛−1
= 𝑒𝑛−1
[kalikan kedua ruas 𝑛−1
]
⟹ 𝑛(𝑛𝑛−1
) = 𝑛−1
[sifat assosiatif, 𝑒𝑛−1
= 𝑛−1
]

65. 65
⟹ 𝑛𝑒 = 𝑛−1
[𝑛𝑛−1
= 𝑒]
⟹ 𝑛 = 𝑛−1
∈ 𝐻 [𝑛𝑒 = 𝑛]
Akan dibuktikan (𝑚𝑛−1
)2
= 𝑒
(𝑚𝑛−1
)2
= (𝑚𝑛−1
)(𝑚𝑛−1
)
= (𝑚𝑛−1
)(𝑛−1
𝑚) [sifat komutatif]
= 𝑚(𝑛−1
𝑛−1
)𝑚 [sifat assosiatif]
= 𝑚(𝑛−1
)2
𝑚 [𝑛−1
𝑛−1
= (𝑛−1
)2
]
= 𝑚(𝑛)2
𝑚 [𝑛−1
= 𝑛]
= 𝑚𝑒𝑚 [𝑛2
= 𝑒]
= 𝑚(𝑒𝑚) [sifat assosiatif]
= 𝑚𝑚 [𝑒𝑚 = 𝑚]
= 𝑚2
[𝑚𝑚 = 𝑚2
]
= 𝑒 [𝑚2
= 𝑒]
∴ Jadi, 𝐻 = 𝑎 ∈ 𝐺: 𝑎2
= 𝑒 adalah subgrup dari G. ∎
21. Jika 𝑀, 𝑁 masing-masing subgrup dari grup G, dan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺,
𝑥−1
𝑀𝑥 = 𝑀 dan 𝑥−1
𝑁𝑥 = 𝑁. Buktikan, Jika 𝑀 ∩ 𝑁 = {𝑒} maka 𝑚𝑛 = 𝑛𝑚
untuk 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑛 ∈ 𝑁 (e unsur identitas di G).
Bukti:
Diketahui: 𝑀, 𝑁 ≤ 𝐺, 𝑥 ∈ 𝐺
𝑥−1
𝑀𝑥 = 𝑀
𝑥−1
𝑁𝑥 = 𝑁
Akan dibuktikan: 𝑀 ∩ 𝑁 = {𝑒} ⟹ 𝑚𝑛 = 𝑛𝑚 untuk
Ambil sebarang 𝑚, 𝑛 dengan 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑛 ∈ 𝑁
Perhatikan bahwa:
𝑁 ≤ 𝐺 dan 𝑀 ≤ 𝐺 ⟹ ∅ ≠ 𝑁 ⊆ 𝐺 dan ∅ ≠ 𝑀 ⊆ 𝐺 ∋ 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐺
Karena 𝑥−1
𝑀𝑥 = 𝑀, 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑛 ∈ 𝐺 maka
𝑛−1
𝑀𝑛 = 𝑀 atau 𝑛−1
𝑚𝑛 ∈ 𝑀 …… (1)

66. 66
karena 𝑥−1
𝑁𝑥 = 𝑁, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑚 ∈ 𝐺 maka
𝑚−1
𝑁𝑚 = 𝑁 atau 𝑚−1
𝑛𝑚 ∈ 𝑁 …… (2)
Perhatikan 𝑛−1
𝑚−1
𝑛𝑚 = 𝑛−1
(𝑚−1
𝑛𝑚) = (𝑛−1
𝑚−1
𝑛)𝑚 …… (3)
Dari (1) 𝑛−1
𝑚𝑛 ∈ 𝑀 dan 𝑚−1
∈ 𝑀 maka (𝑛−1
𝑚−1
𝑛)𝑚 ∈ 𝑀 …… (4)
Dari (2) 𝑚−1
𝑛𝑚 ∈ 𝑁 dan 𝑛−1
∈ 𝑁 maka 𝑛−1
(𝑚−1
𝑛𝑚) ∈ 𝑁 …… (5)
Dari (4) dan (5) dapat disimpulkan bahwa:
𝑛−1
𝑚−1
𝑛𝑚 ∈ 𝑀 ∩ 𝑁 = {𝑒}
Jadi: 𝑒 = 𝑛−1
𝑚−1
𝑛𝑚
Akan dibuktikan: 𝑚𝑛 = 𝑛𝑚
𝑚𝑛 = 𝑚𝑛 (𝑒) [kalikan e, e=indentitas]
= 𝑚𝑛 𝑛−1
𝑚−1
𝑛𝑚 [𝑒 = 𝑛−1
𝑚−1
𝑛𝑚]
= 𝑚𝑛 𝑛−1
𝑚−1
)(𝑛𝑚 [sifat assosiatif]
= 𝑚𝑛 𝑚𝑛 −1
(𝑛𝑚) [𝑛−1
