El documento presenta 5 ejercicios de matemáticas relacionados con sucesiones y límites de sucesiones. El primer ejercicio pide calcular el límite de una sucesión geométrica. El segundo ejercicio pide calcular un límite aplicando la conjugación. El tercer ejercicio pide calcular la suma de los números naturales entre 1 y 11543 usando una progresión aritmética. El cuarto ejercicio pide calcular el número de extraterrestres después de 3 horas sabiendo que se duplican cada media hora. El quinto ejercicio pide

1. Capitulo I
Matemática I
Objetivo 7. Efectuar problemas de aproximación, sucesiones y límites de
sucesiones.
Ejercicio 1
Dada la sucesión { } { }2,8,32,128,512...na = . Si { }nS es la sucesión de sumas
parciales de { }na , indica el valor de lim n
n
S
→∞
Justifica tu respuesta
a. 0 b. 4 c. + ∞ d. 32.
Sugerencia: Recuerde que en una progresión geométrica:
( )
( )
1 1
lim lim
1
n
n
n n
a r
S
r→∞ →∞
−
=
−
Solución
Justificación: En este caso, debemos calcular el límite de la suma de una
sucesión de tipo geométrica.
Una progresión geométrica consiste en multiplicar un número constante
de nombre razón (r ), desde un primer valor de nombre 1a , observe en nuestro
problema que:
1 2a = (primer término de la progresión)
Para calcular la razón, dividimos cualesquiera de 2 términos continuos,
el mayor entre el menor, por ejemplo puedo tomar:
8
4
2
r = =
El estudiante pudo ver tomado, cualquiera de las siguientes divisiones, y
llegaría al mismo resultado para la razón:
32 128 512
4 4 4
8 32 128
r r r= = = = = =
Recuerde, siempre dividiendo dos términos continuos, el mayor entre el
menor.
Ahora planteamos lo pedido y sustituimos 1 2a = y 4r = , observe:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )1 1 2 1 4 2 1 4 2 2
lim lim lim lim 1 4 lim 1 4
1 1 4 3 3 3
n n n
n n
n n n n n
a r
r→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
− − − − −
= = = − = −
− − −

2. Como llegamos al límite de la resta, podemos aplicar la propiedad de
separación de la resta de los límites, así:
( )2 2
lim 1 4 lim1 lim 4
3 3
n n
n n n→∞ →∞ →∞
− −  − = −
 
Pero el límite de una constante es igual a la constante lim
n
k k
→∞
= , donde k
es una constante, por esto
lim1 1
n→∞
=
Y el otro límite, lim 4n
n→∞
, se calcula sustituyendo n por ∞ , así:
lim 4 4n
n
∞
→∞
= = ∞
Nota 1: Aquí se aplicó la propiedad de que todo número elevado a +∞
siempre da +∞ , mientras que si tienes un número elevado a −∞ el resultado es
cero.
IMPORTANTE: De esta regla se excluye el 1, ya que 1∞
ES UNA FORMA
INDETERMINADA.
Ahora sustituimos los resultados de los límites, obteniendo:
[ ] [ ]
2 2 2
lim1 lim 4 1
3 3 3
n
n n→∞ →∞
− − − − = − ∞ = −∞ = ∞
 
Es importante comentar lo siguiente:
Nota 2: cuando se resta u suma una constante con infinito siempre da
infinito con el mismo signo del infinito, es decir:
k
k
− ∞ = −∞
+ ∞ = ∞
Por otro lado cuando multiplicas una constante por infinito, también
genera infinito:
k ×∞ = ∞
De esta multiplicación se exceptúa el número cero, ya que: 0 0.×∞ = ∞
ES UNA FORMA INDETERMINADA.
Por lo tanto:
Respuesta: La opción c.
Ejercicio 2
Al calcular el siguiente límite: ( )3 3
lim 5
n
n n
→∞
+ − resulta:
a.- ∞ b.- 0 c.- 1 d.- 5