𝑚−1
= 𝑚𝑛 −1
, sifat grup]
= {𝑚𝑛 𝑚𝑛 −1
}(𝑛𝑚) [sifat assosiatif]
= 𝑒(𝑛𝑚) [𝑚𝑛 𝑚𝑛 −1
= 𝑒]
= 𝑛𝑚 [𝑒(𝑛𝑚) = 𝑛𝑚]
∴ Jadi, 𝑀 ∩ 𝑁 = {𝑒} maka 𝑚𝑛 = 𝑛𝑚 untuk 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑛 ∈ 𝑁 (e unsur identitas
di G). ∎
22. Diketahui G grup abelian dan 𝐻, 𝐾 subgrup di 𝐺. Buktikan bahwa
𝐻𝐾 = {𝑕𝑘; 𝑕 ∈ 𝐻, 𝑘 ∈ 𝐾} merupakan subgrup di G.
Bukti:
Misalkan G grup, H ≤ G, K ≤ G
Untuk membuktikan 𝐻𝐾 ≤ G
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝐻𝐾 ≠ ∅

67. 67
Diketahui: G grup ⟹ ∃𝑒 ∈ 𝐺 [e=identitas]
H ≤ G ⟹ ∃𝑒 ∈ 𝐻 …… (1)
K ≤ G ⟹ ∃𝑒 ∈ 𝐾 …… (2)
Dari (1) dan (2) maka 𝐻𝐾 = {𝑒} akibatnya 𝐻𝐾 ≠ ∅
b. 𝐻𝐾 ⊆ 𝐺
H ≤ G ⟹ ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺 & K ≤ G ⟹ ∅ ≠ 𝐾 ⊆ 𝐺 sehingga 𝐻𝐾 ⊆ 𝐺
c. ∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝐻𝐾 ⟹ 𝑝𝑞−1
∈ 𝐻𝐾
Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐻𝐾
Pandang: 𝑝 = 𝑕1 𝑘1 untuk suatu 𝑕1 ∈ 𝐻, 𝑘1 ∈ 𝐾
𝑞 = 𝑕2 𝑘2 untuk suatu 𝑕2 ∈ 𝐻, 𝑘2 ∈ 𝐾
Keterangan: H ≤ G ⟹ ∃ 𝑕1
−1
, 𝑕2
−1
∈ 𝐻
K ≤ G ⟹ ∃𝑘1
−1
, 𝑘2
−1
∈ 𝐾
Akan ditunjukkan 𝑝𝑞−1
∈ 𝐻𝐾
𝑝𝑞−1
= 𝑕1 𝑘1 𝑕2 𝑘2
−1
= 𝑕1 𝑘1 (𝑘2
−1
𝑕2
−1
) [sifat grup, 𝑕2 𝑘2
−1
= 𝑘2
−1
𝑕2
−1
]
= 𝑕1(𝑘1 𝑘2
−1
)𝑕2
−1
[sifat assosiatif]
= 𝑕1(𝑘3)𝑕2
−1
[𝑘1 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘2
−1
∈ 𝐾 ⟹ 𝑘1 𝑘2
−1
∈ 𝐾 …
… Memenuhi sifat tertutup dan misalkan 𝑘1 𝑘2
−1
= 𝑘3 ∈ 𝐾]
= 𝑕1(𝑘3 𝑕2
−1
) [sifat assosiatif]
= 𝑕1 𝑕2
−1
𝑘3 [sifat komutatif]
= (𝑕1 𝑕2
−1
)𝑘3 [sifat assosiatif]
= 𝑕3 𝑘3 [𝑕1 ∈ 𝐻 ∧ 𝑕2
−1
∈ 𝐻 ⟹ 𝑕1 𝑕2
−1
∈ 𝐻 …
… Memenuhi sifat tertutup dan misalkan 𝑕1 𝑕2
−1
= 𝑕3 ∈ 𝐻]
= 𝑕3 𝑘3 [𝑘3 ∈ 𝐾, 𝑕3 ∈ 𝐻]
= 𝑕3 𝑘3 ∈ 𝐻𝐾
∴ jadi, HK ≤ G ∎

68. 68
23. Jika H subgrup dari G dan 𝑎 ∈ 𝐺. Misalkan 𝑎𝐻𝑎−1
= {𝑎𝑕𝑎−1
; 𝑕 ∈ 𝐻} maka
tunjukkan bahwa 𝑎𝐻𝑎−1
subgrup dari G!
Bukti:
Misalkan G grup, H ≤ G, 𝑎 ∈ 𝐺
Untuk membuktikan 𝑎𝐻𝑎−1
≤ G
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝑎𝐻𝑎−1
≠ ∅
Diketahui H ≤ G ⟹ ∃𝑒 ∈ 𝐻 [e=identitas]
Perhatikan bahwa: 𝑎𝐻𝑎−1
= {𝑎𝑒𝑎−1
= 𝑒; 𝑒 ∈ 𝐻} akibatnya 𝑎𝐻𝑎−1
≠ ∅
b. 𝑎𝐻𝑎−1
⊆ 𝐺
Diketahui 𝑎 ∈ 𝐺 dan H ≤ G artinya ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺 ⟹ jelas 𝑎𝐻𝑎−1
⊆ 𝐺
c. ∀ 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑎𝐻𝑎−1
⟹ 𝑝𝑞−1
∈ 𝑎𝐻𝑎−1
Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑎𝐻𝑎−1
Pandang: 𝑝 = 𝑎𝑕1 𝑎−1
; untuk suatu 𝑕1 ∈ 𝐻
𝑞 = 𝑎𝑕2 𝑎−1
; untuk suatu 𝑕2 ∈ 𝐻
H ≤ G ⟹ ∃𝑕1
−1
, 𝑕2
−1
∈ 𝐻
Akan ditunjukkan 𝑝𝑞−1
∈ 𝑎𝐻𝑎−1
𝑝𝑞−1
= 𝑎𝑕1 𝑎−1
𝑎𝑕2 𝑎−1 −1
= 𝑎𝑕1 𝑎−1
𝑎𝑕2
−1
𝑎−1
= 𝑎𝑕1(𝑎−1
𝑎)𝑕2
−1
𝑎−1
[sifat assosiatif]
= 𝑎𝑕1 𝑒𝑕2
−1
𝑎−1
[𝑎−1
𝑎 = 𝑒]
= 𝑎(𝑕1 𝑒)𝑕2
−1
𝑎−1
[sifat assosiatif]
= 𝑎𝑕1 𝑕2
−1
𝑎−1
[𝑕1 𝑒 = 𝑕1]
= 𝑎(𝑕1 𝑕2
−1
)𝑎−1
[sifat assosiatif]
= 𝑎𝑕3 𝑎−1
[𝑕1 ∈ 𝐻, 𝑕2
−1
∈ 𝐻 ⟹ 𝑕1 𝑕2
−1
∈ 𝐻 …
… misalkan 𝑕3=𝑕1 𝑕2
−1
∈ 𝐻]

69. 69
= 𝑎𝑕3 𝑎−1
[𝑕3 ∈ 𝐻]
= 𝑎𝑕3 𝑎−1
∈ 𝑎𝐻𝑎−1
∴ jadi, 𝑎𝐻𝑎−1
≤ G ∎
24. Himpunan 𝐻 =
1
2 𝑚 ; 𝑚 ∈ 𝒁 dengan operasi perkalian merupakan subgrup
dari grup (Q{0},*).