3. Justifica tu respuesta
Sugerencia: Multiplica por la “expresión conjugada” y analiza el límite del
denominador.
Solución
Justificación: Cada vez que se presente en una expresión de límite, la
forma a b− , se debe conjugar. Ahora ¿qué es conjugar?, conjugar es
multiplicar por la misma expresión cambiada de signo, es decir:
( )( )a b a b a b− + = −
Y siempre obtenemos este resultado cuando se trata de raíces
cuadradas.
Sabiendo esto, efectuamos la conjugada en nuestro ejercicio:
( )
( )( )
( )
3 3 3 3
3 3
3 3
5 5
lim 5 lim
5n n
n n n n
n n
n n→∞ →∞
+ − + +
+ − =
+ +
Observe que la expresión conjugada ( )3 3
5n n+ + se colocó tanto en
el numerador (arriba) como en el denominador (abajo) para no alterar el
ejercicio, SIEMPRE SE CONJUGA DE ESTA MANERA.
Ahora aplicamos la propiedad ( )( )a b a b a b− + = − en el
numerador:
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
3 3 3 3 3 3
3 3
3 3 3 3
5 5 5
lim 5 lim lim
5 5n n n
n n n n n n
n n
n n n n→∞ →∞ →∞
+ − + + + −
+ − = =
+ + + +
Esto porque 3
5a n= + y 3
b n= , ahora tenemos:
( ) ( )
( )
3 3 3
3 3
5
lim lim
5n n
n n n
n n→∞ →∞
+ −
=
+ +
3
5 n+ −
( ) ( )3 3 3 3
5
lim
5 5n
n n n n→∞
= =
+ + + +
Ahora sustituimos n por ∞ , obteniendo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3
5 5 5 5 5 5
lim 0
55 5n
n n→∞
= = = = = =
∞ + ∞ ∞∞ + + ∞ ∞ + ∞+ + ∞ + + ∞
Nota1: Observe que k
∞ = ∞ siempre y cuando k es POSITIVO y
DISTINTO DE CERO, porque 0
∞ ES UNA FORMA INDETERMINADA.

4. Nota 2: Siempre ∞ = ∞
Nota 3: Siempre ∞ + ∞ = ∞ , es importante resaltar que 0∞ − ∞ ≠ , porque
∞ − ∞ ES UNA FORMA INDETERMINADA.
Respuesta: La opción b.
Ejercicio 3
Calcula la suma de los números naturales comprendido entre 1 y 11543.
Sugerencia: Use la progresión aritmética dada por:
( )1
2
n
n
a a
S n
+
= ×
Solución
Justificación: Para resolver este ejercicio, presentaremos los números
entre 1 y 11543 de la siguiente manera:
1, 2, 3, 4, 5…,11542, 11543
Si observamos, estos números forman una progresión aritmética. Una
progresión aritmética es aquella donde se suma un número constante de
nombre razón partiendo de un primer número, por ejemplo, en nuestro caso
tenemos una progresión aritmética de razón 1, porque si sumamos 1 a cada
término de la progresión obtenemos el siguiente:
1
2
3
4
5
11543
1
1 1 1 2
2 2 1 3
3 3 1 4
4 4 1 5
11542 11542 1 11543n
a
a r
a r
a r
a r
a a r
=
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
•
•
•
= = + = + =
De manera que el primer término es 1 1a = y la razón 1r = .
Así, para calcular la suma de los números entre 1 y 11543 aplicamos la
fórmula para calcular la suma en una progresión aritmética que nos aportan, es
decir:
( )1
2
n
n
a a
S n
+
= ×
Sustituyendo los valores 1 1a = y 1r = , tenemos:

5. ( ) ( )1 1 11543 11544 11543
11543 66.626.196
2 2 2
n
n
a a
S n
+ + ×
= × = × = =
Respuesta: La suma es 66.626.196
Ejercicio 4
Una nave extraterrestre llega a tierra con 12 tripulantes. Si, debido a un curioso
sistema de reproducción, cada media hora se duplica el número de
extraterrestres. Calcula la cantidad de seres extraterrestres que habrá después
de 3 horas.
Sugerencia: Calcule el término a7
de la progresión geométrica de razón 2 y
recuerde que 3 horas son 6 medias horas.
Solución
Justificación: Primero obsérvese que cada media hora hay un número de
extraterrestres, es decir, todo comienza con el primer término 1a = 12 y luego
cada media hora aparece otro valor duplicado, es decir, al pasar la primera
media hora abran 2a = 24 extraterrestres, y así sucesivamente, formándose así
una progresión geométrica de razón 2 (porque se duplica), todo se grafica a
continuación:
Se observa claramente que al transcurrir 1 hora (punto amarillo) el término es
3a
Se observa claramente que al transcurrir 2 horas (punto verde) el término es 5a
Y se observa claramente que al transcurrir 3 horas (punto azul) el término es
7a , y este término es el que debemos calcular, porque después de 3 horas
llegamos al séptimo término 7a .
En una progresión geométrica siempre se cumple:
1
1
n
na a r −
=

6. Donde: 1
: ultimo termino
: primer termino
: razon
: numero de terminos
na
a
r
n






En este caso conocemos: 1 12a = , 2r = y se nos pide el séptimo término
(porque es después de 3 horas como ya explique anteriormente), entonces
7n = , así tenemos:
( ) ( ) ( )
7 1 6
7 12 2 12 2 12 64 768a
−
= = = =
Respuesta: Habrán 768 extraterrestres después de 3 horas.
Ejercicio 5
Dadas las sucesiones de términos generales
3 4
1 5
na
n
= +
+
y 3
3 3
4 6
nb
n
= −
−
.
Calcular
n
n
n b
a
lím
∞→
Solución
Justificación: En este caso, primero presentamos la fracción n
n
a
b
y la
simplificamos hasta su mínima expresión, para luego proceder a calcular el
límite
n
n
n b
a
lím
∞→
, entonces sustituyendo na y nb , obtenemos:
3
3 4
1 5
3 3
4 6
n
n
a n
b
n
+
+
=
−
−
Ahora operamos tanto en el numerador (arriba) como en el numerador
(abajo) sumando y restando las fracciones:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 33
3 3 3
3
3 5 4 1 15 4 4 19 43 4
5 1 5 5 5 51 5
3 18 12 3 306 4
4 6 4 24 4 244 6
33 3 3
n
n
n n n
n n na n
n nb n
n n nn
× + × + + + +
+
× + + ++
= = = =
− − −× − − ×−
− − −× −
En el último término de la expresión anterior aplicamos la propiedad:

7. a
a db
c b c
d
= i
Entonces:
( )
( )
( )
( )3
3 3
3
19 4
4 245 5 19 4
3 30 5 5 3 30
4 24
n
nn n
n n n
n
+
−+ +
=
− + −
−
i
Como la multiplicación de fracciones es lineal
a d a d
b c b c
=
i
i
i
:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 3
4 24 19 4 4 2419 4
5 5 3 30 5 5 3 30
n n nn
n n n n
− + −+
=
+ − + −
i
i
i
Aplicando la propiedad distributiva:
( ) ( )
( ) ( )
3 3 4
4 33
19 4 4 24 76 456 16 96
15 150 15 1505 5 3 30
n n n n n
n n nn n
+ − − + −
=
− + −+ −
i
i
Ordenando los polinomios:
4 3
4 3
16 76 96 456
15 15 150 150
n n n
n n n
+ − −
+ − −
Ahora procedemos a calcular el límite, pero hay 2 caminos:
PRIMER CAMINO
4 3
4 3
16 76 96 456 16
lím
15 15 150 150 15n
n n n
n n n→ ∞
+ − −
=
+ − −
Esto se puede hacer conociendo la siguiente teoría:
i.Si el lím
n → ∞
( n tiende a infinito) y el grado del polinomio del numerador
(arriba) es MAYOR que el grado del polinomio denominador (abajo)
el resultado es infinito (∞).
ii.Si el lím
n → ∞
( n tiende a infinito) y el grado del polinomio del numerador
(arriba) es MENOR que el grado del polinomio denominador (abajo)
el resultado es cero (0).
iii.Si el lím
n → ∞
( n tiende a infinito) y el grado del polinomio del numerador
(arriba) es IGUAL que el grado del polinomio denominador (abajo) el