Bukti:
Misalkan (Q{0},*) grup
Untuk membuktikan 𝐻 ≤ G
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. 𝐻 ≠ ∅
𝐻 ≠ ∅ sebab ∃
1
4
=
1
22 ; 2 ∈ 𝒁 ∈ 𝐻
b. 𝐻 ⊆ 𝑸{𝟎}
Ambil sebarang 𝑢 ∈ 𝐻
Pandang 𝑢 =
1
2 𝑤 ; 𝑤 ∈ 𝒁 ∈ 𝐻
Perhatikan bahwa
1
2 𝑤
; 𝑤 ∈ 𝒁 ⟹ 2 𝑤
∈ 𝑸{𝟎}
Sehingga
1
2 𝑤 ∈ 𝑸{𝟎}
𝑢 ∈ 𝐻 ∧ 𝑢 =
1
2 𝑤
∈ 𝑸{𝟎} ⟹ 𝐻 ⊆ 𝑸{𝟎}
c. ∀ 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑝𝑞−1
∈ 𝐻
Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐻
Pandang: 𝑝 =
1
2 𝑠 ; 𝑠 ∈ 𝒁 ∈ 𝐻
𝑞 =
1
2𝑡
; 𝑡 ∈ 𝒁 ∈ 𝐻

70. 70
Akan ditunjukkan 𝑝𝑞−1
∈ 𝐻
𝑝𝑞−1
=
1
2 𝑠
1
2𝑡
−1
=
1
2 𝑠
1
1
2𝑡
=
1
2 𝑠
2𝑡
=
1
2 𝑠−𝑡
∈ 𝐻
Karena 𝑠 ∈ 𝒁 ∧ 𝑡 ∈ 𝒁 ⟹ 𝑠 − 𝑡 ∈ 𝒁
∴ jadi, 𝐻 ≤ G ∎
***

71. 71
KOSET & SUBGRUP NORMAL
Pendahuluan
Misalkan G suatu grup dan H subgrup dari G. jika 𝑎 ∈ 𝐺 sebarang, maka
kompleks dari G yang dinyatakan oleh Ha dan aH yang didefenisikan
sebagai berikut:
𝐻𝑎 = 𝑕𝑎; 𝑕 ∈ 𝐻 [kosest kanan]
𝑎𝐻 = {𝑎𝑕; 𝑕 ∈ 𝐻} [koset kiri]
Subgrup Normal
 Bila G suatu grup dan N subgrup dari G dinamakan subgrup normal dari
G jika untuk setiap g G dan n N maka g n g-1
N
atau ekivalen dengan pernyataan
N merupakan subgrup normal dari G jika g N g-1 = {gng-1
/ n N} N
untuk setiap gG
 Subgrup N merupakan subgrup normal dalam grup G, jika dan hanya jika
untuk setiap g G maka g N g-1
= N
Perhatikan
g N g-1
= N tidak boleh diartikan g n g-1
= n, tetapi g n g-1
= n' untuk suatu
n' N.
 Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika
koset kanan dari N dalam G sama dengan koset kiri dari N dalam G.
 Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika
perkalian dua koset kanan dari N dalam G, lagi merupakan koset
kanan dari N dalam G.

72. 72
1. Jika H subgrup dari G
Buktikan: aH=bH jika dan hanya jika 𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.
Bukti:
Misalkan G grup dan 𝐻 ≤ 𝐺
Akan dibuktikan 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻  𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
⟹) bukti dari kiri ke kanan
Akan ditunjukkan 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻  𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ∋ 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻
Karena 𝑒 ∈ 𝐻(𝑒 unsur identitas) maka
𝑎 𝑒 ∈ 𝑎𝐻 atau 𝑎 ∈ 𝑎𝐻
Karena 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 𝑎 ∈ 𝑏𝐻 [𝑎 ∈ 𝑎𝐻]
 𝑏−1
𝑎 ∈ 𝑏−1
(𝑏𝐻) [kalikan 𝑏−1
dari kiri]
 𝑏−1
𝑎 ∈ (𝑏−1
𝑏)𝐻 [sifat assosiatif]
 𝑏−1
𝑎 ∈ 𝑒𝐻 [𝑏−1
𝑏 = 𝑒]
 𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻 [𝑒𝐻 = 𝐻]
⟹) bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan 𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻  𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 , ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
Misalkan 𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻 akan ditunjukkan 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻
𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻  𝑏−1
𝑎𝐻 = 𝐻 [Menurut teorema 𝑏𝐻 = 𝐻; 𝑏 ∈ 𝐻 ]
 𝑏𝑏−1
𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 [kalikan 𝑏 dari arah kiri]
 (𝑏𝑏−1
)𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 [sifat assosiatif]
(𝑒𝑎)𝐻 = 𝑏𝐻 [𝑏𝑏−1
= 𝑒 & sifat assosiatif]
𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 [𝑒𝑎 = 𝑎]
∴ Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻  𝑏−1
𝑎 ∈
𝐻, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺. ∎
2. Jika H subgrup dari G
Buktikan: Ha=Hb jika dan hanya jika 𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.

73. 73
Bukti:
Misalkan G grup dan 𝐻 ≤ 𝐺
Akan dibuktikan 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏  𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
⟹) bukti dari kiri ke kanan
Akan ditunjukkan 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏  𝑏−1
𝑎 ∈ 𝐻, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ∋ 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏
Karena 𝑒 ∈ 𝐻(𝑒 unsur identitas) maka
𝑎 𝑒 ∈ 𝐻𝑎 atau 𝑎 ∈ 𝐻𝑎
Karena 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏 𝑎 ∈ 𝐻𝑏 [𝑎 ∈ 𝐻𝑎]
 𝑎𝑏−1
∈ (𝐻𝑏)𝑏−1
[kalikan 𝑏−1
dari kanan]
 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻(𝑏𝑏−1
) [sifat assosiatif]
 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻𝑒 [𝑏𝑏−1
= 𝑒]
 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻 [𝐻𝑒 = 𝐻]
⟹) bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻  𝐻𝑎 = 𝐻𝑏 , ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
Misalkan 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻 akan ditunjukkan 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏
𝑎𝑏−1
∈ 𝐻  𝐻𝑎𝑏−1
= 𝐻 [Menurut teorema 𝑏𝐻 = 𝐻; 𝑏 ∈ 𝐻 ]
 𝐻𝑎𝑏−1
𝑏 = 𝐻𝑏 [kalikan 𝑏 dari arah kanan]
 𝐻𝑎(𝑏−1
𝑏) = 𝐻𝑏 [sifat assosiatif]
𝐻(𝑎𝑒) = 𝐻𝑏 [𝑏−1
𝑏 = 𝑒 & sifat assosiatif]
𝐻𝑎 = 𝐻𝑏 [𝑎𝑒 = 𝑎]
∴ Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏  𝑎𝑏−1
∈
𝐻, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺. ∎
3. Buktikan, jika H subgrup dari G, maka G merupakan gabungan semua koset
kanan (kiri) dari H di G.
Bukti:
Misalkan G grup dan 𝐻 ≤ 𝐺

74. 74
Akan dibuktikan 𝐺 = 𝐻𝑎 ∪ 𝐻𝑏
H ≤ 𝐺 𝐻 ≠ ∅
𝐻𝑎 = 𝑕𝑎; 𝑕 ∈ 𝐻 [defenisi]
𝐻𝑏 = 𝑕𝑏; 𝑕 ∈ 𝐻 [defenisi]
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
𝑕 ∈ 𝐻  𝑕 ∈ 𝐺 [H ≤ 𝐺]
𝑎 ∈ 𝐺, 𝑕 ∈ 𝐺  𝑕𝑎 ∈ 𝐺
𝑏 ∈ 𝐺, 𝑕 ∈ 𝐺  𝑕𝑏 ∈ 𝐺
Misalkan diambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐻𝑎 ∪ 𝐻𝑏
𝑥 ∈ 𝐻𝑎 ∪ 𝐻𝑏  𝑥 ∈ 𝑕𝑎 ∪ 𝑕𝑏  𝑥 ∈ 𝐺 [𝑕𝑎 ∈ 𝐺 ∧ 𝑕𝑏 ∈ 𝐺]
∴ Jadi jika H subgrup dari G, maka merupakan gabungan semua koset kanan
(kiri) dari H di G. ∎
4. Misalkan H dan M masing-masing sungrup normal dari grup G. Buktikan
𝐻 ∩ 𝑀 ⊴ 𝐺.