8. resultado es el coeficiente entre los coeficientes de los términos de
mayor grado.
En nuestro ejercicio, estamos en la situación o caso iii, porque tenemos
dos polinomios de igual grado (4) y por lo tanto tomamos los coeficientes
de los términos de mayor grado y formamos el cociente fracción,
observe destacados en azul los coeficientes a los que me refiero:
4 3
4 3
76 96 456
lím
15 15
16
15 0 150n
n n n
n n n→ ∞
+ − −
+ − −
Y por eso el resultado es el mostrado
16
15
SEGUNDO CAMINO
Se procede a dividir cada termino entre la parte literal de mayor grado,
por ejemplo en nuestro caso, esta parte literal es 4
n porque los polinomios son
de grado 4 y bueno, por ende, el mayor es 4, ya que ambos son de igual grado,
si hubiera estado uno de los dos con otro mayor grado, por ejemplo en el
numerador o denominador 7 3
15 15 150 150n n n+ − − , entonces dividiríamos todos
los términos entre 7
n , quedando claro esto, procedemos así:
4 3
4 4 4 4
4 3
4 4 4 4
16 76 96 456
lím
15 15 150 150n
n n n
n n n n
n n n
n n n n
→ ∞
+ − −
+ − −
Ahora simplificamos:
4
16
lím
n
n
→ ∞
4
n
3
76 n
+ 4
n
96 n
− 4
n
4
4
456
15
n
n
−
4
n
3
15 n
+ 4
n
150 n
− 4
n
3 4
3 44
76 96 456
16
lím
15 150 150150 15
n
n n n
n n nn
→ ∞
+ − −
=
+ − −−
Ahora sustituimos n por ∞, así:
3 4
3 4
76 96 456
16
15 150 150
15
+ − −
∞ ∞ ∞
+ − −
∞ ∞ ∞
Sabiendo que: n
∞ = ∞, con n positivo y 0
k
=
∞
para todo k , tenemos:

9. 3 4
3 4
76 96 456 76 96 456
16 16
16 0 0 0 16
15 150 150 15 150 150 15 0 0 0 1515 15
+ − − + − −
+ − −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞= = =
+ − −+ − − + − −
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
En fin,
Respuesta:
16
lím
15
n
n
n
a
b→ ∞
=
Ejercicio 6
Sea la sucesión 1
2na
n
 
= + 
 
y 2
5
4nb
n
 
= − 
 
. Hallar el
n
n
n b
a
lím
∞→
Solución
Justificación: En este caso procedemos semejante al ejercicio anterior.
Desarrollemos cada sucesión:
1 2 1 2 1
2
1
n
n
a
n n n
    + 
= + = + =     
    
y
2
2 2 2
5 5 4 5 4
4
1
n
n
b
n n n
     −
= − = − =     
     
Ahora planteamos el cociente n
n
a
b
, entonces:
( )
( )
22 3 2 3 2
2 2 3 32
2
2 1
2 12 1 2 2
5 4 5 4 5 4 4 55 4
n
n
n
n na n n n n n nn
nb n n n n n nn n
n
+
++ + +
= = = = =
− − − − +−
i
Entonces:
3 2
3
2 2 1
lím
4 5 4 2n
n n
n n→ ∞
+
= = −
− + −
Aplique el primer camino del caso inmediato anterior, puedes probar
aplicando el segundo camino ya explicado en detalle en el ejercicio inmediato
anterior, por favor envíame a mi correo jorgegranadillomat@gmil.com (o
también puedes llevar al centro local) este desarrollo para observarlo y enviarte
(darte) las correcciones en caso que existan, gracias por hacerlo e insistir y
persistir, personas como tú que hacen estos pequeños ejercicios dan un
gigante paso en su aprendizaje.
Respuesta:
1
lím
2
n
n
n
a
b→ ∞
= −
Ejercicio 7

10. Dadas las sucesiones de términos generales 2
2
16
n
n
a
n
−
=
−
y 2
5
3 5
n
n
b
n n
+
=
+
,
calcula el lím n
n
n
a
b→ ∞
Solución
Justificación: En este caso procedemos semejante al ejercicio anterior,
solo que plantearemos el cociente n
n
a
b
,
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
22
2
2 2
2
2
2 2 3 53 516
5 516 16 5
3 5
n
n
n
n n n nn na n
nb nn n n
n n
−
− − ++−= = =
+ +− − +
+
i
Ahora aplicamos la propiedad distributiva, recordando las siguientes
propiedades:
m
n m n
a a= , por ejemplo, en nuestro caso
1
12 2
n n n= = , y la
propiedad de la multiplicación de términos de igual base, es decir
n m n m
a a a +
= ,
entonces:
( )( )
( )( )
( )
( )( )
1
22 1 1
2
2 22 2
2 22 2
2 3 5
2 3 5 3 5 6 10
5 16 8016 5 16 5
n n n
n n n n n nn n n
n n n nn n n n
 
− + − + + − − = =
+ − −− + − +
Recuerde que cuando la letra está sola n se entiende que su exponente
es uno (1), es decir, 1
n n= , así:
1 1 1 1 5 3
2 1
2 1 2 2 22 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1 2 3 2
3 5 6 10 3 5 6 10 3 5 6 10
5 16 80 5 16 80 5 16 80
n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
+ +
+
+ − − + − − + − −
= =
+ − − + − − + − −
Ahora planteamos el límite del cociente:
5 3
22 2
3 2
3 5 6 10
lím
5 16 80n
n n n n
n n n→ ∞
+ − −
+ − −
Si hacemos uso del primer camino, caemos en la cuenta que estamos
en el caso ii del problema 5, ya que si analizamos los exponentes, el mayor
grado se encuentra en el denominador (abajo), observe:
En el numerador (arriba) los exponentes son:
5 3
2,5 ; 1,5 ; 2
2 2
= = y 1, y
el grado es el mayor exponente, es decir 2,5.