Bukti:
Misalkan G grup, 𝐻 ⊴ 𝐺 & 𝑀 ⊴ 𝐺
Akan ditunjukkan bahwa 𝐻 ∩ 𝑀 ⊴ 𝐺
Perhatikan bahwa:
G grup maka jelas 𝐺 ≠ ∅, Ambil sebarang 𝑡 ∈ 𝐺 dan
Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝐻 ∩ 𝑀
𝑝 ∈ 𝐻 ∩ 𝑀 ⟹ 𝑝 ∈ 𝐻 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀
Diketahui 𝐻 ⊴ 𝐺 & 𝑀 ⊴ 𝐺 sehingga:
𝐻 ⊴ 𝐺 ⟹ 𝑝𝐻𝑝−1
= 𝐻 atau 𝑝𝑡𝑝−1
∈ 𝐻; 𝑝 ∈ 𝐻, 𝑡 ∈ 𝐺 ……….. (i)
𝑀 ⊴ 𝐺 ⟹ 𝑝𝑀𝑝−1
= 𝑀 atau 𝑝𝑚𝑝−1
∈ 𝑀; 𝑝 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝐺 ……….. (ii)
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh 𝑝𝑡𝑝−1
∈ 𝐻 ∩ 𝑀
∴ 𝑝𝑡𝑝−1
∈ 𝐻 ∩ 𝑀; 𝑝 ∈ 𝐻 ∩ 𝑀 dan 𝑡 ∈ 𝐺 berdasarkan defenisi akibatnya
𝐻 ∩ 𝑀 ⊴ 𝐺. ∎

75. 75
5. Misalkan G grup, N dan H masing-masing subgrup dari G, dan normal di G.
buktikan:
a) 𝑁𝐻 = {𝑛𝑕: 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑕 ∈ 𝐻} subgrup dari G
b) 𝐻 subgrup normal dari 𝑁
Bukti:
Misalkan G grup, 𝐻 ≤ 𝐺, 𝑁 ⊴ 𝐺
a) Akan dibuktikan 𝑁𝐻 = {𝑛𝑕: 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑕 ∈ 𝐻} ≤ 𝐺
Untuk membuktikan 𝑁𝐻 = {𝑛𝑕: 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑕 ∈ 𝐻} ≤ 𝐺
digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈ 𝐻".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
d. 𝑁𝐻 ≠ ∅
Diketahui 𝐻 ≤ 𝐺 ⟹ ∃𝑒1 ∈ 𝐻 [𝑒1=identitas]
𝑒1 ∈ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐺 ⟹ 𝑒1 ∈ 𝐺
Diketahui 𝑁 ≤ 𝐺 ⟹ ∃𝑒2 ∈ 𝑁 [𝑒2=identitas]
𝑒2 ∈ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐺 ⟹ 𝑒2 ∈ 𝐺
𝑒1 ∈ 𝐺 dan 𝑒2 ∈ 𝐺 sementara diketahui G grup berdasarkan sifat
ketunggalan unsur identitas pada grup akibatnya 𝑒1 = 𝑒2, misalkan
𝑒 = 𝑒1 = 𝑒2 [e=identitas]
Sekarang perhatikan:
𝑁𝐻 = {𝑒 = 𝑒1 𝑒2: 𝑒1 ∈ 𝑁, 𝑒2 ∈ 𝐻} sehingga ∃𝑒 ∈ 𝑁𝐻 akibatnya
𝑁𝐻 ≠ ∅
e. 𝑁𝐻 ⊆ 𝐺
Pada bagian (a) diperoleh 𝑒 ∈ 𝑁𝐻; 𝑒 ∈ 𝑁 dan 𝑒 ∈ 𝐻
Diketahui bahwa 𝐻 ≤ 𝐺, 𝑁 ⊴ 𝐺 maka jelas 𝑒 ∈ 𝐺
Akibatnya pasti 𝑁𝐻 ⊆ 𝐺
f. Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁𝐻
Pandang 𝑥 = 𝑛1 𝑕1; 𝑛1 ∈ 𝑁 dan 𝑕1 ∈ 𝐻
𝑦 = 𝑛2 𝑕2; 𝑛2 ∈ 𝑁 dan 𝑕2 ∈ 𝐻

76. 76
𝑛1, 𝑛2 ∈ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐺 ⟹ 𝑛1, 𝑛2 ∈ 𝐺
𝑛1, 𝑛2 ∈ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐺 ⟹ 𝑛1
−1
, 𝑛2
−1
∈ 𝐺
𝑕1, 𝑕2 ∈ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐺 ⟹ 𝑕1, 𝑕2 ∈ 𝐺
𝑕1, 𝑕2 ∈ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐺 ⟹ 𝑕1
−1
, 𝑕2
−1
∈ 𝐺
Adit 𝑥y−1
∈ 𝑁𝐻
𝑥y−1
= (𝑛1 𝑕1)(𝑛2 𝑕2)−1
= (𝑛1 𝑕1) (𝑕2
−1
𝑛2
−1
) [(𝑛2 𝑕2)−1
= 𝑕2
−1
𝑛2
−1
]
= (𝑛1 𝑕1 𝑕2
−1
) 𝑛2
−1
[assosiatif]
= (𝑛1 𝑕1 𝑕2
−1
) (𝑕2 𝑛2
−1
𝑕2
−1
) [𝑕2, 𝑕2
−1
∈ 𝐺, 𝑛2
−1
∈ 𝑁, 𝑁 ⊴ 𝐺]
= (𝑛1 𝑕1)(𝑕2
−1
𝑕2) (𝑛2
−1
𝑕2
−1
) [assosiatif]
= (𝑛1 𝑕1)(𝑒) (𝑛2
−1
𝑕2
−1
) [𝑕2
−1
𝑕2 = 𝑒, 𝑒 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠]
= 𝑛1(𝑕1 𝑒) (𝑛2
−1
𝑕2
−1
) [assosiatif]
= (𝑛1 𝑕1) (𝑛2
−1
𝑕2
−1
) [𝑕1 𝑒 = 𝑕1]
= 𝑛1 𝑕1 (𝑕1
−1
𝑛2
−1
𝑕1)(𝑕2
−1
) [𝑕1, 𝑕1
−1
∈ 𝐺, 𝑛2
−1
∈ 𝑁, 𝑁 ⊴ 𝐺]
= 𝑛1 (𝑕1 𝑕1
−1
)𝑛2
−1
𝑕1 𝑕2
−1
[assosiatif]
= 𝑛1 (𝑒)𝑛2
−1
𝑕1 𝑕2
−1
[𝑕1 𝑕1
−1
= 𝑒; 𝑒 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠]
= (𝑛1 𝑒)𝑛2
−1
𝑕1 𝑕2
−1
[assosiatif]
= 𝑛1 𝑛2
−1
𝑕1 𝑕2
−1
[𝑛1 𝑒 = 𝑛1; 𝑒 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠]
= (𝑛1 𝑛2
−1
)(𝑕1 𝑕2
−1
)
[𝑛1, 𝑛2
−1
∈ 𝑁 ⟹ 𝑛1 𝑛2
−1
∈ 𝑁 misalkan 𝑛1 𝑛2
−1
= 𝑛3 ∈ 𝑁
𝑕1, 𝑕2
−1
∈ 𝐻 ⟹ 𝑕1 𝑕2
−1
∈ 𝐻 misalkan 𝑕1 𝑕2
−1
= 𝑕3 ∈ 𝐻]
= 𝑛3 𝑕3 ∈ 𝑁𝐻
∴ telah dibuktikan 𝑁𝐻 ≠ ∅, 𝑁𝐻 ⊆ 𝐺 & ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁𝐻 ⟹ 𝑥y−1
∈ 𝑁𝐻
sehingga hipotesis dinyatakan benar yakni 𝑁𝐻 ≤ 𝐺. ∎
b) Akan dibuktikan H ⊴ NH
Digunakan teorema “𝐻 ≤ 𝐺 adalah normal ⟺ 𝑥𝐻𝑥−1
⊆ 𝐻, ∀𝑥 ∈ 𝐺.
Berdasarkan teorema diatas akan ditunjukkan:

77. 77
a. NH membentuk grup
Pada bagian (a) telah ditunjukkan bahwa 𝑁𝐻 ≤ 𝐺 sehingga jelas NH
membentuk grup.
b. H subgrup dari NH
Digunakan teorema “∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝐺, 𝐺 grup, H ≤ G ⟺ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑏−1
∈
𝐻".