11. En el denominador (abajo) los exponentes son: 3,2 y 1, y el grado es el
mayor exponente, es decir, 3.
Por lo tanto el límite es igual a cero (0).
Si tomamos el segundo camino, tendríamos que dividir entre el término
de mayor exponente, en este caso 3
n , quedando:
5 3
22 2
3 3 3 3
3 2
3 3 3 3
3 5 6 10
lím
5 16 80n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n
→ ∞
+ − −
+ − −
Recordando la propiedad:
n
n m
m
a
a
a
−
= , tenemos:
5 3
22 2
5 3
3 3
2 3 1 32 23 3 3 3
3 2
3 3 2 3 1 3
33 3 3 3
3 5 6 10
3 5 6 10
lím lím
805 16 80 5 16
n n
n n n n
n n n nn n n n
n n n n n n
nn n n n
− −
− −
→ ∞ → ∞ − − −
+ − −
+ − −
=
+ − −+ − −
Entonces:
5 3 3 3 5 6 3 6
1 2 1 22 1 2 1 2 2
0 1 2 0 1 2
3 3
3 5 6 10 3 5 6 10
lím lím
80 80
5 16 5 16
n n
n n n n n n n n
n n n n n n
n n
− −
− −
− − − −
→ ∞ → ∞− − − −
+ − − + − −
=
+ − − + − −
Ahora:
5 6 3 6 1 3
1 2 1 22 2 2 2
0 1 2 0 1 2
3 3
3 5 6 10 3 5 6 10
lím lím
80 80
5 16 5 16
n n
n n n n n n n n
n n n n n n
n n
− −
− −
− − − −
→ ∞ → ∞− − − −
+ − − + − −
=
+ − − + − −
Ahora aplicamos las siguientes propiedades:
n
n
b
ba
a
−
= y
{ }( )1 0o
a a= ∈ −ℝ es decir, de esta última propiedad se excluye el cero, y para
dejar esto bien claro, lo diré en palabras, todo número elevado a la cero es uno
excepto el cero, ya que 0
0 es una forma indeterminada.
Ahora nuestro ejercicio nos queda así:
1 3 1 3 2
1 22 2 2 2
0 1 2
3 2 3
3 5 6 10
3 5 6 10
lím lím
80 5 16 80
5 16 1
n n
n nn n n n n n
n n n
n n n n
− −
− −
→ ∞ → ∞− −
+ − −
+ − −
=
+ − − + − −

12. Ahora sustituimos n por ∞, quedando:
1 3 1 32 2
2 2 2 2
2 3 2 3
3 5 6 10 3 5 6 10
3 5 6 10
0 0 0 0 0
lím 0
5 16 80 5 16 80 5 16 80 1 0 0 0 11 1 1
n
n n
n n
n n n
→ ∞
+ − − + − −
+ − −∞ ∞ + − −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞= = = = =
+ − −+ − − + − − + − −
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
Recuerda que { }( )0
0 0k
k
= ∈ −ℝ , es decir, cero dividido entre cualquier
número es cero, excepto el cero, porque
0
0
es una forma indeterminada.
Respuesta: lím 0n
n
n
a
b→ ∞
=
Ejercicio 8
Determina si la sucesión cuyos primeros términos son
1 1 1
1, , , ,...
2 8 16
es una
progresión geométrica.
Solución
Justificación: Para saber si los términos dados pertenecen a una
sucesión geométrica, primero se calcula la razón y luego se verifica si
ciertamente esta razón genera los términos restantes.
En una progresión geométrica:
1 2 3 4, , , ,..., na a a a a
Cada término se obtiene de multiplicar la razón por el inmediato anterior.
La razón en una progresión aritmética se puede calcular a través de la
expresión:
2
1
a
r
a
=
En este caso:
1
2
3
4
1
1
2
1
8
1
16
a
a
a
a
=
=
=
=
Por lo tanto la razón es:

13. 2
1
1
12
1 2
a
r
a
= = =
Ahora verifiquemos si realmente con esta razón se obtiene el resto de
los términos:
3 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 4
a r a
×
= × = × = =
×
Como 3
1 1
4 8
a = ≠ que es el tercer término esperado, los términos dados
no corresponden a una progresión geométrica.
Respuesta: Los términos dados no corresponden a una progresión
geométrica.
Ejercicio 9
Considere la sucesión dada por recurrencia mediante la expresión:
1 0a = , 2 1a = y
( )
2
1
1
2 1
7
n n
n
a a
a −
+
+ +
= , 2n >
Calcule los términos 3a y 4a .
Solución
Justificación: Para calcular los términos pedidos, simplemente se aplica
la fórmula de recurrencia dada, tomando en cuenta lo siguiente:
3 2 1a a += y 4 3 1a a +=
Se separó el subíndice en suma de un número más UNO porque la
fórmula de recurrencia general tiene n más UNO, observe:
De manera, que si quiero calcular los términos solicitados, tendría:

14. ( ) ( )2 2
2 2
1 2 1
3 1 12
2 1 2 1
7 7
n
a a a a
a a a −
+ +
+ + + +
= = = =
Ahora sustituimos los datos dados: 1 0a = , 2 1a = para obtener 3a , así:
( )
2
3
1 2 0 1 1 0 1 2
7 7 7
a
+ + + +
= = =
De la misma manera calculamos 4a , es decir:
( ) ( )3 3
2 2
1 3 2
4 1 13
2 1 2 1
7 7
n
a a a a
a a a −
+ +
+ + + +
= = = =
Ahora sustituimos el dato dados: 2 1a = y el valor inmediato anterior
calculado 3
2
7
a = para obtener 4a , ya que así lo exige la fórmula obtenida:
( )
2
4
2 2 2 2 3 1 2 3 7 2 21 23
2 1 1 2 1 3
7 7 7 7 1 7 1 7 7
7 7 7 7 7 7 7
a
× + × +
+ + + + + +
×= = = = = = =
Finalmente aplicamos doble C, así:
Se obtiene:
4
23
49
a =
Respuesta: Los términos son: 3
2
7
a = y 4
23
49
a = .
Ejercicio 10
Encuentre el octavo término y la suma de los primeros ocho términos de la
progresión geométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es 2.
Solución
Justificación: En este caso se necesita conocer el término general de
una progresión geométrica, a saber:
1
1
n
na a r −
=

15. Donde: 1
: ultimo termino
: primer termino
: razon
: numero de terminos
na
a
r
n






En este caso, nos piden calcular el octavo término, es decir, 8n = y ya
nos dan el primer término 1 1a = y la razón 2r = , así, el octavo término es:
8 1 7
8 1 1a a r a r−
= =
Sustituyendo los datos dados:
( )( )7 7
8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 128a = = = × × × × × × =
Ahora calculamos la suma de los 8 primeros términos, y para ello
hacemos uso de la ecuación de la suma para progresiones geométricas, es
decir:
1
1
1
n
n
r
S a
r
−
=
−
Como 8n = , 1 1a = y 2r = , tenemos:
( )
8 8 8
8
1 2 1 2 1 2 1 256 255 255
1 255
1 2 1 2 1 1 1 1
S
− − − − −
= = = = = = =
− − − − −
Respuesta: El octavo término es: 8 128a = y la suma de los primeros 8
términos es: 8 255S = .
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

16. que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Calcule el valor de
4 2
5 3
3 2 1
lim
3n
n n
n n→∞
− +
−
.
Ejercicio 2
Los términos cuarto y noveno de una Progresión Geométrica son
1
2
y
16
243
.
Determinar el sexto término.
Ejercicio 3
Indica el valor de
5 3
2 3
5
lim
4 6n
n n
n n→∞
−
+
.
Ejercicio 4
Encontrar el décimo término y la suma de los primeros diez términos de la
progresión geométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es 2.
Ejercicio 5
Considere progresión geométrica
4 8
2, , ,...
3 9
 
− 
 
Calcula lim n
n
S
→∞
, donde { }nS es la
sucesión de sumas parciales de la progresión.
Ejercicio 6
Utiliza la progresión adecuada, aritmética o geométrica, para calcular la suma
de todos los múltiplos de 7 menores que 3.400.
Ejercicio 7
Calcula la suma de los números naturales múltiplos 7 comprendidos entre 1 y
38.543.
Ejercicio 8
Calcular el límite de la sucesión de término general:
3
2 3
5
4 6
n
n n
a
n n
−
=
+
Ejercicio 9
Dada la sucesión { }
1 1 1
1, , , ,...
2 4 8
na
 
= − − − − 
 
. Si { }nS es la sucesión de sumas
parciales de { }na . Calcular lim n
n
S
→∞
.

17. Ejercicio 10
Dadas las sucesiones { } 3 2
125 6na n n= − y { } 2
5nb n= , determina: { }lim n n
n
a b
→∞
−