Dari teorema diatas maka yang diambil sebagai hipotesis adalah H
subgrup dari NH. Untuk itu akan ditunjukkan:
(i) 𝐻 ≠ ∅
Diketahui H ≤ G ⟹∃ e ∈ H [e=identitas] akibatnya 𝐻 ≠ ∅
(ii) 𝐻 ⊆ 𝑁𝐻
Diketahui N ≤ G ⟹∃ e ∈ N [e=identitas]
Pandang 𝐻 = 𝑒𝑕1 = 𝑕1; 𝑕1 ∈ 𝐻, 𝑒 ∈ 𝑁
sementara 𝑕1 = 𝑒𝑕1 ∈ N𝐻 akibatnya 𝐻 ⊆ 𝑁𝐻
(iii)∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑝𝑞−1
∈ 𝐻
Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐻
Pandang 𝑝 = 𝑕1; 𝑕1 ∈ 𝐻
𝑞 = 𝑕2; 𝑕2 ∈ 𝐻
Akan ditunjukkan 𝑝𝑞−1
∈ 𝐻
𝑝𝑞−1
= 𝑕1 𝑕2
−1
[𝑕1, 𝑕2
−1
∈ 𝐻 ⟹ 𝑕1 𝑕2
−1
∈ 𝐻]
= 𝑕1 𝑕2
−1
[Misalkan 𝑕1, 𝑕2
−1
= 𝑕3 ∈ 𝐻]
= 𝑕3 ∈ 𝐻
Karena (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka hipotesis dinyatakan benar
yakni H ≤ 𝑁𝐻
c. ∀𝑥 ∈ 𝑁𝐻 ⟹ 𝑥𝐻𝑥−1
⊆ 𝐻
Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑁𝐻
Pandang 𝑥 = 𝑛𝑕; 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑕 ∈ 𝐻
Invers dari x adalah 𝑥−1
= (𝑛𝑕)−1

78. 78
= 𝑕−1
𝑛−1
[dijamin sebab NH membentuk grup]
= 𝑕−1
𝑛−1
[𝑕−1
∈ 𝐻, 𝑛−1
∈ 𝑁]
Ambil sebarang 𝑕1 ∈ 𝐻, akan dibuktikan 𝑥𝐻𝑥−1
⊆ 𝐻
𝑥𝐻𝑥−1
= 𝑛𝑕 (𝑕1)(𝑕−1
𝑛−1
)
= 𝑛(𝑕𝑕1)(𝑕−1
𝑛−1
) [assosiatif]
= 𝑛(𝑕𝑕1)(𝑕−1
𝑛−1
) [𝑕, 𝑕1 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑕𝑕1 ∈ 𝐻]
= (𝑛𝑕3)(𝑕−1
𝑛−1
) [misalkan 𝑕𝑕1 = 𝑕3 ∈ 𝐻]
= 𝑛(𝑕3 𝑕−1
)𝑛−1
[assosiatif]
= 𝑛(𝑕3 𝑕−1
)𝑛−1
[𝑕3, 𝑕−1
∈ 𝐻 ⟹ 𝑕3 𝑕−1
∈ 𝐻]
= 𝑛(𝑕4)𝑛−1
[misalkan 𝑕3 𝑕−1
= 𝑕4 ∈ 𝐻]
= 𝑛𝑕4(𝑕4
−1
𝑛−1
𝑕4) [𝑕4 ∈ 𝐻, 𝑛−1
∈ 𝑁 & 𝑁 normal]
= 𝑛(𝑕4 𝑕4
−1
)𝑛−1
𝑕4 [assosiatif]
= (𝑛𝑒)𝑛−1
𝑕4 [𝑕4 𝑕4
−1
= 𝑒; 𝑒 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠]
= (𝑛𝑛−1
)𝑕4 [𝑛𝑒 = 𝑛, assosiatif]
= 𝑒𝑕4 [𝑛𝑛−1
= 𝑒]
= 𝑕4 ∈ 𝐻 [𝑒𝑕4 = 𝑕4; 𝑒 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠]
∴ Karena telah dibuktikan 𝑁𝐻 membentuk grup 𝐻 ⊆ 𝑁𝐻 & ∀ 𝑥 ∈ 𝑁𝐻 ⟹
𝑥𝐻𝑥−1
⊆ 𝐻, maka hipotesis dinyatakan benar yakni 𝐻 ⊴ 𝑁𝐻. ∎
***
REFERENSI
Defila, F. 2012. “Diktat Kuliah, Struktur Aljabar 1 (Teori Grup)”. Padang. STKIP
Sumater Barat (Tidak diterbitkan)
Herstein, I.N. 1975. Topics In Algebra, Second Edition. Inc New York. John Wiley &
Sons.
Isnarto. 2008. “Buku Ajar Pengantar Struktur Aljabar 1”. Semarang. Universitas
Negeri Semarang (Tidak diterbitkan)
Tahmir, S. 2004. Teori Grup. Makassar: Andira Publisher